วิธีค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันโดยไม่มีกราฟ ลองหาศูนย์ของฟังก์ชันกัน ดูว่า “Function Zero” ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร

2. ลองหาศูนย์ของฟังก์ชันกัน

ฉ(x) ที่ x .

ตอบ f(x) ที่ x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

ให้ f(x)=x 2 +4x +5 แล้วให้เราหา x โดยที่ f(x)>0,

D=-4 ไม่มีศูนย์

4. ระบบความไม่เท่าเทียมกัน อสมการและระบบอสมการที่มีตัวแปรสองตัว

1) ชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกันคือจุดตัดของชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่รวมอยู่ในนั้น

2) ชุดของการแก้อสมการ f(x;y)>0 สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกบนระนาบพิกัดได้ โดยทั่วไป เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ f(x;y) = 0 จะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน หนึ่งในนั้นคือคำตอบของอสมการ ในการพิจารณาว่าส่วนใด คุณต้องแทนที่พิกัดของจุดใดก็ได้ M(x0;y0) ที่ไม่ได้อยู่บนเส้น f(x;y)=0 ไปเป็นอสมการ ถ้า f(x0;y0) > 0 ดังนั้นคำตอบของอสมการคือส่วนของระนาบที่มีจุด M0 ถ้าฉ(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) ชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกันคือจุดตัดของชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น ให้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

.

สำหรับอสมการแรก เซตของคำตอบคือวงกลมรัศมี 2 และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และเซตที่สองคือระนาบครึ่งระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง 2x+3y=0 ชุดวิธีแก้ปัญหาของระบบนี้คือจุดตัดของชุดเหล่านี้ เช่น ครึ่งวงกลม

4) ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการ:

วิธีแก้อสมการที่ 1 คือ เซต เซตที่ 2 คือเซต (2;7) และเซตที่สามคือเซต

จุดตัดของเซตเหล่านี้คือช่วง (2;3) ซึ่งเป็นเซตของการแก้ระบบอสมการ

5. การแก้อสมการเชิงเหตุผลโดยใช้วิธีช่วงเวลา

วิธีการกำหนดช่วงเวลาขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของทวินาม (x-a) ต่อไปนี้ จุด x = α แบ่งแกนตัวเลขออกเป็นสองส่วน - ทางด้านขวาของจุด α คือทวินาม (x-α)>0 และไปทางขวาของจุด α คือทวินาม (x-α)>0 และไปที่ ทางซ้ายของจุด α (x-α)<0.

ปล่อยให้จำเป็นต้องแก้อสมการ (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 โดยที่ α 1, α 2 ...α n-1, α n ได้รับการแก้ไขแล้ว ตัวเลขซึ่งในจำนวนนี้ไม่มีค่าเท่ากัน และเช่นนั้น α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 โดยใช้วิธีการช่วงเวลา ดำเนินการดังนี้: ตัวเลข α 1, α 2 ...α n-1, α n ถูกพล็อตบนแกนตัวเลข ในช่วงเวลาทางด้านขวาของช่วงที่ใหญ่ที่สุดคือ ตัวเลข α n ใส่เครื่องหมายบวก ในช่วงต่อจากขวาไปซ้าย ให้ใส่เครื่องหมายลบ จากนั้นจึงใส่เครื่องหมายบวก จากนั้นจึงใส่เครื่องหมายลบ ฯลฯ จากนั้นเซตของคำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการ (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 จะเป็นการรวมกันของช่วงทั้งหมดที่มีเครื่องหมายบวกวางไว้ และเซต ของการแก้อสมการ (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) การแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล (เช่น ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม P(x) Q(x) โดยที่พหุนาม) ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้: ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องหายไปที่จุด x1 และ x2 (x1; x2) และไม่มีรากอื่นระหว่างจุดเหล่านี้ แล้วใน ช่วงเวลา (x1; x2) ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้

ดังนั้น หากต้องการค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน y=f(x) บนเส้นจำนวน ให้ทำเครื่องหมายทุกจุดที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) หายไปหรือเกิดความไม่ต่อเนื่อง จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นจำนวนออกเป็นหลายช่วง โดยในแต่ละช่วงจะมีฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันและไม่หายไป กล่าวคือ บันทึกเครื่องหมาย ในการกำหนดเครื่องหมายนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นหาเครื่องหมายของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ของช่วงเวลาที่พิจารณาของเส้นจำนวน

2) เพื่อกำหนดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันตรรกยะ เช่น ในการแก้อสมการเชิงตรรกยะ เราจะทำเครื่องหมายรากของตัวเศษและรากของตัวส่วนไว้บนเส้นจำนวน ซึ่งเป็นรากและจุดพักของฟังก์ชันตรรกยะด้วย

การแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

3. < 20.

สารละลาย. ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ถูกกำหนดโดยระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

สำหรับฟังก์ชัน f(x) = – 20. หา f(x):

โดยที่ x = 29 และ x = 13

ฉ(30) = – 20 = 0.3 > 0,

ฉ(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

คำตอบ: . วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการตรรกยะ 1) วิธีที่ง่ายที่สุด: แก้ไขได้โดยการทำให้เข้าใจง่ายตามปกติ - การลดลงเป็นตัวส่วนร่วม, การลดเงื่อนไขที่คล้ายกันและอื่น ๆ สมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 แก้ได้โดย...

X เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา (0,1] และลดลงในช่วงเวลา = ½ [
-(1/3)
] ด้วย | z|< 1.

ข) ฉ(z) = - ½ [
+
] = - (
) ที่ 1< |z| < 3.

กับ) ฉ(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
ด้วย |2 - z| < 1

เป็นวงกลมรัศมี 1 มีศูนย์กลางอยู่ที่ z = 2 .

ในบางกรณี อนุกรมกำลังสามารถลดลงเหลือชุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้ และหลังจากนั้น จึงง่ายต่อการกำหนดขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

อเวนิว ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

สารละลาย. นี่คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองด้วย ถาม 1 = , ถาม 2 = () . จากเงื่อนไขของการบรรจบกันเป็นไปตามนั้น < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

การทำงานเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด ฟังก์ชั่น - การพึ่งพาตัวแปร ที่จากตัวแปร xถ้าแต่ละค่า เอ็กซ์ตรงกับค่าเดียว ที่- ตัวแปร เอ็กซ์เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ ตัวแปร ที่เรียกว่าตัวแปรตาม ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (variable x) สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรตามใช้ (variable ย) สร้างช่วงของค่าของฟังก์ชัน

กราฟฟังก์ชันเรียกเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัดซึ่ง abscissas เท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์และพิกัดเท่ากับ ค่าที่สอดคล้องกันฟังก์ชั่นนั่นคือค่าของตัวแปรจะถูกพล็อตตามแกน abscissa xและค่าของตัวแปรจะถูกพล็อตไปตามแกนพิกัด ย- หากต้องการสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้น คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันจะกล่าวถึงด้านล่าง!

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมของเรา - ฟังก์ชันกราฟแบบออนไลน์ หากคุณมีคำถามใดๆ ในขณะที่ศึกษาเนื้อหาในหน้านี้ คุณสามารถถามพวกเขาในฟอรัมของเราได้ตลอดเวลา นอกจากนี้ในฟอรั่มยังช่วยคุณแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี เรขาคณิต ทฤษฎีความน่าจะเป็น และวิชาอื่นๆ อีกมากมาย!

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น.
พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ฟังก์ชันศูนย์คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นเพียงค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x)- กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) ถือเป็นคาบหากมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ T โดยที่ x f(x+T) ใดๆ = f(x) จำนวนที่น้อยที่สุดนี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ (สูตรตรีโกณมิติ)

เมื่อศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้แล้ว คุณสามารถสำรวจฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย และใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ คุณจะสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้ ดูเนื้อหาเกี่ยวกับตารางความจริง ตารางสูตรคูณ ตารางธาตุ ตารางอนุพันธ์ และตารางปริพันธ์

ฟังก์ชันศูนย์

ฟังก์ชันศูนย์คืออะไร? จะกำหนดศูนย์ของฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์และกราฟิกได้อย่างไร?

ฟังก์ชันศูนย์- นี่คือค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์

หากต้องการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=f(x) คุณต้องแก้สมการ f(x)=0

ถ้าสมการไม่มีราก ฟังก์ชันก็ไม่มีศูนย์

1) ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันเชิงเส้น y=3x+15

หากต้องการหาศูนย์ของฟังก์ชัน ให้แก้สมการ 3x+15 =0

ดังนั้น ค่าศูนย์ของฟังก์ชันคือ y=3x+15 - x= -5

2) ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันกำลังสอง f(x)=x²-7x+12

หากต้องการหาศูนย์ของฟังก์ชัน ให้แก้สมการกำลังสอง

รากของมันคือ x1=3 และ x2=4 เป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้

3) ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน

เศษส่วนก็สมเหตุสมผลถ้าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1 นั่นคือโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนด (DO)

จากรากของสมการ x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 มีเพียง x=-4 เท่านั้นที่จะรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ

ในการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นกราฟ คุณต้องหาจุดตัดกันของกราฟฟังก์ชันด้วยแกนแอบซิสซา

หากกราฟไม่ตัดแกน Ox แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่มีศูนย์

ฟังก์ชันที่มีกราฟแสดงในรูปมีศูนย์สี่ตัว -

ในพีชคณิต ปัญหาการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันเกิดขึ้นทั้งในฐานะงานอิสระและเมื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เช่น เมื่อศึกษาฟังก์ชัน การแก้ไขอสมการ เป็นต้น

www.algebraclass.ru

กฎของฟังก์ชันศูนย์

แนวคิดพื้นฐานและคุณสมบัติของฟังก์ชัน

กฎ (กฎหมาย) การติดต่อสื่อสาร ฟังก์ชันโมโนโทนิค .

ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่จำกัด ต่อเนื่องและ

ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง . ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชันคาบ ระยะเวลาของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันศูนย์ . เส้นกำกับ .

โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น ร - ซึ่งหมายความว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถรับเฉพาะค่าจริงที่กำหนดฟังก์ชันได้เท่านั้น เช่น แต่ยังยอมรับเฉพาะคุณค่าที่แท้จริงเท่านั้น มากมาย เอ็กซ์ ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องที่ถูกต้องทั้งหมด xซึ่งฟังก์ชันนั้น ย = ฉ (x) ถูกกำหนดไว้ เรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน- มากมาย ย คุณค่าที่แท้จริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับจะถูกเรียกว่า ช่วงฟังก์ชัน- ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความของฟังก์ชันได้ชัดเจนยิ่งขึ้น: กฎ (กฎหมาย) การติดต่อระหว่างเซต เอ็กซ์และ ย , ตามแต่ละองค์ประกอบจากชุด เอ็กซ์คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบเดียวจากชุดได้ ยเรียกว่าฟังก์ชัน .

จากคำจำกัดความนี้จะถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้หาก:

— ระบุโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน เอ็กซ์ ;

— มีการระบุช่วงฟังก์ชัน ย ;

— กฎ (กฎหมาย) ของการโต้ตอบเป็นที่รู้จักและเป็นเช่นนั้นสำหรับแต่ละคน

ค่าอาร์กิวเมนต์ สามารถหาค่าฟังก์ชันได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น

ข้อกำหนดด้านความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันนี้ถือเป็นข้อบังคับ

ฟังก์ชันโมโนโทนิค หากมีค่าสองค่าใด ๆ ของการโต้แย้ง x 1 และ x 2 ของสภาพ x 2 > x 1 ตามมา ฉ (x 2) > ฉ (x 1) ตามด้วยฟังก์ชัน ฉ (x) เรียกว่า เพิ่มขึ้น- ถ้าเพื่ออะไรก็ตาม x 1 และ x 2 ของสภาพ x 2 > x 1 ตามมา ฉ (x 2)

ฟังก์ชั่นที่แสดงในรูปที่ 3 นั้นมีข้อจำกัด แต่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก ฟังก์ชันในรูปที่ 4 ตรงกันข้าม ซ้ำซาก แต่ไม่จำกัด (โปรดอธิบายสิ่งนี้ด้วย!)

ฟังก์ชั่นต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง การทำงาน ย = ฉ (x) เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ตรงจุด x = ก, ถ้า:

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเมื่อใด x = ก, เช่น. ฉ (ก) มีอยู่;

2) มีอยู่ มีจำกัดจำกัด ลิม ฉ (x) ;

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ ฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้ ระเบิดตรงจุด x = ก .

หากฟังก์ชั่นต่อเนื่องในระหว่าง ทุกคน จุดของขอบเขตคำจำกัดความแล้วมันถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง.

ฟังก์ชันคู่และคี่ ถ้าเพื่อ ใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะมีดังต่อไปนี้: ฉ (— x) = ฉ (x) จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน สม่ำเสมอ- ถ้ามันเกิดขึ้น: ฉ (— x) = — ฉ (x) จากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน แปลก- กราฟของฟังก์ชันคู่ สมมาตรเกี่ยวกับแกน Y(รูปที่ 5) กราฟของฟังก์ชันคี่ ซิม เมตริกที่เกี่ยวข้องกับแหล่งกำเนิด(รูปที่ 6)

ฟังก์ชันคาบ การทำงาน ฉ (x) — เป็นระยะๆถ้ามีสิ่งนั้นอยู่ ไม่ใช่ศูนย์ตัวเลข ตเพื่ออะไร ใดๆ xจากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะมีดังต่อไปนี้: ฉ (x + ต) = ฉ (x- นี้ น้อยที่สุดหมายเลขนี้ถูกเรียก ระยะเวลาของฟังก์ชัน- ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ

ตัวอย่างที่ 1 พิสูจน์ความบาปนั้น xมีระยะเวลา 2

วิธีแก้ปัญหา: เรารู้ว่าบาป ( x+ 2 n) = บาป x, ที่ไหน n= 0, ± 1, ± 2, …

ดังนั้นบวก 2 nไม่ใช่การโต้แย้งแบบไซน์

เปลี่ยนค่าของมัน e มีเลขนี้อีกไหมครับ.

สมมุติว่า ป– ตัวเลขดังกล่าว เช่น ความเท่าเทียมกัน:

ใช้ได้กับค่าใดๆ x- แต่แล้วมันก็มี

สถานที่และที่ x= / 2 เช่น

บาป(/2 + ป) = บาป / 2 = 1

แต่ตามสูตรลดความบาป (/2 + ป) = cos ป- แล้ว

จากความเสมอภาคสองตัวสุดท้ายจะตามหลัง cos ป= 1 แต่เรา

เรารู้ว่าสิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อเท่านั้น ป = 2 n- เนื่องจากมีขนาดเล็กที่สุด

จำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์จาก 2 nคือ 2 แล้วเลขนี้

และมีบาปเป็นช่วงๆ x- ก็สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันว่า 2

ก็เป็นคาบสำหรับ cos ด้วย x .

พิสูจน์ว่าฟังก์ชันสีแทน xและเปล xมีประจำเดือน

ตัวอย่างที่ 2 จำนวนใดคือระยะเวลาของฟังก์ชัน sin 2 x ?

วิธีแก้ไข: พิจารณาบาป 2 x= บาป (2 x+ 2 n) = บาป [ 2 ( x + n) ] .

เราเห็นการเพิ่มนั้น nถึงข้อโต้แย้ง xไม่เปลี่ยนแปลง

ค่าฟังก์ชัน จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์น้อยที่สุด

จาก nคือ ดังนั้น นี่คือช่วงเวลาบาป 2 x .

ฟังก์ชันศูนย์ ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันเท่ากับ 0 เรียกว่า ศูนย์ ( ราก) ฟังก์ชัน- ฟังก์ชันอาจมีศูนย์หลายตัว ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = x (x + 1) (x- 3) มีศูนย์สามตัว: x = 0, x = — 1, x= 3. ทางเรขาคณิต ฟังก์ชันว่าง – นี่คือจุดตัดของกราฟฟังก์ชันกับแกน เอ็กซ์ .

รูปที่ 7 แสดงกราฟของฟังก์ชันที่มีศูนย์: x = ก , x = ขและ x = ค .

เส้นกำกับ หากกราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้เส้นตรงเส้นหนึ่งอย่างไม่มีกำหนดขณะที่มันเคลื่อนออกจากจุดกำเนิด เส้นนี้จะถูกเรียกว่า เส้นกำกับ.

หัวข้อที่ 6 “วิธีการเว้นช่วง”

ถ้า f (x) f (x 0) สำหรับ x x 0 ฟังก์ชัน f (x) จะถูกเรียกใช้ ต่อเนื่องที่จุด x 0.

ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในทุกจุดของช่วงเวลา I ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียก อย่างต่อเนื่องตามช่วงเวลาฉัน (ช่วงที่ฉันเรียกว่า ช่วงความต่อเนื่องของฟังก์ชัน). กราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้เป็นเส้นต่อเนื่อง ซึ่งเขาบอกว่าสามารถ "วาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ"

คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

หากในช่วงเวลา (a ; b) ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องและไม่หายไป ฟังก์ชัน f จะคงเครื่องหมายคงที่ไว้ในช่วงเวลานี้

วิธีการแก้อสมการด้วยตัวแปรตัวเดียว ซึ่งก็คือวิธีช่วงเวลานั้นจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในช่วง I และหายไปตามจำนวนจุดที่กำหนดในช่วงเวลานี้ ตามคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง จุดเหล่านี้จะแบ่ง I ออกเป็นช่วงๆ โดยแต่ละฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) c จะรักษาเครื่องหมายคงที่ไว้ ในการระบุเครื่องหมายนี้ ก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x) ที่จุดใดจุดหนึ่งจากแต่ละช่วงเวลาดังกล่าว จากข้อมูลนี้ เราได้รับอัลกอริธึมต่อไปนี้สำหรับการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

วิธีช่วงเวลา ระดับเฉลี่ย.

คุณต้องการทดสอบความแข็งแกร่งของคุณและดูว่าคุณพร้อมแค่ไหนสำหรับการสอบ Unified State หรือ Unified State?

ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มเรียกว่าเชิงเส้น ลองใช้ฟังก์ชันเป็นตัวอย่าง เป็นบวกที่ 3″> และเป็นลบที่ จุดคือศูนย์ของฟังก์ชัน () เรามาแสดงสัญญาณของฟังก์ชันนี้บนแกนตัวเลข:

เราว่า “ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนั้น”

จะเห็นได้ว่าสัญลักษณ์ของฟังก์ชันสอดคล้องกับตำแหน่งของกราฟฟังก์ชัน: หากกราฟอยู่เหนือแกน เครื่องหมายจะเป็น “ ” หากอยู่ด้านล่างคือ “ ”

หากเราสรุปกฎผลลัพธ์ให้เป็นกฎเกณฑ์ ฟังก์ชันเชิงเส้นเราได้รับอัลกอริธึมดังต่อไปนี้:

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฉันหวังว่าคุณจะจำวิธีแก้อสมการกำลังสองได้ไหม ถ้าไม่ อ่านหัวข้อ “สมการกำลังสอง” ฉันขอเตือนคุณ มุมมองทั่วไปฟังก์ชันกำลังสอง: .

ทีนี้มาจำไว้ว่าฟังก์ชันกำลังสองมีสัญญาณอะไร กราฟของมันคือพาราโบลา และฟังก์ชันจะใช้เครื่องหมาย " " สำหรับพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน และ " " - ถ้าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน:

หากฟังก์ชันมีศูนย์ (ค่าที่) พาราโบลาจะตัดแกนที่จุดสองจุด - รากของสมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน ดังนั้นแกนจึงถูกแบ่งออกเป็นสามช่วงและสัญญาณของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปสลับกันเมื่อผ่านแต่ละรูต

เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดสัญญาณโดยไม่ต้องวาดพาราโบลาทุกครั้ง?

จำไว้ว่าตรีโกณมิติกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้:

ทำเครื่องหมายรากบนแกน:

เราจำได้ว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เมื่อผ่านรูทเท่านั้น ลองใช้ข้อเท็จจริงนี้: สำหรับแต่ละช่วงเวลาที่แกนถูกหารด้วยรากก็เพียงพอที่จะกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันที่จุดที่เลือกโดยพลการเพียงจุดเดียวเท่านั้น: ที่จุดที่เหลือของช่วงเวลาเครื่องหมายจะเหมือนกัน .

ในตัวอย่างของเรา: ที่ 3″> ทั้งสองนิพจน์ในวงเล็บเป็นบวก (แทนที่ เช่น 0″>) เราใส่เครื่องหมาย " " ไว้บนแกน:

เมื่อ (เช่น แทนค่า) วงเล็บทั้งสองเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าผลคูณเป็นบวก:

นี่คือมัน วิธีช่วงเวลา: เมื่อทราบสัญญาณของปัจจัยแต่ละช่วงแล้วเราจะกำหนดสัญญาณของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด

ลองพิจารณากรณีที่ฟังก์ชันไม่มีศูนย์หรือมีเพียงอันเดียว

หากไม่มีก็ไม่มีราก ซึ่งหมายความว่าจะไม่มีการ "ผ่านราก" ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะใช้เครื่องหมายเดียวบนเส้นจำนวนทั้งหมด สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่ลงในฟังก์ชัน

หากมีรากเพียงรากเดียว พาราโบลาจะสัมผัสแกน ดังนั้นเครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านราก เราจะคิดกฎอะไรได้บ้างสำหรับสถานการณ์เช่นนี้?

หากคุณแยกตัวประกอบฟังก์ชันดังกล่าว คุณจะได้ตัวประกอบที่เหมือนกันสองตัว:

และนิพจน์กำลังสองใดๆ ไม่เป็นลบ! ดังนั้นเครื่องหมายของฟังก์ชันจึงไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีเช่นนี้ เราจะเน้นรากเมื่อผ่านซึ่งเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง โดยวงกลมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

เราจะเรียกรูตดังกล่าว ทวีคูณ.

วิธีช่วงเวลาในอสมการ

ตอนนี้อสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องวาดพาราโบลา เพียงวางเครื่องหมายของฟังก์ชันกำลังสองบนแกนก็เพียงพอแล้วและเลือกช่วงเวลาขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น:

มาวัดรากบนแกนแล้ววางเครื่องหมาย:

เราต้องการส่วนของแกนที่มีเครื่องหมาย " " เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด รากจึงรวมอยู่ในการแก้ปัญหาด้วย:

ตอนนี้ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล - ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งทั้งสองฝ่ายเป็นนิพจน์ที่มีเหตุผล (ดู "สมการเหตุผล")

ตัวอย่าง:

ปัจจัยทั้งหมดยกเว้นปัจจัยหนึ่งถือเป็น "เชิงเส้น" ในที่นี้ กล่าวคือ มีตัวแปรเฉพาะกำลังแรกเท่านั้น เราต้องการปัจจัยเชิงเส้นดังกล่าวเพื่อใช้วิธีช่วงเวลา - เครื่องหมายจะเปลี่ยนเมื่อผ่านรากของมัน แต่ตัวคูณไม่มีรากเลย ซึ่งหมายความว่าเป็นบวกเสมอ (ตรวจสอบด้วยตัวคุณเอง) และดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการได้ และกำจัดมันออกไป:

ตอนนี้ทุกอย่างเหมือนเดิมกับอสมการกำลังสอง: เรากำหนดว่าจุดใดที่แต่ละปัจจัยกลายเป็นศูนย์ ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนและจัดเรียงเครื่องหมาย ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงที่สำคัญมาก:

ในกรณีของเลขคู่ เราทำเหมือนเดิม: เราวาดรูปสี่เหลี่ยมรอบจุดและอย่าเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านรูท แต่ในกรณีของเลขคี่ กฎนี้ใช้ไม่ได้: เครื่องหมายจะยังคงเปลี่ยนเมื่อผ่านรูท ดังนั้นเราจึงไม่ทำอะไรเพิ่มเติมกับรูทดังกล่าว ราวกับว่ามันไม่ใช่จำนวนทวีคูณ กฎข้างต้นใช้กับเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ทั้งหมด

เราควรเขียนอะไรในคำตอบ?

หากฝ่าฝืนการสลับป้ายต้องระวังให้มากเพราะถ้าความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวดคำตอบก็ควรประกอบด้วย จุดที่แรเงาทั้งหมด- แต่บางคนก็มักจะแยกจากกันนั่นคือไม่รวมอยู่ในพื้นที่สีเทา ในกรณีนี้ เราจะเพิ่มลงในคำตอบเป็นจุดแยก (ในวงเล็บปีกกา):

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

คำตอบ:

1. ถ้าในบรรดาปัจจัยต่างๆ มันง่าย มันเป็นราก เพราะสามารถแสดงเป็นได้
   .

ฟังก์ชันศูนย์คืออะไร? คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย - นี่คือคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งหมายถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งค่าของมันคือศูนย์ เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันศูนย์ วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายว่าฟังก์ชันศูนย์คืออะไรโดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง

ลองพิจารณาสมการง่ายๆ y=x+3 เนื่องจากศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ y ได้รับค่าเป็นศูนย์ เราจึงแทนที่ 0 ทางด้านซ้ายของสมการ:

ในกรณีนี้ -3 คือศูนย์ที่ต้องการ สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดจะมีเพียงรากเดียวของสมการ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ลองดูตัวอย่างอื่น:

ลองแทน 0 ทางด้านซ้ายของสมการ ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้:

แน่นอนว่าในกรณีนี้จะมีเลขศูนย์สองตัวของฟังก์ชัน: x=3 และ x=-3 หากสมการมีข้อโต้แย้งระดับที่สาม ก็จะมีศูนย์สามตัว สามารถสรุปง่ายๆ ได้ว่าจำนวนรากของพหุนามสอดคล้องกับระดับสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ในสมการ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันหลายอย่าง เช่น y = x 3 เมื่อมองแวบแรกขัดแย้งกับข้อความนี้ ลอจิกและ สามัญสำนึกแนะนำว่าฟังก์ชันนี้มีศูนย์เพียงตัวเดียว - ที่จุด x=0 แต่ในความเป็นจริงแล้ว มีสามราก เพียงแต่ทั้งหมดตรงกัน หากคุณแก้สมการในรูปแบบที่ซับซ้อน สิ่งนี้จะชัดเจนขึ้น x=0 ในกรณีนี้ คือรากที่มีหลายหลากเป็น 3 ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าศูนย์ไม่ตรงกัน ดังนั้นพวกมันจึงมีหลายหลากเป็น 1

อัลกอริธึมการกำหนด

จากตัวอย่างที่นำเสนอ คุณสามารถดูวิธีกำหนดค่าศูนย์ของฟังก์ชันได้ อัลกอริทึมจะเหมือนกันเสมอ:

1. เขียนฟังก์ชัน
2. แทน y หรือ f(x)=0
3. แก้สมการผลลัพธ์

ความยากของจุดสุดท้ายขึ้นอยู่กับระดับของการโต้แย้งของสมการ เมื่อแก้สมการที่มีระดับสูง สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือต้องจำไว้ว่าจำนวนรากของสมการนั้นเท่ากับระดับสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการตรีโกณมิติ ซึ่งการหารทั้งสองข้างด้วยไซน์หรือโคไซน์จะทำให้สูญเสียราก

สมการระดับใดก็ได้นั้นแก้ได้ง่ายที่สุดโดยใช้วิธีของฮอร์เนอร์ ซึ่งพัฒนาขึ้นมาโดยเฉพาะสำหรับการค้นหาค่าศูนย์ของพหุนามตามอำเภอใจ

ค่าศูนย์ของฟังก์ชันอาจเป็นค่าลบหรือบวก ค่าจริงหรือในระนาบเชิงซ้อน ค่าเอกพจน์หรือค่าทวีคูณ หรืออาจจะไม่มีรากของสมการ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=8 จะไม่ได้รับค่าศูนย์สำหรับ x ใดๆ เนื่องจากไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรนี้

สมการ y=x 2 -16 มีสองราก และทั้งสองอยู่ในระนาบเชิงซ้อน: x 1 =4i, x 2 =-4i

ข้อผิดพลาดทั่วไป

ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ทำโดยเด็กนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันคืออะไรคือการแทนที่อาร์กิวเมนต์ (x) ด้วยศูนย์ แทนที่จะเป็นค่า (y) ของฟังก์ชัน พวกเขาแทนที่ x=0 ลงในสมการอย่างมั่นใจ และจากสิ่งนี้ จงหา y แต่นี่เป็นแนวทางที่ผิด

ข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่ง ดังที่กล่าวไปแล้วคือการลดลงด้วยไซน์หรือโคไซน์ในสมการตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าศูนย์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปหายไป นี่ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีอะไรลดลงในสมการดังกล่าว แต่ในการคำนวณเพิ่มเติมจำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยที่ "สูญหาย" เหล่านี้ด้วย

การแสดงกราฟิก

คุณสามารถเข้าใจได้ว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันกำลังทำอะไรอยู่โดยใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ เช่น Maple คุณสามารถสร้างกราฟตรงนั้นได้โดยการระบุจำนวนจุดที่ต้องการและมาตราส่วนที่ต้องการ จุดที่กราฟตัดกับแกน OX คือศูนย์ที่ต้องการ นี่คือหนึ่งในที่สุด วิธีที่รวดเร็วการหารากของพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าลำดับของมันสูงกว่าอันดับสาม ดังนั้นหากมีความจำเป็นต้องคำนวณทางคณิตศาสตร์เป็นประจำการค้นหารากของพหุนามขององศาที่ต้องการสร้างกราฟเมเปิ้ลหรือโปรแกรมที่คล้ายกันจะขาดไม่ได้ในการดำเนินการและตรวจสอบการคำนวณ

การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าปริมาณหนึ่งกำหนดค่าของอีกปริมาณหนึ่งได้อย่างไร ตามเนื้อผ้า ฟังก์ชันตัวเลขถือเป็นการกำหนดหมายเลขหนึ่งให้กับอีกหมายเลขหนึ่ง ค่าศูนย์ของฟังก์ชันมักจะเป็นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์

คำแนะนำ

1. ในการที่จะหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องจัดด้านขวาของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการที่ได้ สมมติว่าคุณได้รับฟังก์ชัน f(x)=x-5

2. ในการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันนี้ ลองหาทางขวาของฟังก์ชันนี้ให้เป็นศูนย์: x-5=0

3. เมื่อแก้สมการนี้แล้ว เราพบว่า x=5 และค่าของอาร์กิวเมนต์นี้จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน นั่นคือ เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์เป็น 5 ฟังก์ชัน f(x) จะกลายเป็นศูนย์

ภายใต้ทัศนียภาพ ฟังก์ชั่นในทางคณิตศาสตร์เราเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบของเซต เพื่อให้ถูกต้องมากขึ้น นี่คือ "กฎ" ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดของชุดหนึ่ง (เรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความ) เชื่อมโยงกับองค์ประกอบหนึ่งของอีกชุดหนึ่ง (เรียกว่าโดเมนของค่า)

คุณจะต้อง

• ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตและการทบทวนคณิตศาสตร์

คำแนะนำ

1. ค่านิยม ฟังก์ชั่นนี่คือพื้นที่บางส่วนที่ฟังก์ชันสามารถรับค่าได้ สมมติว่าช่วงของค่า ฟังก์ชั่นฉ(x)=|x| จาก 0 ถึงอนันต์ เพื่อที่จะค้นพบ ความหมาย ฟังก์ชั่นเมื่อถึงจุดหนึ่งคุณจะต้องแทนที่ข้อโต้แย้ง ฟังก์ชั่นเทียบเท่ากับตัวเลข ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็น ความหมายม ฟังก์ชั่น- ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x)=|x| – 10 + 4x มาหาคำตอบกัน ความหมาย ฟังก์ชั่นที่จุด x=-2 ลองแทนที่ x ด้วยตัวเลข -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16 นั่นก็คือ ความหมาย ฟังก์ชั่นที่จุด -2 เท่ากับ -16

ใส่ใจ!
ก่อนที่จะค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่านั้นอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
วิธีการที่คล้ายกันทำให้สามารถค้นพบความหมายของฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ต่างๆ ได้ ข้อแตกต่างก็คือแทนที่จะใช้ตัวเลขตัวเดียว คุณจะต้องแทนที่หลายตัว - ตามจำนวนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้แสดงถึงการเชื่อมต่อที่สร้างขึ้นระหว่างตัวแปร y และตัวแปร x ยิ่งกว่านั้นค่าทั้งหมดของ x ที่เรียกว่าอาร์กิวเมนต์นั้นสอดคล้องกับค่าพิเศษของ y - ฟังก์ชัน ในรูปแบบกราฟิก ฟังก์ชันจะแสดงบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในรูปแบบของกราฟ จุดตัดกันของกราฟกับแกน abscissa ซึ่งมีการลงจุดอาร์กิวเมนต์ x เรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน การค้นหาศูนย์ที่ยอมรับได้ถือเป็นภารกิจหนึ่งในการค้นหาฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรอิสระ x ที่สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน (DOF) จะถูกนำมาพิจารณาด้วย

คำแนะนำ

1. ศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ อย่างไรก็ตาม เฉพาะข้อโต้แย้งที่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาเท่านั้นที่สามารถเป็นศูนย์ได้ นั่นคือมีค่ามากมายที่ฟังก์ชัน f(x) มีประโยชน์

2. เขียนฟังก์ชันที่กำหนดและจัดให้เป็นศูนย์ เช่น f(x) = 2x?+5x+2 = 0 แก้สมการผลลัพธ์และหารากที่แท้จริงของมัน รากของสมการกำลังสองถูกคำนวณโดยมีส่วนช่วยในการค้นหาจำแนก 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 ดังนั้น ในกรณีนี้ จะได้รากสองอันของสมการกำลังสองซึ่งสอดคล้องกับ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเริ่มต้น f(x)

3. ตรวจสอบค่า x ที่ตรวจพบทั้งหมดว่าเป็นของโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนด ค้นหา OOF เพื่อดำเนินการนี้ ตรวจสอบนิพจน์เริ่มต้นว่ามีรากคู่ของรูปแบบหรือไม่ f (x) สำหรับการมีอยู่ของเศษส่วนในฟังก์ชันโดยมีอาร์กิวเมนต์ในตัวส่วน สำหรับการมีอยู่ของลอการิทึมหรือตรีโกณมิติ การแสดงออก

4. เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่มีนิพจน์ภายใต้รูตของระดับคู่ ให้ใช้โดเมนของคำจำกัดความของอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด x ซึ่งค่านั้นไม่เปลี่ยนนิพจน์รากให้เป็นจำนวนลบ (ตรงกันข้ามฟังก์ชันทำ ไม่สมเหตุสมผล) ตรวจสอบว่าค่าศูนย์ที่ตรวจพบของฟังก์ชันอยู่ในช่วงค่า x ที่ยอมรับได้หรือไม่

5. ตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น ให้แยกอาร์กิวเมนต์ x ที่ทำให้เกิดผลลัพธ์ดังกล่าวออก สำหรับปริมาณลอการิทึมควรพิจารณาเฉพาะค่าของอาร์กิวเมนต์ที่นิพจน์มีค่ามากกว่าศูนย์ ค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่เปลี่ยนนิพจน์ย่อยลอการิทึมให้เป็นศูนย์หรือจำนวนลบจะต้องละทิ้งจากผลลัพธ์สุดท้าย

ใส่ใจ!
เมื่อค้นหารากของสมการ อาจมีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น ง่ายต่อการตรวจสอบ: เพียงแทนที่ค่าอาร์กิวเมนต์ผลลัพธ์ลงในฟังก์ชัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์หรือไม่

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
ในบางครั้งฟังก์ชันไม่ได้แสดงออกมาอย่างชัดเจนผ่านการโต้แย้ง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะรู้ว่าฟังก์ชันนี้คืออะไร ตัวอย่างนี้คือสมการของวงกลม