Beräkning av determinanten för en matris med en triangel. Determinantegenskaper. Minska ordningen på determinanten. Invers matrisberäkning

Begreppet en determinant är en av de viktigaste i linjär algebra. Detta koncept är inneboende i ENDAST KVADRATISKA MATRIXER, och den här artikeln ägnas åt detta koncept. Här kommer vi att prata om determinanter för matriser vars element är reella (eller komplexa) tal. I det här fallet är determinanten ett reellt (eller komplext) tal. All vidare presentation kommer att vara ett svar på frågorna om hur man beräknar determinanten, och vilka egenskaper den har.

Först ger vi definitionen av determinanten för en kvadratisk matris av ordningen n till n som summan av produkter av permutationer av matriselement. Baserat på denna definition skriver vi formler för att beräkna determinanterna för matriser av första, andra och tredje ordningen och analyserar i detalj lösningarna för flera exempel.

Därefter går vi till determinantens egenskaper, som vi kommer att formulera i form av satser utan bevis. Här kommer en metod för att beräkna determinanten att erhållas genom dess expansion över elementen i en rad eller kolumn. Denna metod reducerar beräkningen av determinanten för en matris av ordningen n med n till beräkningen av determinanterna för matriser av ordningen 3 med 3 eller mindre. Se till att visa lösningar på flera exempel.

Avslutningsvis, låt oss uppehålla oss vid beräkningen av determinanten med Gauss-metoden. Denna metod är bra för att hitta determinanter för matriser av ordning större än 3 gånger 3 eftersom den kräver mindre beräkningsansträngning. Vi kommer också att analysera lösningen av exempel.

Sidnavigering.

Definition av matrisdeterminant, beräkning av matrisdeterminant per definition.

Vi minns flera hjälpbegrepp.

Definition.

Permutation av ordning n kallas en ordnad uppsättning tal, bestående av n element.

För en mängd som innehåller n element finns det n! (n factorial) av permutationer av ordning n. Permutationer skiljer sig från varandra endast i ordningen av elementen.

Tänk till exempel en uppsättning som består av tre siffror: . Vi skriver ner alla permutationer (det finns sex totalt, sedan ):

Definition.

Inversion i en permutation av ordning n vilket par av index p och q som helst kallas, för vilka det p-te elementet i permutationen är större än det q-th.

I det föregående exemplet är inversen av permutationen 4 , 9 , 7 p=2 , q=3 , eftersom det andra elementet i permutationen är 9 och är större än det tredje elementet, vilket är 7 . Inversen av permutation 9 , 7 , 4 kommer att vara tre par: p=1 , q=2 (9>7 ); p=l, q=3 (9>4) och p=2, q=3 (7>4).

Vi kommer att vara mer intresserade av antalet inversioner i en permutation, snarare än själva inversionen.

Låt vara en kvadratisk matris av ordningen n gånger n över fältet av reella (eller komplexa) tal. Låta vara mängden av alla permutationer av ordning n av mängden. Setet innehåller n! permutationer. Låt oss beteckna mängdens kth permutation som , och antalet inversioner i kth permutationen som .

Definition.

Matrisdeterminant Och det finns ett nummer lika med .

Låt oss beskriva denna formel i ord. Determinanten för en kvadratisk matris av ordningen n gånger n är summan som innehåller n! villkor. Varje term är en produkt av n element i matrisen, och varje produkt innehåller ett element från varje rad och från varje kolumn i matrisen A. En koefficient (-1) visas före den k:te termen om elementen i matrisen A i produkten är ordnade efter radnummer, och antalet inversioner i den k:te permutationen av uppsättningen kolumnnummer är udda.

Determinanten för en matris A betecknas vanligtvis som , och det(A) används också. Du kan också höra att determinanten kallas determinanten.

Så, .

Detta visar att determinanten för matrisen av första ordningen är elementet i denna matris.

Beräkna determinanten för en andra ordningens kvadratmatris - formel och exempel.

beställ 2 x 2 tum allmän syn.

I detta fall n=2, alltså n!=2!=2 .

Vi har

Således har vi erhållit en formel för att beräkna determinanten för en matris av ordningen 2 gånger 2, den har formen .

Exempel.

beställa.

Lösning.

I vårt exempel. Vi tillämpar den resulterande formeln :

Beräkning av determinanten för en kvadratisk matris av tredje ordningen - formel och exempel.

Låt oss hitta determinanten för en kvadratisk matris ungefär 3 gånger 3 i allmänhet.

I detta fall n=3, därav n!=3!=6.

Låt oss ordna i form av en tabell nödvändiga data för att tillämpa formeln .

Vi har

Således har vi erhållit en formel för att beräkna determinanten för en matris av ordningen 3 gånger 3, den har formen

På liknande sätt kan man få formler för att beräkna determinanterna för matriser av ordningen 4 gånger 4, 5 gånger 5 och högre. De kommer att se väldigt skrymmande ut.

Exempel.

Beräkna determinant för kvadratmatris cirka 3 av 3.

Lösning.

I vårt exempel

Vi använder den resulterande formeln för att beräkna determinanten för en tredje ordningens matris:

Formler för beräkning av determinanter för kvadratmatriser av andra och tredje ordningen används mycket ofta, så vi rekommenderar att du kommer ihåg dem.

Egenskaper för en matrisdeterminant, beräkning av en matrisdeterminant med hjälp av egenskaper.

Baserat på ovanstående definition är följande sanna. matrisdeterminantegenskaper.

Determinanten för matrisen A är lika med determinanten för den transponerade matrisen A T, det vill säga .

Exempel.

Se till att matrisdeterminanten är lika med determinanten för den transponerade matrisen.

Lösning.

Låt oss använda formeln för att beräkna determinanten för en matris av ordningen 3 gånger 3:

Vi transponerar matris A:

Beräkna determinanten för den transponerade matrisen:

Faktum är att determinanten för den transponerade matrisen är lika med determinanten för den ursprungliga matrisen.

Om i en kvadratisk matris alla element i minst en av raderna (en av kolumnerna) är noll, är determinanten för en sådan matris lika med noll.

Exempel.

Kontrollera att matrisdeterminanten ordning 3 gånger 3 är noll.

Lösning.

Faktum är att determinanten för en matris med en nollkolumn är noll.

Om du byter två rader (kolumner) i en kvadratisk matris, kommer bestämningsfaktorn för den resulterande matrisen att vara motsatt den ursprungliga (det vill säga, tecknet kommer att ändras).

Exempel.

Givet två kvadratiska matriser av ordningen 3 gånger 3 Och . Visa att deras bestämningsfaktorer är motsatta.

Lösning.

Matris B erhålls från matris A genom att ersätta den tredje raden med den första och den första med den tredje. Enligt den övervägda egenskapen måste bestämningsfaktorerna för sådana matriser skilja sig åt i tecken. Låt oss kontrollera detta genom att beräkna determinanterna med hjälp av en välkänd formel.

Verkligen,.

Om minst två rader (två kolumner) är lika i en kvadratisk matris, är dess determinant lika med noll.

Exempel.

Visa att matrisdeterminanten är lika med noll.

Lösning.

I denna matris är de andra och tredje kolumnerna desamma, så enligt den övervägda egenskapen måste dess determinant vara lika med noll. Låt oss kolla upp det.

Faktum är att determinanten för en matris med två samma kolumner det finns noll.

Om i en kvadratisk matris alla element i en rad (kolumn) multipliceras med något tal k, så kommer determinanten för den resulterande matrisen att vara lika med determinanten för den ursprungliga matrisen, multiplicerad med k. Till exempel,

Exempel.

Bevisa att matrisdeterminanten är lika med tre gånger matrisens determinant .

Lösning.

Elementen i den första kolumnen i matris B erhålls från motsvarande element i den första kolumnen i matris A genom att multiplicera med 3. Då bör likställigheten i kraft av den betraktade egendomen hålla. Låt oss kontrollera detta genom att beräkna determinanterna för matriserna A och B.

Därför, , som skulle bevisas.

NOTERA.

Blanda inte ihop eller blanda ihop begreppen matris och determinant! Den betraktade egenskapen hos determinanten för en matris och operationen att multiplicera en matris med ett tal är långt ifrån samma sak.
, Men .

Om alla element i en rad (kolumn) i en kvadratmatris är summan av s termer (s är ett naturligt tal större än ett), så kommer determinanten för en sådan matris att vara lika med summan av s determinanter av matriser som erhålls från den ursprungliga, om som element i raden (kolumnen) lämnar en term i taget. Till exempel,

Exempel.

Bevisa att determinanten för en matris är lika med summan av matrisernas determinanter .

Lösning.

I vårt exempel , därför, på grund av den övervägda egenskapen hos matrisdeterminanten, jämlikheten . Vi kontrollerar det genom att beräkna motsvarande determinanter för matriser av ordning 2 gånger 2 med hjälp av formeln .

Av de erhållna resultaten kan man se det . Detta fullbordar beviset.

Om vi lägger till elementen i någon rad (kolumn) i matrisen motsvarande element i en annan rad (kolumn), multiplicerat med ett godtyckligt tal k, så kommer determinanten för den resulterande matrisen att vara lika med determinanten för den ursprungliga matrisen.

Exempel.

Se till att om elementen i den tredje kolumnen i matrisen lägg till motsvarande element i den andra kolumnen i denna matris, multiplicerat med (-2), och lägg till motsvarande element i den första kolumnen i matrisen, multiplicerat med ett godtyckligt reellt tal, så blir determinanten för den resulterande matrisen lika med den ursprungliga matrisens determinant.

Lösning.

Om vi utgår från den övervägda egenskapen hos determinanten, kommer determinanten för matrisen som erhålls efter alla transformationer som anges i problemet att vara lika med determinanten för matrisen A.

Först beräknar vi determinanten för den ursprungliga matrisen A:

Låt oss nu utföra de nödvändiga transformationerna av matrisen A.

Låt oss lägga till elementen i den tredje kolumnen i matrisen motsvarande element i den andra kolumnen i matrisen, efter att tidigare ha multiplicerat dem med (-2) . Efter det kommer matrisen att se ut så här:

Till elementen i den tredje kolumnen i den resulterande matrisen lägger vi till motsvarande element i den första kolumnen, multiplicerat med:

Beräkna determinanten för den resulterande matrisen och se till att den är lika med determinanten för matrisen A, det vill säga -24:

Determinanten för en kvadratisk matris är summan av produkterna av elementen i en rad (kolumn) efter deras algebraiska tillägg.

Här är det algebraiska komplementet till matriselementet .

Denna egenskap gör det möjligt att beräkna determinanter för matriser av ordning högre än 3 gånger 3 genom att reducera dem till summan av flera determinanter av ordningsmatriser en lägre. Med andra ord är detta en återkommande formel för att beräkna determinanten för en kvadratisk matris av valfri ordning. Vi rekommenderar att du kommer ihåg det på grund av att det är ganska ofta används.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel.

beställ 4 gånger 4, utöka den

genom element i den tredje raden,
av elementen i den andra kolumnen.

Lösning.

Vi använder formeln för att utöka determinanten med elementen i den tredje raden

Vi har

Så problemet med att hitta determinanten för en matris av ordningen 4 gånger 4 reducerades till beräkningen av tre determinanter av matriser av ordningen 3 med 3:

Genom att ersätta de erhållna värdena kommer vi fram till resultatet:

Vi använder formeln för att expandera determinanten med elementen i den andra kolumnen

och vi agerar på samma sätt.

Vi kommer inte att beskriva i detalj beräkningen av determinanterna för matriser av tredje ordningen.

Exempel.

Beräkna matrisdeterminant cirka 4 av 4.

Lösning.

Du kan dekomponera matrisdeterminanten i element i valfri kolumn eller valfri rad, men det är mer fördelaktigt att välja den rad eller kolumn som innehåller det största antalet nollelement, eftersom detta hjälper till att undvika onödiga beräkningar. Låt oss utöka determinanten med elementen i den första raden:

Vi beräknar de erhållna determinanterna för matriser av ordningen 3 gånger 3 enligt formeln som är känd för oss:

Vi ersätter resultaten och får önskat värde

Exempel.

Beräkna matrisdeterminant cirka 5 av 5.

Lösning.

Den fjärde raden i matrisen har det största antalet nollelement bland alla rader och kolumner, så det är lämpligt att expandera matrisdeterminanten exakt med elementen i den fjärde raden, eftersom vi i det här fallet behöver färre beräkningar.

De erhållna determinanterna för matriser av ordningen 4 till 4 hittades i de tidigare exemplen, så vi kommer att använda de färdiga resultaten:

Exempel.

Beräkna matrisdeterminant cirka 7 av 7.

Lösning.

Du bör inte omedelbart skynda dig att bryta ned determinanten av elementen i någon rad eller kolumn. Om du tittar noga på matrisen kommer du att märka att elementen i den sjätte raden i matrisen kan erhållas genom att multiplicera motsvarande element i den andra raden med två. Det vill säga, om vi adderar motsvarande element i den andra raden multiplicerat med (-2) till elementen i den sjätte raden, kommer determinanten inte att förändras på grund av den sjunde egenskapen, och den sjätte raden i den resulterande matrisen kommer att bestå av nollor. Determinanten för en sådan matris är lika med noll med den andra egenskapen.

Svar:

Det bör noteras att den övervägda egenskapen tillåter en att beräkna determinanterna för matriser av vilken ordning som helst, men man måste utföra många beräkningsoperationer. I de flesta fall är det mer fördelaktigt att hitta determinanten för matriser av ordning högre än den tredje med Gauss-metoden, som vi kommer att överväga nedan.

Summan av produkterna av elementen i valfri rad (kolumn) i en kvadratisk matris och de algebraiska komplementen av motsvarande element i en annan rad (kolumn) är lika med noll.

Exempel.

Visa att summan av produkterna av elementen i den tredje kolumnen i matrisen på algebraiska komplement av motsvarande element i den första kolumnen är lika med noll.

Lösning.

Determinanten av produkten av kvadratiska matriser av samma ordning är lika med produkten av deras determinanter, det vill säga , där m är ett naturligt tal större än ett, A k , k=1,2,...,m är kvadratiska matriser av samma ordning.

Exempel.

Se till att determinanten av produkten av två matriser och är lika med produkten av deras determinanter.

Lösning.

Låt oss först hitta produkten av determinanterna för matriserna A och B:

Låt oss nu utföra matrismultiplikation och beräkna determinanten för den resulterande matrisen:

Således, , som skulle visas.

Beräkning av matrisdeterminanten med Gauss-metoden.

Låt oss beskriva kärnan i denna metod. Med hjälp av elementära transformationer reduceras matrisen A till en sådan form att i den första kolumnen alla element utom blir noll (detta är alltid möjligt om determinanten för matrisen A inte är noll). Vi kommer att beskriva denna procedur lite senare, men nu kommer vi att förklara varför detta görs. Nollelement erhålls för att erhålla den enklaste expansionen av determinanten över elementen i den första kolumnen. Efter en sådan omvandling av matrisen A, med hänsyn till den åttonde egenskapen och , får vi

Var - mindre (n-1)-te ordningen, erhållen från matris A genom att ta bort elementen i dess första rad och första kolumn.

Med matrisen som minor motsvarar, görs samma procedur för att erhålla nollelement i den första kolumnen. Och så vidare tills den slutliga beräkningen av determinanten.

Nu återstår det att svara på frågan: "Hur får man nollelement i den första kolumnen"?

Låt oss beskriva algoritmen för åtgärder.

Om , då läggs elementen i den första raden i matrisen till motsvarande element i den k:te raden, där . (Om utan undantag alla element i den första kolumnen i matrisen A är noll, så är dess determinant noll med den andra egenskapen och ingen Gaussisk metod behövs). Efter en sådan transformation kommer det "nya" elementet att skilja sig från noll. Determinanten för den "nya" matrisen kommer att vara lika med determinanten för den ursprungliga matrisen på grund av den sjunde egenskapen.

Nu har vi en matris som har . När till elementen i den andra raden lägger vi till motsvarande element i den första raden, multiplicerat med , till elementen i den tredje raden, motsvarande element i den första raden, multiplicerat med . Och så vidare. Sammanfattningsvis, till elementen i den n:e raden lägger vi till motsvarande element i den första raden, multiplicerat med . Så den transformerade matrisen A kommer att erhållas, vars alla element i den första kolumnen, förutom , kommer att vara noll. Determinanten för den resulterande matrisen kommer att vara lika med determinanten för den ursprungliga matrisen på grund av den sjunde egenskapen.

Låt oss analysera metoden när vi löser ett exempel, så det blir tydligare.

Exempel.

Beräkna determinanten för en matris av ordningen 5 gånger 5 .

Lösning.

Låt oss använda Gauss-metoden. Låt oss transformera matrisen A så att alla element i dess första kolumn, förutom , blir noll.

Eftersom elementet initialt är , lägger vi till elementen i den första raden i matrisen motsvarande element, till exempel den andra raden, eftersom:

Tecknet "~" betyder ekvivalens.

Nu lägger vi till elementen i den andra raden motsvarande element i den första raden, multiplicerat med , till elementen i den tredje raden - motsvarande element i den första raden, multiplicerat med , och fortsätt på liknande sätt upp till den sjätte raden:

Vi får

med matris vi utför samma procedur för att erhålla nollelement i den första kolumnen:

Därav,

Nu utför vi transformationer med matrisen :

Kommentar.

I något skede av matristransformationen med Gauss-metoden kan en situation uppstå när alla element i de sista raderna i matrisen blir noll. Detta kommer att tala om likheten mellan determinanten och noll.

Sammanfatta.

Determinanten för en kvadratisk matris vars element är tal är ett tal. Vi har övervägt tre sätt att beräkna determinanten:

genom summan av produkter av kombinationer av matriselement;
genom expansionen av determinanten med elementen i raden eller kolumnen i matrisen;
metoden att reducera matrisen till den övre triangulära (med Gauss-metoden).

Formler erhölls för att beräkna determinanterna för matriser av ordningen 2 x 2 och 3 x 3.

Vi har analyserat egenskaperna hos matrisdeterminanten. Vissa av dem låter dig snabbt förstå att determinanten är noll.

Vid beräkning av determinanterna för matriser av ordning högre än 3 gånger 3, är det lämpligt att använda Gauss-metoden: utför elementära transformationer av matrisen och för den till den övre triangulära. Determinanten för en sådan matris är lika med produkten av alla element på huvuddiagonalen.

1. Determinanten ändras inte under införlivandet.

2. Om en av determinantens rader består av nollor, är determinanten lika med noll.

3. Om två rader omarrangeras i determinanten kommer determinanten att ändra tecken.

4. Determinanten som innehåller två identiska strängar är lika med noll.

5. Om alla element i någon rad av determinanten multipliceras med något tal k, så kommer själva determinanten att multipliceras med k.

6. Determinanten som innehåller två proportionella rader är lika med noll.

7. Om alla element i den i:te raden av determinanten presenteras som summan av två termer a i j = b j + c j (j= ), så är determinanten lika med summan av determinanterna, där alla rader, utom för den i-te raden, är desamma som i den givna determinanten , och den i-te raden i en av summeringarna består av element b j , i den andra - av element c j .

8. Determinanten ändras inte om motsvarande element i en annan rad, multiplicerat med samma tal, adderas till elementen i en av dess rader.

Kommentar. Alla egenskaper förblir giltiga om kolumner tas istället för rader.

Mindre M i j för elementet a i j av determinanten d av den n:e ordningen är determinanten för ordningen n-1, som erhålls från d genom att radera raden och kolumnen som innehåller detta element.

Algebraisk tillägg element a i j av determinanten d är dess mindre M i j , taget med tecknet (-1) i + j . Det algebraiska komplementet av elementet a i j kommer att betecknas med A i j . Således är Aj = (-1) i + j M i j.

Metoder för praktisk beräkning av determinanter baserade på att determinanten för ordning n kan uttryckas i termer av determinanter av lägre ordning ges av följande sats.

Sats (nedbrytning av determinanten i en rad eller kolumn).

Determinanten är lika med summan av produkterna av alla element i dess godtyckliga rad (eller kolumn) och deras algebraiska komplement. Det finns med andra ord en utbyggnad av d vad gäller i-te element rader d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

eller j-te kolumnen d = aijAij +a2jA2j +... +anjAnj (j =).

I synnerhet, om alla element i en rad (eller kolumn) utom en är lika med noll, är determinanten lika med detta element multiplicerat med dess algebraiska komplement.

Exempel 1.4. Beräknar inte determinanten , visa att det är lika med noll. Lösning. Subtrahera den första raden från den andra raden, vi får determinanten lika med originalet. Om vi även subtraherar den första raden från den tredje raden får vi determinanten , där de två raderna är proportionella. Denna determinant är noll.

Exempel 1.5. Beräkna determinanten D = , expanderar den med elementen i den andra kolumnen.

Lösning. Låt oss utöka determinanten med elementen i den andra kolumnen:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Exempel 1.6. Beräkna determinant

A=
, där alla element på ena sidan av huvuddiagonalen är lika med noll. Lösning. Låt oss utöka determinanten A i första raden: A = a 11 A 11 = . Determinanten till höger kan utökas igen längs den första linjen, då får vi:

A=
.Och så vidare. Efter n steg kommer vi fram till likheten A = a 11 a 22... a nn.

3.Grundläggande begrepp för linjära ekvationssystem. Cramers teorem.

Definition. System av linjära ekvationerär förbundet för n linjära ekvationer, som var och en innehåller k variabler. Det är skrivet så här:

Många, när de står inför högre algebra för första gången, tror felaktigt att antalet ekvationer nödvändigtvis måste sammanfalla med antalet variabler. I skolalgebra är detta vanligtvis fallet, men för högre algebra är detta generellt sett inte sant.

Definition. Lösa ett ekvationssystemär en talföljd ( k 1 ,k 2 , ..., k n), som är en lösning på varje ekvation i systemet, dvs. när du substituerar i denna ekvation istället för variabler x 1 , x 2 , ..., x n ger rätt numeriskt värde.

Respektive, lösa ekvationssystemet betyder att hitta mängden av alla dess lösningar eller att bevisa att denna uppsättning är tom. Eftersom antalet ekvationer och antalet okända kanske inte är samma, är tre fall möjliga:

1. Systemet är inkonsekvent, dvs. uppsättningen av alla lösningar är tom. Ett ganska sällsynt fall som lätt upptäcks oavsett vilken metod man ska lösa systemet.

2. Systemet är konsekvent och definierat, d.v.s. har exakt en lösning. Den klassiska versionen, välkänd sedan skolan.

3. Systemet är kompatibelt och inte definierat, d.v.s. har oändligt många lösningar. Detta är det svåraste alternativet. Det räcker inte med att konstatera att "systemet har en oändlig uppsättning lösningar" - det är nödvändigt att beskriva hur denna uppsättning är ordnad.

Definition. Variabel x i kallad tillåten, om den ingår i endast en ekvation av systemet, och med en koefficient på 1. Med andra ord, i de återstående ekvationerna, koefficienten för variabeln x i ska vara lika med noll.

Om vi väljer en tillåten variabel i varje ekvation får vi en uppsättning tillåtna variabler för hela ekvationssystemet. Själva systemet, skrivet i denna form, kommer också att kallas tillåtet. Generellt sett kan ett och samma initialsystem reduceras till olika tillåtna system, men det berör oss inte nu. Här är exempel på tillåtna system:

Båda systemen är tillåtna med avseende på variabler x 1 , x 3 och x 4 . Men med samma framgång kan man hävda att det andra systemet är relativt tillåtet x 1 , x 3 och x 5 . Det räcker med att skriva om den sista ekvationen som x 5 = x 4 .

Överväg nu ett mer allmänt fall. Låt oss få allt k variabler, varav rär tillåtna. Då är två fall möjliga:

1. Antal tillåtna variabler rär lika med det totala antalet variabler k: r = k. Vi hämtar systemet från k ekvationer där r = k tillåtna variabler. Ett sådant system är kollaborativt och definitivt, eftersom x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Antal tillåtna variabler r mindre Totala numret variabler k: r < k. Resten ( k − r) variabler kallas fria - de kan anta alla värden från vilka tillåtna variabler lätt beräknas.

Således, i ovanstående system, variablerna x 2 , x 5 , x 6 (för det första systemet) och x 2 , x 5 (för den andra) är gratis. Fallet när det finns fria variabler är bättre formulerat som ett teorem...

Hur man löser?: – Lösa ett system av linjära ekvationer med hjälp av substitutionsmetoden (”skolmetoden”).
– Lösning av systemet genom term-för-term addition (subtraktion) av systemekvationer.
–Lösning av systemet med Cramers formler.
– Lösning av systemet med den inversa matrisen.
–Lösning av systemet med Gauss-metoden.

KRAMER

Betrakta först Cramers regel för ett system med två linjära ekvationer med två okända. Det finns linjära ekvationssystem med två variabler, som det är lämpligt att lösa exakt enligt Cramers regel!

Tänk på ekvationssystemet

I det första steget beräknar vi determinanten , den kallas den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet.

Om , så har systemet oändligt många lösningar eller är inkonsekvent (har inga lösningar). I det här fallet kommer Cramers regel inte att hjälpa, du måste använda Gauss metod.

Om , så har systemet en unik lösning, och för att hitta rötterna måste vi beräkna ytterligare två determinanter: och

I praktiken kan ovanstående kvalificeringar också betecknas med den latinska bokstaven.

Rötterna till ekvationen hittas av formlerna:,

Exempel 7

Lös ett system av linjära ekvationer

Vi ser att ekvationens koefficienter är ganska stora, på höger sida finns decimalbråk med kommatecken. Komtecken är en ganska sällsynt gäst i praktiska uppgifter i matematik tog jag detta system från ett ekonometriskt problem.

Hur löser man ett sådant system? Du kan försöka uttrycka en variabel i termer av en annan, men i det här fallet kommer du säkert att få fruktansvärda fancy bråk, som är extremt obekväma att arbeta med, och designen av lösningen kommer att se bara hemsk ut. Du kan multiplicera den andra ekvationen med 6 och subtrahera term för term, men samma bråk visas här.

Vad ska man göra? I sådana fall kommer Cramers formler till undsättning.

Så systemet har en unik lösning.

;

Som du kan se visade rötterna sig vara irrationella och hittades ungefär, vilket är ganska acceptabelt (och till och med vanligt) för ekonometriska problem.

Kommentarer behövs inte här, eftersom uppgiften löses enligt färdiga formler, men det finns en varning. Vid användning den här metoden, obligatorisk Uppgiftens fragment är följande fragment: « , så systemet har en unik lösning . Annars kan recensenten straffa dig för att du inte respekterar Cramers teorem.

Det kommer inte att vara överflödigt att kontrollera, vilket är bekvämt att utföra på en kalkylator: vi ersätter de ungefärliga värdena på vänster sida av varje ekvation i systemet. Som ett resultat, med ett litet fel, bör siffror som är på höger sida erhållas.

Cramers formler

Cramers metod är att vi successivt hittar huvudsystemidentifierare(5.3), dvs. matris A determinant

Och n hjälpdeterminanter Di (i= ), som erhålls från determinanten D genom att ersätta den i:te kolumnen med en kolumn med fria medlemmar.

Cramers formler har formen:

D x xi = Di (i = ). (5.4)

Från (5.4) följer Cramers regel, som ger ett uttömmande svar på frågan om systemets kompatibilitet (5.3): om systemets huvuddeterminant inte är noll, så har systemet en unik lösning, bestäms av formlerna:

Om huvuddeterminanten för systemet D och alla hjälpdeterminanter D i = 0 (i= ), så har systemet ett oändligt antal lösningar. Om huvuddeterminanten för systemet D = 0, och åtminstone en hjälpdeterminant skiljer sig från noll, är systemet inkonsekvent.

Exempel 1.14. Lös ekvationssystemet med Cramers metod:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

Lösning. Huvuddeterminanten för detta system D = = -142 ¹ 0, så systemet har en unik lösning. Låt oss beräkna hjälpdeterminanterna Di (i= ) som erhålls från determinanten D genom att i den ersätta en kolumn som består av koefficienter vid x i med en kolumn med fria medlemmar: D 1 = = - 142, D2 = = - 284, D3 = = - 426,

D4= = 142. Därför x 1 = D 1 / D = 1, x 2 = D 2 / D = 2, x 3 = D 3 / D = 3, x 4 = D 4 / D = -1, systemets lösning är vektorn C =(1, 2, 3, -1) T .

Grundläggande begrepp för linjära ekvationssystem. Gauss metod.

SE OVAN.

Gauss-Jordan-metoden(metod för fullständig eliminering av okända) - en metod som används för att lösa kvadratiska system av linjära algebraiska ekvationer, hitta inversen av en matris, hitta koordinaterna för en vektor i en given bas, eller hitta rangordningen för en matris. Metoden är en modifiering av Gauss-metoden.

Algoritm

1. Välj den första vänstra kolumnen i matrisen, som har minst ett värde som inte är noll.

2. Om det översta talet i denna kolumn är noll, ändra då hela den första raden i matrisen med en annan rad i matrisen, där det inte finns någon noll i denna kolumn.

3. Alla element i den första raden delas med det översta elementet i den valda kolumnen.

4. Subtrahera den första raden från de återstående raderna, multiplicerad med det första elementet i motsvarande rad, för att få det första elementet i varje rad (utom den första) noll.

6. Efter att ha upprepat denna procedur en gång erhålls en övre triangulär matris

7. Subtrahera från den näst sista raden den sista raden, multiplicerad med motsvarande koefficient, så att endast 1 på huvuddiagonalen återstår i den näst sista raden.

8. Upprepa föregående steg för efterföljande rader. Som ett resultat erhålls en identitetsmatris och en lösning i stället för en fri vektor (det är nödvändigt att utföra alla samma transformationer med den).

9. För att få den inversa matrisen måste du tillämpa alla operationer i samma ordning på identitetsmatrisen.

Gauss metod

Historiskt sett är den första, vanligaste metoden för att lösa system av linjära ekvationer Gauss-metoden, eller metoden för successiv eliminering av okända. Kärnan i denna metod är att genom successiva eliminering av okända detta system förvandlas till ett stegvis (i synnerhet triangulärt) system som motsvarar det givna. I den praktiska lösningen av ett system av linjära ekvationer med Gauss-metoden är det mer bekvämt att reducera till en stegvis form inte själva ekvationssystemet, utan den utökade matrisen för detta system, som utför elementära transformationer på dess rader. Matriser som successivt erhålls under transformationen är vanligtvis förbundna med ett ekvivalenstecken.

Exempel 1.13. Lös ekvationssystemet med Gauss-metoden: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Lösning. Vi skriver den utökade matrisen för detta system

och utför följande elementära transformationer på dess rader: a) subtrahera den första raden från dess andra och tredje rad, multiplicerat med 3 respektive 2: ~ ;

b) multiplicera den tredje raden med (-5) och lägg till den andra: .

Som ett resultat av alla dessa transformationer reduceras detta system till en triangulär form: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Från den sista ekvationen finner vi z = -1,3. Om vi ersätter detta värde i den andra ekvationen får vi y = -1,2. Vidare från den första ekvationen får vi x = - 0,7

FRÅN ANteckningsboken:

Gauss metod

Metoden består av två delar - framåt och bakåt.

Den direkta flytten består i beteendet av expansionen av SLE-matrisen till en stegvis form med hjälp av elementära radtransformationer. I en stegvis matris har varje efterföljande rad fler nollor i början än den föregående - eller så är den noll

Exempel:

Den elementära transformationen av matrisrader är:

1) lägga till siffrorna för en rad i matrisen, multiplicerat med något tal, till en av de nedre raderna i matrisen.

2) Byt två linjer på sina ställen

Det omvända draget av den Gaussiska metoden består i det sekventiella uttrycket av vissa variabler i termer av andra, med början från den nedersta nollraden. Resultatet är en generell lösning.

Efter framåtslaget finns det 3 alternativ för den stegvisa typen av den expanderade matrisen:

1) Varje nästa rad har i början exakt mer än en nolla mer än den föregående

Exempel:

Vi skriver ekvationen rad för rad och börjar hitta värdet på variablerna från den nedersta raden.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

Ersätt i föregående ekvation

2X 3 -3X 4 \u003d -8 dvs. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 eller 2X 3 \u003d -2, Þ X 3 \u003d -1, ersätt X3 och X4 i den andra raden, etc. Vi får SLU:s enda lösning

2) Antalet rader som inte är noll är mindre än antalet variabler. Då innehåller en av raderna nollor i början minst 2 fler än den föregående och vi anser att den efterföljande raden som inte är noll inte har formen (0 ... 0 b) där talet b=0

Till exempel:

3) Den sista raden som inte är noll har formen (0…0/b), där b=0 den motsvarar motstridiga likheter o=b, så systemet är inkompatibelt

Lösning av SLE med Gauss-metoden

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4X 1 + 5X 2 + 4X 3 = 7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Vi komponerar den utökade matrisen för det direkta draget.

· determinant fyrkant matriser A av n:e ordningen eller n:e ordningens determinant kallas ett tal lika med den algebraiska summan P! medlemmar, som var och en är en produkt P matriselement tagna ett från varje rad och varje kolumn med vissa tecken. Determinanten betecknas med eller .

Andra ordningens determinantär ett tal uttryckt enligt följande: . Till exempel .

Tredje ordningens determinant beräknas enligt regeln om trianglar (Sarrus-regeln): .

Exempel. .

Kommentar. I praktiken beräknas tredje ordningens determinanter, såväl som högre ordningar, med hjälp av determinanternas egenskaper.

Egenskaper för determinanter av n:e ordningen.

1. Determinantens värde ändras inte om varje rad (kolumn) ersätts med en kolumn (rad) med samma nummer - införliva.

2. Om en av raderna (kolumnen) i determinanten består av nollor, är värdet på determinanten noll.

3. Om två rader (kolumner) byts ut i determinanten, kommer det absoluta värdet av determinanten inte att ändras, och tecknet ändras till det motsatta.

4. Determinanten som innehåller två identiska rader (kolumner) är lika med noll.

5. Den gemensamma faktorn för alla element i en rad (kolumn) kan tas bort från determinantens tecken.

· Mindre någon del av determinanten P ordningen kallas determinanten ( P-1)-th order, erhållen från originalet genom att radera raden och kolumnen i skärningspunkten där det valda elementet finns. Beteckning: .

· Algebraisk tillägg element av determinanten kallas dess mindre, taget med tecknet . Beteckning: Så =.

6. Determinanten för en kvadratisk matris är lika med summan av produkterna av elementen i valfri rad (eller kolumn) och deras algebraiska komplement ( nedbrytningssats).

7. Om varje element i den -:e raden är summan k termer, så representeras determinanten som en summa k determinanter där alla rader, förutom den -:e raden, är desamma som i den ursprungliga determinanten, och den -:e raden i den första determinanten består av de första termerna, i den andra - av den andra, och så vidare. Detsamma gäller för kolumner.

8. Determinanten ändras inte om ytterligare en rad (kolumn) multiplicerad med ett tal läggs till en av raderna (kolumnerna).

Följd. Om en linjär kombination av dess andra rader (kolumner) läggs till raden (kolumnen) för determinanten, kommer determinanten inte att ändras.

9. Determinanten för en diagonal matris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen, dvs.

Kommentar. Determinanten för en triangulär matris är också lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen.

De uppräknade egenskaperna hos determinanter gör det möjligt att avsevärt förenkla deras beräkning, vilket är särskilt viktigt för determinanter av hög ordning. I det här fallet är det tillrådligt att transformera den ursprungliga matrisen på ett sådant sätt att den transformerade matrisen har en rad eller kolumn som innehåller så många nollor som möjligt (”nollställande” rader eller kolumner).

Exempel. Beräkna igen determinanten som ges i föregående exempel, med hjälp av egenskaperna för determinanterna.

Lösning: Observera att på den första raden finns en gemensam faktor - 2, och i den andra - en gemensam faktor 3, vi tar bort dem från determinanttecknet (genom egenskap 5). Därefter expanderar vi determinanten, till exempel i den första kolumnen, med hjälp av egenskap 6 (expansionssats).

Mest effektiv metod för att reducera en determinant till en diagonal eller triangulär form . För att beräkna determinanten för en matris räcker det att utföra en transformation av matrisen som inte ändrar determinanten och gör det möjligt att göra om matrisen till en diagonal.

Sammanfattningsvis noterar vi att om determinanten för en kvadratmatris är lika med noll, så kallas matrisen degenererad (eller speciell) , annars - icke degenererad .

Här kommer de egenskaper som vanligtvis används för att beräkna determinanter i standardkursen för högre matematik att anges. Detta är ett sekundärt ämne, som vi kommer att hänvisa till från de återstående avsnitten vid behov.

Så, givet en kvadratisk matris $A_(n\ gånger n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( array )\höger)$. Varje kvadratisk matris har en egenskap som kallas en determinant (eller determinant). Jag kommer inte att gå in på kärnan i detta koncept här. Om det kräver ett förtydligande, skriv om det till forumet, så kommer jag att beröra denna fråga mer detaljerat.

Determinanten för matrisen $A$ betecknas som $\Delta A$, $|A|$ eller $\det A$. Bestämmande ordning lika med antalet rader (kolumner) i den.

Värdet på determinanten kommer inte att ändras om dess rader ersätts av motsvarande kolumner, dvs. $\Delta A=\Delta A^T$.
visa gömma

Låt oss ersätta raderna i den med kolumner enligt principen: "det fanns den första raden - den första kolumnen blev", "det var den andra raden - den andra kolumnen blev":

Låt oss beräkna den resulterande determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Som du kan se har värdet på determinanten inte ändrats från ersättningen.
Om du byter två rader (kolumner) av determinanten, kommer tecknet för determinanten att ändras till det motsatta.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Tänk på $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Låt oss hitta dess värde med formel nr 1 från ämnet beräkning av andra och tredje ordningens determinanter:
$$\vänster| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Låt oss nu byta första och andra raden. Få determinanten $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Låt oss beräkna den resulterande determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Så, värdet på den ursprungliga determinanten var (-37), och värdet på determinanten med den ändrade radordningen är $-(-37)=37$. Determinantens tecken har ändrats till det motsatta.
En determinant där alla element i en rad (kolumn) är lika med noll är lika med noll.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Sedan i $\vänster| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ alla element i den tredje kolumnen är noll, då determinanten är noll , dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.
En determinant där alla element i en viss rad (kolumn) är lika med motsvarande element i en annan rad (kolumn) är lika med noll.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Sedan i $\vänster| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ alla element i den första raden är lika med motsvarande element i den andra raden, då är determinanten noll, dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.
Om i determinanten alla element i en rad (kolumn) är proportionella mot motsvarande element i en annan rad (kolumn), så är en sådan determinant lika med noll.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Sedan i $\vänster| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ den andra och tredje raden är proportionella, dvs. $r_3=-3\cdot(r_2)$, då är determinanten lika med noll, dvs. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.
Om alla element i en rad (kolumn) har en gemensam faktor, kan denna faktor tas bort från determinantens tecken.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Tänk på $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Observera att alla element i den andra raden är delbara med 3:
$$\vänster| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
Siffran 3 är den gemensamma faktorn för alla element i den andra raden. Låt oss ta trippeln ur determinanttecknet:
$$ \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$
Determinanten ändras inte om vi till alla element i en viss rad (kolumn) lägger till motsvarande element i en annan rad (kolumn), multiplicerat med ett godtyckligt tal.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Tänk på $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Låt oss addera till elementen på den andra raden motsvarande element på den tredje raden, multiplicerat med 5. Skriv denna åtgärd så här: $r_2+5\cdot(r_3)$. Den andra raden kommer att ändras, resten av raderna kommer att förbli oförändrade.
$$ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$
Om en viss rad (kolumn) i determinanten är en linjär kombination av andra rader (kolumner), så är determinanten lika med noll.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Jag kommer omedelbart att förklara vad frasen "linjär kombination" betyder. Låt oss ha s rader (eller kolumner): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Uttryck
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
där $k_i\in R$ kallas en linjär kombination av rader (kolumner) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Tänk till exempel på följande determinant:
$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array)\right| $$
I denna determinant kan den fjärde raden uttryckas som en linjär kombination av de tre första raderna:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Därför är determinanten som beaktas lika med noll.
Om varje element i en viss k:te rad (k:te kolumnen) i en determinant är lika med summan av två termer, så är en sådan determinant lika med summan av determinanter, varav den första har k-te raden (k:te kolumnen) har de första termerna, och den andra determinanten i den k:te raden (k:te kolumnen) har de andra termerna. Andra delar av dessa bestämningsfaktorer är desamma.
Ett exempel på användning av den här egenskapen: show\hide

Tänk på $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Låt oss skriva elementen i den andra kolumnen så här: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Då är en sådan determinant lika med summan av två determinanter:
$$ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$
Determinanten av produkten av två kvadratiska matriser av samma ordning är lika med produkten av determinanterna för dessa matriser, dvs. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Från denna regel kan du få följande formel: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Om matrisen $A$ är icke-singular (dvs. dess determinant är inte lika med noll), då $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formler för beräkning av determinanter

För determinanter av andra och tredje ordningen är följande formler sanna:

\begin(ekvation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(ekvation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(aligned) \end(ekvation)

Exempel på tillämpning av formler (1) och (2) finns i ämnet "Formler för beräkning av andra och tredje ordningens determinanter. Exempel på beräkning av determinanter" .

Determinanten för matrisen $A_(n\ gånger n)$ kan utökas i termer av i:te raden med följande formel:

\begin(ekvation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ekvation)

En analog av denna formel finns också för kolumner. Formeln för att expandera determinanten i den j:te kolumnen är följande:

\begin(ekvation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ekvation)

Reglerna uttryckta av formlerna (3) och (4) illustreras i detalj med exempel och förklaras i ämnet Minska ordningen för en determinant. Nedbrytning av determinanten i en rad (kolumn).

Vi anger ytterligare en formel för att beräkna determinanterna för övre triangulära och nedre triangulära matriser (för en förklaring av dessa termer, se ämnet "Matriser. Typer av matriser. Grundläggande termer"). Determinanten för en sådan matris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen. Exempel:

\begin(aligned) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\vänster| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ höger|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(justerad)

Determinant: det, ||, determinant.

Determinanten är inte en matris utan ett tal.

Hur hittar man determinanten för en matris?

För att hitta bestämningsfaktorn för en matris introducerar vi begreppet "mindre". Notation: M ij - moll, M ij 2 - moll av andra ordningen (matrisens determinant 2 * 2), etc.

För att hitta minor för elementet a ij, ta bort från matrisen A i-te raden Och j:te kolumnen. Vi får en matris med dimensionerna n-1 * m-1, finner vi determinant för denna matris.

Exempel: hitta andra ordningens moll för element a 12 i matris A:

Vi kryssar ut den första raden och den andra kolumnen från matrisen A. Vi får en matris med 2 * 2 dimensioner, finner vi determinant för denna matris:

Så en moll är inte en matris, utan ett tal.

Exempel: hitta determinanten (i allmän form) för en 2*2-matris genom expansion i 1) rader; 2) kolumn:

Genom rad: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* en 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

Efter kolumn: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* en 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Det är lätt att se att samma resultat erhålls.

För att hitta determinanten för 2 * 2-matrisen räcker det alltså att subtrahera produkten av elementen i sidodiagonalen från produkten av elementen i huvuddiagonalen:

Hur beräknar man snabbt tredje ordningens determinant?

För att beräkna tredje ordningens determinant, använd triangelregel(eller "asterisker").

1. Multiplicera elementen i huvuddiagonalen: det(A)=11*22*33...

2. Lägg till produkten av "trianglar med baser parallella med huvuddiagonalen" till den resulterande produkten: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. Allt relaterat till den sekundära diagonalen tas med "-"-tecknet. Multiplicera elementen i den sekundära diagonalen och subtrahera: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. På samma sätt som "huvudtrianglarna" multiplicerar vi sidostorna och subtraherar: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23* 32-33*12 *21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Egenskaper för matrisdeterminanten.

När du byter två parallella rader eller kolumner av en determinant, är dess tecken omvänt;
En determinant som innehåller två identiska rader eller kolumner är lika med noll;
Om en av determinantens rader multipliceras med något tal, kommer determinanten att vara lika med den ursprungliga determinanten multiplicerad med detta tal;
När en matris transponeras ändrar dess determinant inte dess värde;
Om i determinanten, istället för någon linje, skriv summan av denna linje och vilken annan linje som helst, multiplicerad med något tal, så kommer den resulterande nya determinanten att vara lika med den ursprungliga;
Om varje element i någon rad eller kolumn i en determinant representeras som en summa av två termer, så kan denna determinant delas upp i summan av två motsvarande determinanter;
Den gemensamma faktorn för elementen i valfri rad eller kolumn i determinanten kan tas bort från determinantens tecken.