อนุพันธ์บางส่วนสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว การแยกฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหลายตัว อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหลายตัวคืออะไร

ปล่อยให้ฟังก์ชัน z - /(x, y) ถูกกำหนดไว้ในบางโดเมน D บนระนาบ xOy ลองหาจุดภายใน (x, y) จากพื้นที่ D แล้วให้ x เพิ่ม Ax เพื่อให้จุด (x + Ax, y) 6 D (รูปที่ 9) ลองเรียกปริมาณว่าการเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน z เทียบกับ x มาสร้างความสัมพันธ์กัน สำหรับจุดที่กำหนด (x, y) ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันของนิยาม ถ้าสำหรับ Ax -* 0 ความสัมพันธ์ ^ มีขีดจำกัดจำกัด ขีดจำกัดนี้เรียกว่าอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน z = /(x, y) เทียบกับตัวแปรอิสระ x ที่จุด (x, y) และคือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ jfc (หรือ /i(x, jj ) หรือ z"x(x ในทำนองเดียวกัน ตามนิยาม หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน ถ้า u เป็นฟังก์ชันของ n ตัวแปรอิสระ จากนั้นสังเกตว่า Arz ถูกคำนวณด้วยค่าคงที่ของตัวแปร y และ Atz - ที่มีค่าคงที่ของตัวแปร x คำจำกัดความของอนุพันธ์บางส่วนสามารถกำหนดได้ดังนี้: อนุพันธ์บางส่วน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายๆ ตัว ส่วนต่างรวม ส่วนต่างบางส่วน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ของฟังก์ชัน z = /(x , y ) คืออนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันนี้เทียบกับ x ซึ่งคำนวณภายใต้สมมติฐานว่า y เป็นค่าคงที่ ส่วนอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ y ของฟังก์ชัน z - /(x, y) คืออนุพันธ์ของมัน y คำนวณภายใต้สมมติฐานว่า x เป็นค่าคงที่ เป็นไปตามกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนตรงกับกฎที่พิสูจน์แล้วสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน 4 เรามีการทดแทน* การมีอยู่ของฟังก์ชัน r = f(x, y) ที่จุดที่กำหนดของอนุพันธ์ย่อยเทียบกับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดไม่ได้หมายความถึงความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่ต่อเนื่องที่จุด 0(0,0) อย่างไรก็ตาม ณ จุดนี้ ฟังก์ชันที่ระบุมีอนุพันธ์บางส่วนเทียบกับ x และ y สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า /(x, 0) = 0 และ /(0, y) = 0 ดังนั้นความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ให้นิยามพื้นผิว S ในปริภูมิสามมิติโดย สมการโดยที่ f(x, y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในบางโดเมน D และมีอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x และ y ให้เราค้นหาความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เหล่านี้ที่จุด Mo(xo,yo) 6 D ซึ่งสอดคล้องกับจุด f(x0)yo) บนพื้นผิว z = f(x)y) เมื่อค้นหาอนุพันธ์ย่อยของจุด M0 เราถือว่า z เป็นเพียงฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ x เท่านั้น ในขณะที่อาร์กิวเมนต์ y คงค่าคงที่ y = y0 กล่าวคือ ฟังก์ชัน fi(x) จะแสดงในเชิงเรขาคณิตด้วยเส้นโค้ง L ตามแนว โดยที่พื้นผิว S ตัดกันด้วยระนาบ y = ที่ o เนื่องจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง f\(xo) = tan a โดยที่ a คือมุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสกันของเส้น L ที่จุด JV0 กับแกน Ox (รูปที่ 10) . แต่ดังนั้น อนุพันธ์ย่อย ($|) จึงเท่ากับแทนเจนต์ของมุม a ระหว่างแกน Ox และแทนเจนต์ที่จุด N0 ถึงเส้นโค้งที่ได้รับในส่วนของพื้นผิว z = /(x, y) โดย y เครื่องบิน ในทำนองเดียวกัน เราได้รับ §6 ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ให้นิยามฟังก์ชัน z = /(x, y) ในบางโดเมน D บนระนาบ xOy ลองหาจุด (x, y) € D แล้วให้ค่าที่เลือกของ x และ y ที่เพิ่มขึ้น Ax และ Dy แต่เป็นเช่นนั้น คำนิยาม. ฟังก์ชัน r = /(x, y) เรียกว่าอนุพันธ์ * จุด (x, y) € 2E หากการเพิ่มขึ้นโดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันนี้ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของ Dx อาร์กิวเมนต์ Dy สามารถแสดงในรูปแบบที่ A และ B ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ Dx และ Dy (แต่โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x และ y) และ a(Dx, Dy) และ /?(Dx, Dy) มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจาก Dx และ Dy มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ - หากฟังก์ชัน z = /(x, y) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด (x, y) ดังนั้นส่วน A Dx 4- VDy ของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเส้นตรงเทียบกับ Dx และ Dy เรียกว่าผลต่างรวม ของฟังก์ชันนี้ที่จุด (x, y) และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ dz: ด้วยวิธีนี้ ตัวอย่าง ให้ r = x2 + y2 ณ จุดใดก็ได้ (r,y) และสำหรับ Dx และ Du ใดๆ ที่เรามีที่นี่ ตอนนี้ a และ /3 มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เนื่องจาก Dx และ Dy มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ตามคำนิยามที่ว่า ฟังก์ชั่นนี้ หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในระนาบ xOy ในเวลาเดียวกัน เราสังเกตว่าในการให้เหตุผลของเรา เราไม่ได้ยกเว้นกรณีนี้อย่างเป็นทางการเมื่อการเพิ่มขึ้นของ Dx, Du แยกกัน หรือแม้แต่ทั้งสองอย่างจะเท่ากับศูนย์ในคราวเดียว ทฤษฎีบทค. ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อย f และ f"v ในย่านบาง (xo, V0) และถ้าอนุพันธ์เหล่านี้ต่อเนื่องกันที่จุด (xo, V0) ฟังก์ชัน z = f(x, y) จะสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ จุด (x- ตัวอย่าง ลองพิจารณาฟังก์ชันอนุพันธ์บางส่วน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว อนุพันธ์เชิงอนุพันธ์รวมของฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันคือ ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์บางส่วน เรามี For oschdrlm* ™ ของฟังก์ชันนี้ที่จุด 0(0,0) ที่เราพบ และการเพิ่มขึ้นของจุดนี้ สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน /(x,y) = ณ จุด 0(0,0) จำเป็นที่ฟังก์ชัน e(Dx, Dy) จะต้องมีขนาดเล็กมากที่ Dx 0 และ Ду 0 ให้เราตั้งค่า D0 จากนั้นจากสูตร (1) เราจะได้ ดังนั้นฟังก์ชัน f (x,y) = ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด 0(0,0) แม้ว่าจุดนี้มี fa และ f"r ก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้จะอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ f"z และ f"t ไม่ต่อเนื่องกัน ณ จุด§7 เฟืองท้ายเต็ม ดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วน หากฟังก์ชัน z - f(z> y) สามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้วดิฟเฟอเรนเชียลรวมของมันจะเท่ากับ สังเกตว่า A = B = u เราจะเขียนสูตร (1) ในรูปแบบต่อไปนี้ เราจะขยายแนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลออกไป ของฟังก์ชันกับตัวแปรอิสระ การตั้งค่าส่วนต่างของตัวแปรอิสระให้เท่ากับส่วนที่เพิ่มขึ้น หลังจากนี้ สูตรสำหรับส่วนต่างรวมของฟังก์ชันจะเป็นที่สังเกตได้ ตัวอย่าง ให้ ผม - 1l(x + y2) ในทำนองเดียวกัน ถ้า u =) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ n ตัว ดังนั้นนิพจน์จะเรียกว่าค่าหลังของฟังก์ชัน z = f(x, y) เทียบกับตัวแปร x นิพจน์นี้เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วนของฟังก์ชัน z = /(x, y) ของตัวแปร y จากสูตร (3), (4) และ (5) จะได้ว่าผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของส่วนต่างย่อย โปรดสังเกตว่าค่า Az ที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชัน z = /(x, y) โดยทั่วไปแล้ว ไม่เท่ากับผลรวมของการเพิ่มขึ้นบางส่วน หาก ณ จุด (i, y) ฟังก์ชัน z = /(x, y) สามารถหาอนุพันธ์ได้และส่วนต่าง dz Φ 0 ณ จุดนี้ ส่วนที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดจะแตกต่างจากส่วนเชิงเส้นเพียงผลรวมของพจน์สุดท้าย aAx 4 - /?DE ซึ่งที่ Ax 0 และ Ау -» О เป็นลำดับที่น้อยกว่าเงื่อนไขของส่วนเชิงเส้น ดังนั้นเมื่อ dz Ф 0 ส่วนเชิงเส้นของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันหาอนุพันธ์เรียกว่าส่วนหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและใช้สูตรโดยประมาณซึ่งจะยิ่งแม่นยำยิ่งขึ้นค่าสัมบูรณ์ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ข้อโต้แย้งคือ §8 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 1. ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในบางโดเมน D บนระนาบ xOy และตัวแปรแต่ละตัว x, y ในทางกลับกันเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ t: เราจะถือว่าเมื่อ t เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา ( จุดที่สอดคล้องกัน (x, y) จะไม่ปล่อยให้อยู่นอกขอบเขต D หากเราแทนค่าลงในฟังก์ชัน z = / (x, y) เราจะได้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหนึ่งตัวแปร t และ at ค่าที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชัน f(x,y) สามารถหาอนุพันธ์ได้ จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่จุด t จะมีอนุพันธ์และ M ลองให้ t ส่วนเพิ่ม Δt จากนั้น x และ y จะได้รับ Ax และ Du เพิ่มขึ้นบางส่วน ด้วยเหตุนี้สำหรับ (J)2 + (Dy)2 Ф 0 ฟังก์ชัน z จะได้รับ Dz เพิ่มขึ้นด้วยซึ่งเนื่องจากความแตกต่างของฟังก์ชัน z = /(x, y) ที่จุด ( x, y) สามารถแสดงได้ในรูปแบบโดยที่ a ) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในขณะที่ Ax และ Du มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ให้เรานิยาม a และ /3 สำหรับ Ax = Ay = 0 โดยกำหนดให้ a จากนั้น a(จะต่อเนื่องกันสำหรับ J = Dn = 0 พิจารณาความสัมพันธ์ที่เรามี ในแต่ละเทอม^ ทางด้านขวาของ (2) ทั้งสองปัจจัยมีขีดจำกัด แท้จริงแล้ว อนุพันธ์ย่อยและ ^ สำหรับค่าที่กำหนดนั้นคงที่ โดยเงื่อนไขจะมีขีดจำกัดจากการมีอยู่ของอนุพันธ์ ^ และ ณ จุด £ ฟังก์ชัน x = y(t) และ y = มีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ 0 ทั้ง J และ Dy มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ซึ่งในทางกลับกันจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ a(Dx, Dy) และ P(Ax, Ay) ดังนั้น ด้านขวามือของความเสมอภาค (2) ที่ 0 จึงมีขีดจำกัด เท่ากับ ซึ่งหมายความว่าที่ 0 ยังมีขีด จำกัด ทางด้านซ้ายของ (2) เช่น . เมื่อผ่านความเท่าเทียมกัน (2) ถึงขีด จำกัด ที่ - » 0 เราจะได้ สูตรที่ต้องการ ในกรณีพิเศษ เมื่อ z เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ x เราจะได้ ในสูตร (5) จะมีอนุพันธ์บางส่วน = /(x, y) บน z เมื่อคำนวณซึ่งในนิพจน์ / (x, y) อาร์กิวเมนต์ y ถือเป็นค่าคงที่ A คืออนุพันธ์รวมของฟังก์ชัน z เทียบกับตัวแปรอิสระ x เมื่อคำนวณ y ในนิพจน์ /(x, y) จะไม่ถือเป็นค่าคงที่อีกต่อไป . คงที่ และในทางกลับกัน ถือเป็นฟังก์ชันของ x: y = tp(x)t ดังนั้น การพึ่งพาของ z บน x จึงถูกนำมาพิจารณาโดยสมบูรณ์ ตัวอย่าง. ค้นหาและ jg ถ้า 2 ตอนนี้เรามาดูความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหลายตัวกันดีกว่า ปล่อยให้ที่ไหนในทางกลับกัน สมมติว่า ณ จุด (() มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง u, 3? และที่จุดที่สอดคล้องกัน (x, y) โดยที่ฟังก์ชัน f(x, y) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ให้เราแสดงว่า ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ฟังก์ชันเชิงซ้อน z = z(() y) ที่จุด t7) มีอนุพันธ์และ χ และเราจะพบนิพจน์สำหรับอนุพันธ์เหล่านี้ โปรดทราบว่ากรณีนี้ไม่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากกรณีศึกษาแล้ว อันที่จริง เมื่อแยกความแตกต่าง z ด้วยความเคารพกับ £ ตัวแปรอิสระตัวที่สอง rj จะถูกใช้เป็นค่าคงที่ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ x และ y ในการดำเนินการนี้กลายเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว x" = c), y = c) และคำถาม ของอนุพันธ์ ζ ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับคำถามของอนุพันธ์เมื่อได้รับสูตร (3) การใช้สูตร (3) และแทนที่อนุพันธ์อย่างเป็นทางการ § และ ^ ในนั้นด้วยอนุพันธ์ u และตามลำดับเราได้รับในทำนองเดียวกันเรา ค้นหาตัวอย่าง ค้นหาอนุพันธ์ย่อย ^ และ ^ ของฟังก์ชัน r = x2 y - husli x - y = หากสูตรกำหนดฟังก์ชันที่ซับซ้อน " เพื่อที่ว่าเมื่อตรงตามเงื่อนไขที่เหมาะสม เราจะได้ในกรณีพิเศษเมื่อ And = โดยที่ อนุพันธ์บางส่วน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ความแตกต่างของฟังก์ชัน ตัวแปรหลายตัว เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ผลต่างรวม ส่วนอนุพันธ์บางส่วน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่เรามี โดยที่ m คืออนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของฟังก์ชัน และเทียบกับตัวแปรอิสระ x โดยคำนึงถึงการพึ่งพาโดยสมบูรณ์ของ และ บน x รวมถึงผ่าน z = z(x,y) a ^ - อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันและ = /( z, y, z) โดย x เมื่อคำนวณ k

ตัวอย่าง. ค้นหาว่าที่ไหน

สารละลาย. ตามสูตร (1) เรามี:

ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์รวมถ้า .

สารละลาย. -

ตามสูตร (2) ที่เราได้รับ .

2°. กรณีของตัวแปรอิสระหลายตัว

อนุญาต z = ฉ(x;y) -ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เอ็กซ์และ ใช่ซึ่งแต่ละอันเป็นฟังก์ชัน

ตัวแปรอิสระ เสื้อ: x = x(t), y = y(t)ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน z=f(x(t);y(t))เป็น

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรอิสระตัวเดียว เสื้อ;ตัวแปร x และ y เป็นตัวแปรระดับกลาง

ทฤษฎีบท- ถ้า z == ฉ(x; ญ) -แยกแยะได้ ณ จุดหนึ่ง ม(x;y) ดการทำงาน

และ x = x(เสื้อ)และ ที่ =ใช่(t) -ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ เสื้อ

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ซี(ที) == ฉ(x(t);y(t))คำนวณโดยสูตร

(3)

กรณีพิเศษ: z = ฉ(x; ย)โดยที่ y = ใช่(x)เหล่านั้น. ซี = ฉ(x;y(x)) -ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของสิ่งหนึ่ง

ตัวแปรอิสระ เอ็กซ์กรณีนี้ลดลงไปเป็นกรณีก่อนหน้าและบทบาทของตัวแปร

ทีเล่น เอ็กซ์ตามสูตร (3) เรามี:

.

สูตรสุดท้ายเรียกว่า สูตรอนุพันธ์รวม

กรณีทั่วไป: z = ฉ(x;y)ที่ไหน x = x(u;v), y=y(u;v)แล้ว z = f(x(u;v);y(u;v)) -ซับซ้อน

ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ และและ โวลต์อนุพันธ์ย่อยสามารถพบได้

โดยใช้สูตร (3) ดังนี้ ได้รับการแก้ไขแล้ว วีแทนที่มัน

อนุพันธ์ย่อยที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน (z) เทียบกับตัวแปรอิสระแต่ละตัว (และและ โวลต์)

เท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้ (z) เทียบกับค่าตัวกลาง

ตัวแปร (x และ y)อนุพันธ์ของพวกมันเทียบกับตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกัน (คุณและวี)

ในทุกกรณีที่พิจารณา สูตรนี้ใช้ได้

(คุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของผลต่างรวม)

ตัวอย่าง. ค้นหาและถ้า z= ฉ(x,y) โดยที่ x=uv,

อนุพันธ์บางส่วนถูกใช้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎในการค้นหาจะเหมือนกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งทุกประการ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะต้องถือเป็นค่าคงที่ (จำนวนคงที่) ในขณะที่หาความแตกต่าง

สูตร

อนุพันธ์บางส่วนสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว $ z(x,y) $ เขียนในรูปแบบต่อไปนี้ $ z"_x, z"_y $ และพบได้โดยใช้สูตร:

ลำดับแรกอนุพันธ์ย่อยบางส่วน

$$ z"_x = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) $$

$$ z"_y = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

$$ z""_(xx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน y) $$

อนุพันธ์ผสม

$$ z""_(xy) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน x \บางส่วน y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\บางส่วน^2 z)(\บางส่วน y \บางส่วน x) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเชิงซ้อน

a) ให้ $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดโดยสูตร:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) ให้ $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ จากนั้นสูตรจะพบอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันโดยนัย

ก) ให้ $ F(x,y(x)) = 0 $ จากนั้น $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) ให้ $ F(x,y,z)=0 $ จากนั้น $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( ฉ"_z) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบท.อนุญาต คุณ = ฉ (x, y)ได้รับในโดเมน D และให้ x = x(เสื้อ)และ y = y(t)ระบุไว้ในพื้นที่ , และเมื่อใด , จากนั้น x และ y อยู่ในเขต D. ให้ฟังก์ชันนี้หาอนุพันธ์ได้ที่จุด M 0 (x 0 ,ย 0 ,z 0)และฟังก์ชัน x(เสื้อ) และที่(เสื้อ) หาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่สอดคล้องกัน t 0 แล้วฟังก์ชันเชิงซ้อน u = f[x(ที),ย(ที)]=ฟ (ที)หาอนุพันธ์ได้ที่จุด t 0 และความเท่าเทียมกันถือ:

.

การพิสูจน์.เนื่องจากคุณสามารถอนุพันธ์ได้ตามเงื่อนไข ณ จุดนั้น ( x 0 , ย 0) จากนั้นส่วนเพิ่มทั้งหมดจะแสดงเป็น

หารอัตราส่วนนี้ด้วย เราจะได้:

ไปให้ถึงขีดจำกัดกันที่แล้วได้สูตรมา

.

หมายเหตุ 1.ถ้า คุณ= คุณ(เอ็กซ์, ย) และ x= x, ย= ย(x) แล้วก็อนุพันธ์รวมของฟังก์ชัน คุณตามตัวแปร เอ็กซ์

หรือ .

ความเสมอภาคสุดท้ายสามารถใช้เพื่อพิสูจน์กฎสำหรับการสร้างความแตกต่างฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง โดยกำหนดไว้โดยปริยายในรูปแบบ เอฟ(x, ย) = 0 โดยที่ ย= ย(x) (ดูหัวข้อที่ 3 และตัวอย่างที่ 14)

เรามี: - จากที่นี่ . (6.1)

กลับไปที่ตัวอย่างที่ 14 ของหัวข้อที่ 3:

;

.

อย่างที่คุณเห็นคำตอบนั้นตรงกัน

หมายเหตุ 2อนุญาต คุณ = ฉ (เอ็กซ์, ย), ที่ไหน เอ็กซ์= เอ็กซ์(ที , โวลต์), ที่= ที่(ที , โวลต์- ในที่สุดคุณก็กลายเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว ทีและ โวลต์- ถ้าตอนนี้ฟังก์ชัน u หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น ม 0 (x 0 , ย 0) และฟังก์ชัน เอ็กซ์และ ที่หาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่สอดคล้องกัน ( ที 0 , โวลต์ 0) แล้วเราก็พูดถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับได้ ทีและ โวลต์จากฟังก์ชันเชิงซ้อน ณ จุด ( ที 0 , โวลต์ 0) แต่ถ้าเรากำลังพูดถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ t ที่จุดที่ระบุ ตัวแปรตัวที่สอง v จะถือว่าคงที่และเท่ากับ โวลต์ 0 . ดังนั้นเราจึงกำลังพูดถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่านั้น เทียบกับ t ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรที่ได้รับได้ ดังนั้นเราจึงได้