Гурвалжингаар матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох. Тодорхойлогч шинж чанарууд. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах. Урвуу матрицын тооцоо

Тодорхойлогчийн тухай ойлголт нь шугаман алгебрийн хичээлийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Энэхүү үзэл баримтлал нь ЗӨВХӨН Квадрат матрицад байдаг бөгөөд энэ нийтлэлийг энэ үзэл баримтлалд зориулав. Энд бид элементүүд нь бодит (эсвэл комплекс) тоонууд болох матрицын тодорхойлогчдын талаар ярих болно. Энэ тохиолдолд тодорхойлогч нь бодит (эсвэл нийлмэл) тоо юм. Цаашдын бүх танилцуулга нь тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох, ямар шинж чанартай вэ гэсэн асуултын хариулт байх болно.

Нэгдүгээрт, n-р дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг матрицын элементүүдийн сэлгэлтийн үржвэрийн нийлбэр гэж өгнө. Энэхүү тодорхойлолт дээр үндэслэн бид нэг, хоёр, гурав дахь эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчдыг тооцоолох томьёо бичиж, хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Дараа нь бид тодорхойлогчийн шинж чанарууд руу шилжих бөгөөд бид үүнийг нотолгоогүйгээр теорем хэлбэрээр томъёолох болно. Энд тодорхойлогчийг мөр, баганын элементүүдээр тэлэх замаар тооцоолох аргыг олж авна. Энэ арга нь n дарааллын матрицын тодорхойлогчийн тооцоог n-ээр багасгаж, 3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг 3 ба түүнээс доош тоогоор тооцоолдог. Хэд хэдэн жишээн дээр шийдлийг харуулахаа мартуузай.

Эцэст нь хэлэхэд, тодорхойлогчийг Гауссын аргаар тооцоолоход анхаарлаа хандуулцгаая. Энэ арга нь 3-аас 3-аас их эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдыг олоход тохиромжтой, учир нь тооцоолоход бага хүчин чармайлт шаарддаг. Бид мөн жишээнүүдийн шийдлийг шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Матриц тодорхойлогчийн тодорхойлолт, матриц тодорхойлогчийг тодорхойлолтоор тооцох.

Бид хэд хэдэн туслах ойлголтуудыг санаж байна.

Тодорхойлолт.

захиалга солих n n элементээс бүрдэх эрэмбэлэгдсэн тооны олонлог гэж нэрлэдэг.

n элемент агуулсан олонлогийн хувьд n байна! (n факториал) n дарааллын орлуулалт. Сэлгээ нь зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай.

Жишээлбэл, гурван тооноос бүрдэх олонлогийг авч үзье: . Бид бүх орлуулалтыг бичдэг (нийт зургаан байна ):

Тодорхойлолт.

n эрэмбийн орлуулалт дахь урвуур ба q индексийн дурын хосыг дууддаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд сэлгэцийн p-р элемент нь q-р-ээс их байна.

Өмнөх жишээн дээр 4 , 9 , 7 солих урвуу нь p=2 , q=3 , учир нь сэлгэцийн хоёр дахь элемент нь 9 ба гурав дахь элемент буюу 7-оос их байна. 9 , 7 , 4 солих урвуу нь гурван хос болно: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) ба p=2 , q=3 (7>4 ) байна.

Бид урвуу өөрчлөлтөөс илүүтэйгээр орлуулалт дахь урвуу байдлын тоог илүү сонирхох болно.

Бодит (эсвэл нийлмэл) тооны талбар дээр n-ээр n дарааллын квадрат матриц байг. Олонлогийн n дарааллын бүх орлуулалтын олонлог байг. Уг багц нь n-г агуулдаг! орлуулалт. Олонлогийн k-р орлуулалтыг , k-р ээлжийн урвуу тоог - гэж тэмдэглэе.

Тодорхойлолт.

Матрицын тодорхойлогчМөн тэнцүү тоо байна .

Энэ томъёог үгээр тайлбарлая. n-ээр n дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч нь n-ийг агуулсан нийлбэр юм! нөхцөл. Нэр томьёо бүр нь матрицын n элементийн үржвэр бөгөөд бүтээгдэхүүн бүр нь А матрицын мөр, багана бүрээс нэг элементийг агуулна. Бүтээгдэхүүн дэх А матрицын элементүүдийг мөрийн дугаараар эрэмбэлэх ба баганын тооны олонлогийн k-р орлуулалтын урвуу тоо сондгой байвал k-р гишүүний өмнө (-1) коэффициент гарч ирнэ.

А матрицын тодорхойлогчийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг ба det(A)-г мөн ашигладаг. Тодорхойлогчийг тодорхойлогч гэж нэрлэдэгийг та бас сонсож болно.

Тэгэхээр, .

Энэ нь нэгдүгээр эрэмбийн матрицын тодорхойлогч нь энэ матрицын элемент болохыг харуулж байна.

Хоёрдахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох - томьёо ба жишээ.

2-оос 2 инчээр дараалуулна ерөнхий үзэл.

Энэ тохиолдолд n=2 , иймээс n!=2!=2 .

Бидэнд байгаа

Тиймээс бид 2-оос 2-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна. .

Жишээ.

захиалга.

Шийдэл.

Бидний жишээнд. Бид үүссэн томъёог хэрэглэнэ :

Гурав дахь дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох - томъёо ба жишээ.

Квадрат матрицын тодорхойлогчийг олъё ерөнхийдөө 3-аас 3 орчим.

Энэ тохиолдолд n=3 , иймээс n!=3!=6 .

Томъёог хэрэглэхэд шаардлагатай өгөгдлийг хүснэгт хэлбэрээр зохион байгуулъя .

Бидэнд байгаа

Тиймээс бид 3-аас 3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүний нэгэн адил 4-ээс 4-р, 5-аас 5-аас дээш эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог авч болно. Тэд маш том харагдах болно.

Жишээ.

Квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 3-аас 3 орчим.

Шийдэл.

Бидний жишээн дээр

Гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд бид үүссэн томъёог ашиглана.

Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчдыг тооцоолох томъёог ихэвчлэн ашигладаг тул тэдгээрийг санаж байхыг зөвлөж байна.

Матриц тодорхойлогчийн шинж чанар, шинж чанарыг ашиглан матриц тодорхойлогчийг тооцоолох.

Дээрх тодорхойлолтыг үндэслэн дараахь зүйл үнэн болно. матрицын тодорхойлогч шинж чанарууд.

А матрицын тодорхойлогч нь шилжүүлсэн A T матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч эсэхийг шалгана уу шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

Шийдэл.

3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд дараах томьёог ашиглая:

Бид А матрицыг шилжүүлнэ:

Шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоол.

Үнэн хэрэгтээ шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

Хэрэв квадрат матрицад дор хаяж нэг эгнээний бүх элементүүд (багануудын аль нэг нь) тэг байвал ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч эсэхийг шалгана уу 3-аас 3 хүртэлх дараалал нь тэг байна.

Шийдэл.

Үнэн хэрэгтээ тэг баганатай матрицын тодорхойлогч нь тэг юм.

Хэрэв та дөрвөлжин матрицын аль нэг хоёр мөрийг (багана) сольж авбал үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхныхаас эсрэг байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг өөрчлөгдөнө).

Жишээ.

3-аас 3 гэсэн дарааллын хоёр квадрат матриц өгөгдсөн Тэгээд . Тэдний тодорхойлогч нь эсрэгээрээ байгааг харуул.

Шийдэл.

Матриц Гурав дахь мөрийг эхний, эхний эгнээг гуравдахь эгнээгээр солих замаар B матрицаас А-г авна. Үзэж буй шинж чанарын дагуу ийм матрицын тодорхойлогч нь тэмдгээр ялгаатай байх ёстой. Үүнийг сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхойлогчдыг тооцоолох замаар шалгая.

Үнэхээр, .

Хэрэв квадрат матрицад дор хаяж хоёр мөр (хоёр багана) ижил байвал түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч болохыг харуул тэгтэй тэнцүү.

Шийдэл.

Энэ матрицад хоёр ба гурав дахь багана нь адилхан тул авч үзсэн шинж чанарын дагуу түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Үүнийг шалгаж үзье.

Үнэн хэрэгтээ хоёртой матрицын тодорхойлогч ижил багануудтэг байна.

Хэрэв квадрат матрицад аливаа мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг k тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчийг k-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Жишээлбэл,

Жишээ.

матриц тодорхойлогч гэдгийг батал матрицын тодорхойлогчоос гурав дахин ихтэй тэнцүү байна .

Шийдэл.

В матрицын эхний баганын элементүүдийг А матрицын эхний баганын харгалзах элементүүдээс 3-аар үржүүлж авна. Дараа нь авч үзсэн өмчийн дагуу тэгш байдлыг хангах ёстой. Үүнийг А ба В матрицын тодорхойлогчдыг тооцож шалгая.

Тиймээс нотлох ёстой байсан .

ЖИЧ.

Матриц ба тодорхойлогчийн ойлголтыг андуурч, бүү андуур! Матрицын тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанар ба матрицыг тоогоор үржүүлэх үйл ажиллагаа нь ижил зүйлээс хол байна.
, Гэхдээ .

Хэрэв квадрат матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүд нь s гишүүний нийлбэр (s нь нэгээс их натурал тоо) байвал ийм матрицын тодорхойлогч нь дараахаас олж авсан s матрицын тодорхойлогчдын нийлбэртэй тэнцүү байна. мөр (баганын) элемент болгон нэг нэр томъёог орхиж байвал эх нь. Жишээлбэл,

Жишээ.

Матрицын тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг батал. .

Шийдэл.

Бидний жишээнд , тиймээс матриц тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанараас шалтгаалан тэгш байдал . Бид үүнийг томъёог ашиглан 2-оос 2-р эрэмбийн матрицуудын харгалзах тодорхойлогчдыг тооцоолох замаар шалгана. .

Гарсан үр дүнгээс харахад ийм байна . Энэ нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.

Хэрэв бид матрицын зарим эгнээний (баганын) элементүүдэд өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын k тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Жишээ.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүд байгаа эсэхийг шалгаарай Энэ матрицын хоёр дахь баганын харгалзах элементүүдийг (-2) үржүүлж, матрицын эхний баганын харгалзах элементүүдийг дурын бодит тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байх болно. анхны матрицын тодорхойлогч.

Шийдэл.

Хэрэв бид тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанараас эхлэх юм бол асуудалд заасан бүх хувиргалтуудын дараа олж авсан матрицын тодорхойлогч нь А матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Эхлээд бид анхны А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно.

Одоо А матрицын шаардлагатай хувиргалтыг хийцгээе.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүдэд матрицын хоёр дахь баганын харгалзах элементүүдийг өмнө нь (-2) -аар үржүүлцгээе. Үүний дараа матриц дараах байдлаар харагдах болно.

Үүссэн матрицын гурав дахь баганын элементүүдэд бид эхний баганын харгалзах элементүүдийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.

Үүссэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж, энэ нь А матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл -24-тэй тэнцүү эсэхийг шалгаарай.

Квадрат матрицын тодорхойлогч нь аль ч эгнээний (баганын) элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм. алгебрийн нэмэлтүүд.

Энд матрицын элементийн алгебрийн нэмэлт, .

Энэ шинж чанар нь 3-аас 3-аас дээш эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдыг хэд хэдэн эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдын нийлбэрээс нэгээр доош буулгах замаар тооцоолох боломжийг олгодог. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь аль ч дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох давтагдах томъёо юм. Үүнийг нэлээд олон удаа ашиглах боломжтой тул санаж байхыг зөвлөж байна.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ.

4-өөс 4-ээр дараалуулж, үүнийг өргөжүүлнэ

3-р эгнээний элементүүдээр,
2-р баганын элементүүдээр.

Шийдэл.

Бид тодорхойлогчийг 3-р эгнээний элементүүдээр нэмэгдүүлэх томъёог ашигладаг

Бидэнд байгаа

Тиймээс 4-өөр 4-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг олох асуудлыг 3-р эрэмбийн матрицын 3 тодорхойлогчийг тооцоолоход хүргэв.

Хүлээн авсан утгыг орлуулснаар бид дараах үр дүнд хүрнэ.

Тодорхойлогчийг 2-р баганын элементүүдээр өргөжүүлэх томъёог бид ашигладаг

мөн бид ижил аргаар ажилладаг.

Гурав дахь эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчдын тооцоог бид нарийвчлан тайлбарлахгүй.

Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 4-өөс 4 орчим.

Шийдэл.

Та матриц тодорхойлогчийг аль ч багана эсвэл аль ч мөрийн элементүүдэд задалж болно, гэхдээ хамгийн олон тооны тэг элемент агуулсан мөр эсвэл баганыг сонгох нь илүү ашигтай бөгөөд энэ нь шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусална. Тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүдээр өргөжүүлье.

Бид 3-аас 3-р эрэмбийн матрицуудын олж авсан тодорхойлогчдыг бидэнд мэдэгдэж буй томъёоны дагуу тооцоолно.

Бид үр дүнг орлуулж, хүссэн утгыг авдаг

Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 5-аас 5 орчим.

Шийдэл.

Матрицын дөрөв дэх эгнээ нь бүх мөр, баганын хамгийн олон тооны тэг элементтэй тул матрицын тодорхойлогчийг дөрөв дэх эгнээний элементүүдээр яг таг өргөжүүлэхийг зөвлөж байна, учир нь энэ тохиолдолд бид бага тооцоо хийх шаардлагатай болно.

4-ээс 4 хүртэлх дарааллын матрицын олж авсан тодорхойлогчдыг өмнөх жишээнүүдээс олсон тул бид бэлэн үр дүнг ашиглах болно.

Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 7-оос 7 орчим.

Шийдэл.

Тодорхойлогчийг ямар ч мөр, баганын элементүүдээр задлах гэж нэн даруй яарах хэрэггүй. Хэрэв та матрицыг сайтар ажиглавал хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг хоёроор үржүүлснээр матрицын зургаа дахь эгнээний элементүүдийг олж авах боломжтой болохыг анзаарах болно. Өөрөөр хэлбэл, зургаа дахь эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг (-2) үржүүлбэл долоо дахь шинж чанараас шалтгаалан тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй бөгөөд үүссэн матрицын зургаа дахь эгнээ нь дараахаас бүрдэнэ. тэг. Ийм матрицын тодорхойлогч нь хоёр дахь шинж чанараараа тэгтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

Энэ шинж чанар нь ямар ч дарааллын матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох боломжийг олгодог боловч олон тооны тооцооллын үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх тохиолдолд гуравдахь матрицын тодорхойлогчийг Гауссын аргаар олох нь илүү ашигтай байдаг бөгөөд үүнийг бид доор авч үзэх болно.

Квадрат матрицын аль ч эгнээний (баганын) элементүүд болон өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр болохыг харуул Эхний баганын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Шийдэл.

Ижил эрэмбийн квадрат матрицуудын үржвэрийн тодорхойлогч нь тэдгээрийн тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл , энд m нь нэгээс их натурал тоо, A k , k=1,2,…,m нь ижил эрэмбийн квадрат матрицууд юм.

Жишээ.

Хоёр матрицын үржвэрийн тодорхойлогч эсэхийг шалгаарай ба тэдгээрийн тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

Шийдэл.

Эхлээд А ба В матрицын тодорхойлогчдын үржвэрийг олъё.

Одоо матрицын үржүүлгийг хийж, үүссэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё:

Тиймээс, , харуулах ёстой байсан.

Матриц тодорхойлогчийг Гауссын аргаар тооцоолох.

Энэ аргын мөн чанарыг тайлбарлая. Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан А матрицыг эхний баганад бусад бүх элементүүд тэг болох хэлбэрт оруулав (хэрэв А матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай бол энэ нь үргэлж боломжтой байдаг). Бид энэ процедурыг бага зэрэг дараа тайлбарлах болно, гэхдээ одоо яагаад үүнийг хийснийг тайлбарлах болно. Эхний баганын элементүүд дээр тодорхойлогчийн хамгийн энгийн өргөтгөлийг олж авахын тулд тэг элементүүдийг олж авдаг. А матрицыг ийм хувиргасны дараа найм дахь шинж чанарыг харгалзан үзээд бид олж авна

Хаана - бага (n-1)-р дараалал, А матрицаас түүний эхний мөр ба эхний баганын элементүүдийг устгаснаар олж авсан.

Насанд хүрээгүй матрицын хувьд эхний баганад тэг элементийг олж авах ижил процедурыг гүйцэтгэдэг. Тодорхойлогчийн эцсийн тооцоо хүртэл үргэлжилнэ.

Одоо "Эхний баганад хоосон элементүүдийг хэрхэн авах вэ" гэсэн асуултад хариулах хэвээр байна.

Үйлдлийн алгоритмыг тайлбарлая.

Хэрэв бол матрицын эхний эгнээний элементүүдийг k-р эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмэх бөгөөд үүнд . (Хэрэв А матрицын эхний баганын бүх элементүүд тэг байвал түүний тодорхойлогч нь хоёр дахь шинж чанараараа тэг бөгөөд Гауссын арга шаардлагагүй). Ийм өөрчлөлтийн дараа "шинэ" элемент нь тэгээс ялгаатай байх болно. "Шинэ" матрицын тодорхойлогч нь долоо дахь шинж чанарын улмаас анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Одоо бидэнд матриц байна. Хоёрдахь эгнээний элементүүдэд бид эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг -аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. гэх мэт. Дүгнэж хэлэхэд, n-р эгнээний элементүүдэд бид эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг -ээр үржүүлж нэмнэ. Тиймээс хувирсан А матрицыг олж авах бөгөөд эхний баганын бүх элементүүд нь тэг болно. Үүссэн матрицын тодорхойлогч нь долоо дахь шинж чанарын улмаас анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Жишээг шийдэхдээ аргыг задлан шинжилье, тэгвэл илүү ойлгомжтой болно.

Жишээ.

5-аас 5-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоол .

Шийдэл.

Гауссын аргыг ашиглая. А матрицыг түүний эхний баганын -аас бусад бүх элементүүд тэг байхаар хувиргацгаая.

Элемент нь эхэндээ , дараа нь бид матрицын эхний эгнээний элементүүдэд харгалзах элементүүдийг, жишээлбэл, хоёр дахь эгнээний элементүүдийг нэмнэ, учир нь:

"~" тэмдэг нь тэнцүү гэсэн утгатай.

Одоо бид хоёр дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , гурав дахь эгнээний элементүүдэд - эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлсэн , мөн адил зургаа дахь мөр хүртэл үргэлжлүүлнэ үү:

Бид авдаг

матрицтай Бид эхний баганад тэг элемент авахтай ижил процедурыг гүйцэтгэдэг.

Тиймээс,

Одоо бид матрицын тусламжтайгаар хувиргалтыг хийж байна :

Сэтгэгдэл.

Гауссын аргаар матрицыг хувиргах зарим үе шатанд матрицын сүүлийн хэдэн эгнээний бүх элементүүд тэг болох нөхцөл байдал үүсч болно. Энэ нь тодорхойлогчийн тэг хүртэлх тэгш байдлын тухай ярих болно.

Дүгнэж хэлье.

Элементүүд нь тоо байдаг квадрат матрицын тодорхойлогч нь тоо юм. Тодорхойлогчийг тооцоолох гурван аргыг бид авч үзсэн.

матрицын элементүүдийн хослолын бүтээгдэхүүний нийлбэрээр;
тодорхойлогчийг матрицын мөр, баганын элементүүдээр тэлэх замаар;
матрицыг дээд гурвалжин болгон багасгах арга (Гауссын аргаар).

2-р эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчийг 2-оор, 3-ыг 3-аар тооцоолох томьёог олж авсан.

Бид матриц тодорхойлогчийн шинж чанарыг шинжилсэн. Тэдгээрийн зарим нь тодорхойлогч нь тэг гэдгийг хурдан ойлгох боломжийг олгодог.

3-аас 3-аас дээш эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохдоо Гауссын аргыг ашиглахыг зөвлөж байна: матрицын үндсэн хувиргалтыг хийж, дээд гурвалжин руу аваачна. Ийм матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх бүх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

1. Шилжилтийн үед тодорхойлогч өөрчлөгддөггүй.

2. Тодорхойлогчийн нэг мөр нь тэгээс бүрдэх бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

3. Тодорхойлогчийн дотор хоёр эгнээ өөрчлөгдвөл тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгдөнө.

4. Хоёр ижил мөр агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

5. Тодорхойлогчийн зарим эгнээний бүх элементүүдийг ямар нэг k тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрөө k-ээр үржүүлнэ.

6. Пропорциональ хоёр мөр агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

7. Хэрэв тодорхойлогчийн i-р эгнээний бүх элементүүдийг a i j = b j + c j (j= ) хоёр гишүүний нийлбэрээр үзүүлбэл тодорхойлогч нь тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байх ба бүх мөр нь тодорхойлогддог. i-р эгнээний хувьд өгөгдсөн тодорхойлогчтой ижил байх ба нийлбэрийн аль нэг дэх i-р эгнээ нь b j элементүүдээс, нөгөөд нь c j элементүүдээс бүрдэнэ.

8. Нэг мөрийн элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг ижил тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Сэтгэгдэл.Хэрэв мөрийн оронд багана авсан бол бүх шинж чанарууд хүчинтэй хэвээр байна.

Бага n-р эрэмбийн d тодорхойлогчийн a i j элементийн M i j нь n-1 эрэмбийн тодорхойлогч бөгөөд энэ элементийг агуулсан мөр, баганыг устгаснаар d-ээс гарна.

Алгебрийн нэмэлт d тодорхойлогчийн a i j элемент нь (-1) i + j тэмдгээр авсан жижиг M i j байна. a i j элементийн алгебрийн нэмэлтийг A i j гэж тэмдэглэнэ. Ийнхүү A i j = (-1) i + j M i j .

n эрэмбийн тодорхойлогчийг доод эрэмбийн тодорхойлогчоор илэрхийлж болно гэсэн үндсэн дээр тодорхойлогчдын практик тооцооны аргуудыг дараах теоремоор өгөгдсөн.

Теорем (мөр эсвэл баганад тодорхойлогчийн задрал).

Тодорхойлогч нь түүний дурын мөр (эсвэл багана) болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, хувьд d-ийн тэлэлт байна i-р элементүүдмөр d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

эсвэл j-р багана d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

Тодруулбал, нэгээс бусад мөр (эсвэл баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч нь энэ элементийг алгебрийн нэмэлтээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1.4.Тодорхойлогчийг тооцохгүй байна , тэгтэй тэнцүү болохыг харуул. Шийдэл.Хоёр дахь эгнээнээс эхний мөрийг хасаад бид тодорхойлогчийг авна эхтэй тэнцүү. Гурав дахь эгнээнээс эхний мөрийг хасвал тодорхойлогчийг авна , хоёр эгнээ пропорциональ байна. Энэ тодорхойлогч нь тэг байна.

Жишээ 1.5. D = тодорхойлогчийг тооцоол , үүнийг хоёр дахь баганын элементүүдээр өргөжүүлнэ.

Шийдэл.Тодорхойлогчийг хоёр дахь баганын элементүүдээр өргөжүүлье.

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Жишээ 1.6.Тодорхойлогчийг тооцоолох

A=
, үндсэн диагональын нэг талд байгаа бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Шийдэл.Эхний эгнээнд тодорхойлогч А-г өргөжүүлье: A = a 11 A 11 = . Баруун талд байгаа тодорхойлогчийг эхний шугамын дагуу дахин өргөжүүлж болно, дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

A=
.Гэх мэт. n алхмын дараа бид A = a 11 a 22... a nn тэгшитгэлд хүрнэ.

3.Шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн ойлголтууд. Крамерын теорем.

Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн систем-ийн нэгдэл юм nтус бүрийг агуулсан шугаман тэгшитгэлүүд кхувьсагч. Үүнийг ингэж бичсэн байна.

Олон хүмүүс өндөр алгебртай анх удаа тулгарахдаа тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тоотой заавал давхцах ёстой гэж андуурдаг. Сургуулийн алгебрийн хувьд энэ нь ихэвчлэн тохиолддог, гэхдээ дээд алгебрын хувьд энэ нь ерөнхийдөө үнэн биш юм.

Тодорхойлолт. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхтоонуудын дараалал ( к 1 ,к 2 , ..., к н), системийн тэгшитгэл бүрийн шийдэл, i.e. хувьсагчийн оронд энэ тэгшитгэлд орлуулах үед x 1 , x 2 , ..., x nзөв тоон утгыг өгнө.

тус тус, тэгшитгэлийн системийг шийдэхтүүний бүх шийдлийн олонлогийг олох эсвэл энэ олонлог хоосон гэдгийг батлах гэсэн үг. Тэгшитгэлийн тоо болон үл мэдэгдэх тоо ижил биш байж болох тул гурван тохиолдол байж болно.

1. Систем нь тогтворгүй, i.e. бүх шийдлийн багц хоосон байна. Системийг аль аргыг шийдэхээс үл хамааран амархан илрүүлдэг нэлээн ховор тохиолдол.

2. Систем нь тууштай, тодорхойлогдсон, i.e. яг нэг шийдэлтэй. Сургуулиас хойш сайн мэддэг сонгодог хувилбар.

3. Систем нь нийцтэй бөгөөд тодорхойлогдоогүй, i.e. хязгааргүй олон шийдэлтэй. Энэ бол хамгийн хэцүү сонголт юм. "Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй" гэж хэлэх нь хангалтгүй - энэ багц хэрхэн зохион байгуулагдсаныг тайлбарлах шаардлагатай.

Тодорхойлолт. Хувьсагч x iдуудсан зөвшөөрсөн, хэрэв энэ нь системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд багтсан бол 1-ийн коэффициенттэй. Өөрөөр хэлбэл, үлдсэн тэгшитгэлд хувьсагчийн коэффициент. x iтэгтэй тэнцүү байх ёстой.

Хэрэв бид тэгшитгэл бүрт зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийг сонговол бүхэл бүтэн тэгшитгэлийн системийн зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн багцыг авна. Энэ хэлбэрээр бичигдсэн систем өөрөө зөвшөөрөгдсөн гэж нэрлэгдэх болно. Ерөнхийдөө нэг анхны системийг өөр өөр зөвшөөрөгдсөн систем болгон бууруулж болох боловч энэ нь одоо бидэнд хамаагүй. Зөвшөөрөгдсөн системийн жишээ энд байна:

Хувьсагчийн хувьд хоёр системийг хоёуланг нь зөвшөөрдөг x 1 , x 3 ба x 4 . Гэсэн хэдий ч ижил амжилтанд хүрсэн тохиолдолд хоёр дахь системийг харьцангуй зөвшөөрдөг гэж маргаж болно x 1 , x 3 ба x 5 . Сүүлийн тэгшитгэлийг дахин бичихэд хангалттай x 5 = x 4 .

Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. Бидэнд бүх зүйл байгаасай кхувьсагч, үүнээс rзөвшөөрөгдсөн. Дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:

1. Зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн тоо rхувьсагчийн нийт тоотой тэнцүү байна к: r = к. Бид системийг авдаг ктэгшитгэлүүд нь r = кзөвшөөрөгдсөн хувьсагч. Ийм тогтолцоо нь хамтын болон тодорхой, учир нь x 1 = б 1 , x 2 = б 2 , ..., х к = б к;

2. Зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн тоо rбага нийт тоохувьсагч к: r < к. Бусад ( к − r) хувьсагчдыг үнэгүй гэж нэрлэдэг - тэдгээр нь зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг хялбархан тооцоолох боломжтой ямар ч утгыг авч болно.

Ийнхүү дээрх системүүдэд хувьсагч x 2 , x 5 , x 6 (эхний системийн хувьд) ба x 2 , x 5 (хоёр дахь нь) үнэгүй. Чөлөөт хувьсагч байгаа тохиолдлыг теорем хэлбэрээр илүү сайн томъёолсон ...

Хэрхэн шийдэх вэ?: – Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах арга (“сургуулийн арга”) ашиглан шийдвэрлэх.
– Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийн шийдэл.
–Системийг Крамерын томъёогоор шийдэх.
– Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл.
– Гауссын аргаар системийн шийдэл.

КРАМЕР

Эхлээд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзье. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг яг Крамерын дүрмийн дагуу шийдэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцоолно, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та ашиглах хэрэгтэй Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй.

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтүүдийг латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Тэгшитгэлийн язгуурыг дараах томъёогоор олно.

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том, баруун талд таслал бүхий аравтын бутархайнууд байгааг бид харж байна. Таслал бол нэлээд ховор зочин юм практик даалгаварМатематикийн хувьд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудыг олж авах нь гарцаагүй бөгөөд шийдлийн загвар нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

Тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

;

Таны харж байгаагаар үндэс нь үндэслэлгүй болж, ойролцоогоор олдсон нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (тэр ч байтугай ердийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёоны дагуу шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Хэрэглэх үед энэ арга, албадмалДаалгаврын хэсэг нь дараах фрагмент юм. « , тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг . Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооцоологч дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоогоор утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Крамерын томъёо

Крамерын арга бол бид дараалан олдог мастер системийн танигч(5.3), i.e. матриц А тодорхойлогч

Тэгээд n туслах тодорхойлогч i-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар солих замаар тодорхойлогч D-ээс олж авсан D i (i= ).

Крамерын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

D × x i = D i (i =). (5.4)

(5.4)-ээс Крамерын дүрмийг дагаж мөрддөг бөгөөд энэ нь системийн (5.3) нийцтэй байдлын талаархи асуултад бүрэн хариулт өгдөг: хэрэв системийн гол тодорхойлогч нь тэгээс өөр байвал систем нь томъёогоор тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Хэрэв системийн гол тодорхойлогч D ба бүх туслах тодорхойлогч D i = 0 (i= ) бол систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна. Хэрэв системийн гол тодорхойлогч D = 0, ядаж нэг туслах тодорхойлогч тэгээс ялгаатай бол систем нь нийцэхгүй байна.

Жишээ 1.14. Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2х3 + 11х4 = 0.

Шийдэл.Энэ системийн гол тодорхойлогч D = = -142 ¹ 0 тул систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. D тодорхойлогчоос олж авсан туслах тодорхойлогч D i (i= )-ийг түүний x i дэх коэффициентүүдээс бүрдэх баганыг чөлөөт гишүүдийн баганагаар сольж тооцъё: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D4= = 142. Эндээс x 1 = D 1 / D = 1, x 2 = D 2 / D = 2, x 3 = D 3 / D = 3, x 4 = D 4 / D = -1, системийн шийдэл нь вектор C =(1, 2, 3, -1) T .

Шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн ойлголтууд. Гауссын арга.

ДЭЭРЭЭС ҮЗЭЭРЭЙ.

Гаусс-Жорданы арга(үл мэдэгдэхийг бүрэн арилгах арга) - шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн квадрат системийг шийдвэрлэх, матрицын урвуу утгыг олох, өгөгдсөн суурь дээрх векторын координатыг олох, матрицын зэрэглэлийг олоход ашигладаг арга. Энэ арга нь Гауссын аргын өөрчлөлт юм.

Алгоритм

1. Наад зах нь нэг тэгээс өөр утгатай матрицын зүүн эхний баганыг сонгоно.

2. Хэрэв энэ баганын хамгийн дээд тоо нь тэг байвал матрицын эхний мөрийг бүхэлд нь матрицын өөр мөрөөр сольж, энэ баганад тэг байхгүй байна.

3. Эхний эгнээний бүх элементүүдийг сонгосон баганын дээд элементээр хуваана.

4. Мөр бүрийн эхний элементийг (эхнийхээс бусад) тэг авахын тулд үлдсэн мөрүүдээс эхний мөрийг харгалзах мөрийн эхний элементээр үржүүлж хасна.

6. Энэ процедурыг нэг удаа давтсаны дараа дээд гурвалжин матрицыг олж авна

7. Төгсгөлийн өмнөх эгнээнээс сүүлчийн эгнээг хасч, харгалзах коэффициентоор үржүүлж, үндсэн диагональ дээрх зөвхөн 1 нь эцсийн өмнөх эгнээнд үлдэнэ.

8. Дараагийн мөрүүдэд өмнөх алхамыг давтана. Үүний үр дүнд таних матриц ба чөлөөт векторын оронд шийдлийг олж авна (үүнтэй ижил өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай).

9. Урвуу матрицыг авахын тулд таних матрицад бүх үйлдлийг ижил дарааллаар хийх шаардлагатай.

Гауссын арга

Түүхийн хувьд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн анхны, хамгийн түгээмэл арга бол Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм. Энэ аргын мөн чанар нь үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах явдал юм энэ системөгөгдсөнтэй дүйцэх шаталсан (ялангуяа гурвалжин) систем болж хувирдаг. Гауссын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн практик шийдэлд тэгшитгэлийн системийг өөрөө биш, харин энэ системийн өргөтгөсөн матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах нь илүү тохиромжтой бөгөөд түүний эгнээнд энгийн хувиргалт хийдэг. Хувиргах явцад дараалсан матрицууд нь ихэвчлэн эквивалент тэмдгээр холбогддог.

Жишээ 1.13. Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Шийдэл.Бид энэ системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичнэ

Дараах энгийн хувиргалтыг түүний мөрөнд хийнэ: a) эхний мөрийг хоёр ба гурав дахь эгнээнээс хасаж, 3 ба 2-оор үржүүлнэ. ~ ;

б) гурав дахь мөрийг (-5)-аар үржүүлээд хоёр дахь мөрийг нэмнэ: .

Эдгээр бүх өөрчлөлтүүдийн үр дүнд энэ систем нь гурвалжин хэлбэртэй болсон: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид z = -1.3-ийг олно. Энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулахад бид y = -1.2 болно. Эхний тэгшитгэлээс бид x = - 0.7-г авна

ДЭВТЭРЭЭС:

Гауссын арга

Арга нь урагш ба урвуу гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ.

Шууд шилжилт нь SLE матрицыг энгийн эгнээний хувиргалтын тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт шилжүүлэх үйлдлээс бүрдэнэ. Шаталсан матрицын хувьд дараагийн мөр бүрийн эхэнд өмнөхөөсөө илүү олон тэг байна - эсвэл тэг байна

Жишээ:

Матрицын эгнээний үндсэн хувиргалт нь:

1) матрицын нэг эгнээний тоог зарим тоогоор үржүүлсэн тоог матрицын доод эгнээний аль нэгэнд нэмэх.

2) Хоёр мөрийг газар өөрчил

Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн нь доод тэг шугамаас эхлэн зарим хувьсагчийг бусдын хувьд дараалан илэрхийлэхээс бүрдэнэ. Үр дүн нь ерөнхий шийдэл юм.

Урагш харвалтын дараа өргөтгөсөн матрицын шаталсан төрлийн 3 сонголт байна:

1) Дараагийн мөр бүрийн эхэнд өмнөхөөсөө яг нэг тэгээс илүү байна

Жишээ:

Бид тэгшитгэлийг мөр мөрөөр бичиж, доод мөрөөс хувьсагчдын утгыг олж эхэлдэг.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

Өмнөх тэгшитгэлд орлуулна уу

2X 3 -3X 4 \u003d -8 өөрөөр хэлбэл. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 эсвэл 2X 3 \u003d -2, Þ X 3 \u003d -1, хоёр дахь мөрөнд X3 ба X4-ийг орлуулах гэх мэт. Бид SLU-ийн цорын ганц шийдлийг олж авдаг

2) Тэг биш мөрийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Дараа нь нэг мөрийн эхэнд өмнөхөөсөө 2-оос багагүй илүү тэг байх ба дараагийн тэг биш мөрөнд b=0 тоо байх хэлбэр (0 ... 0 b) байхгүй гэж бид үзэж байна.

Жишээлбэл:

3) Сүүлийн тэг биш мөр нь (0…0/b) хэлбэртэй, b=0 нь o=b зөрчилтэй тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул систем нь нийцэхгүй байна.

Гауссын аргаар SLE-ийн шийдэл

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4X 1 + 5X 2 + 4X 3 = 7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Бид шууд нүүдлийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг.

· тодорхойлогч дөрвөлжин n-р эрэмбийн А матрицууд эсвэл n-р эрэмбийн тодорхойлогч алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү тоо гэж нэрлэдэг П! гишүүд тус бүр нь бүтээгдэхүүн юм Пматрицын элементүүдийг мөр, багана бүрээс тодорхой тэмдэгтээр нэгийг нь авсан. Тодорхойлогчийг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчнь дараах байдлаар илэрхийлэгдсэн тоо юм. . Жишээлбэл .

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчгурвалжны дүрмийн дагуу тооцоолсон (Саррусын дүрэм): .

Жишээ. .

Сэтгэгдэл. Практикт гуравдагч эрэмбийн тодорхойлогч, түүнчлэн дээд эрэмбийг тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан тооцдог.

n-р эрэмбийн тодорхойлогчдын шинж чанарууд.

1. Мөр (багана) бүрийг ижил дугаартай багана (мөр)-ээр сольсон тохиолдолд тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй - шилжүүлэн суулгах.

2. Тодорхойлогчийн аль нэг мөр (багана) нь тэгээс бүрдэх бол тодорхойлогчийн утга тэг болно.

3. Тодорхойлогчд хоёр мөр (багана) солигдвол тодорхойлогчийн үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй, тэмдэг нь эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.

4. Хоёр ижил мөр (багана) агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

5. Мөр (багана)-ын бүх элементийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс гаргаж болно.

· Бага тодорхойлогчийн зарим элемент П-р дарааллыг тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ( П-1)-р дараалал, сонгосон элементийн огтлолцол дээр байгаа мөр ба баганыг устгаснаар эх хувилбараас авсан. Тэмдэглэл: .

· Алгебрийн нэмэлт Тодорхойлогчийн элементийг тэмдгээр авсан түүний бага гэж нэрлэдэг. Тэмдэглэл: Тиймээс =.

6. Квадрат матрицын тодорхойлогч нь аливаа мөр (эсвэл баганын) элементүүд болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. задралын теорем).

7. --р эгнээний элемент бүр нийлбэр байвал кнөхцөл, дараа нь тодорхойлогчийг нийлбэрээр илэрхийлнэ к--р эгнээнээс бусад бүх мөр нь анхны тодорхойлогчтой ижил байх тодорхойлогч, эхний тодорхойлогчийн --р эгнээ нь эхний гишүүн, хоёрдугаарт - хоёрдугаарт гэх мэт. Баганын хувьд ч мөн адил.

8. Нэг мөр (багана) дээр тоогоор үржүүлсэн өөр мөр (багана) нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Үр дагавар. Хэрэв тодорхойлогчийн мөр (багана) дээр түүний бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослолыг нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

9. Диагональ матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Сэтгэгдэл. Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Тодорхойлогчдын жагсаасан шинж чанарууд нь тэдгээрийн тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь өндөр эрэмбийн тодорхойлогчдод онцгой ач холбогдолтой юм. Энэ тохиолдолд анхны матрицыг өөрчилсөн матриц нь аль болох олон тэг агуулсан мөр эсвэл баганатай байхаар ("тэглэх" мөр эсвэл багана) өөрчлөхийг зөвлөж байна.

Жишээ.Тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан өмнөх жишээнд өгсөн тодорхойлогчийг дахин тооцоол.

Шийдэл: Эхний мөрөнд нийтлэг хүчин зүйл байдаг гэдгийг анхаарна уу - 2, хоёрдугаарт - нийтлэг хүчин зүйл 3, бид тэдгээрийг тодорхойлогч тэмдгээс (5-р өмчөөр) хасах болно. Дараа нь бид тодорхойлогчийг, жишээлбэл, эхний баганад 6-р шинж чанарыг (өргөжүүлэх теорем) ашиглан өргөжүүлнэ.

Хамгийн үр дүнтэй Тодорхойлогчийг диагональ эсвэл гурвалжин хэлбэрт оруулах арга . Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд тодорхойлогчийг өөрчилдөггүй матрицын хувиргалт хийх нь хангалттай бөгөөд матрицыг диагональ болгон хувиргах боломжтой болгодог.

Дүгнэж хэлэхэд, хэрэв квадрат матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол матриц гэж нэрлэгддэг болохыг бид тэмдэглэж байна. доройтох (эсвэл тусгай) , өөрөөр - доройтдоггүй .

Дээд математикийн стандарт хичээлд тодорхойлогчийг тооцоолоход ихэвчлэн ашигладаг шинж чанаруудыг энд дурдах болно. Энэ бол хоёрдогч сэдэв бөгөөд бид шаардлагатай бол үлдсэн хэсгүүдээс авч үзэх болно.

Тэгэхээр $A_(n\times n)=\left(\begin(массив) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & квадрат матриц өгөгдсөн. a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( массив )\баруун)$. Квадрат матриц бүр тодорхойлогч (эсвэл тодорхойлогч) гэж нэрлэгддэг шинж чанартай байдаг. Би энд энэ үзэл баримтлалын мөн чанарт орохгүй. Хэрэв энэ нь тодруулах шаардлагатай бол форумд энэ талаар бичээрэй, би энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

$A$ матрицын тодорхойлогчийг $\Delta A$, $|A|$ эсвэл $\det A$ гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлогч дараалалдоторх мөр (баганын) тоотой тэнцүү байна.

Хэрэв түүний мөрүүдийг харгалзах баганаар сольсон бол тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
харуулах/нуух

"Эхний мөр байсан - эхний багана болсон", "хоёр дахь мөр байсан - хоёр дахь багана болсон" гэсэн зарчмын дагуу доторх мөрүүдийг баганаар солицгооё.

Үүссэн тодорхойлогчийг тооцоолъё: $\left| \begin(массив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Таны харж байгаагаар тодорхойлогчийн утга орлуулахаас өөрчлөгдөөгүй байна.
Хэрэв та тодорхойлогчийн хоёр мөрийг (багана) сольвол тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-г анхаарч үзээрэй \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|$. Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох сэдвээс 1-р томьёог ашиглан түүний утгыг олъё.
$$\ зүүн| \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Одоо эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольж үзье. Тодорхойлогч $\left|-г авна уу \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|$. Үүссэн тодорхойлогчийг тооцоолъё: $\left| \begin(массив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Тэгэхээр анхны тодорхойлогчийн утга (-37), мөрийн дараалал өөрчлөгдсөн тодорхойлогчийн утга $-(-37)=37$ байна. Тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдсөн.
Мөр (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-д байгаа тул \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ гурав дахь баганын бүх элементүүд тэг, дараа нь тодорхойлогч нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(массив) \right|=0$.
Тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүд нь өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдтэй тэнцүү байх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-д байгаа тул \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ эхний эгнээний бүх элементүүд харгалзах хэмжээтэй тэнцүү байна хоёр дахь эгнээний элементүүд, дараа нь тодорхойлогч нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(массив) \right|=0$.
Хэрэв тодорхойлогч дахь нэг мөр (багана) -ын бүх элементүүд өөр мөр (багана) -ын харгалзах элементүүдтэй пропорциональ байвал ийм тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-д байгаа тул \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ, i.e. $r_3=-3\cdot(r_2)$, тэгвэл тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(массив) \right|=0$.
Хэрэв мөр (багана) -ын бүх элементүүд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол энэ хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс хасаж болно.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-г анхаарч үзээрэй \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|$. Хоёрдахь эгнээний бүх элементүүд 3-т хуваагддаг болохыг анхаарна уу.
$$\ зүүн| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \баруун|$$
3-р тоо нь хоёр дахь эгнээний бүх элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйл юм. Тодорхойлогч тэмдгээс гурвалсан тоог гаргая.
$$ \left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \right|= 3\cdot \left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(массив) \баруун| $$
Тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүдэд өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-г анхаарч үзээрэй \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Хоёр дахь мөрийн элементүүдэд гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдийг 5-аар үржүүлье. Энэ үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ: $r_2+5\cdot(r_3)$. Хоёрдахь мөр өөрчлөгдөх болно, үлдсэн мөрүүд өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.
$$ \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун| \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(массив)= \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \төгсгөл (массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун|. $$
Хэрэв тодорхойлогч дахь тодорхой мөр (багана) нь бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

Би "шугаман хослол" гэсэн хэллэг ямар утгатай болохыг нэн даруй тайлбарлах болно. $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ гэсэн мөрүүд (эсвэл баганууд) байцгаая. Илэрхийлэл
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
R$ дахь $k_i\-ийг $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, дараах тодорхойлогчийг авч үзье.
$$ \left| \эхлэх(массив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \төгсгөл(массив)\баруун| $$
Энэ тодорхойлогчийн хувьд дөрөв дэх мөрийг эхний гурван эгнээний шугаман хослолоор илэрхийлж болно.
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Тиймээс авч үзэж буй тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Тодорхойлогчийн тодорхой k-р эгнээний (k-р багана) элемент бүр нь хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү бол ийм тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эхнийх нь тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байна. k-р мөр (k-р багана) эхний гишүүдтэй, k-р эгнээний (k-р багана) хоёр дахь тодорхойлогч нь хоёр дахь гишүүнтэй байна. Эдгээр тодорхойлогчдын бусад элементүүд ижил байна.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

$\left|-г анхаарч үзээрэй \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Хоёрдахь баганын элементүүдийг ингэж бичье: $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \right|$. Ийм тодорхойлогч нь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
$$ \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(массив) \баруун|+ \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(массив) \баруун| $$
Ижил дарааллын хоёр квадрат матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь эдгээр матрицуудын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна, i.e. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Энэ дүрмээс та дараах томъёог авч болно: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Хэрэв $A$ матриц нь ганц тоо биш бол (өөрөөр хэлбэл тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол) $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$ болно.

Тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо

Хоёр ба гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдын хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

\begin(тэгшитгэл) \Delta A=\left| \эхлэх(массив) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \төгсгөл(массив) \баруун|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \эхлэх(массив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(массив) \баруун|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \төгсгөл(тэгшитгэл)

(1) ба (2) томъёог ашиглах жишээг "Хоёр ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох томьёо. Тодорхойлогчийг тооцоолох жишээ" сэдэвт байна.

$A_(n\times n)$ матрицын тодорхойлогчийг дараах байдлаар томруулж болно. i-р мөрдараах томъёог ашиглан:

\эхлэх(тэгшитгэл)\Дельта А=\нийлбэр\хязгаар_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \төгсгөл(тэгшитгэл)

Энэ томьёоны аналог нь баганад бас байдаг. j-р баганад тодорхойлогчийг өргөтгөх томъёо дараах байдалтай байна.

\эхлэх(тэгшитгэл)\Дельта А=\нийлбэр\хязгаар_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \төгсгөл(тэгшитгэл)

(3) ба (4) томъёогоор илэрхийлсэн дүрмүүдийг жишээгээр дэлгэрэнгүй тайлбарлаж, Тодорхойлогчийн дарааллыг бууруулах сэдвээр тайлбарлав. Тодорхойлогчийн дараалсан задрал (багана).

Бид дээд гурвалжин ба доод гурвалжин матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох өөр нэг томъёог зааж өгсөн (эдгээр нэр томъёоны тайлбарыг "Матриц. Матрицын төрөл. Үндсэн нэр томъёо" сэдвээс үзнэ үү). Ийм матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Жишээ нь:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\left| \begin(массив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(массив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \эхлэх(массив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \төгсгөл(массив) \ баруун|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тодорхойлогч: det, ||, тодорхойлогч.

Тодорхойлогч нь матриц биш, харин тоо юм.

Матрицын тодорхойлогчийг хэрхэн олох вэ?

Матрицын тодорхойлогчийг олохын тулд бид ойлголтыг танилцуулж байна "бага". Тэмдэглэгээ: M ij - бага, M ij 2 - хоёрдугаар эрэмбийн минор (2 * 2 матрицын тодорхойлогч) гэх мэт.

a ij элементийн минорыг олохын тулд А матрицаас устгана i-р мөрТэгээд j-р багана. Бид n-1 * m-1 хэмжээс бүхий матрицыг олж авдаг, бид олдог Энэ матрицын тодорхойлогч.

Жишээ: А матрицын 12-р элементийн хоёрдугаар эрэмбийн минорыг ол:

Бид А матрицаас 1-р мөр ба 2-р баганыг таслав. Бид 2 * 2 хэмжээст матрицыг олж авдаг, бид олдог Энэ матрицын тодорхойлогч:

Тэгэхээр минор гэдэг нь матриц биш, харин тоо юм.

Жишээ нь: 2*2 матрицын тодорхойлогчийг (ерөнхий хэлбэрээр) 1) мөрөнд тэлэх замаар ол; 2) багана:

Мөрөөр: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* a 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

Баганаар: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* a 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Үүнтэй ижил үр дүнд хүрч байгааг харахад хялбар байдаг.

Тиймээс 2 * 2 матрицын тодорхойлогчийг олохын тулд үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэрээс хажуугийн диагональ элементүүдийн үржвэрийг хасахад хангалттай.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн хурдан тооцоолох вэ?

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд ашиглана уу гурвалжингийн дүрэм(эсвэл "од").

1. Үндсэн диагональын элементүүдийг үржүүл: det(A)=11*22*33...

2. Үүссэн үржвэрт "гол диагональтай параллель суурьтай гурвалжин"-ын үржвэрийг нэмнэ: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. Хоёрдогч диагональтай холбоотой бүх зүйлийг "-" тэмдгээр авна. Хоёрдогч диагональын элементүүдийг үржүүлж хасвал: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. "Үндсэн гурвалжин" -ын нэгэн адил бид хажуу талыг нь үржүүлж, хасна: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23* 32-33*12*21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Матриц тодорхойлогчийн шинж чанарууд.

Тодорхойлогчийн хоёр зэрэгцээ мөр, баганыг солих үед түүний тэмдэг урвуу байна;
Хоёр ижил мөр эсвэл багана агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү;
Хэрэв тодорхойлогчийн аль нэг мөрийг зарим тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч нь анхны тодорхойлогчийг энэ тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно;
Матрицыг шилжүүлэх үед тодорхойлогч нь түүний утгыг өөрчлөхгүй;
Хэрэв тодорхойлогч дээр дурын мөрийн оронд энэ болон бусад шугамын нийлбэрийг хэдэн тоогоор үржүүлж бичвэл үүссэн шинэ тодорхойлогч нь анхныхтай тэнцүү байх болно;
Тодорхойлогчийн аль нэг мөр, баганын элемент бүрийг хоёр гишүүний нийлбэрээр дүрсэлсэн бол энэ тодорхойлогчийг харгалзах хоёр тодорхойлогчийн нийлбэр болгон задалж болно;
Тодорхойлогчийн аль ч мөр, баганын элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс гаргаж авч болно.