Dérivées partielles pour une fonction de plusieurs variables. Différenciation d'une fonction complexe de plusieurs variables Que sont les dérivées de fonctions complexes de plusieurs variables

Soit la fonction z - /(x, y) définie dans un domaine D sur le plan xOy. Prenons un point interne (x, y) de l'aire D et donnons à x un incrément Ax tel que le point (x + Ax, y) 6 D (Fig. 9). Appelons la quantité l'incrément partiel de la fonction z par rapport à x. Faisons une relation pour un point donné (x, y), cette relation est fonction de la Définition. Si pour Ax -* 0 la relation ^ a une limite finie, alors cette limite est appelée la dérivée partielle de la fonction z = /(x, y) par rapport à la variable indépendante x au point (x, y) et est noté par le symbole jfc (ou /i(x, jj ), ou z"x(x, De la même manière, par définition, ou, ce qui est la même chose, De même, Si u est fonction de n variables indépendantes, puis en remarquant que Arz est calculé avec une valeur constante de la variable y, et Atz - avec une valeur constante de la variable x, les définitions des dérivées partielles peuvent être formulées comme suit : Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables Différenciabilité d'une fonction de plusieurs variables Conditions nécessaires à la différentiabilité d'une fonction Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Différentielle totale Différentielles partielles Dérivées d'une fonction complexe de la dérivée partielle par rapport à x de la fonction z = /(x , y. ) est la dérivée ordinaire de cette fonction par rapport à x, calculée en supposant que y est une constante par rapport à y de la fonction z - /(x, y) est sa dérivée par rapport à ; y, calculé en supposant que x est constant. Il s'ensuit que les règles de calcul des dérivées partielles coïncident avec les règles prouvées pour une fonction d'une variable. Exemple. Trouvez les dérivées partielles de la fonction 4 Nous avons des substitutions*. L'existence de la fonction r = f(x, y) en un point donné de dérivées partielles par rapport à tous les arguments n'implique pas la continuité de la fonction en ce point. Ainsi, la fonction n'est pas continue au point 0(0,0). Cependant, à ce stade, la fonction spécifiée a des dérivées partielles par rapport à x et y. Cela découle du fait que /(x, 0) = 0 et /(0, y) = 0 et donc la signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Soit la surface S dans l'espace tridimensionnel être définie par l'équation où f(x, y) est la fonction continue dans un certain domaine D et y ayant des dérivées partielles par rapport à x et y. Découvrons la signification géométrique de ces dérivées au point Mo(xo,yo) 6 D, qui correspond au point f(x0)yo) sur la surface z = f(x)y). Pour trouver la dérivée partielle du point M0, on suppose que z est uniquement fonction de l'argument x, tandis que l'argument y conserve une valeur constante y = y0, c'est-à-dire que la fonction fi(x) est représentée géométriquement par la courbe L le long de dont la surface S est coupée par le plan y = en o. En raison de la signification géométrique de la dérivée d'une fonction d'une variable, f\(xo) = tan a, où a est l'angle formé par la tangente à la droite L au point JV0 avec l'axe Ox (Fig. 10) . Mais alors Ainsi, la dérivée partielle ($|) est égale à la tangente de l'angle a entre l'axe Ox et la tangente au point N0 à la courbe obtenue dans la section de la surface z = /(x, y) par la y plan. De même, nous obtenons que §6. Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables Soit la fonction z = /(x, y) définie dans un domaine D sur le plan xOy. Prenons un point (x, y) € D et donnons aux valeurs sélectionnées de x et y des incréments quelconques Ax et Dy, mais tels que le point. Définition. Une fonction r = /(x, y) est dite différentiable * point (x, y) € 2E si l'incrément complet de cette fonction, correspondant aux incréments des arguments Dx, Dy, peut être représenté sous la forme où A et B ne dépendent pas de Dx et Dy (mais dépendent généralement de x et y), et a(Dx, Dy) et /?(Dx, Dy) tendent vers zéro comme Dx et Dy tendent vers zéro. . Si la fonction z = /(x, y) est dérivable au point (x, y), alors la partie A Dx 4- VDy de l'incrément de la fonction, linéaire par rapport à Dx et Dy, est appelée différentielle totale de cette fonction au point (x, y) et est désigné par le symbole dz : De cette façon, Exemple. Soit r = x2 + y2. À tout moment (r,y) et pour tout Dx et Du nous avons Ici. maintenant que a et /3 tendent vers zéro alors que Dx et Dy tendent vers zéro. D'après la définition, cette fonction différentiable en tout point du plan xOy. Dans le même temps, notons que dans notre raisonnement nous n'avons pas formellement exclu le cas où les incréments de Dx, Du séparément, voire les deux sont égaux à zéro à la fois. La formule (1) peut être écrite de manière plus compacte si nous introduisons l'expression (distance entre les points (En l'utilisant, nous pouvons écrire En désignant l'expression entre parenthèses par e, nous avons où c dépend de J, Du et tend vers zéro si J 0 et DN 0, ou, en bref, si p 0. La formule (1), exprimant la condition de différentiabilité de la fonction z = f(xt y) au point (x, y), peut désormais s'écrire sous la forme So , dans l'exemple ci-dessus 6.1. Conditions nécessaires. Fonction différentiable™ Théorème 4. Si une fonction r = /(x, y) est différentiable en un point, alors elle est continue en ce point 4 Si au point (x, y). ) la fonction r = /(x, y) est différentiable, alors compléter l'incrément de la fonction i en ce point, correspondant aux incréments J et Dy des arguments, peut être représenté sous la forme (les quantités A, B. pour un point donné sont constants , d'où il s'ensuit que ce dernier signifie qu'au point (x, y) la fonction r /(x, y) est continue Si la fonction z = /(x, y) est dérivable en un point donné, alors il y a des dérivées partielles $§ et en ce point ) est dérivable en un point (x, y). Alors l'incrément Dg de cette fonction, correspondant aux incréments Dx, Ay des arguments, peut être représenté sous la forme (1). En prenant en égalité (1) Dx Φ 0, Dy = 0, on obtient d'où Puisque du côté droit de la dernière égalité la valeur A ne dépend pas, Cela signifie qu'au point (x, y) il y a une dérivée partielle de la fonction r = /(x, y) dans x, et par un raisonnement similaire nous sommes convaincus (x, il existe une dérivée partielle de la fonction zy, et du théorème il résulte que Nous soulignons que le théorème 5 énonce l'existence de dérivées partielles uniquement au point (x, y), mais ne dit rien de leur continuité en ce point, ainsi que de leur comportement au voisinage du point (x, y), dérivée /"(x) au point x0. Dans le cas où la fonction dépend de plusieurs variables, la situation est beaucoup plus compliquée : il n'y a pas de conditions nécessaires et suffisantes de différentiabilité pour la fonction z = /(x, y) de deux variables indépendantes x, y il n'y en a que séparément ; conditions nécessaires (voir ci-dessus) et séparément - suffisant. Ces conditions suffisantes de différentiabilité des fonctions de plusieurs variables sont exprimées par le théorème suivant. Théorème c. Si une fonction a des dérivées partielles /ε et f"v dans un certain voisinage de mince (xo, V0) et si ces dérivées sont continues au point (xo, V0), alors la fonction z = f(x, y) est dérivable au point (x- Exemple. Considérons la fonction Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Dérivées d'une fonction à plusieurs variables Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions à plusieurs variables Différentielle totale Dérivées d'une fonction complexe Il est défini partout. Sur la base de la définition des dérivées partielles, nous avons Pour oschdrlm* différentiable ™ de cette fonction au point 0(0,0) nous trouvons et l'incrément de ce point Pour la différentiabilité de la fonction /(x,y. ) = au point 0(0,0) il faut que la fonction e(Dx, Dy) soit complètement petite en Dx 0 et Ду 0. Posons D0 Alors à partir de la formule (1) nous avons donc la fonction f. (x,y) = n'est pas dérivable au point 0(0,0), bien qu'il ait fa et f"r en ce point. Le résultat obtenu s'explique par le fait que les dérivées f"z et f"t sont discontinu au point §7. Différentiel complet. Différentes partielles Si la fonction z - f(z> y) est différentiable, alors sa différentielle totale dz est égale à En notant que A = B = u, on écrit la formule (1) sous la forme suivante. On étend le concept de différentielle. d'une fonction aux variables indépendantes, en définissant les différentiels des variables indépendantes égales à leurs incréments : après cela, la formule du différentiel total de la fonction est prise comme exemple. Soit i - 1l(x + y2). Alors De même, si u =) est une fonction différentiable de n variables indépendantes, alors l'Expression est appelée post-différentielle de la fonction z = f(x, y) par rapport à la variable x ; l'expression est appelée la différentielle partielle de la fonction z = /(x, y) de la variable y. Des formules (3), (4) et (5) il résulte que la différentielle totale d'une fonction est la somme de ses différentielles partielles : Notons que l'incrément total Az de la fonction z = /(x, y), d'une manière générale , n'est pas égal à la somme des incréments partiels. Si au point (i, y) la fonction z = /(x, y) est dérivable et le différentiel dz Φ 0 en ce point, alors son incrément total ne diffère de sa partie linéaire que par la somme des derniers termes aAx 4 - /?DE, qui en Ax 0 et Ау -» О sont des infinitésimaux d'ordre supérieur aux termes de la partie linéaire. Par conséquent, lorsque dz Ф 0, la partie linéaire de l'incrément de la fonction différentiable est appelée la partie principale de l'incrément de la fonction et une formule approximative est utilisée, qui sera d'autant plus précise que les incréments de les arguments sont. §8. Dérivées d'une fonction complexe 1. Supposons que la fonction soit définie dans un domaine D sur le plan xOy, et chacune des variables x, y est à son tour fonction de l'argument t : Nous supposerons que lorsque t change dans l'intervalle ( les points correspondants (x, y) ne sortent pas de la région D. Si l'on substitue les valeurs dans la fonction z = / (x, y), on obtient une fonction complexe d'une variable t et at. valeurs correspondantes la fonction f(x,y) est dérivable, alors une fonction complexe au point t a une dérivée et M Donnons à t l'incrément Δt. Ensuite x et y recevront quelques incréments Ax et Du. En conséquence, pour (J)2 + (Dy)2 Ф 0, la fonction z recevra également un incrément Dz qui, en raison de la différentiabilité de la fonction z = /(x, y) au point ( x, y), peut être représenté sous la forme où a ) tend vers zéro alors que Ax et Du tendent vers zéro. Définissons a et /3 pour Ax = Ay = 0 en définissant a Alors a(sera continu pour J = Dn = 0. Considérons la relation que nous avons dans chaque terme^ dans le côté droit de (2) les deux facteurs ont des limites en effet, les dérivées partielles et ^ pour un donné sont constantes, par condition il y a des limites à l'existence des dérivées ^ et au point £ les fonctions x = y(t) et y = sont continues en ce point donc, comme At ; 0, J et Dy tendent tous deux vers zéro, ce qui à son tour entraîne une tendance vers zéro a(Dx, Dy) et P(Ax, Ay). Ainsi, le membre droit de l’égalité (2) en 0 a une limite. égal à Cela signifie qu'en At 0 il y a aussi une limite sur le côté gauche de (2), c'est-à-dire qu'il y en a une égale. En passant à la limite dans l'égalité (2) en At -» 0, on obtient le. formule requise. Dans le cas particulier, lorsque, par conséquent, z est une fonction complexe de x, nous obtenons Dans la formule (5) il existe une dérivée partielle funadiig = /(x, y) sur z, lors du calcul de lequel dans l'expression / (x, y) l'argument y est pris comme constante. A est la dérivée totale de la fonction z par rapport à la variable indépendante x, lorsque le calcul de y dans l'expression /(x, y) n'est plus pris comme constante. . constante, et est à son tour considérée comme une fonction de x : y = tp(x)t et donc la dépendance de z sur x est complètement prise en compte. Exemple. Trouver et jg si 2. Considérons maintenant la différenciation d'une fonction complexe de plusieurs variables. Supposons qu'au point (() il existe des dérivées partielles continues u, 3 ? et au point correspondant (x, y), où la fonction f(x, y) est dérivable. Montrons que dans ces conditions la fonction complexe z = z(() y) au point t7) a des dérivées et π, et nous trouverons des expressions pour ces dérivées. Notons que ce cas ne diffère pas significativement de celui déjà étudié. En effet, lors de la différenciation de z par rapport à £, la deuxième variable indépendante rj est prise comme constante, de sorte que x et y dans cette opération deviennent fonctions d'une variable x" = c), y = c) et la question de la dérivée ζ est résolue exactement de la même manière que la question de la dérivée en dérivant la formule (3). En utilisant la formule (3) et en y remplaçant formellement les dérivées § et ^ par les dérivées u et respectivement, nous obtenons de la même manière, nous trouver un exemple. Trouver les dérivées partielles ^ et ^ de la fonction r = x2 y - husli x - y = Si une fonction complexe " est donnée par des formules de telle sorte qu'alors, lorsque les conditions appropriées sont remplies, nous avons Dans le cas particulier où Et = où Dérivées partielles Signification géométrique des dérivées partielles d'une fonction à deux variables Dérivées d'une fonction à plusieurs variables Conditions nécessaires à la différentiabilité d'une fonction Conditions suffisantes pour la différentiabilité des fonctions à plusieurs variables Différentielle totale. Différentes partielles Dérivées d'une fonction complexe que nous avons Ici m est la dérivée partielle totale de la fonction et par rapport à la variable indépendante x, en tenant compte de la dépendance complète de et sur x, y compris via z = z(x,y), a ^ - dérivée partielle de la fonction et = /( z, y, z) par x, lors du calcul de k

Exemple. Trouvez si, où.

Solution. D'après la formule (1) on a :

Exemple. Trouver la dérivée partielle et la dérivée totale si .

Solution. .

Sur la base de la formule (2), nous obtenons .

2°. Le cas de plusieurs variables indépendantes.

Laisser z = f(x;y) - fonction de deux variables X Et oui, dont chacun est une fonction

variable indépendante t : x = x(t), y = y(t). Dans ce cas la fonction z=f(x(t);y(t)) est

fonction complexe d'une variable indépendante t ; variables x et y sont des variables intermédiaires.

Théorème. Si z == F(X; y) - différenciable en un point M(x;y)D fonction

Et x = x(t) Et à =yt) - fonctions différentiables de la variable indépendante t,

alors la dérivée d'une fonction complexe z(t) == F(x(t);y(t)) calculé par la formule

(3)

Cas particulier : z = f(x;y), où y = oui(x), ceux. z = f(x;y(x)) - fonction complexe d'un

variable indépendante X. Ce cas se réduit au précédent, et le rôle de la variable

t pièces X. D'après la formule (3) on a :

.

La dernière formule s'appelle formules de dérivées totales.

Cas général : z = f(x;y), Où x = x(u;v), y=y(u;v). Alors z = f(x(u;v);y(u;v)) - complexe

fonction des variables indépendantes Et Et v. Ses dérivées partielles peuvent être trouvées

en utilisant la formule (3) comme suit. Ayant réparé v, le remplacer,

dérivées partielles correspondantes

Ainsi, la dérivée de la fonction complexe (z) par rapport à chaque variable indépendante (Et Et v)

est égal à la somme des produits des dérivées partielles de cette fonction (z) par rapport à son intermédiaire

variables (x et y)à leurs dérivées par rapport à la variable indépendante correspondante (u et v).

Dans tous les cas considérés, la formule est valable

(propriété d'invariance d'un différentiel total).

Exemple. Trouver et si z= F(x,y), où x=uv, .

Les dérivées partielles sont utilisées dans des problèmes impliquant des fonctions de plusieurs variables. Les règles de recherche sont exactement les mêmes que pour les fonctions d'une variable, la seule différence étant que l'une des variables doit être considérée comme une constante (nombre constant) au moment de la différenciation.

Formule

Les dérivées partielles pour une fonction de deux variables $ z(x,y) $ s'écrivent sous la forme suivante $ z"_x, z"_y $ et se trouvent à l'aide des formules :

Dérivées partielles du premier ordre

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Dérivées partielles du second ordre

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Dérivé mixte

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Dérivée partielle d'une fonction complexe

a) Soit $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, alors la dérivée d'une fonction complexe est déterminée par la formule :

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Soit $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, alors les dérivées partielles de la fonction se trouvent par la formule :

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Dérivées partielles d'une fonction implicite

a) Soit $ F(x,y(x)) = 0 $, alors $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Soit $ F(x,y,z)=0 $, alors $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Exemples de solutions

Théorème.Laisser u = f (x, y) est donné dans le domaine D et soit x = x(t) Et y = y(t) identifié dans la région , et quand , alors x et y appartiennent à la région D. Soit la fonction u dérivable au point M 0 (X 0 ,oui 0 ,z 0), et fonctions x(t) et à(t) différentiable au point correspondant t 0 , alors la fonction complexe u = f[X(t),oui(t)]=F (t)différentiable au point t 0 et l'égalité est vraie :

.

Preuve. Puisque u est différentiable par condition au point ( X 0 , oui 0), alors son incrément total est représenté par

En divisant ce rapport par , on obtient :

Allons à la limite et obtenons la formule

.

Note 1. Si toi= toi(x, y) Et X= X, oui= oui(X), puis la dérivée totale de la fonction toi par variable X

ou .

La dernière égalité peut être utilisée pour prouver la règle de différenciation d'une fonction d'une variable, donnée implicitement sous la forme F(X, oui) = 0, où oui= oui(X) (voir thème n°3 et exemple 14).

Nous avons: . D'ici . (6.1)

Revenons à l'exemple 14 du thème n°3 :

;

.

Comme vous pouvez le constater, les réponses ont coïncidé.

Note 2. Laisser toi = F (x, y), Où X= X(t , v), à= à(t , v). Alors u est finalement une fonction complexe de deux variables t Et v. Si maintenant la fonction u est dérivable au point M 0 (X 0 , oui 0), et les fonctions X Et à sont différentiables au point correspondant ( t 0 , v 0), alors on peut parler de dérivées partielles par rapport à t Et và partir d'une fonction complexe au point ( t 0 , v 0). Mais si nous parlons de la dérivée partielle par rapport à t en un point spécifié, alors la deuxième variable v est considérée comme constante et égale à v 0 . Par conséquent, nous parlons uniquement de la dérivée d’une fonction complexe par rapport à t et nous pouvons donc utiliser la formule dérivée. Ainsi, nous obtenons.