Bir neçə dəyişənli funksiya üçün qismən törəmələr. Bir neçə dəyişənin kompleks funksiyasının diferensiallaşdırılması Bir neçə dəyişənin kompleks funksiyalarının törəmələri nədir

z - f(x, y) funksiyası xOy müstəvisində hansısa D oblastında təyin olunsun. D bölgəsindən daxili nöqtəni (x, y) götürək və x-ə Ax artımı verək ki, (x + Ax, y) nöqtəsi 6 D olsun (şək. 9). Qiyməti z funksiyasının x-ə nisbətən qismən artımı adlandıraq. Nisbəti tərtib edin Verilmiş nöqtə üçün (x, y) bu nisbət Tərifin funksiyasıdır. Əgər Ax -* 0 üçün ^ münasibətinin sonlu həddi varsa, onda bu hədd (x, y) nöqtəsində x müstəqil dəyişəninə münasibətdə z = /(x, y) funksiyasının qismən törəməsi adlanır və olur. jfc (və ya /i(x, jj ) və ya z "x (x, Eyni şəkildə, tərifinə görə və ya eyni olan, Analoji olaraq və n ədəd müstəqil dəyişənin funksiyasıdırsa, o zaman qeyd edin. Arz y dəyişəninin qiyməti ilə dəyişməz, Atz isə x dəyişəninin qiyməti ilə hesablanır, qismən törəmələrin tərifləri aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər: Qismən törəmələr İki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrinin həndəsi mənası. bir neçə dəyişənin funksiyası Funksiyanın diferensiallığı üçün zəruri şərtlər Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensiallığı üçün kifayət qədər şərtlər Ümumi diferensial. z - /(x, y) funksiyasının y-yə görə qismən törəməsi onun y-ə görə törəməsidir, x-in sabit olması fərziyyəsi ilə hesablanır. Buradan belə çıxır ki, qismən törəmələrin hesablanması qaydaları bir dəyişənin funksiyası üçün sübut edilmiş qaydalarla üst-üstə düşür. Misal. Funksiyanın qismən törəmələrini tapın 4 Əvəzetmələrimiz var*. Bütün arqumentlərə münasibətdə qismən törəmələrin verilmiş nöqtəsində y = /(x, y) funksiyasının mövcudluğu bu nöqtədə funksiyanın davamlılığını nəzərdə tutmur. Deməli, funksiya 0(0,0) nöqtəsində davamlı deyil. Lakin bu nöqtədə bu funksiyanın x-ə və y-ə görə qismən törəmələri var. Bu ondan irəli gəlir ki, /(x, 0) = 0 və /(0, y) = 0 və buna görə də iki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrinin həndəsi mənası.Üçölçülü fəzada S səthi olsun. f(x, y) funksiyası olan, bəzi D sahəsində davamlı və x və y-yə nisbətən qismən törəmələri olan tənlik ilə verilmişdir. Bu törəmələrin z = f(x)y səthində f(x0)yo) nöqtəsinin uyğun gəldiyi Mo(x0, y0) 6 D nöqtəsində həndəsi mənasını öyrənək. M0 nöqtəsində qismən törəməni taparkən, z-nin yalnız x arqumentinin funksiyası olduğunu güman edirik, y arqumenti isə y \u003d yo sabit dəyərini saxlayır, yəni. fi (x) funksiyası həndəsi olaraq L əyrisi ilə təmsil olunur. , S səthinin təxminən y \u003d müstəvisi ilə kəsişdiyi. Bir dəyişənli funksiyanın törəməsinin həndəsi mənasına görə f \ (xo) = tg a, burada a, Ox oxu ilə JV0 nöqtəsində L xəttinə toxunanın yaratdığı bucaqdır (şək. 10). . Beləliklə, qismən törəmə ($|) Ox oxu ilə N0 nöqtəsindəki z \u003d / (x, y) səthinin kəsişməsində alınan əyriyə toxunan a bucağının tangensinə bərabərdir. y müstəvisi ilə Eynilə, biz §6-nı alırıq. Bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensiallığı z = /(x, y) funksiyası xOy müstəvisində hansısa D sahəsində müəyyən edilsin. Gəlin (x, y) € D nöqtəsini götürək və seçilmiş x və y qiymətlərinə Ax və Dy artımlarını verək, lakin nöqtə belə olsun. Tərif. Arqumentlərin Dx, Dy artımlarına uyğun gələn bu funksiyanın ümumi artımı A və B olduğu kimi göstərilə bilərsə, r = /(x, y) funksiyası diferensiallanan * nöqtəsi (x, y) € 2E adlanır. Dx və D y-dən asılı deyillər (lakin ümumilikdə onlar x və y-dən asılıdır), a(Ax, Dy) və f(Ax, Dy) isə Ax və Dy sıfıra meyl etdiyi üçün sıfıra meyllidirlər. . Əgər z = /(x, y) funksiyası (x, y) nöqtəsində diferensiallanırsa, onda funksiyanın artımının Dx və Dy-ə nisbətən xətti olan A Dx 4 - VDy hissəsi tam diferensial adlanır. bu funksiyanın (x, y) nöqtəsində və dz simvolu ilə işarələnir: Tanım yolu, misal. r = x2 + y2 olsun. İstənilən nöqtədə (r, y) və istənilən Dx və Dy üçün bizdə Burada var. buradan belə nəticə çıxır ki, A və /3 sıfıra meylli olduğu kimi Ax və Dy sıfıra meyllidir. Tərifinə görə, verilmiş funksiya xOy müstəvisinin istənilən nöqtəsində diferensiallana bilir. Burada qeyd edirik ki, mülahizəmizdə Dx, Dy artımlarının ayrı-ayrılıqda və ya hətta hər ikisinin birdən sıfıra bərabər olmasını formal olaraq istisna etməmişik. (1) ifadəsini təqdim etsək (nöqtələr arasındakı məsafə (Bundan istifadə edərək, mötərizədə ifadəni e ilə işarələyərək yaza bilərik), c-nin J, Du-dan asılı olduğu və sıfıra meylli olduğu halda yaza bilərik. J 0 və Dy 0, yaxud qısaca olaraq, əgər p 0 olarsa. z = f(xt y) funksiyasının (x, y) nöqtəsində diferensiallaşma şərtini ifadə edən düstur (1) indi yazıla bilər. Belə ki, yuxarıdakı Nümunə 6.1-də.Teorem 4. Əgər r = f(x, y) funksiyası hansısa nöqtədə diferensiallanırsa, o zaman həmin nöqtədə kəsilməzdir.4 Əgər r = f(x, y) funksiyası diferensiallanırsa. (x, y) nöqtəsində, onda arqumentlərin j və dy artımlarına uyğun gələn i funksiyasının bu nöqtədəki artımının cəmi""e teorem b şəklində göstərilə bilər. Əgər funksiya z = f(x, y) verilmiş nöqtədə, mo o o u. ) nöqtəsinə (x, y) diferensiallanır. Onda arqumentlərin Dx, Ay artımlarına uyğun gələn bu funksiyanın Dx artımını (1) formasında göstərmək olar. (1) Dx F 0, Dn = 0 bərabərliyini götürərək, haradan alırıq ki, sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində A dəyəri asılı deyil, Bu o deməkdir ki, (x, y) nöqtəsində qismən var. x-ə münasibətdə r \u003d / (x, y) funksiyasının törəməsidir və oxşar mülahizə ilə görə bilərik ki, (x, zу funksiyasının qismən törəməsi var və teoremdən belə çıxır ki, teoremi vurğulayırıq. 5 yalnız (x, y) nöqtəsində qismən törəmələrin mövcudluğunu təsdiq edir, lakin onların davamlılığı haqqında heç nə demir 6.2 Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensiallaşdırılması üçün kifayət qədər şərtlər Məlum olduğu kimi, funksiyanın diferensiallığı üçün zəruri və kifayət qədər şərtdir. xo nöqtəsində bir dəyişənin y = f(x) x0 nöqtəsində sonlu /"(x) törəməsinin olmasıdır. Funksiya bir neçə dəyişəndən asılı olduğu halda vəziyyət xeyli mürəkkəbdir: orada iki müstəqil dəyişənin x, y z = /(x, y) funksiyası üçün diferensiallaşma üçün zəruri və kifayət qədər şərtlər yoxdur; Yalnız ayrıca zəruri şərtlər var (müq. yuxarıda) və ayrıca - kifayətdir. Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensiallaşması üçün bu kifayət qədər şərtlər aşağıdakı teoremlə ifadə edilir. Teorem c. Əgər funksiyanın incə xəttin (xo, y0) bəzi qonşuluğunda /£ və f"v qismən törəmələri varsa və bu törəmələr (xo, y0) nöqtəsinin özündə kəsilməzdirsə, onda z = f(x, y) funksiyası ) nöqtəsində diferensiallaşır (x- Nümunə funksiyanı nəzərdən keçirək Qismən törəmələr İki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrinin həndəsi mənası Bir neçə dəyişənli funksiyanın diferensiallaşması Funksiyanın diferensiallaşması üçün zəruri şərtlər Funksiyaların diferensiallaşdırılması üçün kifayət qədər şərtlər bir neçə dəyişənin cəmi diferensial Qismən diferensiallar Mürəkkəb funksiyanın törəmələri O, hər yerdə müəyyən edilir Qismən törəmələrin tərifinə əsaslanaraq, tapdığımız 0(0, 0) nöqtəsində bu funksiyanın ™ işarəsi var və bunun artımı kəskinləşir. Du 0. Biz D0 qoyuruq.Sonra (1) düsturundan bizdə olacaq Buna görə də / (x, y) \u003d funksiyaları 0 (0, 0) nöqtəsində diferensiallaşmır, baxmayaraq ki, bu nöqtədə biz fa çıxarırıq. və f "r Alınan nəticə f"z və f"t törəmələrinin §7 nöqtəsində kəsikli olması ilə izah olunur. tam diferensial. Qismən diferensiallar r - f(z> y) funksiyası diferensiallanarsa, onun sonuncu diferensialı dz bərabərdir A \u003d B \u003d w olduğunu qeyd edərək (1) düsturunu aşağıdakı formada yazırıq. funksiyanın müstəqil dəyişənlərə diferensiallaşdırılması, müstəqil dəyişənlərin diferensiallarının onların artımlarına bərabər qoyulması: Bundan sonra funksiyanın tam diferensialının düsturu nümunə götürür. i - 1l(x + y2) olsun. Onda Eynilə, əgər u =) n müstəqil dəyişənin diferensiallana bilən funksiyasıdırsa, İfadə x dəyişəninə münasibətdə z = f(x, y) funksiyasının yalın diferensialı adlanır; ifadə y dəyişəninin z = /(x, y) funksiyasının qismən diferensialı adlanır. (3), (4) və (5) düsturlarından belə nəticə çıxır ki, funksiyanın tam diferensialı onun qismən diferensiallarının cəmidir: Qeyd edək ki, z = /(x, y) funksiyasının ümumi artımı Az, ümumiyyətlə, , qismən artımların cəminə bərabər deyil. Əgər (x, y) nöqtəsində y = /(x, y) funksiyası diferensiallana bilirsə və bu nöqtədə diferensial dz Φ 0 olarsa, onun ümumi artımı xətti hissəsindən yalnız sonuncu aAx 4 hədlərinin cəmi ilə fərqlənir. - /? 0 və Ay --> O xətti hissənin şərtlərindən daha yüksək nizamlı sonsuz kiçiklərdir. Buna görə də dz Ф 0 olduqda, diferensiallanan funksiyanın artımının xətti hissəsi funksiyanın artımının əsas hissəsi adlanır və təqribi düsturdan istifadə olunur ki, onun artımlarının mütləq qiyməti nə qədər dəqiq olarsa, o qədər kiçik olar. arqumentlər. §8. Mürəkkəb funksiyanın törəmələri 1. Funksiya xOy müstəvisində hansısa D oblastında müəyyən edilsin və x, y dəyişənlərinin hər biri öz növbəsində t arqumentinin funksiyası olsun: Fərz edək ki, t dəyişən zaman interval (uyğun nöqtələr (x, y) D regionundan kənara çıxmır. Əgər dəyərləri z = / (x, y) funksiyasına əvəz etsək, onda bir dəyişən t-nin kompleks funksiyasını əldə edirik. uyğun dəyərlər /(x, y) funksiyası diferensiallanır, onda kompleks funksiyanın t nöqtəsində törəməsi var və M t-i artıraq. Sonra x və y bəzi artımlar Ah və Du alacaqlar. Bunun nəticəsi olaraq (J)2 + (Dy)2 Φ 0 üçün z funksiyası da müəyyən artım Δz alacaq ki, bu da z = /(x, y) funksiyasının ( nöqtəsində diferensiallığına görə) x, y), Ax və Du sıfıra meyl etdiyi kimi a ) sıfıra meylli olduğu kimi təmsil oluna bilər. A təyin etməklə Ax = Ay = 0 üçün a və /3 təyin edək Onda a( J = Dy = 0 üçün davamlı olacaq. Nəzərə alın ki, verilən üçün əlaqə sabitdir, şərtlə törəmələrin mövcudluğuna məhdudiyyətlər vardır ^ və £ nöqtəsində belə çıxır ki, x = y(t) və y = funksiyaları bu nöqtədə fasiləsizdir; buna görə də 0-da həm J, həm də Dy sıfıra meyllidir, bu da öz növbəsində a(Ax, Dy) və P-ni gətirir. (Axe, Ay) sıfıra meyllidir.Beləliklə, 0-da bərabərliyin (2) sağ tərəfinin həddi ona bərabərdir. bərabərdir Bərabərlikdə (2) At -» 0 limitinə keçərək, biz tələb olunan düsturu alırıq. Xüsusi halda, nəticədə, z x-in mürəkkəb funksiyası olduqda, hesablanması zamanı x üzərində y) əldə edirik. f(x, y) ifadəsi y arqumenti sabit.sabit kimi qəbul edilir və öz növbəsində x-in funksiyası hesab olunur: y = tp(x)t və buna görə də z-nin x-dən asılılığı tam alınır. nəzərə. Misal. Tapın və jg əgər 2. İndi bir neçə dəyişənli kompleks funksiyanın diferensiasiyasını nəzərdən keçirək. Tutaq ki, (() nöqtəsində davamlı qismən u, 3? və müvafiq nöqtədə (x, y) var ki, /(x, y) funksiyası diferensiallana bilər. bu şərtlər altında t7) nöqtəsindəki z = z(() y) kompleks funkionun törəmələri və u var və biz bu törəmələr üçün ifadələr tapırıq. Nəzərə alın ki, bu iş artıq tədqiq edilmiş vəziyyətdən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənmir. Həqiqətən də, z £-ə görə diferensiallaşdırıldıqda, sabit kimi ikinci müstəqil dəyişən rj alınır, nəticədə x və y eyni dəyişənin x" = c), y = c) funksiyasına çevrilir, bu əməliyyatda, və törəmə Φ məsələsi də (3) düsturunun törədilməsində törəmə məsələsi ilə eyni şəkildə həll edilir (3) düsturundan istifadə etməklə və formal olaraq oradakı § və ^ törəmələrini müvafiq olaraq u və törəmələri ilə əvəz etməklə, Eyni şəkildə əldə edirik, nümunəni tapırıq. z = x2 y - xyif x - y = z = x2 funksiyasının ^ və ^ qismən törəmələrini tapın. Əgər kompleks funksiya düsturlarla verilirsə ki, müvafiq şərtlərdə bizdə olsun. Xüsusi halda h = bir neçə dəyişən olduqda funksiyanın diferensiallığı Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensiallığı üçün kifayət qədər şərtlər Ümumi diferensial. Qismən diferensiallar Kompleks funksiyanın törəmələri k hesablanarkən x-də d, y, d) olur.

Misal. Əgər varsa, harada tapın.

Həll. Formula (1) görə bizdə:

Misal. Əgər qismən törəmə və tam törəməni tapın .

Həll. .

Formula (2) əsaslanaraq əldə edirik .

2°. Bir neçə müstəqil dəyişən halı.

Qoy z = f(x;y) - iki dəyişənin funksiyası X Və y, hər biri bir funksiyadır

müstəqil dəyişən t: x = x(t), y = y(t). Bu halda funksiya z=f(x(t);y(t)) edir

bir müstəqil dəyişənin kompleks funksiyası t; dəyişənlər x və y ara dəyişənlərdir.

Teorem. Əgər z == f(x; y) - bir nöqtədə diferensiallaşa bilər M(x; y) D funksiyası

Və x = x(t) Və saat =y(t) - müstəqil dəyişənin diferensiallana bilən funksiyaları t,

sonra kompleks funksiyanın törəməsi z(t) == f(x(t);y(t)) düsturla hesablanır

(3)

Xüsusi hal: z = f(x; y), burada y = y(x), olanlar. z= f(x;y(x)) - kompleks funksiyası

müstəqil dəyişən X. Bu hal əvvəlki birinə və dəyişənin rolunu azaldır

t oynayır X. Formula (3) uyğun olaraq bizdə:

.

Son formula deyilir ümumi törəmə üçün düsturlar.

Ümumi hal: z = f(x;y), Harada x = x(u;v), y=y(u;v). Sonra z = f(x(u;v);y(u;v)) - kompleks

müstəqil dəyişənlərin funksiyası Və Və v. Onun qismən törəmələri tapıla bilər

(3) düsturundan aşağıdakı kimi istifadə edin. Təmir v, içində əvəz edin

müvafiq qismən törəmələr

Beləliklə, hər bir müstəqil dəyişənə münasibətdə mürəkkəb funksiyanın (z) törəməsi (Və Və v)

bu funksiyanın (z) qismən törəmələrinin aralıq funksiyasına görə hasillərinin cəminə bərabərdir.

dəyişənlər (x və y) müvafiq müstəqil dəyişənə münasibətdə onların törəmələrinə (u və v).

Nəzərə alınan bütün hallarda düstur

(ümumi diferensialın dəyişməzlik xassəsi).

Misal. Tapın və əgər z= olarsa f(x,y), burada x=uv, .

Qismən törəmələr bir neçə dəyişənli funksiyaları olan tapşırıqlarda istifadə olunur. Tapma qaydaları bir dəyişənin funksiyaları ilə tamamilə eynidir, yeganə fərq ondadır ki, diferensiallaşma zamanı dəyişənlərdən biri sabit (sabit ədəd) hesab edilməlidir.

Düstur

İki dəyişənli $ z(x,y) $ funksiyası üçün qismən törəmələr aşağıdakı $ z"_x, z"_y $ şəklində yazılır və düsturlardan istifadə etməklə tapılır:

Birinci dərəcəli qismən törəmələr

$$ z"_x = \frac(\qismən z)(\qismən x) $$

$$ z"_y = \frac(\qismən z)(\qismən y) $$

İkinci dərəcəli qismən törəmələr

$$ z""_(xx) = \frac(\qismən^2 z)(\qismən x \qismən x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\qismən^2 z)(\qismən y \qismən y) $$

qarışıq törəmə

$$ z""_(xy) = \frac(\qismən^2 z)(\qismən x \qismən y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\qismən^2 z)(\qismən y \qismən x) $$

Mürəkkəb funksiyanın qismən törəməsi

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ olsun, onda kompleks funksiyanın törəməsi düsturla müəyyən edilir:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\qismən z)(\qismən x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\qismən z)(\qismən y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ olsun, onda funksiyanın qismən törəmələri düsturla tapılır:

$$ \frac(\qismən z)(\qismən u) = \frac(\qismən z)(\qismən x) \cdot \frac(\qismən x)(\qismən u) + \frac(\qismən z)( \qismən y) \cdot \frac(\qismən y)(\qismən u) $$

$$ \frac(\qismən z)(\qismən v) = \frac(\qismən z)(\qismən x) \cdot \frac(\qismən x)(\qismən v) + \frac(\qismən z)( \qismən y) \cdot \frac(\qismən y)(\qismən v) $$

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın qismən törəmələri

a) $ F(x,y(x)) = 0 $ olsun, sonra $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) $ F(x,y,z)=0 $ olsun, sonra $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Həll nümunələri

Teorem.Qoy u = f(x, y) D domenində verilir və icazə verilir x = x(t) Və y = y(t)ərazisində müəyyən edilmişdir , və nə zaman , onda x və y D sahəsinə aiddir. M nöqtəsində diferensiallana bilən u funksiyası olsun 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), və x funksiyaları(t) və at(t) müvafiq t nöqtəsində diferensiallanır 0 , onda u = f kompleks funksiyası[x(t),y(t)]=F (t)t-də fərqlənə bilər 0 və aşağıdakı bərabərlik təmin edilir:

.

Sübut. u nöqtədə şərti diferensiallaşdığına görə ( x 0 , y 0), onda onun ümumi artımı kimi təmsil olunur

Bu nisbəti -ə bölmək, əldə edirik:

Gəlin limitə keçək və düsturu əldə edək

.

Qeyd 1.Əgər u= u(x, y) Və x= x, y= y(x), onda funksiyanın cəmi törəməsi u dəyişən tərəfindən X

və ya .

Son bərabərlik formada dolayı verilmiş bir dəyişənin funksiyasının diferensiallaşdırılması qaydasını sübut etmək üçün istifadə edilə bilər. F(x, y) = 0, harada y= y(x) (3 nömrəli mövzuya və nümunə 14-ə baxın).

Bizdə: . Buradan . (6.1)

3 nömrəli mövzunun 14-cü nümunəsinə qayıdaq:

;

.

Gördüyünüz kimi, cavablar eynidir.

Qeyd 2. Qoy u = f (x, y), Harada X= X(t , v), saat= saat(t , v). Onda u son nəticədə iki dəyişənin mürəkkəb funksiyasıdır t Və v. Əgər indi u funksiyası bir nöqtədə diferensiallana bilirsə M 0 (x 0 , y 0) və funksiyalar X Və saat müvafiq nöqtədə diferensiallaşırlar ( t 0 , v 0), onda biz ilə əlaqədar qismən törəmələr haqqında danışmaq olar t Və v bir nöqtədə mürəkkəb funksiyadan ( t 0 , v 0). Ancaq müəyyən bir nöqtədə t-ə nisbətən qismən törəmə haqqında danışırıqsa, ikinci dəyişən v sabit və bərabər hesab olunur. v 0 . Buna görə də söhbət yalnız t-ə münasibətdə mürəkkəb funksiyanın törəməsindən gedir və buna görə də törəmə düsturdan istifadə edə bilərik. Beləliklə, alırıq.