Parciálne derivácie pre funkciu viacerých premenných. Diferenciácia komplexnej funkcie viacerých premenných Čo sú to derivácie komplexných funkcií viacerých premenných

Nech je funkcia z - f(x, y) definovaná v nejakej oblasti D v rovine xOy. Zoberme vnútorný bod (x, y) z oblasti D a dajme x prírastok Ax tak, aby bod (x + Ax, y) bol 6 D (obr. 9). Hodnotu nazvime čiastočným prírastkom funkcie z vzhľadom na x. Zostavte pomer Pre daný bod (x, y) je tento pomer funkciou Definície. Ak pre Ax -* 0 má vzťah ^ konečnú limitu, potom sa táto limita nazýva parciálna derivácia funkcie z = /(x, y) vzhľadom na nezávisle premennú x v bode (x, y) a je označené symbolom jfc (alebo /i(x, jj ), alebo z "x (x, Rovnakým spôsobom, podľa definície, alebo, čo je rovnaké, Analogicky Ak a je funkciou n nezávislých premenných, potom Poznámka že Arz sa počíta s nezmenenou hodnotou premennej y a Atz s nezmenenou hodnotou premennej x, definície parciálnych derivácií možno formulovať nasledovne: Parciálne derivácie Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Diferencovateľnosť funkcia viacerých premenných Nevyhnutné podmienky diferencovateľnosti funkcie Dostatočné podmienky diferencovateľnosti funkcií viacerých premenných Totálny diferenciál. ) sa nazýva obyčajná derivácia tejto funkcie vzhľadom na x, vypočítaná za predpokladu, že y je konštanta; parciálna derivácia vzhľadom na y funkcie z - / (x , y) je jeho derivácia vzhľadom na y, vypočítaná za predpokladu, že x je konštanta. Z toho vyplýva, že pravidlá na výpočet parciálnych derivácií sa zhodujú s pravidlami dokázanými pre funkciu jednej premennej. Príklad. Nájdite parciálne derivácie funkcie 4 Máme substitúcie*. Existencia funkcie y = /(x, y) v danom bode parciálnych derivácií vzhľadom na všetky argumenty neznamená kontinuitu funkcie v tomto bode. Funkcia teda nie je spojitá v bode 0(0,0). Avšak v tomto bode má táto funkcia parciálne derivácie vzhľadom na x a vzhľadom na y. Vyplýva to z toho, že /(x, 0) = 0 a /(0, y) = 0, a teda geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Nech je plocha S v trojrozmernom priestore daná rovnicou kde f(x, y) je funkcia, spojitá v nejakej oblasti D a má tam parciálne derivácie vzhľadom na x a y. Zistime geometrický význam týchto derivácií v bode Mo(x0, y0) 6 D, ktorému na ploche z = f(x)y zodpovedá bod f(x0)yo). Pri hľadaní parciálnej derivácie v bode M0 predpokladáme, že z je len funkciou argumentu x, pričom argument y si zachováva konštantnú hodnotu y \u003d yo, t.j. funkcia fi (x) je geometricky reprezentovaná krivkou L , pozdĺž ktorej plochu S pretína rovina y \u003d približne. Vzhľadom na geometrický význam derivácie funkcie jednej premennej je f \ (xo) = tg a, kde a je uhol, ktorý zviera dotyčnica k priamke L v bode JV0 s osou Ox (obr. 10) . Parciálna derivácia ($|) sa teda rovná dotyčnici uhla a medzi osou Ox a dotyčnicou v bode N0 ku krivke získanej v reze povrchu z \u003d / (x, y) rovinou y. Podobne dostaneme, že §6. Diferencovateľnosť funkcie viacerých premenných Nech je funkcia z = /(x, y) definovaná v nejakej oblasti D v rovine xOy. Zoberme si bod (x, y) € D a dáme zvoleným hodnotám x a y ľubovoľné prírastky Ax a Dy, ale také, že bod. Definícia. Funkcia r = /(x, y) sa nazýva diferencovateľný * bod (x, y) € 2E, ak celkový prírastok tejto funkcie zodpovedajúci prírastkom Dx, Dy argumentov možno znázorniť ako kde A a B nezávisia od Dx a Dy (ale vo všeobecnosti závisia od x a y), zatiaľ čo a(Ax, Dy) a f(Ax, Dy) majú tendenciu k nule, zatiaľ čo Ax a Dy majú tendenciu k nule. . Ak je funkcia z = /(x, y) diferencovateľná v bode (x, y), potom časť A Dx 4 - VDy prírastku funkcie, lineárna vzhľadom na Dx a Dy, sa nazýva totálny diferenciál. tejto funkcie v bode (x, y) a označuje sa symbolom dz: Tanimova cesta, príklad. Nech r = x2 + y2. V ktoromkoľvek bode (r, y) a pre akékoľvek Dx a Dy máme tu. z toho vyplýva, že a a /3 majú tendenciu k nule ako Ax a Dy majú tendenciu k nule. Podľa definície, danú funkciu je diferencovateľná v ktoromkoľvek bode v rovine xOy. Tu poznamenávame, že v našej úvahe sme formálne nevylúčili prípad, keď sa prírastky Dx, Dy samostatne alebo dokonca obe rovnajú nule naraz. Vzorec (1) sa dá napísať kompaktnejšie, ak zavedieme výraz (vzdialenosť medzi bodmi (Pomocou neho môžeme napísať Označenie výrazu v zátvorkách e, budeme mať kde c závisí od J, Du a má tendenciu k nule, ak J 0 a Dy 0, alebo skrátka ak p 0. Vzorec (1), ktorý vyjadruje podmienku, aby funkcia z = f(xt y) bola diferencovateľná v bode (x, y), sa dá teraz napísať ako So, v príklade 6.1 vyššie Veta 4. Ak je funkcia r = f(x, y) v určitom bode diferencovateľná, potom je v tomto bode spojitá.4 Ak je funkcia r = f(x, y) diferencovateľná v bode (x, y), potom celkový prírastok funkcie i v tomto bode""e, zodpovedajúci prírastkom j a dy argumentov, môže byť reprezentovaný v tvare /(x, y) je spojitý . Nech je funkcia z = /(x, y) diferencovateľná v bode (x, y). Potom prírastok Dx tejto funkcie, ktorý zodpovedá prírastkom Dx, Ay argumentov, môže byť vyjadrený v tvare (1). Ak vezmeme do úvahy rovnosť (1) Dx F 0, Dn = 0, dostaneme sa odkiaľ Keďže na pravej strane poslednej rovnosti nezávisí hodnota A, To znamená, že v bode (x, y) je čiastočný derivácia funkcie r \u003d / (x, y) vzhľadom na x a podobným uvažovaním môžeme vidieť, že (x existuje čiastočná derivácia funkcie zу a z vety vyplýva, že zdôrazňujeme, že veta 5 tvrdí existenciu parciálnych derivácií len v bode (x, y), ale nehovorí nič o ich spojitosti 6.2 Dostatočné podmienky diferencovateľnosti funkcií viacerých premenných Ako je známe, nevyhnutná a postačujúca podmienka diferencovateľnosti funkcie y = f(x) jednej premennej v bode xo je existencia konečnej derivácie /"(x) v bode x0. V prípade, že funkcia závisí od viacerých premenných, je situácia oveľa komplikovanejšia: nie sú potrebné a postačujúce podmienky diferencovateľnosti pre funkciu z = /(x, y) dvoch nezávislých premenných x, y; je l hľadať potrebné podmienky (porov. vyššie) a samostatne - postačujúce. Tieto postačujúce podmienky diferencovateľnosti funkcií viacerých premenných vyjadruje nasledujúca veta. Veta c. Ak má funkcia parciálne derivácie /£ a f"v v niektorom okolí tenkej čiary (xo, y0) a ak sú tieto derivácie spojité v samotnom bode (xo, y0), potom funkcia z = f(x, y) ) je diferencovateľný v bode (x- Príklad Uvažujme funkciu Parciálne derivácie Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Diferencovateľnosť funkcie viacerých premenných Nevyhnutné podmienky diferencovateľnosti funkcie Postačujúce podmienky pre diferencovateľnosť funkcií viacerých premenných Totálny diferenciál Parciálne diferenciály Deriváty komplexnej funkcie Definuje sa všade Na základe definície parciálnych derivácií máme ™ tejto funkcie v bode 0(0, 0) nájdeme a prírastok tejto zostrí 0 a Du 0. Dáme D0. Potom zo vzorca (1) budeme mať Preto funkcie / (x, y) \u003d nie sú diferencovateľné v bode 0 (0, 0), hoci v tomto bode vytvárame fa a f "r Získané výsledok sa vysvetľuje tým, že derivácie f"z a f"t sú v bode §7 nespojité. úplný diferenciál. Čiastkové diferenciály Ak je funkcia r - f(z> y) diferencovateľná, potom jej posledný diferenciál dz je rovnaký. diferenciál funkcie k nezávislým premenným, nastavenie diferenciálov nezávislých premenných rovným ich prírastkom: Potom vzorec pre celkový diferenciál funkcie vezme príklad. Nech i - 1l(x + y2). Potom Podobne, ak u =) je diferencovateľná funkcia n nezávislých premenných, potom Výraz nazývame chudý diferenciál funkcie z = f(x, y) vzhľadom na premennú x; výraz sa nazýva parciálny diferenciál funkcie z = /(x, y) premennej y. Zo vzorcov (3), (4) a (5) vyplýva, že celkový diferenciál funkcie je súčtom jej parciálnych diferenciálov: Všimnite si, že celkový prírastok Az funkcie z = /(x, y), všeobecne povedané , sa nerovná súčtu čiastkových prírastkov. Ak je v bode (x, y) funkcia y = /(x, y) diferencovateľná a diferenciál dz Φ 0 v tomto bode, potom sa jej celkový prírastok líši od lineárnej časti len súčtom posledných členov aAx 4 - /? 0 a Ay --> O sú infinitezimály vyššieho rádu ako členy lineárnej časti. Preto, keď dz Ф 0, lineárna časť prírastku diferencovateľnej funkcie sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie a použije sa približný vzorec, ktorý bude tým presnejší, čím menšia bude absolútna hodnota prírastkov funkcie. argumenty. §osem. Derivácie komplexnej funkcie 1. Nech je funkcia definovaná v nejakej oblasti D v rovine xOy a každá z premenných x, y je zase funkciou argumentu t: Budeme predpokladať, že keď sa t zmení v interval (príslušné body (x, y) nevychádzajú mimo oblasť D. Ak dosadíme hodnoty do funkcie z = / (x, y), dostaneme komplexnú funkciu jednej premennej t. zodpovedajúce hodnoty funkcia /(x, y) je diferencovateľná, potom komplexná funkcia má deriváciu v bode t a M Inkrementujme t. Potom x a y získajú určité prírastky Ah a Du. V dôsledku toho pre (J)2 + (Dy)2 Φ 0 dostane funkcia z tiež určitý prírastok Δz, ktorý v dôsledku diferencovateľnosti funkcie z = /(x, y) v bode ( x, y), môžu byť reprezentované ako kde a ) majú tendenciu k nule, pretože Ax a Du majú tendenciu k nule. Definujme a a /3 pre Ax = Ay = 0 nastavením a Potom a( bude spojité pre J = Dy = 0. Uvažujme, že vzťah je pre daný vzťah konštantný, podľa podmienky existujú limity z existencie derivácií ^ a v bode £ z toho vyplýva, že funkcie x = y(t) a y = sú v tomto bode spojité; preto v bode 0 majú J aj Dy tendenciu k nule, čo zase znamená a(Ax, Dy) a P (Ax, Ay) majú tendenciu k nule. Teda pravá strana rovnosti (2) v 0 má limit rovný Preto limita ľavej strany (2) existuje v 0, t.j. existuje rovný Prechod v rovnosti (2) do limity At -» 0 dostaneme požadovaný vzorec V konkrétnom prípade, keď je z následne komplexná funkcia x, dostaneme y) nad x, pri výpočte ktorého v výraz /(x, y) argument y sa berie ako konštanta. nezávislá premenná x, pri výpočte ktorej sa y vo výraze /(x, y) už neberie ako konštanta, ale považuje sa zasa za funkciu x: y = tp(x)t a teda závislosť z na x sa berie do úvahy úplne. Príklad. Nájdite a jg ak 2. Uvažujme teraz o diferenciácii komplexnej funkcie niekoľkých premenných. Nech zas kde tak, že Predpokladajme, že v bode (() existujú spojité parciálne derivácie u, 3? av príslušnom bode (x, y), kde je funkcia /(x, y) diferencovateľná. za týchto podmienok má komplexný funchión z = z(() y) v bode t7) derivácie a u a nájdeme výrazy pre tieto derivácie. Upozorňujeme, že tento prípad sa výrazne nelíši od už skúmaného prípadu. V skutočnosti, keď je z diferencované vzhľadom na £, druhá nezávislá premenná rj sa berie ako konštanta, v dôsledku čoho sa x a y stávajú funkciami tej istej premennej x" = c), y = c) v tejto operácii, a otázka derivácie Φ je riešená presne rovnakým spôsobom ako otázka derivácie pri derivácii vzorca (3) Použitím vzorca (3) a formálnym nahradením derivácií § a ^ v ňom deriváciami u a , resp. dostaneme Podobne nájdeme Príklad. Nájdite parciálne derivácie ^ a ^ funkcie z = x2 y - xyif x - y = Ak je komplexná funkcia daná vzorcami tak, že za vhodných podmienok máme V konkrétnom prípade, keď h = kde viacerých premenných Nevyhnutné podmienky pre diferencovateľnosť funkcie Dostatočné podmienky pre diferencovateľnosť funkcií viacerých premenných Totálny diferenciál. Parciálne diferenciály Deriváty komplexnej funkcie majú d, y, d) v x, pri výpočte k

Príklad. Zistite, či, kde.

Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:

Príklad. Nájdite čiastočnú deriváciu a celkovú deriváciu, ak .

Riešenie. .

Na základe vzorca (2) dostaneme .

2°. Prípad niekoľkých nezávislých premenných.

Nechaj z = f(x;y) - funkcia dvoch premenných X a y, z ktorých každá je funkciou

nezávislá premenná t: x = x(t), y = y(t). V tomto prípade funkcia z=f(x(t);y(t)) je

komplexná funkcia jednej nezávislej premennej t; premenných x a y sú prechodné premenné.

Veta. Ak z == f(X; y) - diferencovateľné v určitom bode M(x; y) D funkciu

a x = x(t) a pri =y(t) - diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t,

potom derivácia komplexnej funkcie z(t) == f(x(t);y(t)) vypočítané podľa vzorca

(3)

Špeciálny prípad: z = f(x; y), kde y = y(x), tie. z= f(x;y(x)) - komplexná funkcia

nezávislá premenná X. Tento prípad sa redukuje na predchádzajúci a na úlohu premennej

t hrá X. Podľa vzorca (3) máme:

.

Posledný vzorec je tzv vzorce pre celkový derivát.

Všeobecný prípad: z = f(x;y), kde x = x(u;v), y=y(u;v). Potom z = f(x(u;v);y(u;v)) - komplexné

funkcia nezávislých premenných a a v. Možno nájsť jeho parciálne deriváty

použitím vzorca (3) nasledovne. Upevnenie v, nahradiť v ňom

zodpovedajúce parciálne deriváty

Takže derivácia zloženej funkcie (z) vzhľadom na každú nezávislú premennú (a a v)

sa rovná súčtu súčinov parciálnych derivácií tejto funkcie (z) vzhľadom na jej medziprodukt

premenných (x a y) na ich deriváty vzhľadom na zodpovedajúcu nezávislú premennú (u a v).

Vo všetkých uvažovaných prípadoch vzorec

(vlastnosť invariantnosti celkového diferenciálu).

Príklad. Nájdite a ak z= f(x,y), kde x=uv, .

Parciálne derivácie sa používajú v priradeniach s funkciami viacerých premenných. Pravidlá hľadania sú úplne rovnaké ako pre funkcie jednej premennej, len s tým rozdielom, že jedna z premenných musí byť v čase diferenciácie považovaná za konštantu (konštantné číslo).

Vzorec

Čiastočné derivácie pre funkciu dvoch premenných $ z(x,y) $ sa zapisujú v nasledujúcom tvare $ z"_x, z"_y $ a nájdeme ich pomocou vzorcov:

Parciálne derivácie prvého rádu

$$ z"_x = \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x) $$

$$ z"_y = \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y) $$

Parciálne deriváty druhého rádu

$$ z""_(xx) = \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y \čiastočné y) $$

zmiešaný derivát

$$ z""_(xy) = \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y \čiastočné x) $$

Parciálna derivácia zloženej funkcie

a) Nech $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, potom je derivácia komplexnej funkcie určená vzorcom:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y) \cdot \frac (dy) (dt) $$

b) Nech $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, potom parciálne derivácie funkcie nájdeme podľa vzorca:

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné u) = \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x) \cdot \frac(\čiastočné x)(\čiastočné u) + \frac(\čiastočné z)( \čiastočné y) \cdot \frac(\čiastočné y)(\čiastočné u) $$

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné v) = \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x) \cdot \frac(\čiastočné x)(\čiastočné v) + \frac(\čiastočné z)( \čiastočné y) \cdot \frac(\čiastočné y)(\čiastočné v) $$

Parciálne derivácie implicitne danej funkcie

a) Nech $ F(x,y(x)) = 0 $, potom $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Nech $ F(x,y,z)=0 $, potom $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Príklady riešení

Veta.Nechaj u = f(x, y) je uvedený v doméne D a nech x = x(t) a y = y(t) vymedzené v oblasti , a kedy , potom x a y patria do oblasti D. Nech je funkcia u diferencovateľná v bode M 0 (X 0 ,r 0 ,z 0)a funkcie x(t) a pri(t) sú diferencovateľné v príslušnom bode t 0 , potom komplexná funkcia u = f[X(t),r(t)]=F (t)diferencovateľné pri t 0 a platí nasledujúca rovnosť:

.

Dôkaz. Keďže u je v bode podmienene diferencovateľné ( X 0 , r 0), potom je jeho celkový prírastok vyjadrený ako

Vydelením tohto pomeru dostaneme:

Prejdime k limitu at a získajme vzorec

.

Poznámka 1. Ak u= u(x, y) a X= X, r= r(X), potom celková derivácia funkcie u podľa premennej X

alebo .

Posledná rovnosť môže byť použitá na dôkaz pravidla pre diferenciáciu funkcie jednej premennej danej implicitne v tvare F(X, r) = 0, kde r= r(X) (pozri tému číslo 3 a príklad 14).

Máme: . Odtiaľ . (6.1)

Vráťme sa k príkladu 14 témy číslo 3:

;

.

Ako vidíte, odpovede sú rovnaké.

Poznámka 2. Nechaj u = f (x, y), kde X= X(t , v), pri= pri(t , v). Potom u je v konečnom dôsledku komplexná funkcia dvoch premenných t a v. Ak je teraz funkcia u v bode diferencovateľná M 0 (X 0 , r 0) a funkcie X a pri sú diferencovateľné v príslušnom bode ( t 0 , v 0), potom môžeme hovoriť o parciálnych deriváciách vzhľadom na t a v z komplexnej funkcie v bode ( t 0 , v 0). Ak však hovoríme o parciálnej derivácii vzhľadom na t v určitom bode, potom sa druhá premenná v považuje za konštantnú a rovná sa v 0 Preto hovoríme o derivácii iba komplexnej funkcie vzhľadom na t, a preto môžeme použiť odvodený vzorec. Tak dostaneme.