ขยายเมทริกซ์ทีละแถว เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยแยกย่อยเป็นองค์ประกอบของบางแถวหรือบางคอลัมน์

สารละลาย.ก่อนอื่น ให้เราทำการแปลงเบื้องต้นในแถวของดีเทอร์มิแนนต์ โดยสร้างศูนย์ให้ได้มากที่สุดทั้งในแถวหรือในคอลัมน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกลบเก้าในสามจากบรรทัดแรก ห้าในสามจากบรรทัดที่สอง และสามในสามจากบรรทัดที่สี่ เราจะได้:

ให้เราแยกปัจจัยผลลัพธ์ออกเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์แรก:

นอกจากนี้เรายังจะขยายปัจจัยกำหนดลำดับที่สามที่เป็นผลลัพธ์ให้เป็นองค์ประกอบแถวและคอลัมน์ โดยก่อนหน้านี้ได้รับค่าศูนย์ เช่น ในคอลัมน์แรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบสองบรรทัดที่สองจากบรรทัดแรก และบรรทัดที่สองจากบรรทัดที่สาม:

คำตอบ.

12. สเลฟลำดับที่ 3

1. กฎสามเหลี่ยม

ตามกฎนี้สามารถอธิบายกฎนี้ได้ดังนี้:

ผลคูณขององค์ประกอบในตัวกำหนดแรกที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงจะมีเครื่องหมายบวก ในทำนองเดียวกันสำหรับปัจจัยที่สอง - ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องจะมีเครื่องหมายลบเช่น

2. กฎของซาร์รัส

ทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์ให้เพิ่มสองคอลัมน์แรกแล้วนำผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมขนานกับมันด้วยเครื่องหมายบวก และผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและเส้นทแยงมุมขนานกับองค์ประกอบนั้น โดยมีเครื่องหมายลบ:

3. การขยายดีเทอร์มิแนนต์ในแถวหรือคอลัมน์

ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวของดีเทอร์มิแนนต์และการเสริมพีชคณิต โดยทั่วไปแล้ว แถว/คอลัมน์ที่มีเลขศูนย์จะถูกเลือก แถวหรือคอลัมน์ที่มีการสลายตัวจะถูกระบุด้วยลูกศร

ออกกำลังกาย.ขยายไปตามแถวแรก คำนวณดีเทอร์มิแนนต์

สารละลาย.

คำตอบ.

4. การลดดีเทอร์มิแนนต์ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้นบนแถวหรือคอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะลดลงเป็นรูปแบบสามเหลี่ยม จากนั้นค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ปัจจัยคำนวณ นำมาเป็นรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย.ขั้นแรกเราสร้างศูนย์ในคอลัมน์แรกใต้เส้นทแยงมุมหลัก การแปลงทั้งหมดจะดำเนินการได้ง่ายขึ้นหากองค์ประกอบเท่ากับ 1 ในการทำเช่นนี้ เราจะสลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ จะทำให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม:

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

การค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เป็นปัญหาที่พบบ่อยมากในคณิตศาสตร์และพีชคณิตขั้นสูง ตามกฎแล้วไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีค่าของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์เมื่อแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน วิธีแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการนั้นขึ้นอยู่กับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ การใช้คำนิยามของดีเทอร์มิแนนต์จะกำหนดการมีอยู่และไม่ซ้ำกันของคำตอบของระบบสมการ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะประเมินค่าสูงไปถึงความสำคัญของความสามารถในการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ในคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องและแม่นยำ วิธีการแก้ดีเทอร์มิแนนต์ในทางทฤษฎีนั้นค่อนข้างง่าย แต่เมื่อขนาดของเมทริกซ์เพิ่มขึ้น การคำนวณจะยุ่งยากมากและต้องใช้ความระมัดระวังและใช้เวลานานมาก เป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำผิดพลาดเล็กน้อยหรือพิมพ์ผิดในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ซึ่งจะนำไปสู่ข้อผิดพลาดในคำตอบสุดท้าย ดังนั้นแม้ว่าคุณจะพบว่า ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ตัวคุณเองสิ่งสำคัญคือต้องตรวจสอบผลลัพธ์ ซึ่งสามารถทำได้ด้วยบริการของเรา การค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แบบออนไลน์ บริการของเราให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำเสมอ โดยไม่มีข้อผิดพลาดหรือข้อผิดพลาดด้านเสมียน คุณสามารถปฏิเสธการคำนวณแบบอิสระได้เนื่องจากจากมุมมองที่ใช้แล้วคือการค้นหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มันไม่ใช่การศึกษาโดยธรรมชาติ แต่เพียงต้องใช้เวลาและการคำนวณเชิงตัวเลขมาก ดังนั้นหากอยู่ในงานของคุณ คำจำกัดความของดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์เป็นตัวเสริมการคำนวณด้านข้างใช้บริการของเราและ ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์!

การคำนวณทั้งหมดดำเนินการโดยอัตโนมัติด้วยความแม่นยำสูงสุดและไม่มีค่าใช้จ่ายใดๆ ทั้งสิ้น เรามีอินเทอร์เฟซที่สะดวกมากสำหรับการป้อนองค์ประกอบเมทริกซ์ แต่ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างบริการของเรากับบริการที่คล้ายกันคือความเป็นไปได้ในการได้รับโซลูชันโดยละเอียด บริการของเราได้ที่ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์ใช้วิธีการที่ง่ายที่สุดและสั้นที่สุดเสมอ และอธิบายรายละเอียดแต่ละขั้นตอนของการแปลงและลดความซับซ้อน คุณไม่เพียงแต่จะได้ค่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังได้ผลลัพธ์สุดท้ายด้วย

ในกรณีทั่วไป กฎสำหรับการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่ $n$ นั้นค่อนข้างยุ่งยาก สำหรับปัจจัยกำหนดอันดับที่สองและสาม มีวิธีการคำนวณอย่างมีเหตุผล

การคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อันดับสอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก:

$$\ซ้าย| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

สารละลาย.$\ซ้าย| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

คำตอบ.$\ซ้าย| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

วิธีการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

มีกฎต่อไปนี้สำหรับการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

กฎสามเหลี่ยม

ตามกฎนี้สามารถอธิบายกฎนี้ได้ดังนี้:

$$\ซ้าย| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) ก_(31)+ก_(13) ก_(21) ก_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $\left| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม

สารละลาย.$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (อาร์เรย์)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

คำตอบ.

กฎซาร์รัส

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $\left| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ โดยใช้กฎของซาร์รัส

สารละลาย.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

คำตอบ.$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (อาร์เรย์)\right|=54$

การขยายดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวหรือคอลัมน์

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ขยายไปตามแถวแรก คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $\left| \begin(อาร์เรย์)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(อาร์เรย์) \ขวา|$

สารละลาย.$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(อาร์เรย์) \ขวา| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

คำตอบ.

วิธีนี้ทำให้การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลดลงเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ต่ำกว่า

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $\left| \begin(อาร์เรย์)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(อาร์เรย์) \ขวา|$

สารละลาย.ให้เราทำการแปลงต่อไปนี้ในแถวของดีเทอร์มิแนนต์: จากแถวที่สองเราลบสี่ตัวแรกและจากแถวที่สามแถวแรกคูณด้วยเจ็ดด้วยเหตุนี้เราจึงได้ดีเทอร์มิแนนต์ตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับอันที่กำหนดให้

$$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(อาร์เรย์) \right|=\ซ้าย| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ สิ้นสุด(อาร์เรย์)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เนื่องจากแถวที่สองและสามเป็นสัดส่วน

คำตอบ.$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(อาร์เรย์) \right|=0$

ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สี่ขึ้นไป จะใช้การขยายแถว/คอลัมน์ หรือการลดรูปเป็นรูปสามเหลี่ยม หรือใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซ

การแบ่งดีเทอร์มิแนนต์ออกเป็นองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $\left| \begin(อาร์เรย์)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ แยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบของบางแถวหรือบางคอลัมน์

$$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(อาร์เรย์)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(อาร์เรย์)\right|=\ ซ้าย| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(อาร์เรย์)\right|$$

ให้เราแยกปัจจัยผลลัพธ์ออกเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์แรก:

$$\ซ้าย| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(อาร์เรย์)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ สิ้นสุด(อาร์เรย์)\right|+0$$

$$\ซ้าย| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ สิ้นสุด(อาร์เรย์)\right|=\left| \begin(อาร์เรย์)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

คำตอบ.$\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(อาร์เรย์)\right|=0$

ความคิดเห็น

ไม่สามารถคำนวณปัจจัยสุดท้ายและปัจจัยสุดท้ายได้ แต่สรุปได้ทันทีว่ามีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีแถวตามสัดส่วน

การลดดีเทอร์มิแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ ลดเป็นรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย.ขั้นแรกเราสร้างศูนย์ในคอลัมน์แรกใต้เส้นทแยงมุมหลัก การแปลงทั้งหมดจะดำเนินการได้ง่ายขึ้นหากองค์ประกอบ $a_(11)$ เท่ากับ 1 ในการทำเช่นนี้ เราจะสลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

$$\เดลต้า=\ซ้าย| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(อาร์เรย์)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(อาร์เรย์)\right|$$

$$\เดลต้า=-\ซ้าย| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(อาร์เรย์)\right|$$

ต่อไป เราจะได้ศูนย์ในคอลัมน์ที่สองแทนที่องค์ประกอบที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก ขอย้ำอีกครั้ง หากองค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากับ $\pm 1$ การคำนวณก็จะง่ายขึ้น ในการดำเนินการนี้ ให้สลับบรรทัดที่สองและสาม (และในเวลาเดียวกันก็เปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของดีเทอร์มิแนนต์):

$$\เดลต้า=\ซ้าย| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(อาร์เรย์)\right|$$

ให้เราแยกปัจจัยผลลัพธ์ออกเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์แรก:

คำตอบ.

12. สเลฟลำดับที่ 3

1. กฎสามเหลี่ยม

ตามกฎนี้สามารถอธิบายกฎนี้ได้ดังนี้:

2. กฎของซาร์รัส

3. การขยายดีเทอร์มิแนนต์ในแถวหรือคอลัมน์

ออกกำลังกาย.ขยายไปตามแถวแรก คำนวณดีเทอร์มิแนนต์

สารละลาย.

คำตอบ.

4. การลดดีเทอร์มิแนนต์ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ปัจจัยคำนวณ นำมาเป็นรูปสามเหลี่ยม

ต่อไป เราจะได้ศูนย์ในคอลัมน์ที่สองแทนที่องค์ประกอบที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก ขอย้ำอีกครั้งว่าหากองค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากับ การคำนวณก็จะง่ายขึ้น ในการดำเนินการนี้ ให้สลับบรรทัดที่สองและสาม (และในเวลาเดียวกันก็เปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของดีเทอร์มิแนนต์):

ต่อไปเราสร้างศูนย์ในคอลัมน์ที่สองใต้เส้นทแยงมุมหลักโดยทำดังนี้: เพิ่มสามแถวที่สองในแถวที่สามและสองแถวที่สองในแถวที่สี่เราได้รับ:

ต่อไป จากบรรทัดที่สาม เรานำ (-10) ออกจากดีเทอร์มิแนนต์ และตั้งศูนย์ในคอลัมน์ที่สามใต้เส้นทแยงมุมหลัก และในการดำเนินการนี้ เราจะเพิ่มบรรทัดที่สามในบรรทัดสุดท้าย: