Maksymalna energia kondensatora w obwodzie oscylacyjnym to wzór. Obwód oscylacyjny. Wzór Thomsona. Jaki jest idealny obwód oscylacyjny

W obwodach elektrycznych, a także w układach mechanicznych, takich jak obciążenie sprężyny lub wahadła, mogą wystąpić problemy. darmowe wibracje.

Wibracje elektromagnetycznenazywane są okresowymi, wzajemnie powiązanymi zmianami ładunku, prądu i napięcia.

Bezpłatnyoscylacje to takie, które występują bez wpływu zewnętrznego w wyniku początkowo zgromadzonej energii.

Wymuszonynazywane są oscylacjami w obwodzie pod wpływem zewnętrznej okresowej siły elektromotorycznej

Swobodne oscylacje elektromagnetyczne – są to okresowo powtarzające się zmiany wielkości elektromagnetycznych (Q- ładunek elektryczny,I– siła prądu,U– różnica potencjałów) występująca bez zużycia energii ze źródeł zewnętrznych.

Najprostszym układem elektrycznym zdolnym do swobodnych oscylacji jest szeregowy obwód RLC Lub obwód oscylacyjny.

Obwód oscylacyjny –to układ składający się z kondensatorów połączonych szeregowoC, cewki indukcyjneL i przewodnik z oporemR

Rozważmy zamknięty obwód oscylacyjny składający się z indukcyjności L i pojemniki Z.

Aby wzbudzić oscylacje w tym obwodzie, konieczne jest przekazanie kondensatorowi pewnego ładunku ze źródła ε . Kiedy klucz K znajduje się w pozycji 1, kondensator jest ładowany do napięcia. Po przełączeniu kluczyka w pozycję 2 rozpoczyna się proces rozładowywania kondensatora przez rezystor R i cewka indukcyjna L. W pewnych warunkach proces ten może mieć charakter oscylacyjny.

Na ekranie oscyloskopu można obserwować swobodne oscylacje elektromagnetyczne.

Jak widać z wykresu oscylacji uzyskanego na oscyloskopie, swobodne oscylacje elektromagnetyczne są zblakły, tj. ich amplituda maleje w czasie. Dzieje się tak, ponieważ część energii elektrycznej przy czynnym oporze R jest przekształcana w energię wewnętrzną. przewodnik (przewodnik nagrzewa się, gdy przepływa przez niego prąd elektryczny).

Zastanówmy się, jak zachodzą oscylacje w obwodzie oscylacyjnym i jakie zachodzą zmiany energii. Rozważmy najpierw przypadek, gdy w obwodzie nie ma strat energii elektromagnetycznej ( R = 0).

Jeśli naładujesz kondensator do napięcia U 0, to w początkowym momencie czasu t 1 = 0 na płytkach kondensatora zostaną ustalone wartości amplitudy napięcia U 0 i ładunku q 0 = CU 0.

Całkowita energia W układu jest równa energii pola elektrycznego W el:

Jeśli obwód jest zamknięty, prąd zaczyna płynąć. W obwodzie pojawia się emf. samoindukcja

Z powodu samoindukcji w cewce kondensator rozładowuje się nie natychmiast, ale stopniowo (ponieważ zgodnie z regułą Lenza powstający prąd indukowany wraz z jego polem magnetycznym przeciwdziała zmianie strumienia magnetycznego, która go spowodowała. To znaczy pole magnetyczne pole indukowanego prądu nie pozwala na natychmiastowe zwiększenie strumienia magnetycznego prądu w obwodzie). W tym przypadku prąd wzrasta stopniowo, osiągając maksymalną wartość I 0 w chwili t 2 = T/4, a ładunek na kondensatorze staje się zerowy.

W miarę rozładowywania kondensatora energia pola elektrycznego maleje, ale jednocześnie wzrasta energia pola magnetycznego. Całkowita energia obwodu po rozładowaniu kondensatora jest równa energii pola magnetycznego W m:

W następnym momencie prąd płynie w tym samym kierunku, zmniejszając się do zera, co powoduje ponowne naładowanie kondensatora. Prąd nie zatrzymuje się natychmiast po rozładowaniu kondensatora z powodu samoindukcji (obecnie pole magnetyczne prądu indukcyjnego zapobiega natychmiastowemu zmniejszeniu strumienia magnetycznego prądu w obwodzie). W chwili t 3 = T/2 ładunek kondensatora jest ponownie maksymalny i równy ładunkowi początkowemu q = q 0, napięcie jest również równe pierwotnemu U = U 0 i prąd w obwodzie wynosi zero I = 0.

Następnie kondensator ponownie się rozładowuje, prąd przepływa przez indukcyjność w przeciwnym kierunku. Po upływie czasu T układ powraca do stanu początkowego. Całkowita oscylacja kończy się i proces się powtarza.

Wykres zmian ładunku i natężenia prądu podczas swobodnych oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie pokazuje, że wahania natężenia prądu są opóźnione w stosunku do wahań ładunku o π/2.

W dowolnym momencie całkowita energia wynosi:

Przy swobodnych oscylacjach następuje okresowa transformacja energii elektrycznej W e, zmagazynowany w kondensatorze, w energię magnetyczną W m cewek i odwrotnie. Jeśli w obwodzie oscylacyjnym nie ma strat energii, wówczas całkowita energia elektromagnetyczna układu pozostaje stała.

Swobodne wibracje elektryczne są podobne do wibracji mechanicznych. Rysunek przedstawia wykresy zmian ładunków Q(T) kondensator i polaryzacja X(T) obciążenie z położenia równowagi, a także wykresy prądu I(T) i prędkość ładowania υ( T) przez jeden okres oscylacji.

W przypadku braku tłumienia, w obwodzie elektrycznym występują swobodne oscylacje harmoniczny, czyli zachodzą zgodnie z prawem

Q(T) = Q 0 cos(ω T + φ 0)

Opcje L I C obwód oscylacyjny określa tylko częstotliwość drgań własnych darmowe wibracje i okres oscylacji – wzór Thompsona

Amplituda Q Wyznacza się 0 i fazę początkową φ 0 warunki początkowe, czyli sposób, w jaki układ został wyprowadzony ze stanu równowagi.

W przypadku wahań ładunku, napięcia i prądu uzyskuje się następujące wzory:

Dla kondensatora:

Q(T) = Q 0 cosω 0 T

U(T) = U 0 cosω 0 T

Dla cewki indukcyjnej:

I(T) = I 0 cos(ω 0 T+ π/2)

U(T) = U 0 cos(ω 0 T + π)

Zapamiętajmy główne cechy ruchu oscylacyjnego:

Q 0, U 0 , I 0 - amplituda– moduł najwyższa wartość zmienna wielkość

T - okres– minimalny okres czasu, po którym proces zostaje całkowicie powtórzony

ν - Częstotliwość– liczba oscylacji w jednostce czasu

ω - Częstotliwość cykliczna– liczba oscylacji w ciągu 2n sekund

φ - faza oscylacji- wielkość pod znakiem cosinusa (sinusa) i charakteryzująca stan układu w dowolnym momencie.

Postęp w badaniach nad elektromagnetyzmem w XIX wieku doprowadził do szybkiego rozwoju przemysłu i technologii, zwłaszcza w zakresie komunikacji. Podczas układania linii telegraficznych na duże odległości inżynierowie napotkali szereg niewytłumaczalnych zjawisk, które skłoniły naukowców do przeprowadzenia badań. Tak więc w latach 50. brytyjski fizyk William Thomson (Lord Kelvin) podjął problematykę telegrafii transatlantyckiej. Biorąc pod uwagę niepowodzenia pierwszych praktyków, teoretycznie badał problematykę propagacji impulsów elektrycznych w kablu. Jednocześnie Kelvin otrzymał szereg ważnych wniosków, które później umożliwiły wdrożenie telegrafii przez ocean. Również w 1853 roku brytyjski fizyk wydedukował warunki istnienia oscylacyjnego wyładowania elektrycznego. Warunki te stanowiły podstawę całego badania oscylacji elektrycznych. W tej lekcji i innych lekcjach w tym rozdziale przyjrzymy się pewnym podstawom teorii oscylacji elektrycznych Thomsona.

Nazywa się okresowe lub prawie okresowe zmiany ładunku, prądu i napięcia w obwodzie wibracje elektromagnetyczne. Można podać jeszcze jedną definicję.

Wibracje elektromagnetyczne nazywane są okresowymi zmianami natężenia pola elektrycznego ( mi) i indukcja magnetyczna ( B).

Aby wzbudzić oscylacje elektromagnetyczne, konieczne jest posiadanie układu oscylacyjnego. Najprostszy układ oscylacyjny, w którym mogą być utrzymywane swobodne oscylacje elektromagnetyczne, nazywa się obwód oscylacyjny.

Rysunek 1 pokazuje najprostszy obwód oscylacyjny - to jest obwód elektryczny, który składa się z kondensatora i cewki przewodzącej połączonej z płytkami kondensatora.

Ryż. 1. Obwód oscylacyjny

W takim obwodzie oscylacyjnym mogą wystąpić swobodne oscylacje elektromagnetyczne.

Bezpłatny nazywane są oscylacjami, które są wykonywane dzięki zapasom energii zgromadzonym przez sam układ oscylacyjny, bez przyciągania energii z zewnątrz.

Rozważmy obwód oscylacyjny pokazany na rysunku 2. Składa się on z: cewki z indukcyjnością L, kondensator o pojemności C, żarówkę (do kontroli obecności prądu w obwodzie), klucz i źródło prądu Za pomocą klucza kondensator można podłączyć do źródła prądu lub do cewki. W początkowej chwili (kondensator nie jest podłączony do źródła prądu) napięcie między jego okładkami wynosi 0.

Ryż. 2. Obwód oscylacyjny

Ładujemy kondensator, podłączając go do źródła prądu stałego.

Po przełączeniu kondensatora na cewkę lampka zapala się na krótki czas, czyli kondensator szybko się rozładowuje.

Ryż. 3. Wykres napięcia pomiędzy płytkami kondensatora w funkcji czasu podczas rozładowania

Rysunek 3 przedstawia wykres napięcia pomiędzy płytkami kondensatora w funkcji czasu. Wykres ten przedstawia odstęp czasu od momentu włączenia kondensatora do cewki do chwili, gdy napięcie na kondensatorze wyniesie zero. Można zauważyć, że napięcie zmieniało się okresowo, czyli w obwodzie występowały oscylacje.

W rezultacie w obwodzie oscylacyjnym płyną swobodnie tłumione oscylacje elektromagnetyczne.

W początkowej chwili (zanim kondensator został zamknięty w cewce) cała energia była skupiona w polu elektrycznym kondensatora (patrz rys. 4a).

Kiedy kondensator zostanie zwarty z cewką, zacznie się rozładowywać. Prąd rozładowania kondensatora, przechodząc przez zwoje cewki, wytwarza pole magnetyczne. Oznacza to, że następuje zmiana strumienia magnetycznego otaczającego cewkę i pojawia się w niej samoindukcyjny emf, który zapobiega chwilowemu rozładowaniu kondensatora, dlatego prąd rozładowania stopniowo wzrasta. Wraz ze wzrostem prądu rozładowania pole elektryczne w kondensatorze maleje, ale pole magnetyczne cewki wzrasta (patrz ryc. 4 b).

W momencie, gdy pole kondensatora zaniknie (kondensator zostanie rozładowany), pole magnetyczne cewki będzie maksymalne (patrz rys. 4 c).

Ponadto pole magnetyczne osłabnie i w obwodzie pojawi się prąd samoindukcji, co zapobiegnie zmniejszeniu pola magnetycznego, dlatego ten prąd samoindukcji będzie skierowany w taki sam sposób, jak prąd rozładowania kondensatora; Spowoduje to ponowne naładowanie kondensatora. Oznacza to, że na okładce, na której początkowo znajdował się znak plus, pojawi się minus i odwrotnie. Kierunek wektora natężenia pola elektrycznego w kondensatorze również zmieni się na przeciwny (patrz ryc. 4 d).

Prąd w obwodzie osłabnie z powodu wzrostu pola elektrycznego w kondensatorze i całkowicie zaniknie, gdy pole w kondensatorze osiągnie maksymalną wartość (patrz ryc. 4 d).

Ryż. 4. Procesy zachodzące podczas jednego okresu oscylacji

Kiedy pole elektryczne kondensatora zaniknie, pole magnetyczne ponownie osiągnie maksimum (patrz rys. 4g).

Kondensator rozpocznie ładowanie pod wpływem prądu indukcyjnego. W miarę postępu ładowania prąd będzie słabnąć, a wraz z nim pole magnetyczne (patrz ryc. 4 h).

Kiedy kondensator zostanie naładowany, prąd w obwodzie i pole magnetyczne zanikną. System powróci do stanu pierwotnego (patrz rys. 4 e).

Rozważaliśmy zatem procesy zachodzące podczas jednego okresu oscylacji.

Wartość energii skupionej w polu elektrycznym kondensatora w początkowej chwili oblicza się ze wzoru:

, Gdzie

Ładowanie kondensatora; C- pojemność elektryczna kondensatora.

Po jednej czwartej okresu cała energia pola elektrycznego kondensatora zostaje zamieniona na energię pola magnetycznego cewki, którą określa wzór:

Gdzie L- indukcyjność cewki, I- aktualna siła.

Dla dowolnego momentu suma energii pola elektrycznego kondensatora i pola magnetycznego cewki jest wartością stałą (jeśli pominiemy tłumienie):

Zgodnie z prawem zachowania energii całkowita energia obwodu pozostaje stała, dlatego pochodna stałej wartości po czasie będzie równa zeru:

Obliczając pochodne po czasie otrzymujemy:

Weźmy pod uwagę, że chwilowa wartość prądu jest pierwszą pochodną ładunku po czasie:

Stąd:

Jeżeli chwilowa wartość prądu jest pierwszą pochodną ładunku po czasie, to pochodna prądu po czasie będzie drugą pochodną ładunku po czasie:

Stąd:

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja harmoniczna (ładunek zależy harmonicznie od czasu):

Częstotliwość oscylacji cyklicznych, która jest określona przez wartości pojemności elektrycznej kondensatora i indukcyjności cewki:

Dlatego oscylacje ładunku, a tym samym prądu i napięcia w obwodzie, będą harmoniczne.

Ponieważ okres oscylacji jest powiązany z częstotliwość cykliczna odwrotna zależność, wówczas okres jest równy:

To wyrażenie nazywa się Wzór Thomsona.

Bibliografia

1. Myakishev G.Ya. Fizyka: Podręcznik. dla 11 klasy ogólne wykształcenie instytucje. - M.: Edukacja, 2010.
2. Kasjanow V.A. Fizyka. Klasa 11: Edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje. - M.: Drop, 2005.
3. Gendenstein L.E., Dick Yu.I., Fizyka 11. - M.: Mnemosyne

1. Lms.licbb.spb.ru ().
2. Home-zadanie.com ().
3. Sch130.ru ().
4. Youtube.com().

Praca domowa

1. Jak nazywają się oscylacje elektromagnetyczne?
2. Pytania na końcu paragrafów 28, 30 (2) – Myakishev G.Ya. Fizyka 11 (zobacz listę zalecanych lektur) ().
3. W jaki sposób energia jest przekształcana w obwodzie?

OSCYLACJE I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

§1 Obwód oscylacyjny.

Drgania naturalne w obwodzie oscylacyjnym.

Wzór Thomsona.

Oscylacje tłumione i wymuszone w k.k.

1. Swobodne oscylacje w k.k.

Obwód oscylacyjny (OC) to obwód składający się z kondensatora i cewki indukcyjnej. Pod pewnymi warunkami w k.k. Mogą wystąpić elektromagnetyczne wahania ładunku, prądu, napięcia i energii.

Rozważ obwód pokazany na ryc. 2. Jeśli ustawisz kluczyk w pozycji 1, kondensator naładuje się, a na jego płytkach pojawi się ładunekQ i napięcie U C. Jeśli następnie przesuniesz kluczyk do pozycji 2, kondensator zacznie się rozładowywać, w obwodzie będzie płynął prąd, a energia pola elektrycznego zawartego pomiędzy okładkami kondensatora zostanie zamieniona na energię pola magnetycznego skoncentrowaną w cewce indukcyjnejL. Obecność cewki indukcyjnej powoduje, że prąd w obwodzie nie wzrasta natychmiast, ale stopniowo w wyniku zjawiska samoindukcji. W miarę rozładowywania kondensatora ładunek na jego płytkach będzie się zmniejszał, a prąd w obwodzie wzrośnie. Maksymalna wartość Prąd pętli osiągnie zero, gdy ładunek na płytkach będzie równy zeru. Od tego momentu prąd pętli zacznie się zmniejszać, ale ze względu na zjawisko samoindukcji będzie wspomagany przez pole magnetyczne cewki indukcyjnej, tj. Kiedy kondensator zostanie całkowicie rozładowany, energia pola magnetycznego zgromadzona w cewce zacznie przekształcać się w energię pola elektrycznego. Z powodu prądu pętli kondensator zacznie się ładować, a na jego płytkach zacznie gromadzić się ładunek przeciwny do pierwotnego. Kondensator będzie ładowany do momentu, aż cała energia pola magnetycznego cewki indukcyjnej zostanie zamieniona na energię pola elektrycznego kondensatora. Następnie proces zostanie powtórzony w odwrotnym kierunku i tym samym w obwodzie pojawią się oscylacje elektromagnetyczne.

Napiszmy II prawo Kirchhoffa dla rozważanego k.k.,

Równanie różniczkowe k.k.

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe dla oscylacji ładunku w k.k. Równanie to przypomina równanie różniczkowe opisujące ruch ciała pod działaniem siły quasi-sprężystej. W związku z tym rozwiązanie tego równania zostanie zapisane podobnie

Równanie oscylacji ładunku w k.k.

Równanie oscylacji napięcia na płytkach kondensatora w s.c.c.

Równanie oscylacji prądu w cm.

1. Tłumione oscylacje w k.k.

Rozważ CC zawierający pojemność, indukcyjność i rezystancję. W tym przypadku drugie prawo Kirchhoffa zostanie zapisane w postaci

- współczynnik tłumienia,

Naturalna częstotliwość cykliczna.

- - równanie różniczkowe drgań tłumionych w k.k.

Równanie tłumionych oscylacji ładunku w cm.

Prawo zmiany amplitudy ładunku podczas tłumionych oscylacji w cm3;

Okres drgań tłumionych.

Zmniejszenie tłumienia.

- logarytmiczny spadek tłumienia.

Współczynnik jakości konturu.

Jeśli tłumienie jest słabe, to tak T ≈T 0

Przeanalizujmy zmianę napięcia na płytkach kondensatora.

Zmiana prądu różni się fazowo o φ od napięcia.

at - możliwe są tłumione oscylacje,

w - pozycja krytyczna

krawat. R > RDO- nie występują oscylacje (nieokresowe rozładowanie kondensatora).

2. Dlaczego całkowita energia pola elektromagnetycznego jest zachowana w obwodzie oscylacyjnym?

3. Wyjaśnij, dlaczego w obwodzie występują harmoniczne, nietłumione oscylacje ładunku i prądu.

4. Według jakiego prawa ładunek kondensatora i prąd w cewce zmieniają się w czasie?

5. Jak okres drgań własnych w obwodzie oscylacyjnym zależy od wartości pojemności elektrycznej kondensatora i indukcyjności cewki?

Drgania swobodne są dobrze rozumiane na przykładzie wahadła sprężynowego lub matematycznego, ale mogą występować nie tylko w układach mechanicznych, ale także w obwodach elektrycznych. Jednym z przykładów takich obwodów jest obwód oscylacyjny $LCR$.

Definicja

Obwód oscylacyjny (obwód LCR)- obwód elektryczny składający się z kondensatora o pojemności $C$, cewki o indukcyjności $L$ i rezystora o rezystancji $R$. W obwodzie tym występują swobodne, tłumione oscylacje elektromagnetyczne, a stopień tłumienia tych oscylacji jest określony przez rezystancję $R$ rezystora.

Idealny obwód oscylacyjny (obwód LC)- obwód oscylacyjny, w którym nie ma opór elektryczny$R$. Występują w nim swobodne, nietłumione oscylacje elektromagnetyczne.

Rodzaj konturu zależy od sposobu połączenia jego elementów. Na przykład, gdy są połączone szeregowo, obwód oscylacyjny nazywa się szeregowym.

OBWÓD OSCYLACYJNY ($LC$-CIRCUIT)

Przeanalizujmy zachowanie obwodu $LC$. Rozważmy kondensator o pojemności $C$, cewkę indukcyjną o indukcyjności $L$ i otwarty przełącznik $K$ połączone szeregowo.

Załóżmy, że kondensator został początkowo naładowany napięciem $U_0$, jak pokazano na rysunku. Co stanie się w obwodzie po zamknięciu przełącznika $K$?

Analiza ogólna

W obwodzie będzie płynął prąd sinusoidalny, który okresowo będzie rozładowywał lub ładował kondensator.

Każda z wielkości podstawowych będzie się zmieniać zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa z cykliczną (naturalną) częstotliwością

$\omega=\dfrac(1)(\sqrt(L(\cdot)C))(\textrm(.))$

dowód

Początkowy ładunek kondensatora wynosi $q_0=C(\cdot)U_0$. Natychmiast po zamknięciu przełącznika $K$ prąd w obwodzie nie zmieni się gwałtownie i będzie wynosić zero. Wynika to z obecności cewki indukcyjnej, w której zmiana prądu będzie zapobiegana przez samoindukcyjny emf $ℰ_(si)$.

To znaczy napięcie $U_C$ na kondensatorze jest wprost proporcjonalne do jego ładunku $q$

$U_C=\dfrac(q)(C)(\textrm(.))$

Napięcie $U_L$ na cewce jest określone przez jej siłę samoindukcyjną $ℰ_(si)$ zgodnie ze wzorem

$U_L=-ℰ_(si)=L(\cdot)I"(t)(\textrm(,))$

gdzie $I"(t)=\dfrac((\Delta)I)((\Delta)t)$ jest szybkością zmian bieżącego $I$ (bieżąca pochodna).