Leçon "Le concept d'un monôme. Forme standard d'un monôme" développement méthodologique en algèbre sur le sujet. Réduction d'un monôme à la forme standard, exemples, solutions Algorithme de réduction d'un monôme à la forme standard

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux actions standards principales sur les monômes, à savoir la réduction à vue générale et calcul de la valeur numérique spécifique du monôme à valeurs données les variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre tâches typiques avec des monômes.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Trouvons des caractéristiques communes aux expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Maintenant, découvrons actions sur les monômes .

1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /

Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. C'est, cette expression devrait être simplifié, on arrive donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.

Alors, prenons un exemple :

La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :

;

Résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :

Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Placez le coefficient résultant en premier lieu ;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;

Autrement dit, tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :

Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :

- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;

Écrivons la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

DANS dans cet exemple le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .

Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

Écrivons la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous disposons d'une expression numérique arithmétique qui doit être évaluée. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Monôme donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre

Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques ; c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .

Nous avons noté que tout monôme peut être mettre sous forme standard. Dans cet article, nous comprendrons ce qu'on appelle amener un monôme à une forme standard, quelles actions permettent de réaliser ce processus et envisagerons des solutions à partir d'exemples avec des explications détaillées.

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Que signifie réduire un monôme à une forme standard ?

Il est pratique de travailler avec des monômes lorsqu'ils sont écrits sous forme standard. Cependant, bien souvent, les monômes sont spécifiés sous une forme différente de la forme standard. Dans ces cas-là, on peut toujours passer du monôme original à un monôme de forme standard en effectuant des transformations d'identité. Le processus permettant d'effectuer de telles transformations est appelé réduction d'un monôme à une forme standard.

Résumons les arguments ci-dessus. Réduire le monôme à la forme standard- cela revient à lui faire des transformations identiques pour qu'il prenne une forme standard.

Comment amener un monôme à une forme standard ?

Il est temps de comprendre comment réduire les monômes à une forme standard.

Comme le montre la définition, les monômes de forme non standard sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances, et éventuellement répétitives. Et un monôme de forme standard ne peut contenir dans sa notation qu'un seul nombre et des variables non répétitives ou leurs puissances. Reste maintenant à comprendre comment amener les produits du premier type au type du second ?

Pour ce faire, vous devez utiliser ce qui suit la règle pour réduire un monôme à la forme standard composé de deux étapes :

Tout d'abord, un regroupement de facteurs numériques est effectué, ainsi que de variables identiques et de leurs puissances ;
Deuxièmement, le produit des nombres est calculé et appliqué.

Suite à l'application de la règle énoncée, tout monôme sera réduit à une forme standard.

Exemples, solutions

Il ne reste plus qu'à apprendre à appliquer la règle du paragraphe précédent lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Réduisez le monôme 3 x 2 x 2 à la forme standard.

Solution.

Regroupons les facteurs numériques et les facteurs avec la variable x. Après regroupement, le monôme original prendra la forme (3·2)·(x·x 2) . Le produit des nombres entre parenthèses est égal à 6, et la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases permet de représenter l'expression entre parenthèses sous la forme x 1 +2 = x 3. En conséquence, nous obtenons un polynôme de forme standard 6 x 3.

Voici un bref résumé de la solution : 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Répondre:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Ainsi, pour donner à un monôme une forme standard, vous devez être capable de regrouper des facteurs, de multiplier des nombres et de travailler avec des puissances.

Pour consolider le matériel, résolvons un autre exemple.

Exemple.

Présentez le monôme sous forme standard et indiquez son coefficient.

Solution.

Le monôme original a un seul facteur numérique dans sa notation −1, déplaçons-le au début. Après cela, nous regrouperons séparément les facteurs avec la variable a, séparément avec la variable b, et il n'y a rien avec quoi regrouper la variable m, nous la laisserons telle quelle, nous avons . Après avoir effectué des opérations avec les puissances entre parenthèses, le monôme prendra la forme standard dont nous avons besoin, à partir de laquelle nous pourrons voir le coefficient du monôme égal à −1. Le moins un peut être remplacé par un signe moins : .

Il existe de nombreuses expressions mathématiques différentes en mathématiques, et certaines d’entre elles ont leur propre nom. Nous sommes sur le point de nous familiariser avec l'un de ces concepts: c'est un monôme.

Un monôme est une expression mathématique qui consiste en un produit de nombres, de variables, dont chacune peut apparaître dans une certaine mesure dans le produit. Afin de mieux comprendre le nouveau concept, vous devez vous familiariser avec plusieurs exemples.

Exemples de monômes

Expressions 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sont des monômes. Comme vous pouvez le voir, un seul nombre ou variable (avec ou sans puissance) est également un monôme. Mais, par exemple, les expressions 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sont déjà ne sont pas des monômes, car ils ne correspondent pas aux définitions. La première expression utilise « somme », ce qui est inacceptable, la seconde utilise « division » et la troisième utilise la différence.

Considérons quelques exemples supplémentaires.

Par exemple, l'expression 2*a^3*b/3 est également un monôme, bien qu'il y ait une division. Mais dans ce cas, la division se fait par un nombre, et donc l'expression correspondante peut être réécrite comme suit : 2/3*a^3*b. Encore un exemple : Laquelle des expressions 2/x et x/2 est un monôme et laquelle ne l'est pas ? La bonne réponse est que la première expression n'est pas un monôme, mais la seconde est un monôme.

Forme standard du monôme

Regardez les deux expressions monômes suivantes : ¾*a^2*b^3 et 3*a*1/4*b^3*a. En fait, ce sont deux monômes identiques. N'est-il pas vrai que la première expression semble plus commode que la seconde ?

La raison en est que la première expression est écrite sous forme standard. La forme standard d'un polynôme est un produit composé d'un facteur numérique et de puissances de diverses variables. Le facteur numérique est appelé coefficient du monôme.

Afin d'amener un monôme à sa forme standard, il suffit de multiplier tous les facteurs numériques présents dans le monôme et de mettre le nombre obtenu en premier. Multipliez ensuite toutes les puissances qui ont la même base de lettres.

Réduire un monôme à sa forme standard

Si dans notre exemple dans la deuxième expression nous multiplions tous les facteurs numériques 3*1/4 puis multiplions a*a, nous obtenons le premier monôme. Cette action s'appelle réduire un monôme à sa forme standard.

Si deux monômes ne diffèrent que par un coefficient numérique ou sont égaux, alors ces monômes sont appelés similaires en mathématiques.

Monôme est une expression qui est le produit de deux facteurs ou plus, dont chacun est un nombre exprimé par une lettre, des chiffres ou une puissance (avec un exposant entier non négatif) :

2un, un 3 X, 4abc, -7X

Puisque le produit de facteurs identiques peut être écrit sous forme de puissance, une puissance unique (avec un exposant entier non négatif) est également un monôme :

(-4) 3 , X 5 ,

Puisqu'un nombre (entier ou fraction), exprimé par une ou plusieurs lettres, peut s'écrire comme le produit de ce nombre par un, tout nombre individuel peut également être considéré comme un monôme :

X, 16, -un,

Forme standard du monôme

Forme standard du monôme est un monôme qui n'a qu'un seul facteur numérique, qui doit être écrit en premier lieu. Toutes les variables sont classées par ordre alphabétique et ne sont contenues qu’une seule fois dans un monôme.

Les nombres, les variables et les puissances des variables appartiennent également aux monômes de la forme standard :

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monômes de forme standard.

Le facteur numérique d'un monôme de forme standard est appelé coefficient du monôme. Les coefficients monômes égaux à 1 et -1 ne sont généralement pas écrits.

Si un monôme de forme standard n'a pas de facteur numérique, alors on suppose que le coefficient du monôme est égal à 1 :

X 3 = 1 X 3

Si un monôme de forme standard n'a pas de facteur numérique et est précédé d'un signe moins, alors on suppose que le coefficient du monôme est égal à -1 :

-X 3 = -1 · X 3

Réduire un monôme à la forme standard

Pour amener un monôme à la forme standard, vous devez :

Multipliez les facteurs numériques s’il y en a plusieurs. Élevez un facteur numérique à une puissance s'il a un exposant. Mettez le facteur numérique en premier.
Multipliez toutes les mêmes variables pour que chaque variable n'apparaisse qu'une seule fois dans le monôme.
Disposez les variables après le facteur numérique par ordre alphabétique.

Exemple. Présentez le monôme sous forme standard :

une) 3 yx 2 (-2) oui 5 X; b)6 avant JC· 0,5 un B 3

Solution:

une) 3 yx 2 (-2) oui 5 X= 3 (-2) X 2 Xouioui 5 = -6X 3 oui 6
b)6 avant JC· 0,5 un B 3 = 6 0,5 un Bb 3 c = 3un B 4 c

Pouvoir d'un monôme

Pouvoir d'un monôme est la somme des exposants de toutes les lettres qu'il contient.

Si un monôme est un nombre, c'est-à-dire qu'il ne contient pas de variables, alors son degré est considéré comme égal à zéro. Par exemple:

5, -7, 21 sont des monômes de degré zéro.

Par conséquent, pour trouver le degré d'un monôme, vous devez déterminer l'exposant de chacune des lettres qui y sont incluses et ajouter ces exposants. Si l’exposant d’une lettre n’est pas précisé, alors il est égal à un.

Exemples:

Alors comment ça va X l'exposant n'est pas précisé, ce qui signifie qu'il est égal à 1. Le monôme ne contient pas d'autres variables, ce qui signifie que son degré est égal à 1.

Un monôme ne contient qu'une seule variable à la puissance seconde, ce qui signifie que le degré de ce monôme est 2.

3) un B 3 c 2 d

Indice un est égal à 1, exposant b- 3, indicateur c- 2, indicateur d- 1. Le degré de ce monôme est égal à la somme de ces indicateurs.

Les monômes sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes. Par exemple : 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Le monôme 5aa2b2b peut être réduit à la forme 20a^2b^2. Cette forme est appelée la forme standard du monôme, c'est-à-dire que la forme standard du monôme est le produit du coefficient (qui vient en premier) et des puissances de. les variables. Les coefficients 1 et -1 ne sont pas écrits, mais un moins est conservé à partir de -1. Monôme et sa forme standard

Les expressions 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. De telles expressions sont appelées monômes. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes.

Par exemple, les expressions 8, 35,y et y2 sont des monômes.

La forme standard d'un monôme est un monôme sous la forme du produit d'un facteur numérique en premier lieu et des puissances de diverses variables. Tout monôme peut être réduit à une forme standard en multipliant toutes les variables et nombres qu'il contient. Voici un exemple de réduction d’un monôme à la forme standard :

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme. Par exemple, le coefficient du monôme -7x2y2 est égal à -7. Les coefficients des monômes x3 et -xy sont considérés comme égaux à 1 et -1, puisque x3 = 1x3 et -xy = -1xy

Le degré d'un monôme est la somme des exposants de toutes les variables qu'il contient. Si un monôme ne contient pas de variables, c'est-à-dire s'il s'agit d'un nombre, alors son degré est considéré comme égal à zéro.

Par exemple, le degré du monôme 8x3yz2 est 6, le degré du monôme 6x est 1 et le degré -10 est 0.

Multiplication de monômes. Élever les monômes aux pouvoirs

Lors de la multiplication de monômes et de l'élévation de monômes à une puissance, la règle de multiplication de puissances avec la même base et la règle d'élévation d'une puissance à une puissance sont utilisées. Cela produit un monôme, qui est généralement représenté sous forme standard.

Par exemple

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6