อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันทางออนไลน์ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ปัญหาคราบ: ตัวอย่างของสารละลายโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน การหาเมทริกซ์ผกผัน

ในบทความนี้ เราจะเข้าใจแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติ และวิธีการค้นหา ให้เราดูรายละเอียดเกี่ยวกับการแก้ตัวอย่างซึ่งจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนด

การนำทางหน้า

เมทริกซ์ผกผัน - คำจำกัดความ

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผันถูกนำมาใช้เฉพาะกับเมทริกซ์จตุรัสที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น นั่นคือสำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่ใช่เอกพจน์

คำนิยาม.

เมทริกซ์เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์หากความเท่าเทียมกันเป็นจริง โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับ n โดย n

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการเติมเต็มพีชคณิต

จะหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนดได้อย่างไร?

อันดับแรก เราต้องการแนวคิด เมทริกซ์ที่ถูกย้ายส่วนเสริมเมทริกซ์รองและพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์

คำนิยาม.

ลำดับที่ k รองเมทริกซ์ A ของลำดับ m คูณ n คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับ k คูณ k ซึ่งได้มาจากองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ที่อยู่ใน k แถวและคอลัมน์ k ที่เลือก (k ไม่เกินค่าที่น้อยที่สุดของ m หรือ n)

ตัวรองของลำดับที่ (n-1) ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกของทุกแถว ยกเว้นแถว i-th และคอลัมน์ทั้งหมด ยกเว้นลำดับ j-th ของเมทริกซ์จัตุรัส A ที่มีลำดับ n คูณ n จะเป็น แสดงว่าเป็น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รายย่อยได้มาจากเมทริกซ์จัตุรัส A ที่มีลำดับ n คูณ n โดยการลบองค์ประกอบของแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนลำดับรองอันดับ 2 ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ การเลือกองค์ประกอบของแถวที่สอง สาม และคอลัมน์แรก และคอลัมน์ที่สาม - นอกจากนี้เรายังจะแสดงค่ารองซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ด้วย โดยขีดฆ่าบรรทัดที่สองและคอลัมน์ที่สาม - ให้เราอธิบายโครงสร้างของผู้เยาว์เหล่านี้: และ

คำนิยาม.

ส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัสเรียกว่ารองของลำดับ (n-1) ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ A โดยการขีดฆ่าองค์ประกอบของแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j คูณด้วย

ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบจะแสดงเป็น ดังนั้น, .

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบคือ

ประการที่สอง เราจำเป็นต้องมีคุณสมบัติสองประการของดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในส่วนการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์:

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเหล่านี้ของดีเทอร์มิแนนต์ คำจำกัดความของการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน ความเท่าเทียมกัน โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายที่มีองค์ประกอบเป็นส่วนเสริมพีชคณิต

เมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามสำหรับเมทริกซ์ A เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ - มาแสดงกันเถอะ

มาเขียนกันเถอะ อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ความเท่าเทียมกัน .

ลองดูอัลกอริทึมในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

กำหนดให้มีเมทริกซ์ - ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.

มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A โดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สาม:

ดีเทอร์มีแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงกลับด้านได้

มาหาเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตกัน:

นั่นเป็นเหตุผล

ลองย้ายเมทริกซ์จากการบวกพีชคณิต:

ตอนนี้เราพบเมทริกซ์ผกผันเป็น :

มาตรวจสอบผลลัพธ์กัน:

ความเท่าเทียมกัน พอใจจึงหาเมทริกซ์ผกผันได้ถูกต้อง

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน ความเท่าเทียมกัน คำจำกัดความของการดำเนินการกับเมทริกซ์และคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทำให้สามารถพิสูจน์เหตุผลต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน:

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน

มีวิธีการอื่นในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เช่น วิธีเกาส์-จอร์แดน

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ - จอร์แดนคือถ้าการแปลงเบื้องต้นดำเนินการด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ E โดยที่เมทริกซ์จตุรัส A ที่ไม่ใช่เอกพจน์ลดลงเป็น E จะได้เมทริกซ์ผกผัน

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการลดเมทริกซ์ A ของลำดับ n ด้วย n ซึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน หลังจากอธิบายอัลกอริทึมแล้ว เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างเพื่อให้ทุกอย่างชัดเจน

ขั้นแรก เราแปลงเมทริกซ์เพื่อให้องค์ประกอบมีค่าเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของคอลัมน์แรกกลายเป็นศูนย์

ถ้า แล้วเส้นที่ k (k>1) จะถูกแทนที่ของบรรทัดแรก และบรรทัดแรกจะถูกแทนที่ของเส้นที่ k (ต้องมีแถว c ไม่เช่นนั้นเมทริกซ์ A จะเป็นเอกพจน์) หลังจากจัดเรียงแถวใหม่แล้ว เราก็ได้เมทริกซ์ A "ใหม่" ซึ่งในนั้น

ตอนนี้เราคูณแต่ละองค์ประกอบของแถวแรกด้วย ดังนั้นเราจึงมาถึงเมทริกซ์ A "ใหม่" ซึ่งในนั้น ถัดจากองค์ประกอบของบรรทัดที่สองเราจะเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดแรกคูณด้วย ไปยังองค์ประกอบของบรรทัดที่สาม - องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดแรกคูณด้วย . และเราดำเนินการกระบวนการนี้ต่อไปจนถึงบรรทัดที่ n รวม ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A เริ่มจากคอลัมน์ที่สองจะกลายเป็นศูนย์

เราได้จัดการกับคอลัมน์แรกแล้ว มาดูคอลัมน์ที่สองกันดีกว่า

มาแปลงเมทริกซ์ A เพื่อให้องค์ประกอบเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของคอลัมน์ที่สอง เริ่มต้นด้วย กลายเป็นศูนย์

ถ้า แล้วเส้นที่ k (k>2) จะถูกแทนที่ของเส้นที่สอง และเส้นที่สองจะถูกแทนที่ของเส้นที่ k ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ A ที่ถูกแปลง โดยที่ คูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่สองด้วย หลังจากนี้ เราจะเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สองลงในองค์ประกอบของบรรทัดที่สาม คูณด้วย ไปยังองค์ประกอบของบรรทัดที่สี่ - องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สองคูณด้วย . และเราดำเนินการกระบวนการนี้ต่อไปจนถึงบรรทัดที่ n รวม ดังนั้น องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ A เริ่มจากคอลัมน์ที่สาม จะกลายเป็นศูนย์ และจะเท่ากับหนึ่ง

เราทำคอลัมน์ที่สองเสร็จแล้ว มาดูคอลัมน์ที่สามกันและดำเนินการแปลงที่คล้ายกันกัน

ดังนั้นเราจึงดำเนินการต่อไปจนกว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ A จะเท่ากับ 1 และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับศูนย์

จากนี้ไป เราจะเริ่มย้อนกลับของวิธีเกาส์-จอร์แดน ตอนนี้เราแปลงเมทริกซ์ A เพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่ n ยกเว้น กลายเป็นศูนย์ ในการดำเนินการนี้ เราจะเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของแถวที่ n คูณด้วย เข้ากับองค์ประกอบของแถวที่ (n-1) ไปยังองค์ประกอบของแถวที่ (n-2) – องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ n คูณด้วย . และเราดำเนินการกระบวนการนี้ต่อไปจนถึงบรรทัดแรก ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์ที่ n ของเมทริกซ์ A (ยกเว้น ) จะกลายเป็นศูนย์

เราได้จัดการกับคอลัมน์สุดท้ายแล้ว มาดูคอลัมน์ (n-1) กันดีกว่า

ลองแปลงเมทริกซ์ A เพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ (n-1) จนถึง กลายเป็นศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราได้เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ (n-1) คูณด้วย เข้ากับองค์ประกอบของแถวที่ (n-2) ไปยังองค์ประกอบของแถวที่ (n-3) – องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ (n-1) คูณด้วย . และเราดำเนินการกระบวนการนี้ต่อไปจนถึงบรรทัดแรก ดังนั้น องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่ (n-1) ของเมทริกซ์ A (ยกเว้น ) จะกลายเป็นศูนย์

ตัวอย่าง.

ให้เมทริกซ์ เพื่อระบุตัวตนโดยใช้การแปลงเกาส์ - จอร์แดน

สารละลาย.

เนื่องจาก , และ , จากนั้นเราสลับแถวแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์, เราจึงได้เมทริกซ์ .

ลองคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวแรกของเมทริกซ์ด้วย: .

ในองค์ประกอบของบรรทัดที่สองเราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดแรกคูณด้วย 0 และไปยังองค์ประกอบของบรรทัดที่สามเราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดแรกคูณด้วย (-4):

เรามาดูคอลัมน์ที่สองกันดีกว่า

องค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์มีค่าเท่ากับหนึ่งแล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบของแถวที่สองด้วย ในองค์ประกอบของบรรทัดที่สามเราจะเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สองคูณด้วย:

มาดูคอลัมน์ที่สามกันดีกว่า

คูณองค์ประกอบของบรรทัดที่สามด้วย: .

จะได้หน่วยบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ดังนั้นเราจึงดำเนินการย้อนกลับ

ในองค์ประกอบของบรรทัดที่สองเราเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดที่สามคูณด้วย (-2) และองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สามคูณด้วย:

ในคอลัมน์สุดท้าย ได้รับองค์ประกอบศูนย์ที่จำเป็นแล้ว ย้ายไปยังคอลัมน์สุดท้าย (ที่สอง)

ในองค์ประกอบของบรรทัดแรกเราจะเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดที่สองคูณด้วย:
.

นี่คือวิธีการแปลงเมทริกซ์ทั้งหมดและได้เมทริกซ์เอกลักษณ์มา

ถึงเวลาที่จะใช้วิธี Gauss–Jordan เพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับ โดยวิธีเกาส์-จอร์แดน

สารละลาย.

ทางด้านซ้ายของหน้า เราจะทำการแปลงแบบเกาส์–จอร์แดนด้วยเมทริกซ์ A และทางด้านขวาของหน้า เราจะทำการแปลงแบบเดียวกันกับเมทริกซ์เอกลักษณ์

เนื่องจาก , a เรามาสลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองกัน:

ลองคูณองค์ประกอบของแถวแรกของเมทริกซ์ด้วยหนึ่งวินาทีเพื่อให้องค์ประกอบนั้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

ในองค์ประกอบของบรรทัดที่สองเราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดแรกคูณด้วย 0 ไปยังองค์ประกอบของบรรทัดที่สามเราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดแรกคูณด้วย 2 เข้ากับองค์ประกอบของบรรทัดที่สี่ - องค์ประกอบของบรรทัดแรกคูณด้วย 5:

ดังนั้นในคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A เราได้องค์ประกอบ 0 ที่จำเป็น เรามาดูคอลัมน์ที่สองกันดีกว่า ตรวจสอบให้แน่ใจว่าองค์ประกอบนั้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณองค์ประกอบของแถวที่สองของเมทริกซ์ด้วย อย่าลืมทำการแปลงแบบเดียวกันกับเมทริกซ์ทางด้านขวา:

ต่อไปเราต้องทำให้องค์ประกอบเป็นศูนย์เพื่อทำสิ่งนี้กับองค์ประกอบของแถวที่สามที่เราเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของแถวที่สองคูณด้วย 0 และในองค์ประกอบของแถวที่สี่เราเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของ แถวที่สองคูณด้วย:

ดังนั้นคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ A จึงถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ต้องการ มาดูคอลัมน์ที่สามกันดีกว่า เนื่องจากองค์ประกอบเป็นศูนย์ เราจึงสลับบรรทัดที่สามและสี่:

คูณองค์ประกอบของบรรทัดที่สามด้วย:

คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ใช้รูปแบบที่ต้องการ (องค์ประกอบเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่สามคูณด้วย ) เข้ากับองค์ประกอบของแถวที่สี่ ยังคงต้องคูณบรรทัดที่สี่ด้วยเพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

จังหวะไปข้างหน้าของวิธี Gauss-Jordan เสร็จสิ้นแล้ว มาดูจังหวะย้อนกลับกันดีกว่า เราได้รับองค์ประกอบศูนย์ที่จำเป็นในคอลัมน์สุดท้ายของเมทริกซ์ A ในการทำเช่นนี้ในองค์ประกอบของบรรทัดที่สามเราจะเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดสุดท้ายคูณด้วย ให้กับองค์ประกอบของบรรทัดที่สอง - องค์ประกอบของบรรทัดสุดท้ายคูณด้วย ให้กับองค์ประกอบของบรรทัดแรก - องค์ประกอบของบรรทัดสุดท้ายคูณด้วย 0:

เราได้รับศูนย์ในคอลัมน์สุดท้ายโดยการเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่สามลงในองค์ประกอบของแถวที่สองและแถวแรกคูณด้วยและ 0 ตามลำดับ:

เหลือการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้าย ในองค์ประกอบของบรรทัดแรกเราเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดที่สองคูณด้วย:

ดังนั้นเมทริกซ์ A จะถูกรีดิวซ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการแปลงแบบเกาส์–จอร์แดน และเมทริกซ์เอกลักษณ์จะลดลงเป็นเมทริกซ์ผกผันโดยใช้การแปลงแบบเดียวกัน ดังนั้นจะได้เมทริกซ์ผกผันทางด้านขวา คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ผกผัน

คำตอบ:

.

ค้นหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันโดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์จตุรัส A ที่มีลำดับ n คูณ n

วิธีนี้มีพื้นฐานอยู่บนการแก้ระบบ n ของสมการพีชคณิตแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นด้วย n ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นสามระบบแก่เรา:

เราจะไม่อธิบายวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบเหล่านี้ หากจำเป็น โปรดดูในส่วนนี้

จากระบบสมการแรกที่เรามี จากที่สอง - จากที่สาม - . ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการจึงมีรูปแบบ - เราขอแนะนำให้ตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง

มาสรุปกัน

เราดูแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติของเมทริกซ์ และวิธีค้นหาสามวิธี

เมทริกซ์ $A^(-1)$ เรียกว่าค่าผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส $A$ ถ้าเงื่อนไข $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ เป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ $E $ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งมีลำดับเท่ากับลำดับของเมทริกซ์ $A$

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์คือเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์เอกพจน์คือเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์

เมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ มีอยู่ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $A$ ไม่ใช่เอกพจน์ หากมีเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นไม่ซ้ำกัน

มีหลายวิธีในการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และเราจะดูสองวิธี หน้านี้จะพูดถึงวิธีเมทริกซ์แบบแอดจอยต์ ซึ่งถือเป็นมาตรฐานในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูงส่วนใหญ่ วิธีที่สองในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน (วิธีการแปลงเบื้องต้น) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีเกาส์หรือวิธีเกาส์-จอร์แดน จะถูกกล่าวถึงในส่วนที่สอง

วิธีเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน

ให้เมทริกซ์ $A_(n\times n)$ ถูกกำหนดไว้ ในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ จำเป็นต้องมีสามขั้นตอน:

1. ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ และตรวจสอบให้แน่ใจว่า $\Delta A\neq 0$ นั่นคือ เมทริกซ์ A นั้นไม่ใช่เอกพจน์
2. เขียนการเสริมพีชคณิต $A_(ij)$ ของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ และเขียนเมทริกซ์ $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ จากพีชคณิตที่พบ เติมเต็ม
3. เขียนเมทริกซ์ผกผันโดยคำนึงถึงสูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$

เมทริกซ์ $(A^(*))^T$ มักเรียกว่า adjoint (ส่วนกลับ, พันธมิตร) กับเมทริกซ์ $A$

หากแก้ปัญหาด้วยตนเอง วิธีแรกก็ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์ที่มีคำสั่งซื้อค่อนข้างน้อยเท่านั้น: วินาที (), สาม (), ที่สี่ () หากต้องการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ลำดับที่สูงกว่า จะใช้วิธีการอื่น ตัวอย่างเช่น วิธีเกาส์เซียน ซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนที่สอง

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)$

เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่สี่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $\Delta A=0$ (นั่นคือ เมทริกซ์ $A$ เป็นเอกพจน์) เนื่องจาก $\Delta A=0$ จึงไม่มีเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ $A$

คำตอบ: ไม่มีเมทริกซ์ $A^(-1)$

ตัวอย่างหมายเลข 2

หาค่าผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ ดำเนินการตรวจสอบ

เราใช้วิธีเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน ก่อนอื่น เรามาค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนด $A$:

$$ \เดลต้า A=\ซ้าย| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. -

เนื่องจาก $\Delta A \neq 0$ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่ ดังนั้น เราจะหาคำตอบต่อไป การหาการเสริมพีชคณิต

\begin(ชิด) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; - A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; - A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(ชิด)

เราเขียนเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$

เราย้ายเมทริกซ์ผลลัพธ์: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the เมทริกซ์ผลลัพธ์มักเรียกว่าเมทริกซ์ adjoint หรือ allied ของเมทริกซ์ $A$) เมื่อใช้สูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ เรามี:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

ดังนั้น พบเมทริกซ์ผกผัน: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ขวา) $ หากต้องการตรวจสอบความจริงของผลลัพธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบความจริงของค่าที่เท่ากันค่าใดค่าหนึ่ง: $A^(-1)\cdot A=E$ หรือ $A\cdot A^(-1)=E$ ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน $A^(-1)\cdot A=E$ เพื่อที่จะทำงานกับเศษส่วนน้อยลง เราจะแทนที่เมทริกซ์ $A^(-1)$ ที่ไม่อยู่ในรูปแบบ $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ และในรูปแบบ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(อาร์เรย์ )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (ซีซี) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\right) =E $$

คำตอบ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . ดำเนินการตรวจสอบ

เริ่มต้นด้วยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ คือ:

$$ \เดลต้า A=\ซ้าย| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. -

เนื่องจาก $\Delta A\neq 0$ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่ ดังนั้น เราจะหาคำตอบต่อไป เราพบการเสริมพีชคณิตของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่กำหนด:

$$ \begin(ชิด) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(ชิด) $$

เราเขียนเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตและย้ายมัน:

$$ A^*=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(อาร์เรย์) \right); - (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . -

เมื่อใช้สูตร $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ เราจะได้:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right) $$

ดังนั้น $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right)$ หากต้องการตรวจสอบความจริงของผลลัพธ์ ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบความจริงของค่าที่เท่ากันค่าใดค่าหนึ่ง: $A^(-1)\cdot A=E$ หรือ $A\cdot A^(-1)=E$ ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน $A\cdot A^(-1)=E$ เพื่อที่จะทำงานกับเศษส่วนน้อยลง เราจะแทนที่เมทริกซ์ $A^(-1)$ ที่ไม่อยู่ในรูปแบบ $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ และในรูปแบบ $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(อาร์เรย์) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (อาร์เรย์) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

การตรวจสอบสำเร็จ พบเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$ ถูกต้อง

คำตอบ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(อาร์เรย์) \right)$

ตัวอย่างหมายเลข 4

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(อาร์เรย์) \right)$

สำหรับเมทริกซ์ลำดับที่สี่ การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้การบวกพีชคณิตนั้นค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างดังกล่าวเกิดขึ้นในเอกสารทดสอบ

ในการหาค่าผกผันของเมทริกซ์ คุณต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ ก่อน วิธีที่ดีที่สุดในการทำเช่นนี้ในสถานการณ์นี้คือการขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถว (คอลัมน์) เราเลือกแถวหรือคอลัมน์ใดๆ และค้นหาการเสริมพีชคณิตของแต่ละองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ที่เลือก

ตัวอย่างเช่น สำหรับบรรทัดแรกที่เราได้รับ:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(อาร์เรย์)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. -

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100 -

$$ \begin(ชิด) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(ชิด) $$

เมทริกซ์ของการเสริมพีชคณิต: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(อาร์เรย์)\right)$

เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(อาร์เรย์)\right)$

เมทริกซ์ผกผัน:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

หากต้องการ การตรวจสอบสามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้

คำตอบ: $A^(-1)=\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(อาร์เรย์) \right) $.

ในส่วนที่สอง เราจะพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้การแปลงวิธีเกาส์เซียนหรือวิธีเกาส์-จอร์แดน

หัวข้อนี้เป็นหนึ่งในหัวข้อที่นักเรียนเกลียดมากที่สุด ที่แย่กว่านั้นคืออาจเป็นผู้ผ่านเข้ารอบ

เคล็ดลับก็คือ แนวคิดขององค์ประกอบผกผัน (และตอนนี้ฉันไม่ได้พูดถึงเมทริกซ์เท่านั้น) อ้างอิงถึงการดำเนินการคูณ แม้แต่ในหลักสูตรของโรงเรียน การคูณก็ถือเป็นการดำเนินการที่ซับซ้อน และโดยทั่วไปการคูณเมทริกซ์ก็เป็นหัวข้อแยกต่างหาก ซึ่งฉันมีทั้งย่อหน้าและบทเรียนวิดีโอโดยเฉพาะ

วันนี้เราจะไม่ลงรายละเอียดการคำนวณเมทริกซ์ โปรดจำไว้ว่า: วิธีกำหนดเมทริกซ์ วิธีคูณ และสิ่งที่ต่อจากนี้

ทบทวน: การคูณเมทริกซ์

ก่อนอื่นเรามาตกลงเรื่องสัญกรณ์กันก่อน เมทริกซ์ $A$ ขนาด $\left[ m\times n \right]$ เป็นเพียงตารางตัวเลขที่มีแถว $m$ และคอลัมน์ $n$ พอดี:

\=\underbrace(\left[ \begin(เมทริกซ์) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( ก)_(21)) & ((ก)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(เมทริกซ์) \right])_(n)\]

เพื่อหลีกเลี่ยงไม่ให้แถวและคอลัมน์ปะปนกันโดยไม่ได้ตั้งใจ (เชื่อฉันเถอะว่าในข้อสอบคุณสามารถสร้างความสับสนระหว่างแถวกับสองได้ ไม่ต้องพูดถึงบางแถวเลย) เพียงแค่ดูภาพ:

เกิดอะไรขึ้น? หากคุณวางระบบพิกัดมาตรฐาน $OXY$ ไว้ที่มุมซ้ายบนและกำหนดแกนให้ครอบคลุมเมทริกซ์ทั้งหมด แต่ละเซลล์ของเมทริกซ์นี้สามารถเชื่อมโยงกับพิกัดได้ไม่ซ้ำกัน $\left(x;y \right)$ - นี่จะเป็นหมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์

ทำไมระบบพิกัดจึงวางไว้ที่มุมซ้ายบน? ใช่ เพราะจากที่นั่นเราจึงเริ่มอ่านข้อความใดๆ มันง่ายมากที่จะจำ

เหตุใดแกน $x$ จึงชี้ลงและไม่ไปทางขวา? อีกครั้ง มันง่ายมาก: ใช้ระบบพิกัดมาตรฐาน (แกน $x$ ไปทางขวา แกน $y$ ขึ้นไป) แล้วหมุนเพื่อให้ครอบคลุมเมทริกซ์ นี่คือการหมุน 90 องศาตามเข็มนาฬิกา - เราเห็นผลลัพธ์ในภาพ

โดยทั่วไป เราได้หาวิธีกำหนดดัชนีขององค์ประกอบเมทริกซ์แล้ว ทีนี้มาดูการคูณกัน.

คำนิยาม. เมทริกซ์ $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ เมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกตรงกับจำนวนแถวในคอลัมน์ที่สอง เรียกว่าสม่ำเสมอ

ตามลำดับนั้นเลย อาจสับสนและบอกว่าเมทริกซ์ $A$ และ $B$ สร้างคู่ลำดับ $\left(A;B \right)$: ถ้าเมทริกซ์ทั้งสองสอดคล้องกันในลำดับนี้ ก็ไม่จำเป็นเลยที่ $B $ และ $A$ เหล่านั้น คู่ $\left(B;A \right)$ ก็สอดคล้องกันเช่นกัน

เฉพาะเมทริกซ์ที่ตรงกันเท่านั้นที่สามารถคูณได้

คำนิยาม. ผลคูณของเมทริกซ์ที่ตรงกัน $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ คือเมทริกซ์ใหม่ $C=\left[ m\times k \right ]$ องค์ประกอบที่ $((c)_(ij))$ คำนวณตามสูตร:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: หากต้องการรับองค์ประกอบ $((c)_(ij))$ ของเมทริกซ์ $C=A\cdot B$ คุณจะต้องนำ $i$-row ของเมทริกซ์แรก ซึ่งก็คือ $j$ คอลัมน์ที่ - ของเมทริกซ์ตัวที่สอง จากนั้นคูณองค์ประกอบจากแถวและคอลัมน์นี้เป็นคู่ เพิ่มผลลัพธ์

ใช่ นั่นเป็นคำจำกัดความที่โหดร้ายมาก ข้อเท็จจริงหลายประการตามมาทันที:

1. โดยทั่วไปแล้ว การคูณเมทริกซ์จะไม่สับเปลี่ยน: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. อย่างไรก็ตาม การคูณเป็นแบบเชื่อมโยง: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. และแบบกระจายด้วยซ้ำ: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. และแจกแจงอีกครั้ง: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$

การกระจายตัวของการคูณต้องอธิบายแยกกันสำหรับตัวประกอบผลรวมด้านซ้ายและขวาอย่างแม่นยำ เนื่องจากการดำเนินการคูณไม่สลับสับเปลี่ยน

หากปรากฎว่า $A\cdot B=B\cdot A$ เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่าการสับเปลี่ยน

ในบรรดาเมทริกซ์ทั้งหมดที่คูณด้วยสิ่งใดสิ่งหนึ่งตรงนั้น มีเมทริกซ์พิเศษอยู่ด้วย - เมทริกซ์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ใดๆ $A$ จะได้ค่า $A$ อีกครั้ง:

คำนิยาม. เมทริกซ์ $E$ เรียกว่าเอกลักษณ์ ถ้า $A\cdot E=A$ หรือ $E\cdot A=A$ ในกรณีของเมทริกซ์จตุรัส $A$ เราสามารถเขียนได้:

เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นแขกประจำเมื่อแก้สมการเมทริกซ์ และโดยทั่วไปแล้วแขกประจำในโลกแห่งเมทริกซ์ :)

และด้วยเหตุนี้ $E$ จึงมีคนคิดเรื่องไร้สาระทั้งหมดที่จะเขียนต่อไป

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์เป็นการดำเนินการที่ต้องใช้แรงงานมาก (คุณต้องคูณแถวและคอลัมน์จำนวนมาก) แนวคิดเรื่องเมทริกซ์ผกผันจึงไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยที่สุด และต้องการคำอธิบายบางอย่าง

คำจำกัดความที่สำคัญ

เอาล่ะถึงเวลารู้ความจริงแล้ว

คำนิยาม. เมทริกซ์ $B$ เรียกว่าค่าผกผันของเมทริกซ์ $A$ if

เมทริกซ์ผกผันเขียนแทนด้วย $((A)^(-1))$ (เพื่อไม่ให้สับสนกับดีกรี!) ดังนั้นจึงสามารถเขียนคำจำกัดความใหม่ได้ดังนี้:

ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะเรียบง่ายและชัดเจนมาก แต่เมื่อวิเคราะห์คำจำกัดความนี้ มีคำถามหลายข้อเกิดขึ้นทันที:

1. เมทริกซ์ผกผันมีอยู่จริงหรือไม่? และถ้าไม่เสมอไป แล้วจะทราบได้อย่างไรว่ามีอยู่เมื่อใดและเมื่อใดไม่มี?
2. แล้วใครบอกว่ามีเมทริกซ์แบบนั้นตัวเดียวจริงๆ? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เริ่มต้น $A$ มีอินเวอร์สจำนวนมาก?
3. “การกลับกัน” ทั้งหมดนี้มีลักษณะอย่างไร? และเราควรนับพวกมันอย่างไร?

สำหรับอัลกอริธึมการคำนวณเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง แต่เราจะตอบคำถามที่เหลือในตอนนี้ ให้เรากำหนดไว้ในรูปแบบของคำสั่งแยก-บทแทรก

คุณสมบัติพื้นฐาน

เริ่มจากวิธีที่เมทริกซ์ $A$ ควรมองหาตามหลักการเพื่อให้ $((A)^(-1))$ มีอยู่สำหรับเมทริกซ์นั้น ตอนนี้เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าเมทริกซ์ทั้งสองนี้ต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีขนาดเท่ากัน: $\left[ n\times n \right]$

เลมมา 1. รับเมทริกซ์ $A$ และค่าผกผัน $((A)^(-1))$ จากนั้นเมทริกซ์ทั้งสองนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีลำดับเดียวกัน $n$

การพิสูจน์. มันง่ายมาก ให้เมทริกซ์ $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ มีอยู่ตามคำจำกัดความ เมทริกซ์ $A$ และ $((A)^(-1))$ จึงสอดคล้องกันตามลำดับที่แสดง:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( จัดแนว)\]

นี่เป็นผลโดยตรงของอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์: ค่าสัมประสิทธิ์ $n$ และ $a$ นั้นเป็น "การส่งผ่าน" และจะต้องเท่ากัน

ในเวลาเดียวกัน มีการนิยามการคูณผกผันด้วย: $((A)^(-1))\cdot A=E$ ดังนั้นเมทริกซ์ $((A)^(-1))$ และ $A$ คือ สอดคล้องตามลำดับที่ระบุด้วย:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( จัดแนว)\]

ดังนั้น โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ อย่างไรก็ตาม ตามคำจำกัดความของ $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ดังนั้นขนาดของเมทริกซ์จึงตรงกันอย่างเคร่งครัด:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

ปรากฎว่าเมทริกซ์ทั้งสาม - $A$, $((A)^(-1))$ และ $E$ - เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาด $\left[ n\times n \right]$ บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

นั่นก็ดีอยู่แล้ว เราจะเห็นว่ามีเพียงเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นที่สามารถกลับด้านได้ ทีนี้มาตรวจสอบให้แน่ใจว่าเมทริกซ์ผกผันจะเท่ากันเสมอ

เล็มมา 2. รับเมทริกซ์ $A$ และค่าผกผัน $((A)^(-1))$ แล้วเมทริกซ์ผกผันนี้เป็นเพียงเมทริกซ์เดียวเท่านั้น

การพิสูจน์. ลองขัดแย้งกัน: ให้เมทริกซ์ $A$ มีอินเวอร์สอย่างน้อยสองตัว - $B$ และ $C$ ตามคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(จัดแนว)\]

จากบทแทรก 1 เราสรุปได้ว่าเมทริกซ์ทั้งสี่ - $A$, $B$, $C$ และ $E$ - เป็นกำลังสองที่มีลำดับเดียวกัน: $\left[ n\times n \right]$ ดังนั้นผลิตภัณฑ์จึงถูกกำหนดไว้:

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์เป็นแบบเชื่อมโยง (แต่ไม่ใช่การสับเปลี่ยน!) เราจึงสามารถเขียนได้:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\ลูกศรขวา B=C \\ \end(จัดแนว)\]

เรามีทางเลือกเดียวที่เป็นไปได้: เมทริกซ์ผกผันสองชุดเท่ากัน บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

การให้เหตุผลข้างต้นเป็นการพิสูจน์เอกลักษณ์ขององค์ประกอบผกผันซ้ำเกือบทุกคำต่อคำสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด $b\ne 0$ การเพิ่มที่สำคัญเพียงอย่างเดียวคือการคำนึงถึงมิติของเมทริกซ์ด้วย

อย่างไรก็ตาม เรายังไม่รู้อะไรเลยว่าเมทริกซ์จตุรัสทุกเมทริกซ์สามารถกลับด้านได้หรือไม่ ปัจจัยนี้เข้ามาช่วยเรา นี่คือคุณลักษณะสำคัญของเมทริกซ์จตุรัสทั้งหมด

เล็มมา 3. เมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ $A$ หากมีเมทริกซ์ผกผัน $((A)^(-1))$ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะไม่ใช่ศูนย์:

\[\ซ้าย| A\right|\ne 0\]

การพิสูจน์. เรารู้แล้วว่า $A$ และ $((A)^(-1))$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาด $\left[ n\times n \right]$ ดังนั้น สำหรับแต่ละรายการ เราสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้: $\left| A\right|$ และ $\left| ((A)^(-1)) \right|$. อย่างไรก็ตาม ดีเทอร์มิแนนต์ของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์:

\[\ซ้าย| A\cdot B \right|=\left| \right|\cdot \left| B \right|\ลูกศรขวา \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

แต่ตามคำจำกัดความ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ และดีเทอร์มีแนนต์ของ $E$ จะเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้น

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ซ้าย| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| อี\ขวา|; \\ & \ซ้าย| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(จัดแนว)\]

ผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับหนึ่งก็ต่อเมื่อตัวเลขแต่ละตัวไม่เป็นศูนย์:

\[\ซ้าย| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

ปรากฎว่า $\left| \right|\ne 0$ บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในความเป็นจริงข้อกำหนดนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล ตอนนี้เราจะวิเคราะห์อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน - และจะชัดเจนอย่างสมบูรณ์ว่าทำไมเมื่อไม่มีปัจจัยกำหนดเป็นศูนย์จึงไม่มีเมทริกซ์ผกผันในหลักการ

แต่ก่อนอื่น เรามากำหนดคำจำกัดความ "เสริม" กันก่อน:

คำนิยาม. เมทริกซ์เอกพจน์คือเมทริกซ์จตุรัสขนาด $\left[ n\times n \right]$ ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

ดังนั้นเราสามารถอ้างได้ว่าเมทริกซ์ที่กลับด้านทุกอันนั้นไม่ใช่เอกพจน์

วิธีหาค่าผกผันของเมทริกซ์

ตอนนี้เราจะพิจารณาอัลกอริธึมสากลสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยทั่วไปมีอัลกอริธึมที่ยอมรับโดยทั่วไปสองอัลกอริธึม และเราจะพิจารณาอัลกอริธึมที่สองในวันนี้ด้วย

สิ่งที่จะกล่าวถึงตอนนี้มีประสิทธิภาพมากสำหรับเมทริกซ์ขนาด $\left[ 2\times 2 \right]$ และ - บางส่วน - ขนาด $\left[ 3\times 3 \right]$ แต่เริ่มจากขนาด $\left[ 4\times 4 \right]$ จะดีกว่าถ้าไม่ใช้มัน ทำไม - ตอนนี้คุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง

การบวกพีชคณิต

เตรียมตัวให้พร้อม ตอนนี้คงจะมีอาการปวด ไม่ ไม่ต้องกังวล พยาบาลสวยในชุดกระโปรง ถุงน่องลูกไม้ จะไม่มาหาคุณและฉีดยาที่สะโพกให้คุณ ทุกอย่างดูธรรมดากว่ามาก: การเพิ่มเติมพีชคณิตและพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว "Union Matrix" มาหาคุณ

เริ่มจากสิ่งสำคัญกันก่อน ให้มีเมทริกซ์จตุรัสขนาด $A=\left[ n\times n \right]$ ซึ่งมีองค์ประกอบที่เรียกว่า $((a)_(ij))$ จากนั้นสำหรับแต่ละองค์ประกอบดังกล่าว เราสามารถกำหนดส่วนเสริมพีชคณิตได้:

คำนิยาม. ส่วนเสริมพีชคณิต $((A)_(ij))$ ไปยังองค์ประกอบ $((a)_(ij))$ ที่อยู่ในแถว $i$th และคอลัมน์ $j$th ของเมทริกซ์ $A=\left[ n \times n \right]$ คือการสร้างแบบฟอร์ม

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

โดยที่ $M_(ij)^(*)$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับจาก $A$ ดั้งเดิมโดยการลบแถว $i$th และคอลัมน์ $j$th อันเดียวกัน

อีกครั้ง. ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีพิกัด $\left(i;j \right)$ จะแสดงเป็น $((A)_(ij))$ และคำนวณตามโครงร่าง:

1. ขั้นแรก เราจะลบคอลัมน์ $i$-row และ $j$-th ออกจากเมทริกซ์ดั้งเดิม เราได้รับเมทริกซ์จตุรัสใหม่ และเราแสดงดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือ $M_(ij)^(*)$
2. จากนั้นเราคูณดีเทอร์มิแนนต์นี้ด้วย $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - ในตอนแรก สำนวนนี้อาจดูน่าทึ่ง แต่โดยพื้นฐานแล้ว เราแค่หาเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้า $M_(ij)^(*) $.
3. เรานับและรับหมายเลขเฉพาะ เหล่านั้น. การบวกพีชคณิตนั้นเป็นตัวเลขที่แน่นอน ไม่ใช่เมทริกซ์ใหม่ เป็นต้น

เมทริกซ์ $M_(ij)^(*)$ นั้นเรียกว่าเมทริกซ์รองเพิ่มเติมขององค์ประกอบ $((a)_(ij))$ และในแง่นี้ คำจำกัดความข้างต้นของการเสริมพีชคณิตเป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความที่ซับซ้อนกว่า - สิ่งที่เราดูในบทเรียนเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์

หมายเหตุสำคัญ จริงๆ แล้ว ในคณิตศาสตร์ "สำหรับผู้ใหญ่" การบวกพีชคณิตมีคำจำกัดความดังนี้:

1. เราใช้ $k$ แถวและ $k$ คอลัมน์ในเมทริกซ์จตุรัส ที่จุดตัดกัน เราจะได้เมทริกซ์ขนาด $\left[ k\times k \right]$ - ดีเทอร์มิแนนต์ของมันถูกเรียกว่าลำดับรอง $k$ และเขียนแทนด้วย $((M)_(k))$
2. จากนั้นเราจะขีดฆ่าแถว $k$ และคอลัมน์ $k$ ที่ "เลือก" เหล่านี้ออก คุณจะได้เมทริกซ์จตุรัสอีกครั้ง - ดีเทอร์มิแนนต์ของมันถูกเรียกว่าเมทริกซ์รองเพิ่มเติมและเขียนแทนด้วย $M_(k)^(*)$
3. คูณ $M_(k)^(*)$ ด้วย $((\left(-1 \right))^(t))$ โดยที่ $t$ คือ (โปรดสนใจตอนนี้!) ผลรวมของตัวเลขของแถวที่เลือกทั้งหมด และคอลัมน์ นี่จะเป็นการบวกพีชคณิต

ดูขั้นตอนที่สาม: จริงๆ แล้วมีผลรวมเป็น $2k$ เทอม! อีกประการหนึ่งคือสำหรับ $k=1$ เราจะได้เพียง 2 เทอม - ซึ่งจะเท่ากับ $i+j$ - "พิกัด" ขององค์ประกอบ $((a)_(ij))$ ที่เราอยู่ กำลังมองหาส่วนเสริมพีชคณิต

วันนี้เราใช้คำจำกัดความที่เรียบง่ายหน่อย แต่อย่างที่เราจะได้เห็นในภายหลังมันจะเกินพอ สิ่งต่อไปนี้สำคัญกว่ามาก:

คำนิยาม. เมทริกซ์ที่เป็นพันธมิตร $S$ กับเมทริกซ์จัตุรัส $A=\left[ n\times n \right]$ เป็นเมทริกซ์ใหม่ที่มีขนาด $\left[ n\times n \right]$ ซึ่งได้มาจาก $A$ โดยการแทนที่ $(( a)_(ij))$ ด้วยการบวกพีชคณิต $((A)_(ij))$:

\\ลูกศรขวา S=\left[ \begin(เมทริกซ์) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(เมทริกซ์) \right]\]

ความคิดแรกที่เกิดขึ้นในขณะที่ตระหนักถึงคำจำกัดความนี้คือ “จะต้องนับเท่าไหร่!” ผ่อนคลาย: คุณจะต้องนับแต่ไม่มาก :)

ทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดีมาก แต่ทำไมจึงจำเป็น? แต่ทำไม.

ทฤษฎีบทหลัก

ย้อนกลับไปสักหน่อย โปรดจำไว้ว่า บทแทรก 3 ระบุว่าเมทริกซ์ที่ผันกลับได้ $A$ จะไม่เป็นเอกพจน์เสมอ (นั่นคือ ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์: $\left| A \right|\ne 0$)

ดังนั้น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน หากเมทริกซ์ $A$ ไม่เป็นเอกพจน์ มันก็จะกลับด้านได้เสมอ และยังมีรูปแบบการค้นหาสำหรับ $((A)^(-1))$ ตรวจสอบออก:

ทฤษฎีบทเมทริกซ์ผกผัน ให้เมทริกซ์จตุรัส $A=\left[ n\times n \right]$ ถูกกำหนดไว้ และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์: $\left| \right|\ne 0$ จากนั้นเมทริกซ์ผกผัน $((A)^(-1))$ มีอยู่และคำนวณโดยสูตร:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

และตอนนี้ - ทุกอย่างเหมือนกัน แต่เป็นลายมือที่อ่านง่าย ในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องมี:

1. คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $\left| A \right|$ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่เป็นศูนย์
2. สร้างเมทริกซ์ยูเนียน $S$ เช่น นับการบวกพีชคณิต 100,500 ครั้ง $((A)_(ij))$ และวางไว้ในตำแหน่ง $((a)_(ij))$
3. ย้ายเมทริกซ์นี้ $S$ แล้วคูณด้วยตัวเลข $q=(1)/(\left| A \right|)\;$

นั่นคือทั้งหมด! พบเมทริกซ์ผกผัน $((A)^(-1))$ แล้ว ลองดูตัวอย่าง:

\[\left[ \begin(เมทริกซ์) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(เมทริกซ์) \right]\]

สารละลาย. มาตรวจสอบการพลิกกลับกัน มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน:

\[\ซ้าย| A\right|=\ซ้าย| \begin(เมทริกซ์) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(เมทริกซ์) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

ดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์สามารถพลิกกลับได้ มาสร้างเมทริกซ์แบบยูเนี่ยนกันดีกว่า:

มาคำนวณการบวกพีชคณิตกัน:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \ขวา|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \ขวา|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \ขวา|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\ขวา|=3. \\ \end(จัดแนว)\]

โปรดทราบ: ปัจจัยกำหนด |2|, |5|, |1| และ |3| เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์ขนาด $\left[ 1\times 1 \right]$ ไม่ใช่โมดูล เหล่านั้น. หากมีตัวเลขติดลบอยู่ในปัจจัยกำหนด ก็ไม่จำเป็นต้องลบ "ลบ" ออก

โดยรวมแล้ว เมทริกซ์ยูเนียนของเรามีลักษณะดังนี้:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (อาร์เรย์)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

งาน. ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

สารละลาย. เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกครั้ง:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(เมทริกซ์ ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(เมทริกซ์)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

ดีเทอร์มีแนนต์ไม่ใช่ศูนย์—เมทริกซ์กลับด้านได้ แต่ตอนนี้มันจะยากจริงๆ เราต้องนับการบวกพีชคณิตมากถึง 9 (เก้าตัว ไอ้เวร!) และแต่ละตัวจะมีดีเทอร์มิแนนต์ $\left[ 2\times 2 \right]$ บิน:

\[\begin(เมทริกซ์) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(เมทริกซ์) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(เมทริกซ์) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(เมทริกซ์) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(เมทริกซ์) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(เมทริกซ์) \right|=2; \\ \end(เมทริกซ์)\]

กล่าวโดยสรุป Union Matrix จะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจะเป็น:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(เมทริกซ์) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

แค่นั้นแหละ. นี่คือคำตอบ

คำตอบ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

อย่างที่คุณเห็น ในตอนท้ายของแต่ละตัวอย่าง เราได้ทำการตรวจสอบ ในเรื่องนี้มีข้อสังเกตสำคัญ:

อย่าขี้เกียจที่จะตรวจสอบ คูณเมทริกซ์ดั้งเดิมด้วยเมทริกซ์ผกผันที่พบ - คุณควรจะได้ $E$

การดำเนินการตรวจสอบนี้ง่ายกว่าและเร็วกว่าการค้นหาข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มเติม เช่น เมื่อคุณกำลังแก้สมการเมทริกซ์ เป็นต้น

ทางเลือกอื่น

อย่างที่ฉันบอกไป ทฤษฎีบทเมทริกซ์ผกผันใช้งานได้ดีกับขนาด $\left[ 2\times 2 \right]$ และ $\left[ 3\times 3 \right]$ (ในกรณีหลัง มันไม่ได้ "ยอดเยี่ยม" มากนัก " ) แต่สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ ความโศกเศร้าก็เริ่มต้นขึ้น

แต่อย่ากังวล: มีอัลกอริธึมทางเลือกอื่นที่คุณสามารถค้นหาค่าผกผันได้อย่างใจเย็น แม้แต่เมทริกซ์ $\left[ 10\times 10 \right]$ แต่บ่อยครั้งที่จะเกิดขึ้น เพื่อพิจารณาอัลกอริธึมนี้ เราจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางทฤษฎีเล็กน้อย

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น

ในบรรดาการแปลงเมทริกซ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีสิ่งพิเศษหลายอย่าง - เรียกว่าระดับประถมศึกษา มีการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวสามประการด้วยกัน:

1. การคูณ คุณสามารถใช้แถว $i$th (คอลัมน์) แล้วคูณด้วยตัวเลขใดๆ $k\ne 0$;
2. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. เพิ่มในแถว $i$-th (คอลัมน์) แถว $j$-th อื่นๆ (คอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขใดๆ $k\ne 0$ (แน่นอนว่าคุณสามารถทำได้ $k=0$ แต่อะไรคือ ?จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)
3. การจัดเรียงใหม่ นำ $i$th และ $j$th แถว (คอลัมน์) และสลับตำแหน่ง

เหตุใดการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จึงเรียกว่าระดับประถมศึกษา (สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่พวกเขาดูไม่พื้นฐานนัก) และเหตุใดจึงมีเพียงสามคำถามเท่านั้น - คำถามเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทเรียนวันนี้ ดังนั้นเราจะไม่ลงรายละเอียด

อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: เราต้องทำสิ่งวิปริตเหล่านี้บนเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน ใช่ ใช่ คุณได้ยินถูกต้อง ตอนนี้จะมีคำจำกัดความอีกคำหนึ่ง - คำสุดท้ายในบทเรียนของวันนี้

เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน

แน่นอนที่โรงเรียนคุณแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการบวก เอาล่ะ ลบอีกบรรทัดหนึ่งออกจากบรรทัดหนึ่ง คูณบางบรรทัดด้วยตัวเลข แค่นั้นเอง

ดังนั้น: ตอนนี้ทุกอย่างจะเหมือนเดิม แต่เป็นแบบ "ผู้ใหญ่" คุณพร้อมหรือยัง?

คำนิยาม. ให้เมทริกซ์ $A=\left[ n\times n \right]$ และเมทริกซ์เอกลักษณ์ $E$ ที่มีขนาดเท่ากัน $n$ มอบให้ จากนั้นเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน $\left[ A\left| อี\ขวา. \right]$ เป็นเมทริกซ์ใหม่ที่มีขนาด $\left[ n\times 2n \right]$ ที่มีลักษณะดังนี้:

\[\left[ A\left| อี\ขวา. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((ก)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

กล่าวโดยสรุป เราใช้เมทริกซ์ $A$ ทางด้านขวาเรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ $E$ ของขนาดที่ต้องการให้แยกกันด้วยแถบแนวตั้งเพื่อความสวยงาม - ที่นี่คุณมีจุดเชื่อมต่อ :)

เรื่องตลกอะไร? นี่คือสิ่งที่:

ทฤษฎีบท. ให้เมทริกซ์ $A$ กลับด้านได้ พิจารณาเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน $\left[ A\left| อี\ขวา. \ขวา]$. หากใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้นให้อยู่ในรูปแบบ $\left[ E\left| สว่าง. \right]$ เช่น โดยการคูณ ลบ และจัดเรียงแถวใหม่เพื่อให้ได้เมทริกซ์ $E$ ทางด้านขวาจาก $A$ จากนั้นเมทริกซ์ $B$ ที่ได้รับทางด้านซ้ายจะเป็นค่าผกผันของ $A$:

\[\left[ A\left| อี\ขวา. \right]\to \left[ E\left| สว่าง. \right]\ลูกศรขวา B=((A)^(-1))\]

มันง่ายมาก! กล่าวโดยสรุป อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันมีลักษณะดังนี้:

1. เขียนเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน $\left[ A\left| อี\ขวา. \ขวา]$;
2. ทำการแปลงสตริงเบื้องต้นจนกระทั่ง $E$ ปรากฏขึ้นแทนที่จะเป็น $A$;
3. แน่นอนว่า มีบางอย่างปรากฏทางด้านซ้ายด้วย นั่นคือเมทริกซ์ $B$ บางตัว สิ่งนี้จะตรงกันข้าม
4. กำไร!:)

แน่นอนว่านี่พูดง่ายกว่าทำมาก ลองมาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง: สำหรับขนาด $\left[ 3\times 3 \right]$ และ $\left[ 4\times 4 \right]$

งาน. ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

สารละลาย. เราสร้างเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

เนื่องจากคอลัมน์สุดท้ายของเมทริกซ์ดั้งเดิมเต็มไปด้วยคอลัมน์ ให้ลบแถวแรกออกจากส่วนที่เหลือ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

ไม่มีหน่วยแล้ว ยกเว้นบรรทัดแรก แต่เราไม่ได้แตะต้องมัน มิฉะนั้นหน่วยที่ถูกลบออกใหม่จะเริ่ม "คูณ" ในคอลัมน์ที่สาม

แต่เราสามารถลบบรรทัดที่สองได้สองครั้งจากบรรทัดสุดท้าย - เราจะได้หนึ่งบรรทัดที่มุมซ้ายล่าง:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

ตอนนี้เราสามารถลบแถวสุดท้ายออกจากแถวแรกและสองครั้งจากแถวที่สองได้ - ด้วยวิธีนี้เราจะ "ศูนย์" คอลัมน์แรก:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\begin(เมทริกซ์) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \ ถึง \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

คูณบรรทัดที่สองด้วย −1 แล้วลบออก 6 ครั้งจากบรรทัดแรกและเพิ่ม 1 ครั้งไปที่สุดท้าย:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(เมทริกซ์) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ \ \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\begin(เมทริกซ์) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(อาร์เรย์) \right] \\ \end(align)\]

สิ่งที่เหลืออยู่คือการสลับบรรทัด 1 และ 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

พร้อม! ทางด้านขวาคือเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการ

คำตอบ. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

งาน. ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน:

\[\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(เมทริกซ์) \right]\]

สารละลาย. เราเขียน adjoint อีกครั้ง:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

ร้องไห้อีกหน่อย เสียใจกับตอนนี้ที่ต้องนับอีกเท่าไหร่...แล้วเริ่มนับได้เลย ขั้นแรก ให้ "ศูนย์ออก" ในคอลัมน์แรกโดยลบแถวที่ 1 ออกจากแถวที่ 2 และ 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\begin(เมทริกซ์) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right] \\ \end(align)\]

เราเห็น "ข้อเสีย" มากเกินไปในบรรทัด 2-4 คูณทั้งสามแถวด้วย −1 จากนั้นเผาคอลัมน์ที่สามออกโดยลบแถวที่ 3 ออกจากส่วนที่เหลือ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ \ซ้าย| \cdot \left(-1 \right) \right \\ \ซ้าย| \cdot \left(-1 \right) \right \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (อาร์เรย์) \right]\begin(เมทริกซ์) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(อาร์เรย์) \right] \\ \end(align)\]

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะ "ทอด" คอลัมน์สุดท้ายของเมทริกซ์ดั้งเดิม: ลบแถวที่ 4 ออกจากส่วนที่เหลือ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(อาร์เรย์ ) \right]\begin(เมทริกซ์) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(อาร์เรย์) \right] \\ \end(align)\]

การโยนครั้งสุดท้าย: “เบิร์นออก” คอลัมน์ที่สองโดยลบบรรทัดที่ 2 ออกจากบรรทัดที่ 1 และ 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(เมทริกซ์) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(เมทริกซ์)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(อาร์เรย์) \right] \\ \end(align)\]

และอีกครั้งเมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่ทางซ้าย ซึ่งหมายความว่าอินเวอร์สอยู่ทางขวา :)

คำตอบ. $\left[ \begin(เมทริกซ์) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]$

นั่นคือทั้งหมดที่ ตรวจสอบด้วยตัวเอง - ฉันเมา :)

เพื่อที่จะหาเมทริกซ์ผกผันทางออนไลน์ คุณจะต้องระบุขนาดของเมทริกซ์เอง โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" จนกว่าคุณจะพอใจกับจำนวนคอลัมน์และแถว จากนั้น ป้อนองค์ประกอบที่จำเป็นลงในฟิลด์ ด้านล่างคือปุ่ม "คำนวณ" - เมื่อคลิกแล้ว คุณจะได้รับคำตอบบนหน้าจอพร้อมวิธีแก้ไขโดยละเอียด

ในพีชคณิตเชิงเส้น บ่อยครั้งเราต้องจัดการกับกระบวนการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน มันมีอยู่เฉพาะสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ได้แสดงออกและสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสโดยมีเงื่อนไขว่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ โดยหลักการแล้ว การคำนวณนั้นไม่ยาก โดยเฉพาะหากคุณกำลังเผชิญกับเมทริกซ์ขนาดเล็ก แต่ถ้าคุณต้องการการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นหรือตรวจสอบการตัดสินใจของคุณอย่างละเอียดถี่ถ้วน ควรใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะดีกว่า ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถแก้เมทริกซ์ผกผันได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ

การใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้นมาก นอกจากนี้ยังช่วยในการรวมเนื้อหาที่ได้รับในทางทฤษฎีซึ่งเป็นเครื่องจำลองสำหรับสมอง ไม่ควรถือเป็นการทดแทนการคำนวณด้วยตนเอง เพราะสามารถให้ประโยชน์ได้มากกว่า ทำให้เข้าใจอัลกอริทึมได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ การตรวจสอบตัวเองซ้ำอีกครั้งก็ไม่เสียหายอะไร

คล้ายกับการผกผันในคุณสมบัติหลายอย่าง

YouTube สารานุกรม

1 / 5

, เมทริกซ์ผกผัน (ค้นหาได้ 2 วิธี)

➤ วิธีค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ - bezbotvy

, เมทริกซ์ผกผัน # 1

útการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน - bezbotvy

, , เมทริกซ์ผกผัน

คำบรรยาย

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ที่ไหน เดช (\displaystyle \\det )หมายถึงปัจจัยกำหนด
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))สำหรับเมทริกซ์แปลงกลับได้สองตาราง เอ (\displaystyle A)และ B (\รูปแบบการแสดงผล B).
• (AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ที่ไหน (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))หมายถึงเมทริกซ์ที่ถูกย้าย
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))สำหรับสัมประสิทธิ์ใดๆ k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• หากจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (b คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์) โดยที่ x (\รูปแบบการแสดงผล x)เป็นเวกเตอร์ที่ต้องการ และถ้า A − 1 (\displaystyle A^(-1))มีอยู่แล้ว x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b)- มิฉะนั้น มิติของพื้นที่การแก้ปัญหาจะมากกว่าศูนย์ หรือไม่มีคำตอบเลย

วิธีการหาเมทริกซ์ผกผัน

หากเมทริกซ์กลับด้านได้ หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

วิธีการที่แน่นอน (โดยตรง)

วิธีเกาส์-จอร์แดน

ลองหาเมทริกซ์สองตัวกัน: กและโสด อี- มานำเสนอเมทริกซ์กัน กกับเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธี Gauss-Jordan โดยใช้การแปลงตามแถว (คุณสามารถใช้การแปลงตามคอลัมน์ได้ แต่ไม่ได้ผสมกัน) หลังจากใช้แต่ละการดำเนินการกับเมทริกซ์แรกแล้ว ให้นำการดำเนินการเดียวกันกับเมทริกซ์ตัวที่สอง เมื่อการลดขนาดเมทริกซ์แรกเป็นหน่วยเสร็จสมบูรณ์ เมทริกซ์ตัวที่สองจะเท่ากับ เอ−1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เมทริกซ์แรกจะถูกคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์เบื้องต้นตัวใดตัวหนึ่ง Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(เมทริกซ์การพาผ่านหรือเส้นทแยงมุมที่มีเมทริกซ์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก ยกเว้นตำแหน่งเดียว):

เมทริกซ์ที่สองหลังจากใช้การดำเนินการทั้งหมดจะเท่ากับ Λ (\displaystyle \แลมบ์ดา)นั่นคือมันจะเป็นอันที่ต้องการ ความซับซ้อนของอัลกอริทึม - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

การใช้เมทริกซ์เสริมพีชคณิต

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A), สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

ที่ไหน adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน;

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²)·O det

การใช้การสลายตัวของ LU/LUP

สมการเมทริกซ์ A X = ฉัน n (\displaystyle AX=I_(n))สำหรับเมทริกซ์ผกผัน X (\รูปแบบการแสดงผล X)ถือได้ว่าเป็นของสะสม n (\displaystyle n)ระบบของแบบฟอร์ม A x = b (\displaystyle Ax=b)- มาแสดงกันเถอะ ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ผ่าน X ฉัน (\displaystyle X_(i))- แล้ว A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),เพราะ ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ ฉัน n (\displaystyle I_(n))คือเวกเตอร์หน่วย อี ฉัน (\displaystyle e_(i))- กล่าวอีกนัยหนึ่ง การค้นหาเมทริกซ์ผกผันต้องอาศัยการแก้สมการ n ด้วยเมทริกซ์เดียวกันและด้านขวามือต่างกัน หลังจากดำเนินการสลายตัว LUP (เวลา O(n³)) การแก้สมการ n แต่ละสมการจะใช้เวลา O(n²) ดังนั้นงานส่วนนี้จึงต้องใช้เวลา O(n³) ด้วย

ถ้าเมทริกซ์ A ไม่ใช่เอกพจน์ จึงสามารถคำนวณการสลายตัวของ LUP ได้ P A = L U (\displaystyle PA=LU)- อนุญาต P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D)- จากคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผันเราสามารถเขียนได้: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1))- หากคุณคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย U และ L คุณจะได้รูปแบบที่เท่ากันสองแบบ UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))และ DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1))- ความเท่าเทียมกันประการแรกคือระบบสมการเชิงเส้นn²สำหรับ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยม) ส่วนที่สองยังแสดงถึงระบบสมการเชิงเส้นn²ด้วย n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้วย) เมื่อรวมกันแล้วจะเป็นตัวแทนของระบบความเท่าเทียมกันn² เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราสามารถกำหนดองค์ประกอบ n² ทั้งหมดของเมทริกซ์ D แบบวนซ้ำได้ จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D เราได้ความเท่าเทียมกัน A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

ในกรณีของการใช้การสลายตัวแบบ LU ไม่จำเป็นต้องมีการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์ของเมทริกซ์ D แต่ผลเฉลยอาจแตกต่างออกไปแม้ว่าเมทริกซ์ A จะไม่เป็นเอกพจน์ก็ตาม

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมคือ O(n³)

วิธีการวนซ้ำ

วิธีการของชูลทซ์

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(กรณี)))

การประมาณข้อผิดพลาด

การเลือกการประมาณค่าเบื้องต้น

ปัญหาในการเลือกการประมาณเริ่มต้นในกระบวนการผกผันเมทริกซ์แบบวนซ้ำที่พิจารณาในที่นี้ไม่อนุญาตให้เราปฏิบัติต่อพวกมันในฐานะวิธีการสากลอิสระที่แข่งขันกับวิธีการผกผันโดยตรงตาม ตัวอย่างเช่น ในการสลายตัวของเมทริกซ์ LU มีคำแนะนำในการเลือก U 0 (\displaystyle U_(0))รับรองการปฏิบัติตามเงื่อนไข ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (รัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์น้อยกว่าเอกภาพ) ซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ประการแรก จำเป็นต้องทราบจากข้างบนค่าประมาณสำหรับสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่แปลงกลับได้ A หรือเมทริกซ์ A A T (\displaystyle AA^(T))(กล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกแบบสมมาตร และ ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )จากนั้นคุณก็สามารถรับได้ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), ที่ไหน ; ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ตามอำเภอใจ และ ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )แล้วพวกเขาก็เชื่อ U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))ที่ไหนด้วย α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right))- แน่นอนคุณสามารถทำให้สถานการณ์ง่ายขึ้นและใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนั้นได้ ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ใส่ U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))- ประการที่สอง เมื่อระบุเมทริกซ์เริ่มต้นในลักษณะนี้ ก็ไม่รับประกันว่าจะเป็นเช่นนั้น ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)จะเล็ก (บางทีมันอาจจะกลายเป็นด้วยซ้ำ ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) และอัตราการบรรจบกันระดับสูงจะไม่ถูกเปิดเผยทันที

ตัวอย่าง

เมทริกซ์ 2x2

การผกผันของเมทริกซ์ 2x2 สามารถทำได้ภายใต้เงื่อนไขนั้นเท่านั้น a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).