Урок "Концепцията за моном. Стандартната форма на моном" методическа разработка по алгебра по темата. Редуциране на моном до стандартен вид, примери, решения Алгоритъм за редуциране на моном до стандартен вид
В този урок ще дадем строга дефиниция на моном, ще разгледаме различни примери от учебника. Припомнете си правилата за умножение на степени с една и съща основа. Нека дадем дефиниция на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквална част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно привеждане до стандартната форма и изчисляване на специфична числена стойност на мономи за зададени точкинеговите буквални променливи. Нека формулираме правилото за редуциране на монома до стандартния вид. Да се научим да решаваме типични задачис всякакви мономи.
Тема:мономи. Аритметични действия върху мономи
Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на моном
Помислете за някои примери:
3. 
;
Нека намерим общи черти за дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това ние даваме дефиниция на моном : мономът е алгебричен израз, който се състои от произведение на степени и числа.
Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:
Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции не са.
Ето още няколко примера:
Израз номер 8 е моном, тъй като е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.
Сега нека разберем действия върху мономи .
1. Опростяване. Помислете за пример #3 ;и пример #2 /
Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " а” се представя в единичен случай, като „”, по подобен начин променливите „” и „” се срещат само веднъж.
В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се среща два пъти. Това е, даден изразтрябва да бъде опростено, така че стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се доведе мономът до стандартната форма . За да направим това, привеждаме израза от Пример 3 в стандартната форма, след което дефинираме тази операция и се научаваме как да приведем всеки моном в стандартната форма.
Така че помислете за пример:
Първата стъпка в операцията по стандартизация винаги е да се умножат всички числени фактори:
;
Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .
След това трябва да умножите градусите. Умножаваме степените на променливата " х”според правилото за умножение на степени с една и съща основа, което гласи, че при умножаване показателите се събират:
Сега нека умножим правомощията при»:
;
Ето един опростен израз:
;
Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :
Умножете всички числени фактори;
Поставете получения коефициент на първо място;
Умножете всички степени, т.е. получете буквената част;
Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че мономите, които имат една и съща буквена част, се наричат подобни.
Сега трябва да печелите техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:
Задача: приведете монома в стандартната форма, назовете коефициента и буквената част.
За да изпълним задачата, използваме правилото за привеждане на монома към стандартната форма и свойствата на степените.
1. 
;
3. 
;
Коментари по първия пример: Като начало, нека определим дали този израз наистина е моном, за това проверяваме дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, съгласно правилото за привеждане на монома в стандартната форма, ние умножаваме числените фактори:
- намерихме коефициента на дадения моном;
; ; ; т.е. получава се буквалната част на израза:;
запишете отговора: ;
Коментари по втория пример: Следвайки правилото, ние изпълняваме:
1) умножете числови фактори:
2) умножете правомощията:
Променливите и са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:
запишете отговора:
;
AT този примеркоефициентът на монома е равен на единица, а буквалната част е .
Коментари към третия пример: аподобно на предишните примери, ние извършваме следните действия:
1) умножете числови фактори:
;
2) умножете правомощията:
;
изпишете отговора: ;
В този случай коефициентът на монома е равен на "", а буквалната част 
.
Сега помислете втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числени стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следната операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .
Помислете за пример. Мономът е даден:
този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквалната част
По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които влизат в него, може да не приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.
И така, в дадения пример се изисква да се изчисли стойността на монома за , , , .
Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича намаляване на монома до стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решенията на примери с подробни обяснения.
Навигация в страницата.
Какво означава да се приведе моном в стандартна форма?
Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но мономите доста често се дават във форма, различна от стандартната. В тези случаи човек винаги може да премине от първоначалния моном към монома със стандартна форма чрез извършване на идентични трансформации. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича привеждане на монома до стандартната форма.
Нека обобщим горното разсъждение. Приведете монома в стандартна форма- това означава да извършите такива идентични трансформации с него, така че да приеме стандартна форма.
Как да доведем монома до стандартна форма?
Време е да разберем как да приведем едночлените към стандартната форма.
Както е известно от дефиницията, мономи с нестандартна форма са произведения на числа, променливи и техните мощности и, вероятно, повтарящи се. А мономът на стандартната форма може да съдържа в своя запис само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как продуктите от първия тип могат да бъдат сведени до формата на втория?
За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:
- Първо се извършва групиране на числови фактори, както и идентични променливи и техните степени;
- Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.
В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартната форма.
Примери, решения
Остава да научите как да прилагате правилото от предходния параграф при решаване на примери.
Пример.
Приведете монома 3·x·2·x 2 в стандартна форма.
Решение.
Нека групираме числените фактори и факторите с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3 2) (x x 2) . Произведението на числата в първите скоби е 6, а правилото за умножение на степени с еднакви основи позволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6·x 3 .
Ето обобщение на решението: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Отговор:
3 x 2 x 2 =6 x 3 .
И така, за да се приведе един моном в стандартна форма, е необходимо да можете да групирате фактори, да извършвате умножение на числа и да работите със степени.
За да консолидираме материала, нека решим още един пример.
Пример.
Изразете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.
Решение.
Оригиналният моном има един числен множител −1 в записа си, нека го преместим в началото. След това групираме факторите отделно с променливата a , отделно - с променливата b , и няма с какво да групираме променливата m, оставете го както е, имаме 
. След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, откъдето можете да видите коефициента на монома, равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .
В математиката има много различни математически изрази и някои от тях имат свои собствени фиксирани имена. Трябва да се запознаем с едно от тези понятия – това е моном.
Мономът е математически израз, който се състои от произведение на числа, променливи, всяка от които може да бъде включена в продукта до известна степен. За да разберете по-добре новата концепция, трябва да се запознаете с няколко примера.
Примери за мономи
Изрази 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 са единични.Както можете да видите, само число или променлива (със или без степен) също е моном. Но например изразите 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 вече са не са мономиалнизащото не отговарят на определението. Първият израз използва "сума", което не е позволено, вторият използва "деление", а третият използва разликата.
Обмисли още няколко примера.
Например изразът 2*a^3*b/3 също е моном, въпреки че там има деление. Но в този случай се извършва деление с число и следователно съответният израз може да бъде пренаписан, както следва: 2/3*a^3*b. Още един пример:Кой от изразите 2/x и x/2 е моном и кой не е? отговорете правилно, че първият израз не е моном, а вторият.
Стандартна форма на моном
Вижте следните два мономиални израза: ¾*a^2*b^3 и 3*a*1/4*b^3*a. Всъщност това са два еднакви монома. Не е ли вярно, че първият израз изглежда по-удобен от втория?
Причината за това е, че първият израз е написан в стандартна форма. Стандартната форма на полином е продукт, съставен от числен фактор и степени на различни променливи. Численият фактор се нарича мономиален коефициент.
За да приведете монома в стандартната му форма, достатъчно е да умножите всички числени множители, присъстващи в монома, и да поставите полученото число на първо място. След това умножете всички степени, които имат еднаква буквена основа.
Редуциране на моном до неговата стандартна форма
Ако в нашия пример във втория израз умножим всички числени множители 3 * 1/4 и след това умножим a * a, тогава получаваме първия моном. Това действие се нарича привеждане на монома в неговата стандартна форма.
Ако два монома се различават само по числов коефициент или са равни един на друг, тогава такива мономи се наричат подобни в математиката.
Мономе израз, който е произведение на два или повече фактора, всеки от които е число, изразено с буква, цифри или степен (с неотрицателен показател за цяло число):
2а, а 3 х, 4абв, -7х
Тъй като произведението на еднакви множители може да бъде записано като степен, тогава една степен (с неотрицателен показател за цяло число) също е моном:
(-4) 3 , х 5 ,
Тъй като число (цяло или дробно), изразено с буква или цифри, може да бъде записано като произведение на това число с единица, тогава всяко отделно число може също да се разглежда като моном:
х, 16, -а,
Стандартна форма на моном
Стандартна форма на моном- това е моном, който има само един числов фактор, който трябва да бъде написан на първо място. Всички променливи са подредени по азбучен ред и се съдържат в монома само веднъж.
Числата, променливите и степени на променливите също се отнасят до мономи от стандартната форма:
7, b, х 3 , -5b 3 z 2 - мономи със стандартна форма.
Численият фактор на монома със стандартна форма се нарича мономиален коефициент. Мономните коефициенти, равни на 1 и -1, обикновено не се записват.
Ако в монома на стандартната форма няма числов фактор, тогава се приема, че коефициентът на монома е 1:
х 3 = 1 х 3
Ако в монома на стандартната форма няма числов фактор и той е предшестван от знак минус, тогава се приема, че коефициентът на монома е -1:
-х 3 = -1 х 3
Привеждане на моном до стандартна форма
За да приведете монома в стандартна форма, трябва:
- Умножете числовите множители, ако има няколко. Повишете числов множител на степен, ако има показател. Поставете числовия множител на първо място.
- Умножете всички еднакви променливи, така че всяка променлива да се среща само веднъж в монома.
- Подредете променливите след цифровия фактор по азбучен ред.
Пример.Изразете монома в стандартна форма:
а) 3 yx 2 (-2) г 5 х; б) 6 пр.н.е 0,5 аб 3
Решение:
а) 3 yx 2 (-2) г 5 х= 3 (-2) х 2 хгг 5 = -6х 3 г 6
б) 6 пр.н.е 0,5 аб 3 = 6 0,5 абb 3 ° С = 3аб 4 ° С
Степен на монома
Степен на мономае сумата от показателите на всички букви в него.
Ако мономът е число, тоест не съдържа променливи, тогава неговата степен се счита за равна на нула. Например:
5, -7, 21 - мономи с нулева степен.
Следователно, за да намерите степента на монома, трябва да определите експонентата на всяка от включените в него букви и да добавите тези експоненти. Ако степенният показател на буквата не е посочен, тогава той е равен на едно.
Примери:
Е, как си хстепента не е посочена, което означава, че е равна на 1. Мономът не съдържа други променливи, което означава, че степента му е равна на 1.
Мономът съдържа само една променлива във втора степен, така че степента на този моном е 2.
3) аб 3 ° С 2 д
Индекс ае равно на 1, индикаторът b- 3, индикатор ° С- 2, индикатор д- 1. Степента на този моном е равна на сумата от тези показатели.
Мономите са произведения на числа, променливи и техните степени. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Мономът 5aa2b2b може да се редуцира до формата 20a^2b^2. Тази форма се нарича стандартна форма на монома. Тоест, стандартната форма на монома е произведението на коефициента (който е първи) и степените на променливите. Коефициентите 1 и -1 не се изписват, но запазват минус от -1. Моном и неговата стандартна форма
Изразите 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x са произведения на числа, променливи и техните степени. Такива изрази се наричат мономи. Мономите също се считат за числа, променливи и техните мощности.
Например изразите - 8, 35, y и y2 са едночлени.
Стандартната форма на монома е моном под формата на произведение на числен фактор на първо място и степените на различни променливи. Всеки моном може да бъде приведен в стандартна форма чрез умножаване на всички променливи и числа, включени в него. Ето пример за привеждане на моном към стандартната форма:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Числовият фактор на моном, записан в стандартна форма, се нарича коефициент на моном. Например, коефициентът на монома -7x2y2 е -7. Коефициентите на мономи x3 и -xy се считат за равни на 1 и -1, тъй като x3 = 1x3 и -xy = -1xy
Степента на монома е сумата от показателите на всички променливи, включени в него. Ако мономът не съдържа променливи, тоест е число, тогава неговата степен се счита за равна на нула.
Например, степента на монома 8x3yz2 е 6, монома 6x е 1, а монома -10 е 0.
Умножение на мономи. Повдигане на мономи на степен
При умножаване на мономи и повишаване на мономи на степен се използват правилото за умножение на степени с една и съща основа и правилото за повишаване на степен на степен. В този случай се получава моном, който обикновено се представя в стандартна форма.
Например
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6