Паралелно и последователно свързване на резистори, кондензатори и индуктори. Последователно свързване на намотка и кондензатор Паралелно свързване на кондензатори

Когато намотка и кондензатор са свързани последователно в проектна схема, всеки от тези елементи на електрическата верига може да бъде представен чрез активно и реактивно съпротивление или активна и реактивна проводимост.

За изчисление по-проста диаграма е Фиг. 14.1, а, където елементите са свързани последователно, и в диаграмата на фиг. 14.1, b те са свързани смесено.

Да приемем, че параметрите на намотката R1, L и кондензатора R2, C са известни; ток на веригата i = I m sinωt.

Необходимо е да се определи напрежението в секциите на веригата и мощността.

Векторна диаграма и целеви импеданс

Моментната стойност на общото напрежение може да бъде представена чрез сумата от моментните напрежения на отделните елементи на веригата:

u = u 1R + u L + u C + u 2R,

Имам предвид фазово несъответствие активни и реактивни напрежения, общото напрежение се получава чрез добавяне на вектор:

U = U 2R + U L + U C + U 2R

За да изградим векторна диаграма, намираме:

U 1R = IR 1; U2R = IR2; U L = IX L ; U C = IX C .

В зависимост от съотношението на стойностите на реактивното съпротивление на индуктивността и капацитета могат да се отбележат три случая:

1. X L > X C . За този случай векторната диаграма е показана на фиг. 14.2. Диаграмата показва триъгълници на напрежението за намотката и кондензатора и намира векторите на напрежението U 1 и U 2 върху тези елементи.

Векторна сума от напрежения U 1 + U 2 = U дава общото напрежение във веригата. В същото време вектор U е хипотенузата на правоъгълен триъгълник от напрежения, чиито крака са активните и реактивните напрежения на веригата ( U a И U r ). Тъй като векторите на компонентите на активното напрежение са насочени в една посока, техните числени стойности се сумират: U a = U 1R + U 2R.

Векторите на компонентите на реактивното напрежение са насочени по една права линия в противоположни посоки, така че им се дават различни знаци: Напрежението на реактивната индуктивност се счита за положително, а напрежението на капацитета се счита за отрицателно: U p = U L - U C.

С еднакъв ток във всички елементи на веригата U L > U C . Текущ изостава от общото напрежение във фаза на ъгъл φ . От триъгълника на напрежението следва

Където R = R 1 + R 2 И X = X L - X C общо и активно и реактивно съпротивление на веригата. Общото съпротивление на веригата е Z.

Тези съпротивления могат да бъдат представени графично чрез страните на правоъгълен триъгълник от съпротивления, който се получава по добре познат начин от триъгълник от напрежения.

Импеданс на веригата Z е коефициентът на пропорционалност между ефективните стойности на тока и общото напрежение на веригата:

U = IZ; I = U/Z; Z = U/I.

От триъгълниците на напрежението и съпротивлението се определят следните количества:

Ъгълът на фазово изместване между напрежението и тока във веригата е положителен ( φ >0) (фазовите токове се броят от текущия вектор).

2. X L< Х C Векторната диаграма е показана на фиг. 14.3, където U L φ <0.

Рдактивното съпротивление на веригата е капацитивно по природа .

Формулите за изчисление за първия случай остават непроменени за втория случай.

3. X L = X C . В този случай компонентите на реактивното напрежение на бобината и кондензатора са еднакви по големина и взаимно компенсирани: U L = U C (фиг. 14.4). Следователно реактивният компонент на общото напрежение и общото съпротивление са равни на нула, а общото съпротивление на веригата Z = R.

Общото напрежение е във фаза с тока и е равно по големина на активното

компонент на напрежението.

Фазовият ъгъл φ между тока и общото напрежение е нула.

Токът във веригата и общото напрежение са свързани с формулата

U = IR или I = U/R.

В случай на X L = X C във веригата възниква явлението резонанс на напрежението.

Енергиен процес във верига с последователно свързване на кондензатор и намотка

От триъгълника на напрежението е лесно да се получи триъгълник на мощността, от който следват вече известните формули:

Реактивните мощности също се включват в изчисленията с различни знаци: индуктивната мощност е положителна, а капацитивната мощност е отрицателна.

В съответствие с това знакът на реактивната мощност на цялата верига може да бъде един или друг, както следва от формули (14.2).
При φ>0 Q>0 ; при φ<0 Q<0.

Активната мощност е положителна при всеки ъгъл, тъй като cos φ =cos(- φ ).

Привидната сила също винаги е положителна. Въз основа на формули (14.2) можем да заключим, че в разглежданата верига има трансформация на електрическа енергия (P ≠ 0) и процес на обмен между генератора и приемника (Q ≠ 0 при φ ≠ 0).

Енергийните процеси в този случай са по-сложни, отколкото в разгледаните по-рано прости вериги. Усложнението се обяснява с факта, че наред с обмена на енергия между генератора и приемника, има обмен на енергия вътре в приемника, между намотката и кондензатора.

Характеристиките на енергийния процес във верига с последователно свързване на намотка и кондензатори са показани на фиг. 14.5, който показва графики на моментната мощност на отделните елементи и веригата като цяло при X L = X C.

Бобината и кондензаторът натрупват равни количества енергия по време на половин цикъл. Въпреки това, през първата четвърт от периода, когато токът се увеличава и напрежението в кондензатора намалява, енергията се натрупва в магнитното поле на намотката и намалява в електрическото поле на кондензатора, а скоростта на промяна на енергията (мощност ) е едно и също по всяко време. Това дава основание да се смята, че обменът на енергия се извършва само в приемника между намотките
и кондензатор.

За да преобразува електрическата енергия в друга форма, приемникът я получава от генератор със средна скорост (мощност) R.

Задачи по темата и пример за решаване на задача за верига с последователно свързване на кондензатор и намотка

Според уравненията на елементите

. (15.1)

Намерихме действащ комплекс. По пътя в знаменателя получихме комплексното съпротивление на двутерминалната мрежа , активно съпротивление на двуполюсна мрежа и реактивно съпротивление на двуполюсна мрежа .

Фазов резонансДвуполюсна мрежа е режим, при който токът и напрежението на двуполюсната мрежа са във фаза: . В този случай реактивното съпротивление и реактивната проводимост на двуполюсната мрежа са равни на нула.

Резонанс на напрежениетоДвуполюсна верига се нарича режим, при който напреженията на елементите на веригата са максимално компенсирани. Импедансът на двуполюсната мрежа е минимален.

Резонанс на токовеДвуполюсна верига се нарича режим, при който токовете на елементите на веригата са максимално компенсирани. Общото съпротивление на двуполюсната мрежа е максимално.

При последователно свързване на резистор, индуктор и кондензатор фазовият резонанс съвпада с резонанса на напрежението. Резонансната честота се определя по формулата

което се извлича от равенството на нулево съпротивление: .

Зависимост на ефективните стойности на напрежението от честотата за серийно свързване Р, Л, ° Споказано на фиг. 15.3. Изразите за изчисляване на тези напрежения се получават чрез умножаване на ефективната стойност на тока (формула 15.2) по импедансите на елементите: , , (виж параграф 12).

Нека изградим векторна диаграма на тока и напрежението (фиг. 15.4, случаят е показан тук У Л > U C). Най-лесният начин да направите това е, ако началната фаза на тока е нула: . Тогава векторът, представящ текущия комплекс, ще бъде насочен под ъгъл спрямо реалната ос на комплексната равнина. Напрежението през резистора е във фаза с тока, така че векторът, представляващ комплекса на напрежението през резистора, ще бъде насочен в същата посока като вектора, представляващ комплекса на тока.

Ориз. 15.3.

Ориз. 15.4.

Ориз. 15.5.

Напрежението върху индуктора е пред тока във фаза с ъгъл , така че векторът, представляващ комплекса на напрежението върху индуктора, ще бъде насочен под ъгъл към вектора, представляващ комплекса на тока. Напрежението на кондензатора изостава във фаза от тока с ъгъл , така че векторът, представляващ комплекса на напрежението върху кондензатора, ще бъде насочен под ъгъл - към вектора, представляващ комплекса на тока. Векторът, представляващ комплекса от приложеното напрежение, ще бъде равен на сумата от векторите, представляващи комплексните напрежения на резистора, кондензатора и намотката. Дължините на всички вектори са пропорционални на ефективните стойности на съответните количества. Тоест, за да начертаете вектори, трябва да зададете мащаба, например: 1 сантиметър е 20 волта, 1 сантиметър е 5 ампера.

Векторната диаграма за резонансния режим е показана на фиг. 15.5.

Нека изчислим съотношението на ефективните стойности на напрежението на индуктора и на кондензатора към ефективната стойност на напрежението на източника в резонансен режим.

Нека вземем предвид, че по време на резонанс напреженията на намотката и на кондензатора напълно се компенсират взаимно (напрежен резонанс) и следователно напрежението на източника е равно на напрежението на резистора: (фиг. 15.5). Използваме връзката между ефективните стойности на тока и напрежението за резистора, бобината и кондензатора, както и формулата за резонансната честота. Получаваме:

където .

Количеството се нарича вълнов импедансколебателен кръг и се обозначава с буквата r. Отношението се означава с буквата Q и се нарича качествен факторколебателна верига. Той определя свойствата на усилване на веригата при резонансната честота. При добри вериги качественият фактор може да бъде от порядъка на няколкостотин, тоест в резонансен режим напрежението на бобината и кондензатора може да бъде стотици пъти по-голямо от това, приложено към двутерминалната мрежа.

Резонансът често се използва в електротехниката и електрониката за усилване на синусоидални напрежения и токове, както и за отделяне на трептения с определени честоти от сложни трептения. Нежеланият резонанс в информационните електрически вериги обаче води до възникване и засилване на смущения, а в силови вериги може да доведе до опасно високи напрежения и токове.

Да предположим, както преди, че токът във веригата варира според закона

и изчислете напрежението между краищата на веригата u. Тъй като, когато проводниците са свързани последователно, напреженията се добавят, желаното напрежение uе сумата от три напрежения: съпротивление, капацитет и индуктивност и всяко от тези напрежения, както видяхме, се променя във времето според косинусния закон:

, (5)

, (6)

За да добавим тези три трептения, ще използваме векторна диаграма на напрежението. Флуктуациите на напрежението в съпротивлението са представени върху него чрез вектор, насочен по протежение на оста на тока и с дължина, докато колебанията на напрежението в капацитет и индуктивност са представени чрез вектори и перпендикулярни на оста на тока с дължини ( азм/т ° С) И ( аз m w Л) (фиг. 9.). Нека си представим, че тези вектори се въртят обратно на часовниковата стрелка около общо начало с ъглова скорост w. Тогава проекциите върху текущата ос на векторите , и , ще бъдат описани съответно с формули (5)-(7). Очевидно проекцията върху текущата ос на общия вектор

равно на сумата, т.е. равно на общото напрежение на участъка на веригата. Максималната стойност на това напрежение е равна на векторния модул. Тази стойност лесно се определя геометрично. Първо, препоръчително е да намерите модула на вектора:

и след това според Питагоровата теорема:

. (8)

От фигурата също става ясно, че

. (9)

За напрежението в участък от веригата можем да запишем

където амплитудата на напрежението и фазовото отместване между тока и напрежението се определят по формули (8), (9). Ако , тогава напрежението води тока във фаза, в противен случай напрежението изостава от фазата.

Формула (8) е подобна на закона на Ом в смисъл, че амплитудата на напрежението е пропорционална на амплитудата на тока. Поради това понякога се нарича закон на Ом за променлив ток. Трябва обаче да се помни, че тази формула се прилага само за амплитуди, но не и за моментни стойности и . Размер

се нарича съпротивление на веригата за променлив ток, стойността

се нарича реактивно съпротивление на веригата, а стойността Р- активно съпротивление.

Получените формули са валидни и за затворена верига, която включва генератор на променливо напрежение, ако е под Р, ° СИ Лразбере значението им за цялата верига (напр Рпредставлява общото активно съпротивление на веригата, включително вътрешното съпротивление на генератора). В този случай всички формули трябва да бъдат заменени uвърху ЕДС на генератора. Наистина, при всички наши разсъждения беше безразлично къде точно са концентрирани капацитетът, индуктивността и съпротивлението, следователно в затворена верига (фиг. 8) можем да разгледаме какво е общото активно съпротивление на веригата, включително вътрешното съпротивление на генератор, и - капацитет и индуктивност на веригата, и заменете реалния генератор с въображаем, чието вътрешно съпротивление е нула. В този случай напрежението uмежду точките аИ bще бъде равна на едс на генератора. От това следва, че формули (8), (9) са валидни и за затворена верига за променлив ток, ако с , , и разбираме значенията им за цялата верига и ги заместваме във всички формули uвърху ЕДС на генератора.

Използвайки резултатите, получени по-горе, можете да намерите връзката между флуктуациите на тока и напрежението във всяка верига. Нека разгледаме последователно свързване на резистор, кондензатор и индуктор (фиг. 8.).

Да предположим, както преди, че токът във веригата варира според закона

и изчислете напрежението между краищата на веригата u. Тъй като, когато проводниците са свързани последователно, напреженията се добавят, желаното напрежение uе сумата от три напрежения: през съпротивлението , върху контейнера и на индуктивност , и всяко от тези напрежения, както видяхме, се променя с времето според косинусния закон:

, (5)

, (6)

За да добавим тези три трептения, ще използваме векторна диаграма на напрежението. Колебанията на напрежението в съпротивлението са представени чрез вектор
, насочена по текущата ос и имаща дължина
, колебанията на напрежението в капацитета и индуктивността са вектори
И
, перпендикулярна на текущата ос, с дължини ( аз m / ° С) И ( аз m Л) (фиг. 9.). Нека си представим, че тези вектори се въртят обратно на часовниковата стрелка около общо начало с ъглова скорост . След това проекциите върху оста на векторните токове
,
И
, ще бъдат описани съответно с формули (5)-(7). Очевидно проекцията върху текущата ос на общия вектор

равно на сумата
, тоест равно на общото напрежение в секцията на веригата. Максималната стойност на това напрежение е равна на векторния модул
. Тази стойност лесно се определя геометрично. Първо, препоръчително е да се намери величината на вектора
:

и след това според Питагоровата теорема:

. (8)

От фигурата също става ясно, че

. (9)

За напрежението в участък от веригата можем да запишем

където амплитудата на напрежението и фазовото отместване между тока и напрежението се определят по формули (8), (9). Ако
, тогава напрежението води тока във фаза, в противен случай напрежението изостава от фазата.

се нарича съпротивление на веригата за променлив ток, стойността

се нарича реактивно съпротивление на веригата, а стойността Р- активно съпротивление.

Получените формули са валидни и за затворена верига, която включва генератор на променливо напрежение, ако е под Р, ° СИ Лразбере значението им за цялата верига (напр Рпредставлява общото активно съпротивление на веригата, включително вътрешното съпротивление на генератора). В този случай всички формули трябва да бъдат заменени uвърху ЕДС на генератора. Наистина, при всички наши разсъждения беше безразлично къде точно са концентрирани капацитетът, индуктивността и съпротивлението, следователно в затворена верига (фиг. 8) можем да приемем, че представлява общото активно съпротивление на веригата, включително вътрешното съпротивление на генератора, и И - капацитет и индуктивност на веригата, и замени реалния генератор с въображаем, чието вътрешно съпротивление е нула. В този случай напрежението uмежду точките аИ bще бъде равна на едс на генератора . От това следва, че формули (8), (9) са валидни и за затворена верига на променлив ток, ако под ,, И разбере значението им за цялата верига и ги замени във всички формули uвърху ЕМП на генератора .