Lekce "Pojem monočlenu. Standardní tvar monočlenu" metodologický vývoj v algebře na dané téma. Redukce monomiálu na standardní tvar, příklady, řešení Algoritmus pro redukci monomiálu na standardní tvar
V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní standardní akce na monomilech, konkrétně redukci na standardní pohled a výpočet specifické číselné hodnoty monomiálu at dané hodnoty doslovné proměnné v něm obsažené. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Naučme se řešit typické úkoly s jakýmikoli monomily.
Předmět:Monomials. Aritmetické operace s monočleny
Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu
Zvažte několik příkladů:
3. 
;
Pojďme najít společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme definice monomiálu : Monomial je algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.
Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:
Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.
Zde je několik dalších příkladů:
Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.
Teď to zjistíme akce na monomiály .
1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /
Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se objeví pouze jednou, tedy proměnná " A" je reprezentováno v jediné kopii jako "", podobně proměnné "" a "" se objevují pouze jednou.
V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. to znamená, tento výraz by měly být zjednodušeny, tak se dostáváme k první akcí prováděnou na monomiích je redukce monomií na standardní formu . K tomu zredukujeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté nadefinujeme tuto operaci a naučíme se, jak zredukovat libovolný monomický tvar do standardního tvaru.
Zvažte tedy příklad:
První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:
;
Výsledek této akce bude voláno koeficient monomiálu .
Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:
Nyní znásobme síly" na»:
;
Zde je tedy zjednodušený výraz:
;
Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :
Vynásobte všechny číselné faktory;
Umístěte výsledný koeficient na první místo;
Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;
To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny, které mají stejnou část písmene, se nazývají podobné.
Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:
Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.
Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.
1. 
;
3. 
;
Komentáře k prvnímu příkladu: Nejprve určíme, zda je tento výraz skutečně monočlen, zkontrolujme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože je splněna výše uvedená podmínka. Dále podle pravidla pro redukci monomiálu na standardní tvar vynásobíme číselné faktory:
- našli jsme koeficient daného monomiálu;
; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;
Zapišme si odpověď: ;
Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:
1) vynásobte číselné faktory:
2) vynásobte mocniny:
Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:
Zapišme si odpověď:
;
V v tomto příkladu koeficient jednočlenu je roven jedné a písmenná část je .
Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:
1) vynásobte číselné faktory:
;
2) vynásobte mocniny:
;
Zapišme si odpověď: ;
V tomto případě je koeficient monomiálu „“ a písmenná část 
.
Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože monočlen je algebraický výraz sestávající z doslovných proměnných, které mohou nabývat konkrétních číselných hodnot, máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vyhodnotit. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .
Podívejme se na příklad. Monomický daný:
tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část
Již dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které jsou v něm obsaženy, nemohou nabývat žádné hodnoty. V případě monočlenu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, což je vlastnost monočlenu.
V uvedeném příkladu tedy musíte vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .
Poznamenali jsme, že může být jakýkoli monomiál uvést do standardní podoby. V tomto článku pochopíme, co se nazývá uvedení monomiálu do standardní formy, jaké akce umožňují tento proces provést a zvážíme řešení příkladů s podrobným vysvětlením.
Navigace na stránce.
Co to znamená zredukovat monomiál na standardní formu?
Je výhodné pracovat s monočleny, když jsou psány ve standardním tvaru. Poměrně často jsou však monomily specifikovány v jiné než standardní formě. V těchto případech můžete vždy přejít z původního monomiálu na monomický standardní tvar provedením transformací identity. Proces provádění takových transformací se nazývá redukce monomiálu na standardní formu.
Shrňme výše uvedené argumenty. Zmenšete monomiální na standardní tvar- to znamená provádět s ním identické transformace tak, aby nabyl standardní podoby.
Jak převést monomiál do standardní formy?
Je čas přijít na to, jak zredukovat monomily na standardní formu.
Jak je známo z definice, monomiály nestandardního tvaru jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin, případně opakujících se. A jednočlen standardního tvaru může obsahovat ve svém zápisu pouze jedno číslo a neopakující se proměnné nebo jejich mocniny. Nyní zbývá pochopit, jak přivést produkty prvního typu k typu druhého?
Chcete-li to provést, musíte použít následující pravidlo pro redukci monomiálu na standardní formu skládající se ze dvou kroků:
- Nejprve se provede seskupení číselných faktorů a také identických proměnných a jejich mocnin;
- Za druhé se vypočítá a použije součin čísel.
V důsledku aplikace uvedeného pravidla bude jakýkoli monomiál zredukován na standardní formu.
Příklady, řešení
Nezbývá než se naučit aplikovat pravidlo z předchozího odstavce při řešení příkladů.
Příklad.
Zmenšete monomiální 3 x 2 x 2 na standardní formu.
Řešení.
Seskupme číselné faktory a faktory s proměnnou x. Po seskupení bude mít původní monočlen tvar (3·2)·(x·x 2) . Součin čísel v prvních závorkách je roven 6 a pravidlo pro násobení mocnin se stejnými základy umožňuje, aby výraz v druhých závorkách byl reprezentován jako x 1 +2=x 3. Výsledkem je polynom standardního tvaru 6 x 3.
Zde je krátké shrnutí řešení: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.
Odpovědět:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Chcete-li tedy uvést jednočlen do standardního tvaru, musíte být schopni seskupovat faktory, násobit čísla a pracovat s mocninami.
Pro konsolidaci materiálu vyřešme ještě jeden příklad.
Příklad.
Prezentujte monomiál ve standardní podobě a uveďte jeho koeficient.
Řešení.
Původní monomial má ve svém zápisu jediný číselný faktor −1, přesuňme ho na začátek. Poté seskupíme faktory zvlášť s proměnnou a, zvlášť s proměnnou b a proměnnou m není do čeho seskupit, necháme to tak, máme 
. Po provedení operací s mocninami v závorkách nabude monočlen standardní tvar, který potřebujeme, ze kterého můžeme vidět koeficient monočlenu rovný −1. Minus jedna lze nahradit znaménkem minus: .
V matematice existuje mnoho různých matematických výrazů a některé z nich mají svá vlastní jména. Chystáme se seznámit s jedním z těchto pojmů - jedná se o monomiál.
Monomial je matematický výraz, který se skládá ze součinu čísel, proměnných, z nichž každá se může do určité míry objevit v součinu. Abyste nové koncepci lépe porozuměli, musíte se seznámit s několika příklady.
Příklady monočlenů
Výrazy 4, x^2, -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 jsou monomiály. Jak vidíte, pouze jedno číslo nebo proměnná (s mocninou nebo bez ní) je také jednočlen. Ale například výrazy 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 jsou již nejsou monomiály, protože neodpovídají definicím. První výraz používá „součet“, což je nepřijatelné, druhý používá „dělení“ a třetí používá rozdíl.
Uvažujme ještě pár příkladů.
Například výraz 2*a^3*b/3 je také jednočlenný, i když s tím souvisí i dělení. Ale v tomto případě dochází k dělení číslem, a proto lze odpovídající výraz přepsat takto: 2/3*a^3*b. Ještě jeden příklad: Který z výrazů 2/x a x/2 je jednočlenný a který ne? Správná odpověď je, že první výraz není jednočlenný, ale druhý je jednočlenný.
Standardní forma monomiálu
Podívejte se na následující dva jednočlenné výrazy: ¾*a^2*b^3 a 3*a*1/4*b^3*a. Ve skutečnosti se jedná o dva stejné monomiály. Není pravda, že první výraz se zdá pohodlnější než druhý?
Důvodem je, že první výraz je napsán ve standardním tvaru. Standardní forma polynomu je součin složený z číselného faktoru a mocnin různých proměnných. Číselný faktor se nazývá koeficient monomiálu.
Aby byl monočlen uveden do standardního tvaru, stačí vynásobit všechny číselné faktory přítomné v monočlenu a dát výsledné číslo na první místo. Poté vynásobte všechny mocniny, které mají stejný základ písmen.
Redukce monomiálu na jeho standardní formu
Pokud v našem příkladu ve druhém výrazu vynásobíme všechny číselné faktory 3*1/4 a pak vynásobíme a*a, dostaneme první monomial. Tato akce se nazývá redukce monomiálu na jeho standardní formu.
Pokud se dva jednočleny liší pouze číselným koeficientem nebo jsou si navzájem rovny, pak se takové jednočleny v matematice nazývají podobné.
Monomiální je výraz, který je součinem dvou nebo více faktorů, z nichž každý je číslo vyjádřené písmenem, číslicemi nebo mocninou (s nezáporným exponentem celého čísla):
2A, A 3 X, 4abc, -7X
Protože součin identických faktorů lze zapsat jako mocninu, jedna mocnina (s nezáporným celočíselným exponentem) je také monomiála:
(-4) 3 , X 5 ,
Vzhledem k tomu, že číslo (celé číslo nebo zlomek), vyjádřené písmenem nebo čísly, lze zapsat jako součin tohoto čísla jednou, každé jednotlivé číslo lze také považovat za jednočlenné:
X, 16, -A,
Standardní forma monomiálu
Standardní forma monomiálu je jednočlen, který má pouze jeden číselný faktor, který musí být zapsán na prvním místě. Všechny proměnné jsou v abecedním pořadí a jsou obsaženy v monomiálu pouze jednou.
Čísla, proměnné a mocniny proměnných patří také k monočlenům standardního tvaru:
7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomily standardního tvaru.
Číselný faktor monomiálu standardního tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Monomiální koeficienty rovné 1 a -1 se obvykle nezapisují.
Pokud monomiál standardního tvaru nemá číselný faktor, pak se předpokládá, že koeficient monomiálu je roven 1:
X 3 = 1 X 3
Pokud jednočlen standardního tvaru nemá číselný faktor a předchází mu znaménko mínus, pak se předpokládá, že koeficient jednočlenu je roven -1:
-X 3 = -1 · X 3
Redukce monomiálu na standardní formu
Chcete-li převést monomiál do standardní formy, musíte:
- Vynásobte číselné faktory, pokud jich je několik. Zvyšte číselný faktor na mocninu, pokud má exponent. Nejprve dejte číselný faktor.
- Vynásobte všechny stejné proměnné tak, aby se každá proměnná objevila v monomiálu pouze jednou.
- Uspořádejte proměnné za číselným faktorem v abecedním pořadí.
Příklad. Prezentujte monomiál ve standardním tvaru:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 před naším letopočtem· 0,5 ab 3
Řešení:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 před naším letopočtem· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 C = 3ab 4 C
Síla jednočlenu
Síla jednočlenu je součet exponentů všech písmen v něm obsažených.
Pokud je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje proměnné, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule. Například:
5, -7, 21 jsou monomily nulového stupně.
Proto, abyste našli stupeň monomiálu, musíte určit exponent každého z písmen v něm obsažených a tyto exponenty sečíst. Není-li exponent písmene uveden, je roven jedné.
Příklady:
Tak jak se máš X exponent není specifikován, to znamená, že je roven 1. Monomial neobsahuje další proměnné, to znamená, že jeho stupeň je roven 1.
Monomial obsahuje pouze jednu proměnnou k druhé mocnině, což znamená, že stupeň tohoto monomiálu je 2.
3) ab 3 C 2 d
Index A rovná se 1, exponent b- 3, indikátor C- 2, indikátor d- 1. Stupeň tohoto monomiálu se rovná součtu těchto ukazatelů.
Monomiály jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny. Například: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednočlen 5aa2b2b lze redukovat na tvar 20a^2b^2 Tento tvar se nazývá standardní tvar monočlenu. To znamená, že standardní tvar monočlenu je součinem koeficientu (který je na prvním místě) a mocnin proměnné. Koeficienty 1 a -1 se nezapisují, ale od -1 je ponecháno mínus. Monomiál a jeho standardní forma
Výrazy 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Takové výrazy se nazývají monomiály. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny.
Například výrazy 8, 35, y a y2 jsou monočleny.
Standardní tvar monočlenu je monočlen ve formě součinu číselného faktoru na prvním místě a mocnin různých proměnných. Jakýkoli monomial lze redukovat na standardní formu vynásobením všech proměnných a čísel v něm obsažených. Zde je příklad redukce monomiálu na standardní formu:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Například koeficient monomiálu -7x2y2 je roven -7. Koeficienty monočlenů x3 a -xy jsou považovány za rovné 1 a -1, protože x3 = 1x3 a -xy = -1xy
Stupeň monomiálu je součtem exponentů všech proměnných v něm obsažených. Pokud monomiál neobsahuje proměnné, to znamená, že je to číslo, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule.
Například stupeň monomiálu 8x3yz2 je 6, stupeň monomiálu 6x je 1 a stupeň -10 je 0.
Násobení monomiálů. Povyšování monomiálů na mocnosti
Při násobení jednočlenů a umocňování jednočlenů na mocninu se používá pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem a pravidlo pro zvýšení mocniny na mocninu. To vytváří monomial, který je obvykle reprezentován ve standardní formě.
Například
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6