สัญลักษณ์ค่าเฉลี่ย จะค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขได้อย่างไร? ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขคืออะไร?

รูปแบบของตัวชี้วัดทางสถิติที่พบบ่อยที่สุดที่ใช้ในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์คือค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นคุณลักษณะเชิงปริมาณทั่วไปของลักษณะเฉพาะในประชากรทางสถิติ ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปของปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันตามลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันประการหนึ่ง มันสะท้อนถึงระดับของลักษณะนี้ที่กำหนดให้กับหน่วยประชากร การใช้ค่าเฉลี่ยอย่างแพร่หลายอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขามีคุณสมบัติเชิงบวกหลายประการ ซึ่งทำให้เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์และกระบวนการในระบบเศรษฐกิจ

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของค่าเฉลี่ยคือสะท้อนถึงสิ่งที่พบได้ทั่วไปในทุกหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษาอยู่ ค่าคุณลักษณะของแต่ละหน่วยของประชากรผันผวนในทิศทางเดียวหรืออีกทิศทางหนึ่งภายใต้อิทธิพลของหลายปัจจัย ซึ่งอาจมีทั้งพื้นฐานและแบบสุ่ม ตัวอย่างเช่น ราคาหุ้นของบริษัทโดยรวมจะถูกกำหนดโดยสถานะทางการเงินของบริษัท ในเวลาเดียวกัน ในบางวันและในตลาดหลักทรัพย์บางแห่ง อาจขายหุ้นเหล่านี้ในอัตราที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าเนื่องจากสถานการณ์ที่เป็นอยู่ สาระสำคัญของค่าเฉลี่ยอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันจะยกเลิกการเบี่ยงเบนของค่าลักษณะเฉพาะของแต่ละหน่วยของประชากรที่เกิดจากการกระทำของปัจจัยสุ่มและคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดจากการกระทำของปัจจัยหลักด้วย ซึ่งจะช่วยให้ค่าเฉลี่ยเป็นนามธรรมจากคุณลักษณะเฉพาะของแต่ละหน่วย

ให้เราอาศัยหลักการทั่วไปบางประการสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ย

1. ในการกำหนดค่าเฉลี่ยในแต่ละกรณี จะต้องดำเนินการจากเนื้อหาเชิงคุณภาพของคุณลักษณะที่จะนำมาเฉลี่ย โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาตลอดจนข้อมูลที่สามารถคำนวณได้

2. อันดับแรกต้องคำนวณค่าเฉลี่ยจากประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกัน ประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพทำให้สามารถได้รับวิธีการจัดกลุ่มซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณระบบตัวบ่งชี้ทั่วไป

3. ค่าเฉลี่ยโดยรวมต้องได้รับการสนับสนุนจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าการวิเคราะห์พลวัตของผลผลิตพืชผลแต่ละชนิดแสดงให้เห็นว่าผลผลิตเฉลี่ยโดยรวมกำลังลดลง อย่างไรก็ตามเป็นที่ทราบกันว่าผลผลิตของพืชชนิดนี้ขึ้นอยู่กับดิน ภูมิอากาศ และเงื่อนไขอื่นๆ และแตกต่างกันไปในแต่ละพื้นที่ เมื่อจัดกลุ่มเขตตามความแตกต่างและวิเคราะห์พลวัตของค่าเฉลี่ยกลุ่ม เราจะพบว่าในบางเขต อัตราผลตอบแทนเฉลี่ยไม่เปลี่ยนแปลงหรือเพิ่มขึ้น และการลดลงของค่าเฉลี่ยโดยรวมของสาธารณรัฐโดยรวมนั้นเกิดจากการเพิ่มขึ้น ในส่วนแบ่งของพื้นที่ที่มีผลผลิตต่ำกว่าในการผลิตรวมของพืชผลทางการเกษตรนี้ แน่นอนว่าการเปลี่ยนแปลงของค่าเฉลี่ยกลุ่มจะสะท้อนถึงรูปแบบของการเปลี่ยนแปลงของผลผลิตได้อย่างใกล้ชิดมากขึ้น ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงของค่าเฉลี่ยโดยรวมจะแสดงเฉพาะผลลัพธ์โดยรวมเท่านั้น

จำเป็นต้องเลือกหน่วยประชากรที่คำนวณค่าเฉลี่ยอย่างสมเหตุสมผล

ประเภทของค่าเฉลี่ยสามารถเปิดเผยได้ผ่านแนวคิดของมัน การกำหนดทรัพย์สิน- ตามแนวคิดนี้ ค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของประชากรทั้งหมดควรมุ่งเน้นไปที่ค่าที่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับทุกหน่วยของประชากรนี้ ค่านี้สามารถแสดงเป็นฟังก์ชัน: (x 1,x 2,…x n)

เนื่องจากค่านี้โดยส่วนใหญ่สะท้อนถึงหมวดหมู่ทางเศรษฐกิจที่แท้จริง บางครั้งแนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติที่กำหนดของค่าเฉลี่ยจึงถูกแทนที่ด้วยแนวคิดของตัวบ่งชี้ที่กำหนด

หากในฟังก์ชันด้านบนค่าทั้งหมด x 1, x 2, xn ถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยx͞ดังนั้นค่าของฟังก์ชันนี้ควรยังคงเหมือนเดิม:

ƒ(x 1 ,x 2 ,…,x n)=ƒ(x͞, x͞, …,x͞)

จากความเท่าเทียมกันนี้ ค่าเฉลี่ยจะถูกกำหนด ในทางปฏิบัติ การระบุค่าเฉลี่ยในหลายกรณีสามารถกำหนดได้ ผ่านอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ย(ISS) หรือสูตรเชิงตรรกะ:

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานขององค์กร จำเป็นต้องหารกองทุนค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนพนักงาน:

ตัวเศษของอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ยคือตัวบ่งชี้ที่กำหนด สำหรับค่าจ้างเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ที่กำหนดดังกล่าวคือกองทุนค่าจ้าง ไม่ว่าเราจะมีข้อมูลหลักอะไร ไม่ว่าเราจะรู้กองทุนค่าจ้างทั้งหมดหรือค่าจ้าง และจำนวนคนงานที่ทำงานในแต่ละตำแหน่ง หรือข้อมูลเบื้องต้นอื่นๆ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม ค่าจ้างเฉลี่ยจะได้มาจากค่าเฉลี่ยอัตราส่วนเริ่มต้นนี้เท่านั้น

สำหรับตัวบ่งชี้แต่ละตัวที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ สามารถรวบรวมอัตราส่วนเริ่มต้นที่แท้จริงได้เพียงอัตราส่วนเดียวเท่านั้นเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการคำนวณเงินฝากเฉลี่ยในธนาคาร อัตราส่วนเริ่มต้นจะเป็นดังนี้:

สถานีอวกาศนานาชาติ=

ให้เราพิจารณาประเภทของค่าเฉลี่ย การเลือกประเภทค่าเฉลี่ยจะขึ้นอยู่กับเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้และแหล่งข้อมูล ในแต่ละกรณีจะใช้ค่าเฉลี่ยค่าใดค่าหนึ่ง:

เลขคณิต

ฮาร์มอนิก

เรขาคณิต

สมการกำลังสอง

ลูกบาศก์ ฯลฯ

ค่าเฉลี่ยที่แสดงอยู่ในชั้นเรียน ใจเย็นค่าเฉลี่ยและรวมกันตามสูตรทั่วไป (สำหรับค่า c ที่ต่างกัน):

โดยที่ x i คือเวอร์ชันที่ i ของคุณลักษณะที่กำลังพิจารณา (i=1͞,k) f i คือความถ่วงจำเพาะของตัวเลือก i-th

ให้เราพิจารณาค่าเฉลี่ยพลังงานก่อน

หัวข้อเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตรวมอยู่ในโปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6-7 เนื่องจากย่อหน้านี้ค่อนข้างเข้าใจง่าย จึงถูกส่งต่ออย่างรวดเร็ว และเมื่อถึงสิ้นปีการศึกษา นักเรียนก็ลืมไป แต่จำเป็นต้องมีความรู้ด้านสถิติพื้นฐานจึงจะผ่านการสอบ Unified State รวมถึงการสอบ SAT ระหว่างประเทศ และในชีวิตประจำวัน การคิดเชิงวิเคราะห์ที่พัฒนาแล้วไม่เคยทำร้ายใคร

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข

สมมติว่ามีชุดตัวเลข 11, 4 และ 3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวนตัวเลขที่กำหนด นั่นคือในกรณีของตัวเลข 11, 4, 3 คำตอบจะเป็น 6 คุณจะได้ 6 ได้อย่างไร?

วิธีแก้ปัญหา: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

ตัวส่วนจะต้องมีตัวเลขเท่ากับจำนวนตัวเลขที่ต้องการหาค่าเฉลี่ย ผลรวมหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากมีสามพจน์

ตอนนี้เราต้องหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิต สมมติว่ามีชุดตัวเลข: 4, 2 และ 8

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขคือผลคูณของตัวเลขที่กำหนดทั้งหมด ซึ่งอยู่ใต้รากที่มีกำลังเท่ากับจำนวนตัวเลขที่กำหนด นั่นคือในกรณีของตัวเลข 4, 2 และ 8 คำตอบจะเป็น 4 ดังนี้ มันกลับกลายเป็นว่า:

วิธีแก้: ∛(4 × 2 × 8) = 4

ในทั้งสองตัวเลือก เราได้คำตอบทั้งหมด เนื่องจากมีการนำตัวเลขพิเศษมาเป็นตัวอย่าง สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป ในกรณีส่วนใหญ่ คำตอบจะต้องถูกปัดเศษหรือทิ้งไว้ที่ราก ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข 11, 7 และ 20 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ data 12.67 และค่าเฉลี่ยเรขาคณิตคือ ∛1540 และสำหรับเลข 6 และ 5 คำตอบจะเป็น 5.5 และ √30 ตามลำดับ

เป็นไปได้ไหมที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต?

แน่นอนมันสามารถ แต่มีเพียงสองกรณีเท่านั้น หากมีชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขหรือศูนย์เท่านั้น เป็นที่น่าสังเกตว่าคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของพวกเขา

พิสูจน์ด้วยหน่วย: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต)

พิสูจน์ด้วยศูนย์: (0 + 0) / 2=0 (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

√(0 × 0) = 0 (ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต)

ไม่มีทางเลือกอื่นและไม่สามารถเป็นได้

เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบของชุดตัวเลขของกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

การแนะนำ

เรามาแสดงเซตของตัวเลขกันดีกว่า เอ็กซ์ = (x 1 , x 2 , …, x n) จากนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะระบุด้วยแถบแนวนอนเหนือตัวแปร (อ่านว่า " xด้วยเส้น")

ตัวอักษรกรีก μ มักใช้เพื่อแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขทั้งชุด สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนดค่าเฉลี่ย μ คือ ค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นหรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ถ้าเป็นชุด เอ็กซ์คือชุดของตัวเลขสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็น µ จากนั้นสำหรับตัวอย่างใดๆ x ฉันจากเซตนี้ μ = E( x ฉัน) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวอย่างนี้

ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง μ และ x  (\displaystyle (\bar (x)))คือว่า μ เป็นตัวแปรทั่วไปเพราะคุณสามารถเห็นตัวอย่างมากกว่าประชากรทั้งหมด ดังนั้นหากสุ่มตัวอย่าง (ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น) แล้ว x  (\displaystyle (\bar (x)))(แต่ไม่ใช่ μ) สามารถถือเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นเหนือตัวอย่าง (การแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าเฉลี่ย)

ปริมาณทั้งสองนี้คำนวณในลักษณะเดียวกัน:

(\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

• ตัวอย่าง

• x 1 + x 2 + x 3 3 .

ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสี่ตัว คุณต้องบวกพวกมันแล้วหารด้วย 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หากมีอินทิกรัลของฟังก์ชันบางอย่าง f (x) (\displaystyle f(x))

b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)

ที่นี้หมายถึงว่า

ข > ก .

(\displaystyle b>a.)

ปัญหาบางประการในการใช้ค่าเฉลี่ย

ขาดความแข็งแกร่ง

แม้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักใช้เป็นค่าเฉลี่ยหรือแนวโน้มศูนย์กลาง แต่แนวคิดนี้ไม่ใช่สถิติที่ชัดเจน ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้รับอิทธิพลอย่างมากจาก "ค่าเบี่ยงเบนมาก" เป็นที่น่าสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้สูงค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจไม่สอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "ค่าเฉลี่ย" และค่าของค่าเฉลี่ยจากสถิติที่แข็งแกร่ง (เช่นค่ามัธยฐาน) อาจอธิบายค่ากลางได้ดีกว่า แนวโน้ม ตัวอย่างคลาสสิกคือการคำนวณรายได้เฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถตีความผิดว่าเป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งอาจนำไปสู่ข้อสรุปว่ามีคนมีรายได้สูงกว่าที่มีอยู่จริงเป็นจำนวนมาก รายได้ "เฉลี่ย" ตีความว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้ประมาณจำนวนนี้ รายได้ “เฉลี่ย” (ในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต) นี้สูงกว่ารายได้ของคนส่วนใหญ่ เนื่องจากรายได้ที่สูงโดยมีส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเบี่ยงเบนไปมาก (ในทางตรงกันข้าม รายได้เฉลี่ยที่ค่ามัธยฐาน “ต่อต้าน” ความเบ้ดังกล่าว) อย่างไรก็ตาม รายได้ "เฉลี่ย" นี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนคนที่ใกล้กับรายได้มัธยฐาน (และไม่พูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนคนที่ใกล้กับรายได้กิริยา) อย่างไรก็ตาม หากคุณพิจารณาแนวคิดเรื่อง “คนทั่วไป” และ “คนส่วนใหญ่” เพียงเล็กน้อย ก็สามารถสรุปผลที่ไม่ถูกต้องได้ว่าคนส่วนใหญ่มีรายได้สูงกว่าความเป็นจริง ตัวอย่างเช่น รายงานรายได้สุทธิ "เฉลี่ย" ในเมืองเมดินา รัฐวอชิงตัน ซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้สุทธิต่อปีของผู้พักอาศัย จะทำให้เกิดรายได้จำนวนมากอย่างน่าประหลาดใจเนื่องมาจากบิล เกตส์ พิจารณาตัวอย่าง (1, 2, 2, 2, 3, 9) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 3.17 แต่ค่าห้าในหกค่าอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนี้ดอกเบี้ยทบต้น ถ้าเป็นตัวเลขคูณ

ตัวอย่างเช่น หากหุ้นลดลง 10% ในปีแรกและเพิ่มขึ้น 30% ในปีที่สอง การคำนวณการเพิ่มขึ้น “เฉลี่ย” ในช่วงสองปีนั้นไม่ถูกต้องเนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต (−10% + 30%) / 2 = 10%; ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องในกรณีนี้กำหนดโดยอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น ซึ่งให้อัตราการเติบโตต่อปีเพียงประมาณ 8.16653826392% กลับไปยัง 8.2%

เหตุผลก็คือเปอร์เซ็นต์มีจุดเริ่มต้นใหม่ทุกครั้ง: 30% คือ 30% จากจำนวนที่ต่ำกว่าราคาต้นปีแรก:หากหุ้นเริ่มต้นที่ 30 ดอลลาร์และลดลง 10% จะมีมูลค่า 27 ดอลลาร์ในช่วงต้นปีที่สอง หากหุ้นเพิ่มขึ้น 30% จะมีมูลค่า 35.1 ดอลลาร์ในช่วงสิ้นปีที่สอง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเติบโตนี้คือ 10% แต่เนื่องจากหุ้นเพิ่มขึ้นเพียง 5.1 ดอลลาร์ในช่วง 2 ปี การเติบโตเฉลี่ย 8.2% จึงให้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 35.1 ดอลลาร์:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1] หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 10% ในลักษณะเดียวกัน เราจะไม่ได้มูลค่าจริง: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]

ดอกเบี้ยทบต้น ณ สิ้นปี 2: 90% * 130% = 117% กล่าวคือ เพิ่มขึ้นทั้งหมด 17% และดอกเบี้ยทบต้นเฉลี่ยต่อปี 117% µ 108.2% (\รูปแบบการแสดงผล (\sqrt (117\%))\ประมาณ 108.2\%)นั่นคือเพิ่มขึ้นเฉลี่ยปีละ 8.2%

ทิศทาง

บทความหลัก: สถิติทิศทาง หมายเลขนี้ไม่ถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรไซคลิกที่คำนวณโดยใช้สูตรข้างต้นจะถูกเลื่อนโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยจริงไปตรงกลางของช่วงตัวเลข ด้วยเหตุนี้ ค่าเฉลี่ยจึงถูกคำนวณด้วยวิธีอื่น กล่าวคือ ตัวเลขที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด (จุดกึ่งกลาง) จะถูกเลือกเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ แทนที่จะลบ ระบบจะใช้ระยะห่างแบบโมดูลาร์ (นั่นคือ ระยะห่างเส้นรอบวง) ตัวอย่างเช่น ระยะห่างแบบโมดูลาร์ระหว่าง 1° ถึง 359° คือ 2° ไม่ใช่ 358° (บนวงกลมระหว่าง 359° ถึง 360°==0° - หนึ่งองศา ระหว่าง 0° ถึง 1° - รวม 1° ด้วย - 2 °)

ลักษณะของหน่วยของผลรวมทางสถิติมีความหมายแตกต่างกัน เช่น ค่าจ้างคนงานในวิชาชีพเดียวกันของวิสาหกิจไม่เท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน ราคาตลาดของสินค้าชนิดเดียวกัน ผลผลิตพืชผลในเขตอำเภอ ฟาร์ม ฯลฯ ดังนั้นเพื่อกำหนดมูลค่าของคุณลักษณะที่เป็นลักษณะของประชากรทั้งหมดของหน่วยที่กำลังศึกษา จึงมีการคำนวณค่าเฉลี่ย
ค่าเฉลี่ย – นี่เป็นลักษณะทั่วไปของชุดค่าแต่ละค่าของลักษณะเชิงปริมาณบางอย่าง

ประชากรที่ศึกษาในเชิงปริมาณประกอบด้วยค่านิยมส่วนบุคคล พวกเขาได้รับอิทธิพลจากทั้งสาเหตุทั่วไปและเงื่อนไขส่วนบุคคล ในค่าเฉลี่ย ลักษณะการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าจะถูกยกเลิก ค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นฟังก์ชันของชุดค่าต่างๆ จะแสดงผลรวมทั้งหมดด้วยค่าเดียว และสะท้อนถึงค่าที่เหมือนกันในทุกหน่วย

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้สำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป- ตัวอย่างเช่น คุณสามารถคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานในกลุ่มวิชาชีพเฉพาะกลุ่มได้ (นักขุด แพทย์ บรรณารักษ์) แน่นอนว่าระดับค่าจ้างรายเดือนของคนงานเหมืองเนื่องจากความแตกต่างในด้านคุณสมบัติ ระยะเวลาการทำงาน เวลาทำงานต่อเดือน และปัจจัยอื่น ๆ ที่แตกต่างกันและจากระดับค่าจ้างเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม ระดับเฉลี่ยสะท้อนถึงปัจจัยหลักที่มีอิทธิพลต่อระดับค่าจ้าง และความแตกต่างที่เกิดขึ้นเนื่องจากลักษณะเฉพาะของพนักงานจะถูกยกเลิก เงินเดือนโดยเฉลี่ยสะท้อนถึงระดับค่าตอบแทนโดยทั่วไปสำหรับพนักงานแต่ละประเภท การได้รับค่าเฉลี่ยโดยทั่วไปควรนำหน้าด้วยการวิเคราะห์ว่าประชากรที่กำหนดมีความเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเพียงใด หากจำนวนทั้งหมดประกอบด้วยแต่ละส่วนก็ควรแบ่งออกเป็นกลุ่มทั่วไป (อุณหภูมิเฉลี่ยในโรงพยาบาล)

ค่าเฉลี่ยที่ใช้เป็นคุณลักษณะสำหรับประชากรต่างกันเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของระบบ- ตัวอย่างเช่น มูลค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศ (GDP) ต่อหัว มูลค่าเฉลี่ยการบริโภคสินค้ากลุ่มต่างๆ ต่อคน และค่าอื่นที่คล้ายคลึงกันซึ่งแสดงถึงลักษณะทั่วไปของรัฐในฐานะระบบเศรษฐกิจเดียว

ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยจำนวนมากเพียงพอ การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับกฎจำนวนมากที่จะมีผลบังคับใช้อันเป็นผลมาจากการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของค่าแต่ละค่าจากแนวโน้มทั่วไปจะถูกยกเลิกร่วมกัน

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้และแหล่งข้อมูลที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม จะต้องคำนวณค่าเฉลี่ยใดๆ เพื่อที่จะแทนที่แต่ละตัวแปรของคุณลักษณะโดยเฉลี่ย ค่าสุดท้าย การทำให้เป็นภาพรวม หรือที่เรียกกันทั่วไป จะไม่เปลี่ยนแปลง การกำหนดตัวบ่งชี้ซึ่งสัมพันธ์กับตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น เมื่อเปลี่ยนความเร็วจริงในแต่ละส่วนของเส้นทางด้วยความเร็วเฉลี่ย ระยะทางรวมที่ยานพาหนะเดินทางในเวลาเดียวกันไม่ควรเปลี่ยนแปลง เมื่อแทนที่ค่าจ้างจริงของพนักงานแต่ละคนในองค์กรด้วยค่าจ้างเฉลี่ย กองทุนค่าจ้างไม่ควรเปลี่ยนแปลง ดังนั้นในแต่ละกรณีเฉพาะ ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลที่มีอยู่ มีค่าเฉลี่ยที่แท้จริงเพียงค่าเดียวของตัวบ่งชี้ที่เพียงพอต่อคุณสมบัติและสาระสำคัญของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจและสังคมที่กำลังศึกษาอยู่
ที่ใช้กันมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และค่าเฉลี่ยลูกบาศก์
ค่าเฉลี่ยที่แสดงอยู่ในชั้นเรียน ใจเย็นค่าเฉลี่ยและรวมกันตามสูตรทั่วไป:
,
โดยที่ค่าเฉลี่ยของลักษณะที่กำลังศึกษาคือ
ม. – ดัชนีระดับเฉลี่ย;
– มูลค่าปัจจุบัน (ตัวแปร) ของคุณลักษณะที่กำลังหาค่าเฉลี่ย
n – จำนวนคุณสมบัติ
ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง m ประเภทของกำลังเฉลี่ยต่อไปนี้มีความโดดเด่น:
เมื่อ m = -1 – ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;
ที่ m = 0 – ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต;
สำหรับ m = 1 – ค่าเฉลี่ยเลขคณิต;
สำหรับ m = 2 – รากกำลังสองเฉลี่ย;
ที่ m = 3 – ลูกบาศก์เฉลี่ย
เมื่อใช้ข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน ยิ่งเลขชี้กำลัง m ในสูตรข้างต้นมากเท่าไร ค่าเฉลี่ยก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น:
.
คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยกำลังจะเพิ่มขึ้นตามเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการกำหนดนี้เรียกว่า กฎของค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่.
ค่าเฉลี่ยที่ทำเครื่องหมายไว้แต่ละรายการอาจมีสองรูปแบบ: เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.
แบบฟอร์มกลางที่เรียบง่ายใช้เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจากข้อมูลหลัก (ไม่ได้จัดกลุ่ม) แบบฟอร์มถ่วงน้ำหนัก– เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตามข้อมูลรอง (จัดกลุ่ม)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้เมื่อปริมาตรของประชากรคือผลรวมของค่าส่วนบุคคลทั้งหมดที่มีลักษณะแตกต่างกัน ควรสังเกตว่าหากไม่ได้ระบุประเภทของค่าเฉลี่ย ระบบจะถือว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต สูตรตรรกะของมันมีลักษณะดังนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ตามสูตร:
หรือ ,
ค่านิยมส่วนบุคคลของคุณลักษณะอยู่ที่ไหน
j คือหมายเลขซีเรียลของหน่วยการสังเกต ซึ่งมีคุณลักษณะเป็นค่า ;
N – จำนวนหน่วยการสังเกต (ปริมาตรของประชากร)
ตัวอย่าง.การบรรยายเรื่อง “สรุปและจัดกลุ่มข้อมูลทางสถิติ” เจาะลึกผลการสังเกตประสบการณ์การทำงานของทีมงานจำนวน 10 คน มาคำนวณประสบการณ์การทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานในทีมกัน 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

การใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย เราก็สามารถคำนวณได้เช่นกัน ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลาหากช่วงเวลาที่แสดงค่าคุณลักษณะเท่ากัน
ตัวอย่าง.ปริมาณผลิตภัณฑ์ที่จำหน่ายในไตรมาสแรกมีจำนวน 47 den หมู่ที่ 54 หมู่ที่ 2 หมู่ที่ 65 หมู่ที่ 3 และหมู่ที่ 4 หมู่ที่ 58 หน่วย มูลค่าการซื้อขายเฉลี่ยรายไตรมาสคือ (47+54+65+58)/4 = 56 den หน่วย
หากมีการระบุตัวบ่งชี้ชั่วขณะตามลำดับเวลาเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมครึ่งหนึ่งของค่าที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา
หากมีมากกว่าสองช่วงเวลาและช่วงเวลาระหว่างช่วงเวลาเท่ากัน ค่าเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตรตามลำดับเวลาเฉลี่ย

,
โดยที่ n คือจำนวนจุดเวลา
ในกรณีที่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามค่าลักษณะเฉพาะ (เช่น มีการสร้างซีรีย์การแจกแจงแบบแปรผันแบบไม่ต่อเนื่อง) ด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้ความถี่หรือความถี่ของการสังเกตค่าเฉพาะของคุณลักษณะซึ่งจำนวน (k) น้อยกว่าจำนวนการสังเกต (N) อย่างมีนัยสำคัญ
,
,
โดยที่ k คือจำนวนกลุ่มของอนุกรมรูปแบบ
i – หมายเลขกลุ่มของซีรี่ส์รูปแบบต่างๆ
เนื่องจาก , a เราได้รับสูตรที่ใช้สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ:
และ
ตัวอย่าง.ลองคำนวณระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของทีมงานในแถวที่จัดกลุ่ม
ก) การใช้ความถี่:

b) การใช้ความถี่:

ในกรณีที่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามช่วงเวลา , เช่น. นำเสนอในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงช่วงเวลา เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ากึ่งกลางของช่วงเวลาจะถูกใช้เป็นค่าของแอตทริบิวต์ โดยยึดตามสมมติฐานของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอของหน่วยประชากรในช่วงเวลาที่กำหนด การคำนวณดำเนินการโดยใช้สูตร:
และ
ตรงกลางของช่วงเวลาอยู่ที่ไหน: ,
ที่ไหน และ เป็นขอบเขตล่างและบนของช่วงเวลา (โดยมีเงื่อนไขว่าขอบเขตบนของช่วงเวลาที่กำหนดตรงกับขอบเขตล่างของช่วงถัดไป)

ตัวอย่าง.ลองคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดการแปรผันช่วงเวลาที่สร้างขึ้นจากผลการศึกษาค่าจ้างรายปีของคนงาน 30 คน (ดูการบรรยายเรื่อง "สรุปและการจัดกลุ่มข้อมูลทางสถิติ")
ตารางที่ 1 - การกระจายชุดความแปรผันของช่วง

UAH หรือ UAH
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณบนพื้นฐานของข้อมูลต้นฉบับและชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาอาจไม่ตรงกันเนื่องจากการแจกแจงค่าแอตทริบิวต์ที่ไม่สม่ำเสมอภายในช่วงเวลา ในกรณีนี้ เพื่อการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักที่แม่นยำยิ่งขึ้น ไม่ควรใช้ค่าตรงกลางของช่วงเวลา แต่ควรใช้ค่ากลางทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายที่คำนวณสำหรับแต่ละกลุ่ม ( ค่าเฉลี่ยกลุ่ม- ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากกลุ่มหมายถึงการใช้สูตรการคำนวณแบบถ่วงน้ำหนักเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป.
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการ
1. ผลรวมของการเบี่ยงเบนจากออปชั่นเฉลี่ยคือศูนย์:
.
2. หากค่าทั้งหมดของตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวน A ค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวน A ที่เท่ากัน:

3. หากแต่ละตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลง B เท่า ค่าเฉลี่ยก็จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวนเท่าเดิมเช่นกัน:
หรือ
4. ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลือกตามความถี่เท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยด้วยผลรวมของความถี่:

5. ถ้าความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนใดๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง:

6) หากความถี่เท่ากันในทุกช่วง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:
,
โดยที่ k คือจำนวนกลุ่มของอนุกรมรูปแบบต่างๆ

การใช้คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด (x) ลดลงด้วยจำนวน A ที่เท่ากันก่อน แล้วจึงลดลงด้วยตัวประกอบ B การทำให้ง่ายขึ้นมากที่สุดจะเกิดขึ้นได้เมื่อเลือกค่าตรงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุดเป็น A และเลือกค่าของช่วง (สำหรับชุดข้อมูลที่มีช่วงเวลาที่เหมือนกัน) เป็น B ปริมาณ A เรียกว่าจุดเริ่มต้น ดังนั้นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า ทางข การอ้างอิงโอห์มจากศูนย์แบบมีเงื่อนไขหรือ ช่วงเวลา.
หลังจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราจะได้อนุกรมการแจกแจงแบบแปรผันใหม่ ซึ่งตัวแปรจะเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกเขาเรียกว่า ช่วงเวลาแห่งการสั่งซื้อครั้งแรกแสดงโดยสูตรและตามคุณสมบัติที่สองและสาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของเวอร์ชันดั้งเดิม ลดลงก่อนด้วย A และจากนั้นด้วย B คูณคือ
เพื่อรับ ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง(ค่าเฉลี่ยของซีรีส์ดั้งเดิม) คุณต้องคูณช่วงเวลาลำดับแรกด้วย B และเพิ่ม A:

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้วิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 2.
ตารางที่ 2 – การกระจายตัวของคนงานในโรงงานตามระยะเวลาการทำงาน

ค้นหาช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรก - จากนั้น เมื่อรู้ว่า A = 17.5 และ B = 5 เราจึงคำนวณระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของคนงานในโรงงาน:
ปี

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะเฉพาะในกรณีที่ทราบตัวแปร x และความถี่ f
หากข้อมูลทางสถิติไม่มีความถี่ f สำหรับแต่ละตัวเลือก x ของประชากร แต่แสดงเป็นผลคูณ จะใช้สูตร ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก- ในการคำนวณค่าเฉลี่ย เรามาแสดงกัน โดยที่ . เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ เราจะได้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก:
,
โดยที่ปริมาตร (น้ำหนัก) ของค่าแอตทริบิวต์ของตัวบ่งชี้คือในช่วงเวลาที่มีหมายเลข i (i=1,2, …, k)

ดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจึงใช้ในกรณีที่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ต้องรวมเข้าด้วยกัน แต่กลับกัน: .
ในกรณีที่น้ำหนักของแต่ละตัวเลือกมีค่าเท่ากับหนึ่งคือ ค่าแต่ละค่าของลักษณะผกผันเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวและนำไปใช้ หมายถึงฮาร์มอนิกอย่างง่าย:
,
โดยที่แต่ละตัวแปรของลักษณะผกผันเกิดขึ้นครั้งเดียว
N – ตัวเลือกตัวเลข
หากมีค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับประชากรสองส่วน ค่าเฉลี่ยโดยรวมสำหรับประชากรทั้งหมดจะคำนวณโดยใช้สูตร:

และถูกเรียกว่า ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยหมู่.

ตัวอย่าง.ในระหว่างการซื้อขายแลกเปลี่ยนสกุลเงิน ธุรกรรมสามรายการถูกสรุปในชั่วโมงแรกของการดำเนินการ ข้อมูลเกี่ยวกับปริมาณการขายฮรีฟเนียและอัตราแลกเปลี่ยนฮรีฟเนียเทียบกับดอลลาร์สหรัฐแสดงไว้ในตาราง 3 (คอลัมน์ 2 และ 3) กำหนดอัตราแลกเปลี่ยนเฉลี่ยของฮรีฟเนียต่อดอลลาร์สหรัฐในชั่วโมงแรกของการซื้อขาย
ตารางที่ 3 – ข้อมูลความคืบหน้าของการซื้อขายแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ

อัตราแลกเปลี่ยนเงินดอลลาร์โดยเฉลี่ยถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของจำนวน Hryvnia ที่ขายระหว่างการทำธุรกรรมทั้งหมดกับจำนวนเงินดอลลาร์ที่ได้มาอันเป็นผลมาจากการทำธุรกรรมเดียวกัน จำนวนเงินสุดท้ายของการขาย Hryvnia นั้นทราบจากคอลัมน์ 2 ของตาราง และจำนวนดอลลาร์ที่ซื้อในแต่ละธุรกรรมจะถูกกำหนดโดยการหารจำนวนการขาย Hryvnia ด้วยอัตราแลกเปลี่ยน (คอลัมน์ 4) มีการซื้อมูลค่ารวม 22 ล้านดอลลาร์ระหว่างการทำธุรกรรมสามครั้ง ซึ่งหมายความว่าอัตราแลกเปลี่ยนเฉลี่ยของ Hryvnia สำหรับหนึ่งดอลลาร์คือ
.
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าจริงเพราะว่า การแทนที่อัตราแลกเปลี่ยน Hryvnia ที่เกิดขึ้นจริงในการทำธุรกรรมจะไม่เปลี่ยนแปลงจำนวนยอดขายสุดท้ายของ Hryvnia ซึ่งทำหน้าที่เป็น การกำหนดตัวบ่งชี้: ล้าน UAH
หากใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในการคำนวณนั่นคือ Hryvnia จากนั้นที่อัตราแลกเปลี่ยนสำหรับการซื้อ 22 ล้านดอลลาร์ จำเป็นต้องใช้จ่าย 110.66 ล้าน UAH ซึ่งไม่เป็นความจริง

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการวิเคราะห์พลวัตของปรากฏการณ์และช่วยให้สามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตโดยเฉลี่ยได้ เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต ค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะจะเป็นตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ของไดนามิกซึ่งสร้างขึ้นในรูปแบบของค่าลูกโซ่เป็นอัตราส่วนของแต่ละระดับกับค่าก่อนหน้า
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยใช้สูตร:
,
สัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์อยู่ที่ไหน
N – จำนวนค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง.จำนวนการก่ออาชญากรรมในรอบ 4 ปี เพิ่มขึ้น 1.57 เท่า โดยครั้งที่ 1 – 1.08 เท่า ครั้งที่ 2 – 1.1 เท่า ครั้งที่ 3 – 1.18 และครั้งที่ 4 – 1.12 เท่า ดังนั้นอัตราการเติบโตเฉลี่ยต่อปีของจำนวนอาชญากรรมคือ: เช่น จำนวนอาชญากรรมที่จดทะเบียนเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 12% ต่อปี

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

ในการคำนวณกำลังสองเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เราจะกำหนดและป้อนลงในตารางและ จากนั้นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของความยาวของผลิตภัณฑ์จากบรรทัดฐานที่กำหนดจะเท่ากับ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในกรณีนี้จะไม่เหมาะสมเพราะว่า ผลก็คือเราจะได้ค่าเบี่ยงเบนเป็นศูนย์
การใช้กำลังสองเฉลี่ยจะกล่าวถึงต่อไปในแง่ของการแปรผัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าเฉลี่ย เป็นหนึ่งในคุณลักษณะหลักของกลุ่มตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต– ค่าของลักษณะดังกล่าว ผลรวมของการเบี่ยงเบนซึ่งค่าตัวอย่างของลักษณะดังกล่าวเท่ากับศูนย์ (โดยคำนึงถึงเครื่องหมายของการเบี่ยงเบน)

ค่าเฉลี่ยมักจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับตัวเลือกการสุ่มตัวอย่าง โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสัญลักษณ์ค่าเฉลี่ย (แท่ง) จะอยู่เหนือตัวอักษร เช่น ถ้าเราแสดงคุณลักษณะที่กำลังศึกษาโดย เอ็กซ์และค่าตัวเลขก็ผ่าน x ฉันแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีการกำหนดไว้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เช่นเดียวกับคุณลักษณะตัวเลขอื่นๆ ของกลุ่มตัวอย่าง สามารถคำนวณได้ทั้งจากข้อมูลปฐมภูมิดิบและจากผลลัพธ์ของการจัดกลุ่มข้อมูลนี้

สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกกำหนดโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ที่ไหน n- ขนาดตัวอย่าง

x ฉัน- ตัวเลือกการสุ่มตัวอย่าง

หากข้อมูลถูกจัดกลุ่มแล้ว

ที่ไหน n- ขนาดตัวอย่าง

เค- จำนวนช่วงเวลาการจัดกลุ่ม

ฉัน- ความถี่ ฉันช่วงเวลาที่;

x ฉัน- ค่ามัธยฐาน ฉัน-ช่วงที่

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าที่มีชื่อเดียวกันกับค่าของคุณลักษณะ

การค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุกรมการแปรผันต่อเนื่องนั้นซับซ้อนหากช่วงสุดขั้วไม่ปิด (นั่นคือ ดูเหมือนว่า "น้อยกว่า 10" หรือ "มากกว่า 60") ในกรณีนี้จะถือว่าความกว้างของช่วงแรกเท่ากับความกว้างของช่วงที่สอง และความกว้างของช่วงสุดท้ายเท่ากับความกว้างของช่วงสุดท้าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณโดยใช้สูตรก็เรียกว่า ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยเน้นย้ำว่าในสูตร x ฉันจะถูกสรุปด้วยค่าสัมประสิทธิ์ (น้ำหนัก) เท่ากับความถี่ที่เกิดขึ้นในช่วงการจัดกลุ่ม

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน (เอิ่ม.) เรียกว่าค่าแอตทริบิวต์นี้ เอ็กซ์เมื่อครึ่งหนึ่งของค่าข้อมูลการทดลองน้อยกว่านั้นและครึ่งหลังมากกว่านั้น

หากมีข้อมูลน้อย (ขนาดตัวอย่างมีขนาดเล็ก) ค่ามัธยฐานจะถูกคำนวณอย่างง่ายดาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวอย่างจะได้รับการจัดอันดับ นั่นคือ ข้อมูลจะถูกจัดเรียงจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปน้อย และในกลุ่มตัวอย่างที่มีการจัดอันดับประกอบด้วย nสมาชิกอันดับ ร(เลขลำดับ) ของค่ามัธยฐานให้นิยามว่า

ตัวอย่างที่ 7.8มีตัวอย่างจัดอันดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคี่ n = 9:

12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28.

แล้วอันดับมัธยฐาน:

และค่ามัธยฐานเกิดขึ้นพร้อมกับภาคเรียนที่ 5 ของซีรีส์: เอิ่ม. = 20.

หากกลุ่มตัวอย่างมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคู่ ก็ไม่สามารถระบุค่ามัธยฐานได้อย่างชัดเจน

ตัวอย่างที่ 7.9มีตัวอย่างจัดอันดับที่มีสมาชิก 10 คน:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

อันดับมัธยฐานกลายเป็น:

ค่ามัธยฐานในกรณีนี้อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ระหว่าง 14 ถึง 16 (เทอมที่ 5 และ 6 ของซีรีส์) เพื่อความชัดเจน เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้เป็นค่ามัธยฐาน เช่น:

หากคุณต้องการหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่จัดกลุ่ม ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก หาช่วงการจัดกลุ่มที่มีค่ามัธยฐานโดยการนับความถี่สะสมหรือความถี่สัมพัทธ์สะสม

ค่ามัธยฐานจะเป็นช่วงที่ความถี่สะสมมีค่ามากกว่าเป็นอันดับแรก หรือความถี่สัมพัทธ์สะสมมากกว่า 0.5 ภายในช่วงค่ามัธยฐาน ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

โดยที่ขีด จำกัด ล่างของช่วงค่ามัธยฐานอยู่ที่ไหน

สวัสดีฉัน- ความกว้างของช่วงค่ามัธยฐาน

ความถี่สะสมของช่วงเวลาก่อนค่ามัธยฐาน

- ความถี่ของช่วงค่ามัธยฐาน

ตัวอย่างที่ 7.10- ค้นหาค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมช่วงของตัวอย่าง 6.3

ขนาดตัวอย่างคือ n = 50 + 32 + 26 + 11 + 5 = 124.

ลองหาช่วงค่ามัธยฐาน - ช่วงเวลาที่ความถี่สะสมเป็นครั้งแรกมากกว่าหรือความถี่สัมพัทธ์สะสมมากกว่า 0.5

เนื่องจากความถี่สะสมของช่วงที่สองคือ 50 + 32 = 82 > 62 ดังนั้นช่วง (30; 40) จะเป็นค่ามัธยฐานและ = 30 สวัสดีฉัน = 40 – 30 = 10, = 50, = 32.

ค่ามัธยฐานมักจะแตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเล็กน้อย สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเสมอเมื่อมีการแจกแจงเชิงประจักษ์ในรูปแบบไม่สมมาตร

แฟชั่น

แฟชั่น ( โม) แสดงถึงค่าแอตทริบิวต์ที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในตัวอย่าง

ซีรีส์นี้มีชื่อว่า ยูนิโมดัลถ้ามันมีค่ากิริยาเพียงค่าเดียวและ ต่อเนื่องหลายรูปแบบหากมีค่าคุณลักษณะหลายค่าเกิดขึ้นบ่อยเท่าๆ กัน สำหรับอนุกรมแบบต่อเนื่องหลายรูปแบบ โหมดจะไม่ถูกคำนวณ

สำหรับซีรีส์แบบแยก โหมดจะพบตามคำจำกัดความ

เรียกว่าช่วงเวลาการจัดกลุ่มที่มีความถี่สูงสุด เป็นกิริยาช่วย.

เพื่อกำหนดโหมดในชุดช่วงเวลา จะใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ขีด จำกัด ล่างของช่วงเวลาโมดอลอยู่ที่ไหน

ชม.- ความกว้างของช่วงการจัดกลุ่ม

และโม- ความถี่ของช่วงเวลากิริยา;

โม-1- ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอลหนึ่ง

เอ็นโม+1- ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอลหนึ่ง