จะสร้างเมทริกซ์ของเหตุการณ์ที่ถูกต้องโดยใช้สัญชาตญาณได้อย่างไร? การสร้างเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้น ต่อไปนี้เป็นวิธีการทำงานในทางปฏิบัติ...

การสร้างเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้น

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ข้อมูลเริ่มต้นจะเข้าใจว่าเป็นตารางที่ประกอบด้วยข้อมูลการวิจัยและแสดงเมทริกซ์ขนาด mxn โดยที่ m คือจำนวนตัวบ่งชี้ที่วัดได้ (ตัวบ่งชี้ ได้แก่ ระดับแบบสอบถาม เพศ อายุของวิชา ฯลฯ .) และ n คือวิชาจำนวน

จากนั้น X ij คือค่าของตัวบ่งชี้ที่ j สำหรับเรื่องที่ i

เมื่อรวมข้อมูลการสำรวจไว้ในตารางเดียว แต่ละบรรทัดจะแสดงข้อมูลของหัวข้อเฉพาะสำหรับตัวบ่งชี้ที่บันทึกไว้ทั้งหมด ไม่แนะนำให้สร้างเมทริกซ์ผลลัพธ์หลายรายการสำหรับแต่ละวิธี (เช่น เมทริกซ์แยกตามผลลัพธ์ของการทดสอบ Cattell เมทริกซ์แยกตามผลลัพธ์ของวิธีการศึกษาทัศนคติตนเอง เมทริกซ์แยกตาม ผลการทดสอบการวาดภาพ) Excel ให้ความสามารถในการสร้างเมทริกซ์ที่ค่อนข้างใหญ่ (ขนาด 256 ตัวชี้วัดสำหรับ 65,536 วิชา) นอกจากนี้ เมื่อสร้างเมทริกซ์ผลลัพธ์เดี่ยว สถานการณ์จะไม่เกิดขึ้นเมื่อข้อมูลของแถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่แตกต่างกันอ้างถึงวิชาที่แตกต่างกัน ซึ่งขัดแย้งกับความถูกต้องของการสร้างเมทริกซ์ของผลลัพธ์เริ่มต้น

เมื่อเริ่มสร้างเมทริกซ์ของผลลัพธ์เริ่มต้น แนะนำให้เตรียมหัวข้อที่ระบุชื่อของวิธีการและตัวบ่งชี้ที่บันทึกไว้ ส่วนหัวจะมีประโยชน์มากในขั้นตอนการนำเสนอผลลัพธ์ด้วยภาพ การสร้างส่วนหัวจะช่วยในการจัดรูปแบบตารางโดยรวมทำให้มีลักษณะที่สะดวกที่สุดสำหรับการดำเนินการในภายหลัง ข้อมูลโค้ดส่วนหัวอาจมีลักษณะดังนี้:

จุดถัดไปที่ทำให้การทำงานกับตารางข้อมูลง่ายขึ้นอย่างมากคือการปักหมุดพื้นที่ ในการปักหมุดพื้นที่ สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือต้องเลือกเซลล์ที่จะเป็นเซลล์แรกในอาร์เรย์ข้อมูลทั่วไป

พื้นที่แช่แข็งช่วยให้คุณสามารถตรึงส่วนหัวของตารางและป้ายกำกับแถวเพื่อให้คุณสามารถดูข้อมูลและดูส่วนหัวได้

ตอนนี้ตารางของคุณพร้อมที่จะเต็มไปด้วยข้อมูลของผู้ทดสอบแล้ว

บางครั้งเมื่อกรอกตารางด้วยแหล่งข้อมูล ค่าที่ป้อนจะถูกจัดรูปแบบโดยอัตโนมัติ จากนั้น แทนที่จะเป็นตัวเลข ĸι ι ι ι ᴩ ι ที่คุณป้อนกลับบิดเบี้ยว ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณป้อน 10.05 คุณจะเห็น 10.May อยู่ในเนื้อหาของเซลล์ ซึ่งหมายความว่า Excel จะแปลงตัวเลขที่คุณป้อนเป็นรูปแบบวันที่โดยอัตโนมัติ เพื่อหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ให้ใช้ด้านขวาของคีย์บอร์ดโดยกด Num Lock ในกรณีนี้ คุณจะต้องป้อนหมายเลขให้ถูกต้อง แทร.WS 10.05.

ส่วนของตารางข้อมูลที่เสร็จแล้วอาจมีลักษณะดังนี้:

สร้างเมทริกซ์ข้อมูลเริ่มต้นแล้ว คุณสามารถเริ่มวิเคราะห์ข้อมูลและนำเสนอในรูปแบบกราฟิกได้

การสร้างเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้น - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "การสร้างเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้น" 2017, 2018.

ใน Mathcad การสร้างเมทริกซ์ที่มีโครงสร้างเรียบง่ายบางอย่างเป็นเรื่องง่ายโดยใช้หนึ่งในฟังก์ชันที่มีอยู่แล้วภายใน

ตัวตน (N)- หน่วยเมทริกซ์ขนาด NxN;

วินิจฉัย(v)- เมทริกซ์แนวทแยงบนเส้นทแยงมุมซึ่งเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ v:

ยังไม่มีข้อความ - จำนวนเต็ม;

v เป็นเวกเตอร์

การเลือกเมทริกซ์ย่อย

จากเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ คุณสามารถเลือกเมทริกซ์ย่อย เวกเตอร์คอลัมน์ หรือองค์ประกอบแยกกันได้ และในทางกลับกัน คุณสามารถ "ติด" เมทริกซ์หลายตัวเข้าด้วยกันได้

ส่วนหนึ่งของเมทริกซ์ถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

ตัวดำเนินการตัวห้อยใช้เพื่อเลือกองค์ประกอบหนึ่งรายการ ป้อนตัวดำเนินการโดยการคลิกปุ่มตัวห้อยพร้อมไอคอน xn บนแผงเมทริกซ์ หรือโดยการกดปุ่ม<[> ;

หากต้องการเลือกคอลัมน์จากเมทริกซ์ ให้ใช้ตัวดำเนินการเลือกคอลัมน์โดยคลิกปุ่มคอลัมน์เมทริกซ์พร้อมรูปภาพวงเล็บมุม<>บนแผงเมทริกซ์หรือโดยแป้นพิมพ์ลัด +<6>. ตัวดำเนินการนี้เรียกอีกอย่างว่า โดยการเปรียบเทียบกับตัวก่อนหน้า เรียกว่าตัวดำเนินการตัวยก

หากต้องการเลือกแถวจากเมทริกซ์ ให้ใช้ตัวดำเนินการเดียวกัน<>ไปยังเมทริกซ์ทรานสโพส

ในการเลือกเมทริกซ์ย่อย ให้ใช้เมทริกซ์ย่อยของฟังก์ชันในตัว (A, ir, jr, ic, jc) ซึ่งจะส่งคืนส่วนของเมทริกซ์ A ที่อยู่ระหว่างแถว ir,jr และคอลัมน์ ic,jc รวมอยู่ด้วย

หมายเหตุ 1

คุณยังสามารถเลือกหนึ่งคอลัมน์หรือแถวจากเมทริกซ์โดยใช้ฟังก์ชันเมทริกซ์ย่อย

หมายเหตุ 2

การดำเนินการเดียวกันนี้ใช้กับเมทริกซ์เวกเตอร์และเมทริกซ์แถว คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าขนาดของมันคือ Nx1 และ 1xN ตามลำดับ

การรวมเมทริกซ์

ในการสร้างหนึ่งเมทริกซ์จากเมทริกซ์สองตัวขึ้นไป Mathcad จัดเตรียมฟังก์ชันเมทริกซ์คู่หนึ่ง:

เสริม (A, B, C, ...) - เมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมอาร์กิวเมนต์เมทริกซ์จากซ้ายไปขวา

สแต็ก (A, B, C, ...) - เมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมอาร์กิวเมนต์เมทริกซ์จากบนลงล่าง:

ก, บี, ซี, . .. - เวกเตอร์หรือเมทริกซ์ที่มีขนาดเหมาะสม

การแปลงเมทริกซ์จำเพาะ

ฟังก์ชันในตัวอีกสองฟังก์ชันของ Mathcad ช่วยให้คุณสร้างเมทริกซ์ตามเมทริกซ์ที่มีอยู่บางส่วนได้:

geninv (A) - สร้างเมทริกซ์ผกผัน (ทางซ้าย) ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม A;

rref (A) - การแปลงเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ A ให้เป็นรูปแบบขั้นตอน:

A เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง

บันทึก

ขนาด NxM ของเมทริกซ์ A สำหรับฟังก์ชัน geninv จะต้องเป็นเช่นนั้น N>M

บ่อยครั้งจำเป็นต้องจัดเรียงองค์ประกอบของเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ใหม่ โดยวางไว้ในแถวหรือคอลัมน์เฉพาะตามลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปหาน้อย เพื่อจุดประสงค์นี้ มีฟังก์ชันในตัวหลายอย่างที่ช่วยให้คุณควบคุมการเรียงลำดับเมทริกซ์ได้อย่างยืดหยุ่น:

sort(v) - จัดเรียงองค์ประกอบเวกเตอร์ตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ย้อนกลับ (v) - การจัดเรียงองค์ประกอบเวกเตอร์ใหม่ในลำดับย้อนกลับ

csort (A, i) - เรียงลำดับแถวของเมทริกซ์โดยจัดเรียงองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ตามลำดับจากน้อยไปมาก

rsort (A, i) - การเรียงลำดับคอลัมน์เมทริกซ์โดยการจัดเรียงองค์ประกอบของแถวที่ i ตามลำดับจากน้อยไปหามาก:

วี - เวกเตอร์;

เอ - เมทริกซ์;

ฉัน - ดัชนีแถวหรือคอลัมน์

บันทึก

หากองค์ประกอบของเมทริกซ์หรือเวกเตอร์มีความซับซ้อน การเรียงลำดับจะดำเนินการตามส่วนจริง และส่วนจินตภาพจะถูกละเว้น

การเรียงลำดับเมทริกซ์ตามแถวและคอลัมน์

หากต้องการรับข้อมูลเกี่ยวกับคุณลักษณะของเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ ฟังก์ชันในตัวต่อไปนี้มีให้ (ตัวอย่างที่ 9 และ 10 ตามลำดับ):

แถว (A) - จำนวนแถว;

cols (A) - จำนวนคอลัมน์;

ความยาว (v) - จำนวนองค์ประกอบเวกเตอร์

สุดท้าย (v) - ดัชนีขององค์ประกอบสุดท้ายของเวกเตอร์

max(A) องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในอาร์เรย์ A หาก A มีองค์ประกอบที่ซับซ้อน จะส่งกลับส่วนจริงที่ใหญ่ที่สุดบวก i คูณส่วนจินตภาพที่ใหญ่ที่สุด

min(A) องค์ประกอบที่เล็กที่สุดในอาร์เรย์ A ถ้า A มีองค์ประกอบที่ซับซ้อน ส่งคืนค่าส่วนจริงที่เล็กที่สุดบวก i คูณส่วนจินตภาพที่เล็กที่สุด:

เอ - เมทริกซ์หรือเวกเตอร์;

v เป็นเวกเตอร์

บันทึก

หากดัชนีเมทริกซ์มีหมายเลขเริ่มต้นจาก 1 เช่น ค่าคงที่ของระบบ ORIGIN ไม่ใช่ 0 (ค่าเริ่มต้น) แต่เป็น 1 แสดงว่าจำนวนองค์ประกอบของเวกเตอร์และดัชนีขององค์ประกอบสุดท้ายจะเท่ากัน

ขนาดเมทริกซ์

ขนาดเวกเตอร์

การใช้เมทริกซ์ใน MATLAB

โครงสร้างข้อมูลพื้นฐานใน MATLAB คือ เมทริกซ์(เมทริกซ์): โครงสร้างข้อมูลสองมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เก็บชุดองค์ประกอบข้อมูลในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ง่าย องค์ประกอบข้อมูลเหล่านี้อาจเป็นตัวเลข อักขระ หน่วยลอจิคัลจริงหรือเท็จ หรือแม้แต่โครงสร้างข้อมูล MATLAB ประเภทอื่นๆ MATLAB ใช้เมทริกซ์สองมิติเพื่อจัดเก็บตัวเลขแต่ละตัวและลำดับเชิงเส้นของข้อมูล ในกรณีเหล่านี้ ขนาดคือ 1×1 และ 1×n ตามลำดับ โดยที่ n คือความยาวของลำดับตัวเลข MATLAB ยังรองรับโครงสร้างข้อมูลที่มีมากกว่าสองมิติอีกด้วย ใน MATLAB โครงสร้างข้อมูลเหล่านี้เรียกว่า อาร์เรย์(อาร์เรย์) MATLAB คือสภาพแวดล้อมการประมวลผลแบบเมทริกซ์ ข้อมูลทั้งหมดที่ป้อนลงใน MATLAB จะถูกจัดเก็บในรูปแบบของเมทริกซ์หรืออาร์เรย์หลายมิติ

เมทริกซ์คืออาร์เรย์สองมิติของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน MATLAB มีฟังก์ชันมากมายที่ให้คุณสร้างเมทริกซ์ประเภทต่างๆ ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างเมทริกซ์ใน MATLAB คือการใช้ตัวดำเนินการเมทริกซ์คอนสเตอร์ โอเปอเรเตอร์นี้สร้างแถวในเมทริกซ์โดยการป้อนองค์ประกอบ (แสดงด้านล่างเป็น E) ในวงเล็บ แต่ละองค์ประกอบจะต้องคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรือช่องว่าง:

แถว = แถว =

ตัวอย่างเช่น หากต้องการสร้างเมทริกซ์ที่มีห้าองค์ประกอบ ให้พิมพ์

ก = ;

หากต้องการขึ้นบรรทัดใหม่ คุณต้องจบบรรทัดปัจจุบันด้วยเครื่องหมายอัฒภาค:

ในตัวอย่างนี้ มีการป้อนเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยตัวเลข 3 แถวและ 5 คอลัมน์ (3x5) ทุกบรรทัดจะต้องมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน

ตัวดำเนินการเมทริกซ์คอนสเตอร์นี้สามารถสร้างได้เฉพาะเมทริกซ์สองมิติเท่านั้น (รวมถึง 0×0, 1×1, 1×n,)

ฟังก์ชันเมทริกซ์เฉพาะทาง.

ตัวอย่างเช่น ในการสร้างเมจิกสแควร์เมทริกซ์ขนาด 5x5 เราจะใช้ฟังก์ชันเมจิก

การต่อข้อมูล(สมาคม)เมทริกซ์.

การต่อเมทริกซ์คือการรวมกันของเมทริกซ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเพื่อสร้างเมทริกซ์ใหม่ วงเล็บไม่เพียงแต่ใช้เป็นตัวสร้างเมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังใช้เป็นตัวดำเนินการต่อข้อมูลอีกด้วย ผลลัพธ์ของนิพจน์ C = คือการต่อเมทริกซ์ A และ B ในแนวนอน ผลลัพธ์ของนิพจน์ C = คือการต่อเมทริกซ์ A และ B ในแนวตั้งเข้าด้วยกัน ตัวอย่างนี้สร้างเมทริกซ์ C ใหม่โดยการต่อเมทริกซ์ A และ B เข้าด้วยกันในแนวตั้ง:

A = อัน(2, 5) * 6; % 2x5 เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบทั้งหมด 6

B = แรนด์(3, 5); เมทริกซ์ % 3x5 ประกอบด้วยตัวเลขสุ่ม

C = % การต่อข้อมูลแนวตั้งของเมทริกซ์ A และ B

ฟังก์ชันการต่อเมทริกซ์

การสร้างลำดับหมายเลข, ตัวดำเนินการลำไส้ใหญ่ (:).

ตัวดำเนินการโคลอน (ตัวแรก: สุดท้าย) จะสร้างเมทริกซ์ขนาด 1×n (หรือเวกเตอร์) ของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันจากตัวเลขแรกไปสุดท้าย ตามค่าเริ่มต้น เราจะได้ลำดับของตัวเลขที่เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง โดยแต่ละลำดับจะมากกว่าตัวเลขก่อนหน้าทีละ 1

10 11 12 13 14 15

ลำดับตัวเลขไม่จำเป็นต้องประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก อาจมีตัวเลขติดลบและเศษส่วนก็ได้:

2.5000 -1.5000 -0.5000 0.5000 1.5000 2.5000

หากต้องการสร้างลำดับตัวเลขด้วยขั้นตอนอื่นที่ไม่ใช่ 1 คุณสามารถใช้ตัวดำเนินการโคลอนได้โดยการระบุค่าที่เพิ่มขึ้นขององค์ประกอบ (first:step:last) ค่าขั้นตอนระบุการเพิ่มขึ้น (ลดลงหากขั้นตอนเป็นจำนวนลบ) ขององค์ประกอบของลำดับตัวเลข ตัวอย่างเช่น,

10 15 20 25 30 35 40 45 50

ขั้นตอนอาจเป็นจำนวนเศษส่วนหรือลบ

3.0000 3.2000 3.4000 3.6000 3.8000

9 8 7 6 5 4 3 2 1

การจัดทำดัชนีเมทริกซ์.

หากต้องการเข้าถึงองค์ประกอบเมทริกซ์แต่ละรายการ ให้ระบุหมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์โดยใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ A(n, m) โดยที่ A คือตัวแปรเมทริกซ์ หมายเลขคอลัมน์จะถูกระบุก่อนเสมอ และหมายเลขคอลัมน์ที่สามจะถูกระบุ เช่น

เพื่อเข้าถึงองค์ประกอบในบรรทัดที่ 4 ประเภทคอลัมน์ที่ 2

สำหรับอาร์เรย์ที่มีมิติมากกว่าสอง จำเป็นต้องระบุดัชนีเพิ่มเติมที่ตามดัชนีของแถวและคอลัมน์

การทำดัชนีเมทริกซ์เชิงเส้นคุณสามารถเข้าถึงองค์ประกอบเมทริกซ์ได้โดยใช้ดัชนีเดียว A(k) MATLAB เก็บเมทริกซ์และอาร์เรย์ที่ไม่อยู่ในรูปแบบที่ปรากฏในหน้าต่างคำสั่ง แต่เป็นคอลัมน์เดียวขององค์ประกอบ คอลัมน์เดียวนี้ประกอบด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ โดยแต่ละคอลัมน์จะติดกับคอลัมน์ก่อนหน้า ดังนั้นเมทริกซ์ A

จริงๆ แล้วจะถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำตามลำดับ

2, 4, 3, 6, 2, 5, 9, 8, 1

องค์ประกอบที่แถว 3 คอลัมน์ 2 ของเมทริกซ์ A (ค่า = 5) สามารถระบุเป็นองค์ประกอบ 6 ในลำดับที่เก็บไว้จริงได้ ในการเข้าถึงองค์ประกอบนี้ คุณสามารถใช้ไวยากรณ์ A(3,2) มาตรฐาน หรืออาจใช้ A(6) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการจัดทำดัชนีเชิงเส้น

อ้างถึงลำดับขององค์ประกอบ- สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด 4x4 สามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 4 ได้โดยการพิมพ์

ก(1,4) + ก(2,4) + ก(3,4) + ก(4,4)

คุณสามารถลดขนาดของนิพจน์ได้โดยใช้ตัวดำเนินการโคลอน นิพจน์ดัชนีที่มีโคลอนอ้างอิงถึงลำดับขององค์ประกอบเมทริกซ์ การแสดงออก,

หมายถึงองค์ประกอบในแถวที่ 1 ถึง m ของคอลัมน์ที่ n ของเมทริกซ์ A การใช้สัญลักษณ์นี้ทำให้เราสามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 4 ของเมทริกซ์ A ได้กระชับยิ่งขึ้น:

การเข้าถึงองค์ประกอบ,ซึ่งไม่เป็นไปตามกัน- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวดำเนินการโคลอนที่มีขนาดขั้นตอน นิพจน์ m: 3: n หมายถึงการเข้าถึงทุกๆ องค์ประกอบที่สามของเมทริกซ์ ด้วยการจัดทำดัชนีเชิงเส้น เรามี:

MATLAB รองรับประเภทของการสร้างดัชนีอาร์เรย์โดยที่อาร์เรย์หนึ่งถูกใช้เป็นดัชนีลงในอาร์เรย์อื่น การทำดัชนีประเภทนี้อาจขึ้นอยู่กับการระบุตัวเลขหรือตำแหน่งขององค์ประกอบในอาร์เรย์ ในตัวอย่างด้านล่าง อาร์เรย์ B ประกอบด้วยดัชนี 1, 3, 6, 7 และ 10 ของอาร์เรย์ A ในกรณีนี้ ค่าตัวเลขขององค์ประกอบในอาร์เรย์ B สอดคล้องกับตำแหน่งขององค์ประกอบในอาร์เรย์ A:

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ข = ;

สิ้นสุดคำหลัก(จบ- MATLAB ให้คีย์เวิร์ด end เพื่อเข้าถึงองค์ประกอบสุดท้ายของอาร์เรย์ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณสามารถใช้สัญลักษณ์ได้

ข(1:3:จบ) = -10

คำอธิบายองค์ประกอบทั้งหมดของแถวหรือคอลัมน์. เครื่องหมายทวิภาคนั้นหมายถึงองค์ประกอบทั้งหมดของแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์ การใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้ สามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบในคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ A สี่เหลี่ยมจัตุรัสวิเศษขนาด 4x4 ได้:

การใช้โคลอนในการจัดทำดัชนีเชิงเส้น คุณสามารถเข้าถึงองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ทั้งหมดได้

รับข้อมูลเมทริกซ์.

ฟังก์ชันที่ส่งคืนข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างของเมทริกซ์

การเปลี่ยนขนาดและรูปร่างของเมทริกซ์.

วิธีเพิ่มมิติของเมทริกซ์

การต่อกันขององค์ประกอบใหม่

การวางองค์ประกอบ ต่างประเทศ เมทริกซ์

การต่อข้อมูลจะเหมาะสมที่สุดหากคุณต้องการเพิ่มองค์ประกอบหรือบล็อกใหม่ให้กับเมทริกซ์ที่เข้ากันได้กับมิติข้อมูลกับเมทริกซ์ดั้งเดิม

หากต้องการเพิ่มองค์ประกอบหนึ่งรายการขึ้นไปให้กับเมทริกซ์ที่ไม่เข้ากันในเชิงมิติกับเมทริกซ์ดั้งเดิม มักจะสามารถวางองค์ประกอบใหม่ได้ ต่างประเทศ เมทริกซ์ดั้งเดิม MATLAB จะวางเมทริกซ์ด้วยศูนย์โดยอัตโนมัติเพื่อทำให้เป็นสี่เหลี่ยม

ตัวอย่าง. เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ขนาด 3×5 จะได้

ก = [ 10 20 30 40 50; -

60 70 80 90 100; ...

110 120 130 140 150];

จะต้องเสริมด้วยบรรทัดที่ 4 ลองวางองค์ประกอบใหม่ในคอลัมน์ที่ 1 ของแถวที่ 4 ที่ไม่มีอยู่จริงของเมทริกซ์ดั้งเดิม MATLAB จะขยายเมทริกซ์ A โดยเพิ่มแถวที่ 4 ใหม่ โดยเติมศูนย์ในคอลัมน์ 2 ถึง 5

110 120 130 140 150

ขนาดของเมทริกซ์สามารถลดลงได้โดยการลบแถวและคอลัมน์ออกจากเมทริกซ์โดยการกำหนดค่าของอาร์เรย์ว่างให้กับแถวและคอลัมน์ที่ถูกลบ

ตัวอย่าง. เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ขนาด 4×4 จะได้

คุณต้องลบคอลัมน์ที่ 2 ออกจากมัน

ผลลัพธ์:

การทำดัชนีเชิงเส้นสามารถใช้เพื่อลบองค์ประกอบเดียวหรือลำดับขององค์ประกอบได้ ผลลัพธ์คือการแปลงองค์ประกอบที่เหลือให้เป็นเวกเตอร์แถว

ก(2: 2: 10) =

เป็นผลให้เราได้รับ:

16 9 3 6 13 12 1

ฟังก์ชันที่เปลี่ยนรูปร่างของเมทริกซ์

ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันที่เปลี่ยนรูปร่างของเมทริกซ์

ใช้เมทริกซ์ A ซึ่งมีมิติ 3×4 สร้างเมทริกซ์ B ขนาด 2×6:

B = ปรับรูปร่างใหม่(A, 2, 6)

หากต้องการย้ายเมทริกซ์ คุณสามารถใช้ฟังก์ชันย้ายหรือตัวดำเนินการ (")s:

สเกลาร์สเกลาร์คือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนตัวเดียวที่แสดงใน MATLAB เป็นเมทริกซ์ขนาด 1x1:

ฟังก์ชัน isscalar กำหนดว่าตัวแปรมีค่าสเกลาร์หรือไม่:

เวกเตอร์- เวกเตอร์คือเมทริกซ์ ซึ่งมีมิติหนึ่งมีค่าเท่ากับหนึ่ง และอีกมิติมีขนาดใหญ่กว่าหนึ่ง ตัวอย่างของเวกเตอร์แถวตัวเลข:

ตัวอย่างของเวกเตอร์คอลัมน์ตัวเลข:

บี =

isvector(A), isvector(B)

การดำเนินงานของเมทริกซ์.

การบวกและการลบเมทริกซ์

สำหรับ การบวกและการลบเมทริกซ์ จำเป็นที่เมทริกซ์ทั้งสองจะต้องมีขนาดเท่ากันหรือเมทริกซ์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นสเกลาร์ การบวกและการลบเมทริกซ์จะดำเนินการทีละองค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น,

ข้ามผลิตภัณฑ์และขนย้าย

เวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์สามารถคูณได้หากมีความยาวเท่ากัน ผลคูณของเวกเตอร์มีสองประเภท – ภายในและภายนอก ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ภายในคือเวกเตอร์ และผลิตภัณฑ์ภายนอกคือเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น:

สำหรับเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบจริง การดำเนินการขนย้าย(ตัวดำเนินการอะพอสทรอฟี (")) จะกลับรายการ ไอจและ จิ- MATLAB ยังใช้ตัวดำเนินการอะพอสทรอฟี (") เพื่อย้ายเมทริกซ์ด้วยจำนวนเชิงซ้อน และนอกเหนือจากการย้ายแล้ว จำนวนเชิงซ้อนจะถูกแทนที่ด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อน หากต้องการย้ายเมทริกซ์ด้วยจำนวนเชิงซ้อนโดยไม่ต้องแทนที่ด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อน ตัวดำเนินการดอท-อะพอสทรอฟี (. ") ถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น,

Transpose จะเปลี่ยนเวกเตอร์แถวให้เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ และในทางกลับกัน:

การคูณเมทริกซ์ผลคูณเมทริกซ์ถูกกำหนดในลักษณะที่สะท้อนถึงองค์ประกอบของการแปลงเชิงเส้นที่เป็นพื้นฐาน และเพื่อแสดงระบบสมการเชิงเส้นที่เข้ากันได้แบบกะทัดรัด ผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์ ค=เอบีกำหนดเมื่อมิติของคอลัมน์เมทริกซ์ กเท่ากับมิติของแถวเมทริกซ์ บีหรือเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นสเกลาร์ ถ้า กมีมิติ m×p และ บี– มิติ p×n, ผลคูณของมัน คมีมิติ m×n ตัวอย่างเช่น,

เมทริกซ์สามารถคูณทางด้านขวาด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ (ความยาวของเวกเตอร์คอลัมน์จะต้องเท่ากับความยาวของแถวเมทริกซ์) และทางด้านซ้ายด้วยเวกเตอร์แถว (ความยาวของเวกเตอร์แถวจะต้องเท่ากับ ความยาวของคอลัมน์เมทริกซ์) เช่น:

เมทริกซ์และเวกเตอร์ใดๆ สามารถคูณด้วยสเกลาร์ได้ เช่น

เมทริกซ์เอกลักษณ์(ชื่อสามัญ ฉัน) คือเมทริกซ์ของมิติใดๆ องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับ 0 เมทริกซ์เหล่านี้มีคุณสมบัติ AI.= กและ ไอเอ= กในกรณีที่มีขนาดที่ตรงกัน กและ ฉัน- ใน MATLAB ฟังก์ชัน eye(m,n) จะส่งคืนเมทริกซ์เอกลักษณ์สี่เหลี่ยมขนาด m×n และ eye(n) ส่งคืนเมทริกซ์จตุรัส n×n

บรรทัดฐานของเวกเตอร์และเมทริกซ์. พี-norm ของเวกเตอร์ x

ถูกคำนวณโดยฟังก์ชัน norm(x,p) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าใดๆ พี> 1 ค่าที่ใช้บ่อยที่สุด พี 1, 2 และ ∞ ค่าเริ่มต้น พี= 2 ซึ่งสอดคล้องกับความยาวแบบยุคลิด:

3.0000 2.2361 2.0000

พี-เมทริกซ์บรรทัดฐาน ก,

สามารถคำนวณหาได้ พี= 1, 2 และ ∞ โดยบรรทัดฐานของฟังก์ชัน(A,p) อีกครั้งตามค่าเริ่มต้น พี= 2:

C = แก้ไข (10*แรนด์ (3,2));

วิธีสร้างเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ที่ชัดเจนที่สุดคือการใช้ปุ่มแรกของแถบเครื่องมือ Matrix (ดูหัวข้อ "อาร์เรย์" ในบทที่ 4) อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขียนโปรแกรมโปรเจ็กต์ที่ซับซ้อน การสร้างอาร์เรย์โดยใช้ฟังก์ชันในตัวจะสะดวกกว่า

การกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์โดยใช้ฟังก์ชัน

• matrix(M,N,f) - สร้างเมทริกซ์ขนาด MXN แต่ละองค์ประกอบ i, j ซึ่งเป็น f (i, j) (รายการ 9.19)
• ม. - จำนวนบรรทัด;
• N - จำนวนคอลัมน์;
• ฉ (i, j) - ฟังก์ชั่น

รายการ 9.19. การสร้างเมทริกซ์

ในการสร้างเมทริกซ์ มีฟังก์ชันเฉพาะอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งส่วนใหญ่ใช้สำหรับการนำเสนอการขึ้นต่อกันใดๆ ในรูปแบบของกราฟสามมิติอย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ (เช่น พื้นผิวหรือเส้นโค้งเชิงพื้นที่) อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด ยกเว้นอาร์กิวเมนต์แรก (ฟังก์ชัน) เป็นทางเลือก ลองพิจารณาฟังก์ชันแรกกัน

• CreateSpace(F(or f1, f2, f3) , t0, t1, tgrid, fmap) - สร้างอาร์เรย์ที่ซ้อนกันซึ่งแสดงถึงพิกัด x-, y- และ z ของเส้นโค้งเชิงพื้นที่พาราเมตริกที่ระบุโดยฟังก์ชัน p
• F(t) เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ขององค์ประกอบ 3 ตัว ซึ่งนิยามแบบพาราเมตริกโดยคำนึงถึงอาร์กิวเมนต์ตัวเดียว t
• f1(t) ,f2(t), f3(t) - ฟังก์ชันสเกลาร์;
• t0 - ขีด จำกัด ล่าง t (ค่าเริ่มต้น -5);
• t1 - ขีด จำกัด บน t (ค่าเริ่มต้น 5);
• tgrid - จำนวนจุดกริดตามตัวแปร t (ค่าเริ่มต้น 2o)
• fmap เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ของสามอาร์กิวเมนต์ที่ระบุการแปลงพิกัด

อ่านเกี่ยวกับอาร์เรย์ที่ซ้อนกันในส่วน Ch. "การสร้างเทนเซอร์" 4.

ข้าว. 9.4. การใช้ฟังก์ชัน CreateSpace กับชุดพารามิเตอร์อื่น

ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชัน CreateSpace แสดงไว้ในรูปที่ 1 9.4. โปรดทราบว่าการวาดเส้นเกลียวไม่จำเป็นต้องมีโค้ดเพิ่มเติมใดๆ นอกเหนือจากการกำหนดความสัมพันธ์แบบพาราเมตริกในฟังก์ชันเวกเตอร์ F!

ฟังก์ชันการสร้างเมทริกซ์สำหรับพล็อตพื้นผิว 3 มิติได้รับการออกแบบในลักษณะเดียวกันทุกประการ ยกเว้นว่าการกำหนดพื้นผิวต้องใช้ตัวแปรสองตัวแทนที่จะเป็นตัวเดียว ตัวอย่างการใช้งานแสดงไว้ในรูปที่. 9.5.

ข้าว. 9.5. การใช้ฟังก์ชัน CreateMesh กับชุดพารามิเตอร์อื่น

• CreateMesh(F(or g หรือ f1, f2, f3) , s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - สร้างอาร์เรย์ที่ซ้อนกันซึ่งแสดงถึงพิกัด x-, y- และ z ของพื้นผิวพาราเมตริก ระบุโดยฟังก์ชัน F ;
• F(s,t) เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ขององค์ประกอบ 3 ตัว ซึ่งนิยามแบบพาราเมตริกโดยสัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ 2 ตัว s และ t
• g (s, t) - ฟังก์ชันสเกลาร์;
• f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) - ฟังก์ชันสเกลาร์;
• s0, t0 - ขีดจำกัดล่างของอาร์กิวเมนต์ s, t (ค่าเริ่มต้น -5);
• s1, t1 - ขีดจำกัดบนของอาร์กิวเมนต์ s, t (ค่าเริ่มต้น 5);
• sgrid, tgrid - จำนวนจุดกริดตามตัวแปร s และ t (ค่าเริ่มต้น 20)
• fmap เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์สามองค์ประกอบของสามอาร์กิวเมนต์ที่ระบุการแปลงพิกัด

ตัวอย่างของอาร์เรย์ที่ซ้อนกันที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชัน createMesh และ createspace จะแสดงอยู่ในรายการ 9.20 เมทริกซ์แต่ละตัวของเมทริกซ์ที่ซ้อนกันทั้งสามตัวที่สร้างอาร์เรย์จะกำหนดพิกัด x-, y- และ z ของจุดบนพื้นผิวหรือเส้นโค้งตามลำดับ

รายการ 9.20. ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน CreateMeeh และ CreateSpace (รูปที่ 9.4 - 9.5)

การสร้างเมทริกซ์ชนิดพิเศษ

ใน Mathcad การสร้างเมทริกซ์บางประเภทเป็นเรื่องง่ายโดยใช้ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งในนั้น ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันเหล่านี้แสดงอยู่ในรายการ 9.21

• เอกลักษณ์ (N) - เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด NXN;
• diag(v) - เมทริกซ์แนวทแยงบนเส้นทแยงมุมซึ่งเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ v;
• geninv(A) - การสร้างเมทริกซ์ผกผัน (ทางซ้าย) ของเมทริกซ์ A;
• rref (A) - การแปลงเมทริกซ์หรือเวกเตอร์ A ให้เป็นรูปแบบขั้นตอน
• ยังไม่มีข้อความ - จำนวนเต็ม;
• วี - เวกเตอร์;
• A เป็นเมทริกซ์ของจำนวนจริง

ขนาด NXM ของเมทริกซ์ A สำหรับฟังก์ชัน geninv จะต้องเท่ากับ N>M

รายการ 9.21. การสร้างเมทริกซ์ชนิดพิเศษ

พึ่งพาโอกาสหรือสร้างสถานการณ์ชีวิตของคุณเอง?

โดยส่วนตัวแล้วฉันมักจะเลือกตัวเลือกที่สองเสมอ แต่ถ้าคุณไม่เห็นด้วยกับฉัน คุณสามารถปิดจดหมายฉบับนี้ได้

เหลือมั้ย..?

แล้วฉันจะบอกความลับอันเลวร้ายอย่างหนึ่งแก่คุณ!

ยิ่งเหตุการณ์สำคัญกับคุณมากเท่าไร รูปภาพของเหตุการณ์นั้นก็จะยิ่งเป็นลบมากขึ้นเท่านั้น

ความกลัวเริ่มเข้ามาทันที: “จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างผิดพลาด...” แล้วจินตนาการของคุณจะแสดงให้คุณเห็นว่าอะไรที่อาจ “ผิดพลาด” ได้อย่างเป็นประโยชน์ ท้ายที่สุดแล้ว คุณทำงานหนักจนมองไม่เห็นทางออกอื่นอีกต่อไป และถ้าทุกอย่างเกิดขึ้นเช่นนี้ คุณจะพูดว่า: "ฉันรู้แล้ว!" และถ้ามันไม่เกิดขึ้นก็: "วุ้ย มันไปแล้ว!"

แต่ใช้ไปกี่ประสาท?!

จากข้อมูลบางอย่าง งานแต่งงานซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นงานที่มีความสุขที่สุดสำหรับคู่บ่าวสาวกลายเป็นงานที่เครียดที่สุดสำหรับพวกเขา นี่คือ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างผิดพลาด?" ปรากฏตัวในรัศมีภาพทั้งหมดและคู่รักที่ "มีความสุข" จะหายใจออกเมื่อทุกอย่างจบลงในที่สุด

แต่เราเองก็กำหนดอนาคตของเราเอง! จริงหรือ!!

และไม่มีประโยชน์ที่จะพูดซ้ำสิ่งที่คุณรู้อยู่แล้ว - "ความคิดเป็นสิ่งมีสาระ"

มันไม่ง่ายกว่าหรือที่จะเลือกตัวเลือกกิจกรรมที่คุณยอมรับได้ในทันทีและไม่ต้องกังวลอีกต่อไป

ฉันจะตรงไปที่สิ่งสำคัญ

มีวิธีการหนึ่งในการเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนตัวของฉัน ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถเลือกได้ด้วยตัวเองว่าเหตุการณ์บางอย่างในชีวิตของคุณจะพัฒนาไปอย่างไร ทำได้โดยใช้สัญชาตญาณของคุณ

คุณเพียงแค่มุ่งความสนใจไปที่สถานการณ์ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง และสมองของคุณก็เริ่มที่จะให้คุณคิดว่ามันจะพัฒนาไปอย่างไร แน่นอนว่ายังมีรายละเอียดปลีกย่อยอยู่บ้างแต่ก็อยู่ในตัวเอกสารเอง...

ในกรณีนี้ คุณสามารถเห็นด้วยกับตัวเลือกที่เสนอหรือขอสคริปต์อื่นได้!

นั่นคือประเด็นทั้งหมด!

แค่คิดว่ามันจะสะดวกแค่ไหน!

สมมติว่าคุณมีความปรารถนาที่จะไต่เต้าขึ้นไปในสายอาชีพและรับตำแหน่งผู้นำ...

หากคุณคิดตอนนี้ว่าคุณจะบรรลุเป้าหมายนี้ได้อย่างไร สมองของคุณก็จะเสนอวิธีแก้ปัญหาให้คุณทันที เช่น ทำงานหนักและขยันหมั่นเพียร แสดงด้านที่ดีที่สุดออกมาเสมอ แต่คุณพอใจกับการตัดสินใจครั้งนี้มากน้อยเพียงใด?

แน่นอนว่าลึกๆ แล้วคุณคงอยากให้ทุกอย่างเกิดขึ้นง่ายขึ้นและง่ายขึ้นมาก เช่น การจ้างและเลื่อนตำแหน่งเช่นนั้นโดยไม่มีเหตุผลที่ชัดเจน มาทำงานและมีการลงนามคำสั่งนัดหมายของคุณแล้ว ไม่จริงเหรอ? จะสมจริงแค่ไหนหากคุณเลือกสถานการณ์นี้แทนที่จะต้องทำงานหนักหลายปี

มีตัวเลือกมากมายสำหรับการพัฒนากิจกรรม!

และจิตใต้สำนึกของคุณรู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับแต่ละเรื่อง! แต่มันเป็นไปตามเส้นทางที่มีการต่อต้านน้อยที่สุด ปกป้องคุณไปตลอดทางจากทุกสิ่งใหม่และไม่รู้จัก

และจะมีประโยชน์เพียงใดหากเลือกแม้ในสถานการณ์ประจำวัน!

ที่นี่คุณจะไปเยี่ยมแม่สามีหรือแม่สามีที่ไม่เป็นที่รักของคุณ... คุณมีสถานการณ์โดยประมาณว่าคุณจะพักผ่อนอย่างไรในหัวอยู่แล้ว (หรือในทางกลับกัน หายใจออกเมื่อคุณกลับบ้าน ). เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่ไป แต่คุณสามารถผ่อนคลายและสนุกสนานได้จริงๆ หากคุณเลือกสถานการณ์อื่น!

นี่คือวิธีการทำงานในทางปฏิบัติ...

“ฉันตัดสินใจไปเที่ยวพักผ่อน แต่ไม่รู้ว่าจะไปที่ไหน...”

“ ฉันใช้วิธีการลับของคุณและตัวเลือกจากจิตใต้สำนึกก็เริ่มไหลเข้าสู่สมองของฉันโดยตรง (น่าอัศจรรย์มาก!) - โรงพยาบาล ทะเล วันหยุดพักผ่อนที่เดชา ตอนแรกฉันคิดถึงสถานพยาบาล แต่แล้วจินตนาการของฉันก็เริ่มนึกภาพเพื่อนบ้านที่น่ารังเกียจ ฉันไม่เห็นด้วย จากนั้นฉันก็ตัดสินใจค้นหาเกี่ยวกับทะเล ฉันชอบไอเดียนี้ แต่ข้างในฉันได้ยินว่า: "ไม่มีตั๋ว" (ปรากฏทีหลังมีเพียงชั้นบนเท่านั้น และฉันไม่สามารถขึ้นไปได้ ฉัน กลัวบนเครื่องบิน) เดชาก็ไม่ได้สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความสุข - ยุง เพื่อนบ้าน... จากนั้นฉันก็เริ่มรอวิธีแก้ปัญหาอื่น มีความคิดที่ชัดเจนมากเกิดขึ้นกับฉัน - โทรหาเพื่อน... ฉันโทรไป ปรากฎว่าพวกเขาไปทะเลด้วยรถของตัวเองและจะพาฉันไปด้วยอย่างมีความสุข ซื้อชุดว่ายน้ำแล้วไป!!!” ลิลี่

“ฉันลองใช้เทคนิคความสัมพันธ์กับสาวๆ...”

“พูดตามตรง ฉันมีปัญหากับเรื่องนี้ เพื่อนชวนฉันไปคลับในช่วงสุดสัปดาห์ ฉันมักจะนั่งที่โต๊ะและไม่เต้นรำ และสาวๆ ก็ไม่สนใจฉัน... แต่ฉันตัดสินใจเปลี่ยนสถานการณ์ ฉันทำตามที่คุณสอนและรอ ปรากฏว่ามีหญิงสาวคนหนึ่งนั่งลงข้างฉัน เรานั่งด้วยกันและดูนักเต้น ไม่ได้รับแรงบันดาลใจ จากนั้นจิตใต้สำนึกก็มีตัวเลือกอีกมากมาย และในที่สุดฉันก็ได้รับบทที่สาวๆ เชิญฉันมาเองและไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับพวกเธอ ฉันอนุมัติตามวิธีแล้วลืมไป พอมาถึงคลับผมก็นั่งที่โต๊ะตามปกติ ฉันไม่มีเวลาไปซื้อเบียร์ด้วยซ้ำเมื่อสิ่งที่น่าสนใจที่สุดเริ่มต้นขึ้น... คนแรกมา แล้วอีกคนก็ชวนฉันไปเต้นรำ ตามมาด้วยคนที่สาม... ฉันไม่เคยมีวันหยุดแบบนี้มาก่อนในชีวิต ! เคารพและเคารพคุณ!” โทลยัน

*รีวิวให้โดยไม่มีการแก้ไขใดๆ

ตอนนี้คุณสามารถเลือกได้ว่ากิจกรรมของคุณจะพัฒนาไปอย่างไร!

เทคนิคนี้ง่ายมาก ไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามเป็นพิเศษ

สิ่งที่คุณต้องทำคือ:

1. ใช้เทคนิคพิเศษ ทำให้สมองปลอดโปร่งจากความคิดที่ไม่จำเป็น และเตรียมจิตใต้สำนึกให้พร้อมสำหรับการทำงาน

2. ใช้ตัวกระตุ้นอันทรงพลังจำนวนหนึ่งที่จะบังคับจิตใต้สำนึกของคุณให้เสนอวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ให้คุณทันที

3. อนุมัติในลักษณะพิเศษในการพัฒนากิจกรรมที่เหมาะสมที่สุด

คุณจะพบรายละเอียดทั้งหมดในเอกสารเก็บถาวรแบบปิด “วิธีสร้างเมทริกซ์เหตุการณ์ที่ถูกต้องโดยใช้สัญชาตญาณ”

รวม – 730 รูเบิล! หากต้องการทราบวิธีการอย่างรวดเร็วเพียงเข้าไปที่ลิงค์แล้วติดตาม

ฉันรับประกันการสนับสนุนส่วนบุคคล!

ฉันติดต่อกับสมาชิกของฉันอยู่เสมอและอย่าลืมตอบทุกคำถาม หากมีสิ่งผิดปกติเกิดขึ้นระหว่างการฝึกซ้อม หรือคุณต้องการชี้แจงบางสิ่งบางอย่าง ฉันจะช่วยคุณเสมอ ฉันอาจจะไม่ได้ตอบทันทีเพราะในแต่ละวันมีจดหมายมากมายในจดหมายแต่ฉันรับรองว่าฉันจะตอบแน่นอน

ที่อยู่ส่วนตัวของฉัน: om@site

ป.ล.แค่คิดเกี่ยวกับมัน! มันจะง่ายสำหรับคุณที่จะจัดการชีวิตของคุณเอง! คุณเพียงแค่เลือกสถานการณ์ที่ต้องการ

ขอแสดงความนับถือ อเล็กซานเดอร์ คลิง