Bir matrisin determinantının üçgen kullanılarak hesaplanması. Determinantın özellikleri. Determinantın sırasının azaltılması. Ters matrisin hesaplanması

Determinant kavramı doğrusal cebir dersinin ana kavramlarından biridir. Bu kavram YALNIZCA KARE MATRİSLERİN doğasında vardır ve bu makale bu kavrama ayrılmıştır. Burada elemanları gerçel (veya karmaşık) sayılar olan matrislerin determinantlarından bahsedeceğiz. Bu durumda determinant gerçek (veya karmaşık) bir sayıdır. Daha sonraki tüm sunumlar, determinantın nasıl hesaplanacağı ve hangi özelliklere sahip olduğu sorularına cevap olacaktır.

İlk olarak, matris elemanlarının permütasyonlarının çarpımlarının toplamı olarak n'ye n düzeyindeki bir kare matrisin determinantının tanımını veriyoruz. Bu tanıma dayanarak birinci, ikinci ve üçüncü dereceden matrislerin determinantlarını hesaplamak için formüller yazacağız ve birkaç örneğin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Daha sonra kanıtsız teoremler şeklinde formüle edeceğimiz determinantın özelliklerine geçiyoruz. Burada determinantı bir satır veya sütunun elemanlarına genişleterek hesaplamak için bir yöntem elde edeceğiz. Bu yöntem, n'ye n düzeyindeki bir matrisin determinantının hesaplamasını, 3'e 3 veya daha düşük düzeydeki matrislerin determinantlarının hesaplanmasına azaltmanıza olanak tanır. Kesinlikle çeşitli örneklerin çözümlerini göstereceğiz.

Sonuç olarak determinantın Gauss yöntemini kullanarak hesaplanmasına odaklanacağız. Bu yöntem, daha az hesaplama çabası gerektirdiğinden, 3'e 3'ten daha yüksek dereceli matrislerin determinantlarının değerlerini bulmak için iyidir. Örneklerin çözümlerine de bakacağız.

Sayfada gezinme.

Bir matrisin determinantının belirlenmesi, bir matrisin determinantının tanım gereği hesaplanması.

Birkaç yardımcı kavramı hatırlayalım.

Tanım.

n. derecenin permütasyonu N elemandan oluşan sıralı sayılar kümesine denir.

N elemanlı bir küme için n! n dereceli (n faktöriyel) permütasyonlar. Permütasyonlar birbirlerinden yalnızca öğelerin görünme sırasına göre farklılık gösterir.

Örneğin üç sayıdan oluşan bir küme düşünün: . Tüm permütasyonları yazalım (toplamda altı tane var, çünkü ):

Tanım.

N dereceli bir permütasyonda ters çevirme yoluyla Permütasyonun p'inci elemanı q'dan büyük olan herhangi bir p ve q indeks çifti denir.

Önceki örnekte 4, 9, 7 permütasyonunun tersi p=2, q=3 çiftidir, çünkü permütasyonun ikinci elemanı 9'a eşittir ve üçüncüsünden büyük, yani 7'ye eşittir. 9, 7, 4 permütasyonunun tersi üç çift olacaktır: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) ve p=2, q=3 (7>4).

Tersine çevirmenin kendisinden ziyade permütasyondaki ters çevirmelerin sayısıyla daha fazla ilgileneceğiz.

Gerçek (veya karmaşık) sayılar alanı üzerinde n'ye n düzeyinde bir kare matris olsun. Kümenin n. dereceden tüm permütasyonlarının kümesi olsun. Küme n'yi içeriyor! permütasyonlar. Kümenin k'inci permütasyonunu ve k'inci permütasyondaki ters çevirme sayısını da gösterelim.

Tanım.

Matris determinantı Ve eşit bir sayı var .

Bu formülü kelimelerle anlatalım. n'ye n düzeyindeki bir kare matrisin determinantı, n'yi içeren toplamdır! şartlar. Her terim, matrisin n elemanının çarpımıdır ve her çarpım, A matrisinin her satırından ve her sütunundan bir öğe içerir. Çarpımdaki A matrisinin elemanları satır numarasına göre sıralanmışsa ve sütun sayıları kümesinin k'inci permütasyonundaki ters çevirme sayısı tekse, k'inci terimden önce bir katsayı (-1) görünür.

A matrisinin determinantı genellikle olarak gösterilir ve det(A) da kullanılır. Determinant olarak adlandırılan determinantı da duyabilirsiniz.

Bu yüzden, .

Buradan birinci dereceden bir matrisin determinantının bu matrisin elemanı olduğu açıktır.

İkinci dereceden kare matrisin determinantının hesaplanması - formül ve örnek.

yaklaşık 2'ye 2 inç Genel görünüm.

Bu durumda n=2 , dolayısıyla n!=2!=2 .

Sahibiz

Böylece, 2'ye 2 düzeyindeki bir matrisin determinantını hesaplamak için bir formül elde ettik, şu şekildedir: .

Örnek.

emir .

Çözüm.

Örneğimizde. Ortaya çıkan formülü uyguluyoruz :

Üçüncü dereceden kare matrisin determinantının hesaplanması - formül ve örnek.

Bir kare matrisin determinantını bulalım genel olarak yaklaşık 3'e 3.

Bu durumda n=3, dolayısıyla n!=3!=6.

Formülü uygulamak için gerekli verileri tablo şeklinde düzenleyelim .

Sahibiz

Böylece 3'e 3 mertebesindeki bir matrisin determinantını hesaplamak için bir formül elde ettik, şu şekildedir:

Benzer şekilde, 4'e 4, 5'e 5 ve daha yüksek mertebedeki matrislerin determinantlarını hesaplamak için formüller elde edebilirsiniz. Çok hantal görünecekler.

Örnek.

Bir kare matrisin determinantını hesaplama yaklaşık 3'e 3.

Çözüm.

Örneğimizde

Ortaya çıkan formülü üçüncü dereceden bir matrisin determinantını hesaplamak için uyguluyoruz:

İkinci ve üçüncü dereceden kare matrislerin determinantlarını hesaplamak için formüller sıklıkla kullanılır, bu nedenle bunları hatırlamanızı öneririz.

Bir matrisin determinantının özellikleri, özellikleri kullanarak bir matrisin determinantının hesaplanması.

Belirtilen tanıma göre aşağıdakiler doğrudur: matris determinantının özellikleri.

A matrisinin determinantı, transpoze edilmiş A T matrisinin determinantına eşittir, yani .

Örnek.

Matrisin determinantının olduğundan emin olun aktarılan matrisin determinantına eşittir.

Çözüm.

3'e 3 düzeyindeki bir matrisin determinantını hesaplamak için formülü kullanalım:

Matris A'yı transpoze edin:

Transpoze matrisin determinantını hesaplayalım:

Gerçekten de, aktarılan matrisin determinantı orijinal matrisin determinantına eşittir.

Bir kare matriste satırlardan en az birinin (sütunlardan birinin) tüm elemanları sıfırsa, böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşittir.

Örnek.

Matrisin determinantının doğru olup olmadığını kontrol edin 3'e 3 sırası sıfırdır.

Çözüm.

Aslında sıfır sütunlu bir matrisin determinantı sıfıra eşittir.

Bir kare matristeki herhangi iki satırı (sütun) yeniden düzenlerseniz, ortaya çıkan matrisin determinantı orijinalinin tersi olacaktır (yani işareti değişecektir).

Örnek.

3'e 3 mertebesinde iki kare matris verildiğinde Ve . Belirleyicilerinin zıt olduğunu gösterin.

Çözüm.

Matris B, A matrisinden üçüncü satırı birinciyle ve birinciyi üçüncüyle değiştirerek elde edilir. Ele alınan özelliğe göre, bu tür matrislerin determinantlarının işareti farklı olmalıdır. Bunu, iyi bilinen formülü kullanarak determinantları hesaplayarak kontrol edelim.

Gerçekten mi, .

Bir kare matriste en az iki satır (iki sütun) aynıysa determinantı sıfıra eşittir.

Örnek.

Matrisin determinantının olduğunu gösterin sıfıra eşittir.

Çözüm.

Bu matriste ikinci ve üçüncü sütunlar aynı olduğundan, dikkate alınan özelliğe göre determinantının sıfıra eşit olması gerekir. Hadi kontrol edelim.

Aslında iki matrisin determinantı aynı sütunlar bir sıfır var.

Bir kare matriste herhangi bir satırın (sütun) tüm elemanları belirli bir k sayısıyla çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantının k ile çarpımına eşit olacaktır. Örneğin,

Örnek.

Matrisin determinantının olduğunu kanıtlayın matrisin determinantının üç katına eşit .

Çözüm.

B matrisinin ilk sütununun elemanları, A matrisinin ilk sütununun karşılık gelen elemanlarından 3 ile çarpılarak elde edilir. O halde, dikkate alınan özellik nedeniyle eşitliğin geçerli olması gerekir. A ve B matrislerinin determinantlarını hesaplayarak bunu kontrol edelim.

Dolayısıyla kanıtlanması gereken şey buydu.

NOT.

Matris ve determinant kavramlarını karıştırmayın veya karıştırmayın! Bir matrisin determinantının dikkate alınan özelliği ve bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemi aynı şeyden çok uzaktır.
, Ancak .

Bir kare matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları s terimin toplamını temsil ediyorsa (s, birden büyük bir doğal sayıdır), o zaman böyle bir matrisin determinantı, elde edilen matrislerin s determinantlarının toplamına eşit olacaktır. orijinalinden, eğer satırın (sütun) elemanları: her seferinde bir terim bırakın. Örneğin,

Örnek.

Bir matrisin determinantının matrislerin determinantlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın .

Çözüm.

Örneğimizde bu nedenle matrisin determinantının dikkate alınan özelliği nedeniyle eşitliğin sağlanması gerekir . Formülü kullanarak 2'ye 2 mertebesindeki matrislerin karşılık gelen determinantlarını hesaplayarak kontrol edelim. .

Elde edilen sonuçlardan açıkça görülüyor ki . Bu ispatı tamamlar.

Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanları, bir matrisin belirli bir satırının (sütununun) elemanlarına isteğe bağlı bir k sayısıyla çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı orijinal matrisin determinantına eşit olacaktır. .

Örnek.

Matrisin üçüncü sütununun elemanlarına göre olduğundan emin olun bu matrisin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarını (-2) ile çarparak ekleyin ve matrisin ilk sütununun karşılık gelen elemanlarını isteğe bağlı bir gerçek sayıyla çarparak ekleyin, o zaman ortaya çıkan matrisin determinantı şuna eşit olacaktır: orijinal matrisin determinantı.

Çözüm.

Determinantın dikkate alınan özelliğinden yola çıkarsak, problemde belirtilen tüm dönüşümlerden sonra elde edilen matrisin determinantı, A matrisinin determinantına eşit olacaktır.

Öncelikle orijinal A matrisinin determinantını hesaplayalım:

Şimdi A matrisinin gerekli dönüşümlerini gerçekleştirelim.

Matrisin üçüncü sütununun elemanlarına, matrisin ikinci sütununun karşılık gelen elemanlarını daha önce (-2) ile çarparak ekleyelim. Bundan sonra matris şu şekli alacaktır:

Ortaya çıkan matrisin üçüncü sütununun elemanlarına, ilk sütunun karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz:

Ortaya çıkan matrisin determinantını hesaplayalım ve A matrisinin determinantına yani -24'e eşit olduğundan emin olalım:

Bir kare matrisin determinantı, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının çarpımlarının toplamına eşittir. cebirsel eklemeler.

Burada matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı bulunmaktadır.

Bu özellik, 3'e 3'ten daha yüksek mertebedeki matrislerin determinantlarının, bunları bir alt mertebedeki matrislerin çeşitli determinantlarının toplamına indirgeyerek hesaplanmasına olanak tanır. Başka bir deyişle bu, herhangi bir mertebeden bir kare matrisin determinantını hesaplamak için kullanılan yinelenen bir formüldür. Oldukça sık uygulanabilirliği nedeniyle hatırlamanızı öneririz.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek.

yaklaşık 4'e 4, genişletiyor

3. satırın unsurları tarafından,
2. sütunun elemanları tarafından.

Çözüm.

Belirleyiciyi 3. satırın elemanlarına ayırmak için formülü kullanıyoruz

Sahibiz

Dolayısıyla 4'e 4 mertebesindeki bir matrisin determinantını bulma sorunu, 3'e 3 mertebesindeki matrislerin üç determinantının hesaplanmasına indirgendi:

Elde edilen değerleri değiştirerek sonuca ulaşıyoruz:

Belirleyiciyi 2. sütunun elemanlarına ayırmak için formülü kullanıyoruz

ve biz de aynı şekilde hareket ediyoruz.

Üçüncü dereceden matrislerin determinantlarının hesaplanmasını ayrıntılı olarak açıklamayacağız.

Örnek.

Matrisin hesaplama determinantı yaklaşık 4'e 4.

Çözüm.

Bir matrisin determinantını herhangi bir sütunun veya satırın elemanlarına genişletebilirsiniz, ancak aşağıdakileri içeren bir satır veya sütun seçmek daha karlıdır: en büyük sayı sıfır öğe, çünkü bu gereksiz hesaplamaların önlenmesine yardımcı olacaktır. Determinantı ilk satırın elemanlarına genişletelim:

Bildiğimiz formülü kullanarak 3'e 3 mertebesindeki matrislerin sonuç determinantlarını hesaplayalım:

Sonuçları değiştirin ve istediğiniz değeri elde edin

Örnek.

Matrisin hesaplama determinantı yaklaşık 5'e 5.

Çözüm.

Matrisin dördüncü satırı, tüm satırlar ve sütunlar arasında en fazla sayıda sıfır öğeye sahiptir, bu nedenle matrisin determinantını tam olarak dördüncü satırın öğelerine göre genişletmeniz önerilir, çünkü bu durumda daha az hesaplamaya ihtiyacımız olacaktır.

4'e 4 mertebesindeki matrislerin sonuçta ortaya çıkan determinantları önceki örneklerde bulundu, o halde hazır sonuçları kullanalım:

Örnek.

Matrisin hesaplama determinantı yaklaşık 7'ye 7.

Çözüm.

Belirleyiciyi herhangi bir satır veya sütunun öğelerine ayırmak için hemen acele etmemelisiniz. Matrise yakından bakarsanız, matrisin altıncı satırının elemanlarının, ikinci satırın karşılık gelen elemanlarının ikiyle çarpılmasıyla elde edilebileceğini fark edeceksiniz. Yani, ikinci satırın karşılık gelen elemanları altıncı satırın elemanlarına eklenirse (-2) ile çarpılırsa, yedinci özellik nedeniyle determinant değişmeyecek ve ortaya çıkan matrisin altıncı satırı oluşacaktır. sıfırlardan oluşan. Böyle bir matrisin determinantı ikinci özelliğe göre sıfıra eşittir.

Cevap:

Dikkate alınan özelliğin herhangi bir mertebedeki matrislerin determinantlarını hesaplamaya izin verdiği, ancak çok sayıda hesaplama işlemi gerçekleştirmesi gerektiği unutulmamalıdır. Çoğu durumda, aşağıda ele alacağımız Gauss yöntemini kullanarak üçüncü mertebeden daha yüksek dereceli matrislerin determinantını bulmak daha avantajlıdır.

Bir kare matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, başka bir satırın (sütununun) karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile toplamı sıfıra eşittir.

Örnek.

Matrisin üçüncü sütunundaki elemanların çarpımlarının toplamının olduğunu gösterin birinci sütunun karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları sıfıra eşittir.

Çözüm.

Aynı mertebeden kare matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir, yani, m birden büyük bir doğal sayı olmak üzere, A k, k=1,2,...,m aynı mertebeden kare matrislerdir.

Örnek.

İki matrisin çarpımının determinantının doğru olduğunu doğrulayın ve onların determinantlarının çarpımına eşittir.

Çözüm.

Önce A ve B matrislerinin determinantlarının çarpımını bulalım:

Şimdi matris çarpımını yapalım ve elde edilen matrisin determinantını hesaplayalım:

Böylece, gösterilmesi gereken şey buydu.

Bir matrisin determinantının Gauss yöntemi kullanılarak hesaplanması.

Bu yöntemin özünü açıklayalım. Temel dönüşümler kullanılarak, A matrisi, ilk sütunda bunlar dışındaki tüm elemanların sıfır olacağı bir forma indirgenir (bu, A matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması durumunda her zaman yapılabilir). Bu işlemi biraz sonra anlatacağız ama şimdi bunun neden yapıldığını açıklayacağız. Determinantın ilk sütunun elemanları üzerinde en basit açılımını elde etmek için sıfır elemanlar elde edilir. A matrisinin böyle bir dönüşümünden sonra, sekizinci özelliği dikkate alarak şunu elde ederiz:

Nerede - minör (n-1)'inci sıra, A matrisinin ilk satırının ve ilk sütununun elemanları silinerek elde edilir.

Minörün karşılık geldiği matris ile birinci sütunda sıfır eleman elde etmek için aynı işlem yapılır. Ve bu, determinantın son hesaplamasına kadar devam eder.

Şimdi şu soruyu cevaplamaya devam ediyor: "İlk sütunda sıfır eleman nasıl elde edilir?"

Eylemlerin algoritmasını açıklayalım.

Eğer ise, k'inci satırın karşılık gelen elemanları matrisin ilk satırının elemanlarına eklenir; burada . (A matrisinin ilk sütununun tüm elemanları istisnasız sıfır ise, bu durumda determinantı ikinci özelliğe göre sıfıra eşittir ve Gauss yöntemine gerek yoktur). Böyle bir dönüşümden sonra “yeni” eleman sıfır olmayacaktır. Yedinci özellik nedeniyle “yeni” matrisin determinantı orijinal matrisin determinantına eşit olacaktır.

Artık elimizde bir matris var. İkinci satırın elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak üçüncü satırın elemanlarına eklediğimizde - birinci satırın karşılık gelen elemanları ile çarpılır. Ve benzeri. Son olarak, n'inci satırın elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Bu, dönüştürülmüş bir A matrisiyle sonuçlanacaktır; bu matrisin ilk sütununun hariç tüm elemanları sıfır olacaktır. Ortaya çıkan matrisin determinantı, yedinci özellikten dolayı orijinal matrisin determinantına eşit olacaktır.

Örnek çözerken yönteme bakalım, daha anlaşılır olacaktır.

Örnek.

5'e 5 düzeyindeki bir matrisin determinantını hesaplayın .

Çözüm.

Gauss yöntemini kullanalım. A matrisini, ilk sütununun hariç tüm elemanları sıfır olacak şekilde dönüştürelim.

Öğe başlangıçta olduğundan, matrisin ilk satırının öğelerine karşılık gelen öğeleri, örneğin ikinci satırın öğelerini ekleriz, çünkü:

"~" işareti eşdeğerliği gösterir.

Şimdi ikinci satırın elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekliyoruz: , üçüncü satırın elemanlarına - birinci satırın karşılık gelen elemanlarının çarpımı ve aynı şekilde altıncı satıra kadar ilerleyin:

Aldık

Matrisli İlk sütunda sıfır eleman elde etmek için aynı prosedürü uyguluyoruz:

Buradan,

Şimdi matris ile dönüşümler gerçekleştiriyoruz :

Yorum.

Gauss yöntemini kullanan matris dönüşümünün bir aşamasında, matrisin son birkaç satırındaki tüm elemanların sıfır olduğu bir durum ortaya çıkabilir. Bu, determinantın sıfıra eşit olduğunu gösterecektir.

Özetle.

Elemanları sayılardan oluşan bir kare matrisin determinantı bir sayıdır. Belirleyiciyi hesaplamanın üç yoluna baktık:

matris elemanlarının kombinasyonlarının çarpımlarının toplamı yoluyla;
determinantın matrisin bir satırının veya sütununun elemanlarına ayrıştırılması yoluyla;
matrisi bir üst üçgene indirgeyerek (Gauss yöntemi).

2'ye 2 ve 3'e 3 mertebesindeki matrislerin determinantlarını hesaplamak için formüller elde edildi.

Bir matrisin determinantının özelliklerini inceledik. Bazıları determinantın sıfır olduğunu hızlı bir şekilde anlamanızı sağlar.

3'e 3'ten daha yüksek dereceli matrislerin determinantlarını hesaplarken, Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir: matrisin temel dönüşümlerini gerçekleştirin ve onu üst üçgene düşürün. Böyle bir matrisin determinantı ana köşegendeki tüm elemanların çarpımına eşittir.

1. Determinant, aktarım sırasında değişmez.

2. Determinantın doğrularından biri sıfırlardan oluşuyorsa determinant sıfıra eşittir.

3. Determinanttaki iki doğru yeniden düzenlenirse determinantın işareti değişir.

4. İki özdeş dizi içeren bir determinant sıfıra eşittir.

5. Eğer determinantın belirli bir satırının tüm elemanları bir k sayısı ile çarpılırsa, determinantın kendisi de k ile çarpılacaktır.

6. İki orantı doğrusu içeren bir determinant sıfıra eşittir.

7. Eğer determinantın i'inci satırının tüm elemanları iki terimin toplamı olarak sunulursa a i j = b j + c j (j=), bu durumda determinant, i hariç tüm satırların geçerli olduğu determinantların toplamına eşittir. -th, verilen determinant A ile aynıdır i-inci çizgi terimlerden birinde b j unsurlarından, diğerinde ise c j unsurlarından oluşur.

8. Başka bir satırın karşılık gelen elemanları, satırlarından birinin elemanlarına aynı sayı ile çarpılarak eklenirse determinant değişmez.

Yorum. Satır yerine sütun alırsak tüm özellikler geçerli kalır.

Küçük n'inci dereceden d determinantının a i j elemanının M i j'sine, bu elemanı içeren satır ve sütunun silinmesiyle d'den elde edilen n-1 mertebesinin determinantı denir.

Cebirsel tamamlayıcı d determinantının a i j elemanına onun minörü M i j denir ve (-1) i + j işaretiyle alınır. Bir a i j öğesinin cebirsel tümleyeni A i j ile gösterilecektir. Böylece, A i j = (-1) i + j M i j .

N dereceli bir determinantın daha düşük dereceli determinantlar cinsinden ifade edilebileceği gerçeğine dayanan determinantların pratik hesaplama yöntemleri aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem (determinantın bir satır veya sütunda ayrıştırılması).

Determinant, rastgele satırının (veya sütununun) tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir. Başka bir deyişle, d'de bir genişleme var i-th'in unsurlarıçizgiler d = a ben 1 A ben 1 + a ben 2 A ben 2 +... + a ben n A ben n (i = )

veya j'inci sütun d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

Özellikle, bir satırın (veya sütunun) biri hariç tüm elemanları sıfırsa, o zaman determinant, o elemanın cebirsel tümleyeniyle çarpımına eşittir.

Örnek 1.4. Determinantını hesaplamadan , sıfıra eşit olduğunu gösterin. Çözüm.İlk satırı ikinci satırdan çıkarın ve determinantı bulun , orijinaline eşit. Üçüncü satırdan birinciyi de çıkarırsak determinantı elde ederiz , burada iki satır orantılıdır. Bu determinant sıfıra eşittir.

Örnek 1.5. Determinantı hesaplayın D = , onu ikinci sütunun elemanlarına ayrıştırıyoruz.

Çözüm. Belirleyiciyi ikinci sütunun elemanlarına genişletelim:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 +a 32 A 32 =

Örnek 1.6. Hesaplama belirleyicisi

bir=
ana köşegenin bir tarafındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu. Çözüm. A'nın determinantını ilk çizgi boyunca genişletelim: A = a 11 A 11 = . Sağdaki determinant ilk doğru boyunca tekrar genişletilebilir, o zaman şunu elde ederiz:

bir=
.Ve benzeri. N adımdan sonra A = a 11 a 22... a nn eşitliğine ulaşıyoruz.

3.Doğrusal denklem sistemlerinin temel kavramları. Cramer teoremi.

Tanım. Doğrusal denklem sistemi bir birliğidir N her biri aşağıdakileri içeren doğrusal denklemler k değişkenler. Bu şekilde yazılmıştır:

Birçoğu, yüksek cebirle ilk kez karşılaştıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanıyor. Okul cebirinde bu genellikle olur, ancak yüksek cebir için bu genellikle doğru değildir.

Tanım. Bir denklem sistemini çözme bir sayı dizisidir ( k 1 ,k 2 , ..., kn), sistemin her denkleminin çözümü olan, yani. bu denklemde değişkenler yerine yerine koyarken X 1 , X 2 , ..., xn doğru sayısal eşitliği verir.

Sırasıyla, denklem sistemini çöz- tüm çözümlerin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ile bilinmeyenlerin sayısı çakışmayabileceğinden üç durum mümkündür:

1. Sistem tutarsızdır; tüm çözümlerin kümesi boştur. Bu, sistemi çözmek için hangi yöntemi kullanırsanız kullanın, kolayca tespit edilen oldukça nadir bir durumdur.

2. Sistem tutarlı ve tanımlanmıştır; tam olarak tek bir çözümü var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.

3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır; sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. “Sistemin sonsuz sayıda çözüm kümesi vardır” demek yeterli değildir; bu kümenin nasıl yapılandırıldığını da açıklamak gerekir.

Tanım. Değişken x ben isminde izin verildi, sistemin yalnızca bir denkleminde yer alıyorsa ve katsayısı 1 ise. Yani geri kalan denklemlerde değişkenin katsayısı x ben sıfıra eşit olmalıdır.

Her denklemde izin verilen bir değişken seçersek, tüm denklem sistemi için izin verilen değişkenlerin bir kümesini elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de çözümlenmiş olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı orijinal sistem, izin verilen farklı sistemlere indirgenebilir, ancak şimdilik bununla ilgilenmiyoruz. İzin verilen sistem örnekleri şunlardır:

Her iki sistem de değişken çözümlüdür X 1 , X 3 ve X 4. Ancak aynı başarı ile ikinci sisteme nispeten izin verildiği ileri sürülebilir. X 1 , X 3 ve X 5. Formdaki son denklemi yeniden yazmak yeterlidir X 5 = X 4 .

Şimdi daha genel bir durumu ele alalım. Her şeyimiz olsun k değişkenler, bunlardan R izin verilir. O zaman iki durum mümkündür:

1. İzin verilen değişken sayısı R toplam değişken sayısına eşit k: R = k. Sistemi şu adresten alıyoruz: k denklemler R = k izin verilen değişkenler Böyle bir sistem ortak ve kesindir, çünkü X 1 = B 1 , X 2 = B 2 , ..., xk = bk;

2. İzin verilen değişken sayısı R az toplam sayısı değişkenler k: R < k. Geri kalan ( k − R) değişkenlere serbest denir - izin verilen değişkenlerin kolayca hesaplanabileceği herhangi bir değeri alabilirler.

Yani yukarıdaki sistemlerde değişkenler X 2 , X 5 , X 6 (ilk sistem için) ve X 2 , X 5 (ikincisi için) ücretsizdir. Serbest değişkenlerin olduğu durum bir teorem olarak daha iyi formüle edilir ...

Nasıl çözülür?: – Bir doğrusal denklem sisteminin yerine koyma yöntemini (“okul yöntemi”) kullanarak çözülmesi.
– Sistemin denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) çözmek.
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü.
–Sistemi ters matris kullanarak çözme.
– Sistemin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

KRAMER

İlk olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi için Cramer kuralını düşünün. Cramer kuralını kullanarak çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri vardır!

Denklem sistemini düşünün

İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna denir sistemin ana belirleyicisi.

Eğer ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmaz, kullanmanız gerekir. Gauss yöntemi.

Eğer ise sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için iki determinantı daha hesaplamamız gerekir: ve

Uygulamada yukarıdaki niteleyiciler Latin harfleriyle de gösterilebilir.

Denklemin köklerini aşağıdaki formülleri kullanarak buluruz:

Örnek 7

Doğrusal denklem sistemini çözme

Denklemin katsayılarının oldukça büyük olduğunu görüyoruz; sağ tarafta virgüllü ondalık kesirler var. Virgül oldukça nadir bir misafirdir pratik görevler Matematikte bu sistemi ekonometrik bir problemden aldım.

Böyle bir sistem nasıl çözülür? Bir değişkeni diğerine göre ifade etmeye çalışabilirsiniz, ancak bu durumda muhtemelen üzerinde çalışılması son derece elverişsiz olan berbat süslü kesirlerle karşılaşacaksınız ve çözümün tasarımı tek kelimeyle berbat görünecektir. İkinci denklemi 6 ile çarpıp terim terim çıkarabilirsiniz ama burada da aynı kesirler ortaya çıkacaktır.

Ne yapalım? Böyle durumlarda Cramer'in formülleri imdada yetişiyor.

Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

;

Gördüğünüz gibi köklerin irrasyonel olduğu ortaya çıktı ve yaklaşık olarak bulundu; bu, ekonometri problemleri için oldukça kabul edilebilir (ve hatta sıradan).

Görev hazır formüller kullanılarak çözüldüğü için burada yorumlara gerek yok, ancak bir uyarı var. Ne zaman kullanılmalı Bu method, zorunlu Görev tasarımının bir parçası aşağıdaki parçadır: « bu da sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir" . Aksi takdirde, incelemeyi yapan kişi sizi Cramer teoremine saygısızlıktan dolayı cezalandırabilir.

Bir hesap makinesinde rahatlıkla yapılabilen kontrol etmek gereksiz olmayacaktır: yaklaşık değerleri sistemin her denkleminin sol tarafına koyarız. Sonuç olarak, küçük bir hatayla sağ taraftaki sayıları almalısınız.

Cramer'in formülleri

Cramer'in yöntemi sırayla bulmayı içerir sistemin ana belirleyicisi(5.3), yani. A matrisinin determinantı

Ve n yardımcı belirleyiciler D i (i= ), i'inci sütunun bir serbest terimler sütunu ile değiştirilmesiyle determinant D'den elde edilir.

Cramer'in formülleri şöyle görünür:

D × x ben = D ben (i = ). (5.4)

(5.4)'ten, sistemin (5.3) uyumluluğu sorusuna kapsamlı bir yanıt veren Cramer kuralı gelmektedir: eğer sistemin ana belirleyicisi sıfır değilse, o zaman sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:

D sisteminin ana determinantı ve tüm yardımcı determinantları D i = 0 (i= ) ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. D sisteminin ana determinantı = 0 ve en az bir yardımcı determinantı sıfırdan farklı ise sistem tutarsızdır.

Örnek 1.14. Denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözün:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

Çözüm. Bu sistemin temel belirleyicisi D = = -142 ¹ 0, bu da sistemin tek bir çözümü olduğu anlamına gelir. D determinantından elde edilen yardımcı belirleyicileri D ben (i= ), x i katsayılarından oluşan sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek hesaplayalım: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D3 = = - 426,

D4 = = 142. Dolayısıyla x 1 = D 1 /D = 1, x 2 = D 2 /D = 2, x 3 = D 3 /D = 3, x 4 = D 4 /D = -1, sistemin çözümü C =(1, 2, 3, -1) T vektörüdür.

Doğrusal denklem sistemlerinin temel kavramları. Gauss yöntemi.

YUKARIYI GÖRMEK.

Gauss-Jordan yöntemi(bilinmeyenlerin tamamen ortadan kaldırılması yöntemi) - ikinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek, bir matrisin tersini bulmak, belirli bir temelde bir vektörün koordinatlarını bulmak veya bir matrisin rütbesini bulmak için kullanılan bir yöntem. Yöntem Gauss yönteminin değiştirilmiş halidir.

Algoritma

1. Matrisin soldan en az bir sıfır olmayan değer içeren ilk sütununu seçin.

2. Bu sütundaki en üstteki sayı sıfır ise, matrisin ilk satırının tamamını, bu sütunda sıfır bulunmayan matrisin başka bir satırıyla değiştirin.

3. İlk satırın tüm öğeleri, seçilen sütunun üst öğesine bölünür.

4. Her satırın (birinci hariç) ilk öğesi olarak sıfır elde etmek için, kalan satırlardan ilk satırı karşılık gelen satırın ilk elemanıyla çarparak çıkarın.

6. Bu işlem bir kez tekrarlandıktan sonra üst üçgen matris elde edilir

7. Sondan bir önceki satırdan karşılık gelen katsayı ile çarpılarak son satırı çıkarın, böylece sondan bir önceki satırda ana köşegende yalnızca 1 kalır.

8. Sonraki satırlar için önceki adımı tekrarlayın. Sonuç olarak, serbest vektör yerine bir kimlik matrisi ve bir çözüm elde ederiz (onunla aynı dönüşümleri yapmak gerekir).

9. Ters matrisi elde etmek için birim matrise tüm işlemleri aynı sırayla uygulamanız gerekir.

Gauss yöntemi

Tarihsel olarak, doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ilk ve en yaygın yöntemi Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemidir. Bu yöntemin özü, bilinmeyenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılmasıdır. bu sistem buna eşdeğer kademeli (özellikle üçgen) bir sisteme dönüşür. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini pratik olarak çözerken, denklem sisteminin kendisini değil, bu sistemin genişletilmiş matrisini, satırlarında temel dönüşümler gerçekleştirerek aşamalı bir forma indirgemek daha uygundur. Dönüşüm sırasında elde edilen sıralı matrisler genellikle bir eşdeğerlik işaretiyle bağlanır.

örnek 1.13. Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Çözüm. Bu sistemin genişletilmiş matrisini yazalım.

ve satırları üzerinde aşağıdaki temel dönüşümleri gerçekleştirin: a) ikinci ve üçüncü satırlarından birinciyi sırasıyla 3 ve 2 ile çarparak çıkarın: ~ ;

b) üçüncü satırı (-5) ile çarpın ve ikincisini ona ekleyin: .

Tüm bu dönüşümler sonucunda bu sistem üçgen forma indirgenir: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Son denklemden z = -1.3'ü buluyoruz. Bu değeri ikinci denklemde yerine koyarsak y = -1,2 elde ederiz. Daha sonra ilk denklemden x = - 0,7 elde ederiz.

DEFTERDEN:

Gauss yöntemi

Yöntem ileri ve geri olmak üzere iki bölümden oluşur.

Doğrudan yaklaşım, temel satır dönüşümlerini kullanarak SLN matrisini basamaklı bir forma genişletmektir. Adım adım bir matriste, sonraki her satırın başında öncekinden daha fazla sıfır bulunur - veya sıfırdır

Örnek:

Temel matris satır dönüşümleri şunlardır:

1) matrisin bir satırındaki sayıların bir sayıyla çarpılmasıyla matrisin alt satırlarından birine eklenmesi.

2) İki satırı değiştirin

Gauss yönteminin tersi, alt sıfır çizgisinden başlayarak bazı değişkenlerin diğerleri cinsinden sırayla ifade edilmesinden oluşur. Sonuç genel bir çözümdür.

Doğrudan vuruştan sonra genişletilmiş matrisin kademeli formu için 3 seçenek mümkündür:

1) Sonraki her satırın başında bir öncekinden tam olarak bir sıfır daha var

Örnek:

Denklemi satır satır yazıyoruz ve en alt satırdan değişkenlerin değerlerini bulmaya başlıyoruz.

4Х 4 =8Þ Х 4 =2

Önceki denklemde yerine koy

2X 3 -3X 4 = -8 yani. 2X 3 -3 * 2=-8 veya 2X 3 =-2, Þ X 3 =-1, ikinci satırda X3 ve X4'ün yerine koyun, vb. SLU'nun tek çözümünü elde ediyoruz

2) Sıfır olmayan satırların sayısı değişken sayısından azdır. O zaman satırlardan biri, başlangıçta bir öncekinden en az 2 daha fazla sıfır içerir ve sonraki sıfır olmayan satırın, b=0 sayısının olduğu (0...0 b) formuna sahip olmadığını varsayarız.

Örneğin:

3) Sıfır olmayan son satır (0...0/b) biçimindedir, burada b=0 çelişkili o=b eşitliklerine karşılık gelir, dolayısıyla sistem uyumsuzdur

Gauss yöntemini kullanarak SLE'leri çözme

2X 1 +3X 2 +X 3 =1

4X 1 +5X 2 +4X 3 =7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Genişletilmiş bir ileri hareket matrisi oluşturuyoruz.

· Belirleyici kare n'inci mertebeden A matrisleri veya n'inci dereceden determinant cebirsel toplama eşit bir sayıdır P! her biri bir ürün olan üyeler P Her satırdan ve her sütundan birer tane alınan matris elemanları belirli işaretlerle. Determinant veya ile gösterilir.

İkinci dereceden determinant aşağıdaki gibi ifade edilen bir sayıdır: . Örneğin .

Üçüncü dereceden determinantüçgen kuralı (Sarrus kuralı) kullanılarak hesaplanır: .

Örnek. .

Yorum. Uygulamada, üçüncü dereceden determinantlar ve daha yüksek dereceden determinantlar, determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır.

N'inci dereceden determinantların özellikleri.

1. Her satırın (sütun) aynı numaraya sahip bir sütunla (satır) değiştirilmesi durumunda determinantın değeri değişmeyecektir - devrik.

2. Determinantın satırlarından (sütunlarından) biri sıfırlardan oluşuyorsa determinantın değeri sıfırdır.

3. Determinantta iki satır (sütun) yer değiştirirse determinantın mutlak değeri değişmeyecek, ancak işareti tam tersi yönde değişecektir.

4. İki özdeş satır (sütun) içeren bir determinant sıfıra eşittir.

5. Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ortak faktörü, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

· Küçük determinantın bazı unsurları P-inci sıraya determinant denir ( P-1)inci sıra, seçilen öğenin bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütunun üzeri çizilerek orijinalden elde edilir. Tanım: .

· Cebirsel tamamlayıcı Belirleyicinin elemanına işaretle alınan küçük denir. Tanım: T.o. =.

6. Bir kare matrisin determinantı, herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir ( ayrışma teoremi).

7. Eğer -'inci satırın her elemanı bir toplamı temsil ediyorsa k Bu durumda determinant bir toplam olarak temsil edilir k-'inci satır dışındaki tüm satırların orijinal determinantla aynı olduğu ve ilk determinanttaki -'inci satırın ikincinin ikincisinde - ilk terimlerden oluştuğu determinantlar. Aynı durum sütunlar için de geçerlidir.

8. Satırlardan (sütunlardan) birine sayıyla çarpılarak başka bir satır (sütun) eklenirse determinant değişmeyecektir.

Sonuçlar. Diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu bir determinantın satırına (sütununa) eklenirse, determinant değişmeyecektir.

9. Köşegen bir matrisin determinantı, ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir, yani.

Yorum. Üçgen bir matrisin determinantı aynı zamanda ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına da eşittir.

Belirleyicilerin listelenen özellikleri, özellikle yüksek dereceli belirleyiciler için önemli olan hesaplamalarını önemli ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılar. Bu durumda, orijinal matrisin, dönüştürülen matrisin mümkün olduğu kadar çok sayıda sıfır içeren bir satır veya sütuna sahip olmasını sağlayacak şekilde dönüştürülmesi tavsiye edilir (“sıfırlama” satırları veya sütunları).

Örnekler.Önceki örnekte verilen determinantı, determinantların özelliklerini kullanarak tekrar hesaplayalım.

Çözüm: İlk satırda ortak bir faktör - 2 ve ikincisinde - ortak bir faktör 3 olduğuna dikkat edin, bunları determinant işaretinden çıkaralım (özellik 5'e göre). Daha sonra, örneğin ilk sütunda, özellik 6'yı (genişleme teoremi) kullanarak determinantı genişletiyoruz.

En etkili Belirleyiciyi köşegen veya üçgen forma indirgeme yöntemi . Bir matrisin determinantını hesaplamak için, determinantı değiştirmeyen ve matrisi köşegen hale getirmenize olanak tanıyan bir matris dönüşümü gerçekleştirmek yeterlidir.

Sonuç olarak, bir kare matrisin determinantının sıfıra eşit olması durumunda matrisin çağrıldığını not ediyoruz. dejenere (veya özel) , aksi takdirde - dejenere olmayan .

Burada, standart bir yüksek matematik dersinde determinantları hesaplamak için genellikle kullanılan özelliklerin ana hatlarını çizeceğiz. Bu, gerektiğinde diğer bölümlerde değineceğimiz yardımcı bir konudur.

Yani, belirli bir kare matris $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) olsun & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ bitiş(dizi)\sağ)$. Her kare matrisin determinant (veya determinant) adı verilen bir özelliği vardır. Burada bu kavramın özüne girmeyeceğim. Açıklama gerektiriyorsa lütfen foruma yazın, ben de bu konuya daha detaylı değineceğim.

$A$ matrisinin determinantı $\Delta A$, $|A|$ veya $\det A$ olarak gösterilir. Determinant sırası içindeki satır (sütun) sayısına eşittir.

Belirleyicinin değeri, satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirilirse değişmeyecektir; $\Delta A=\Delta A^T$.
göster\gizle

İçindeki satırları "birinci satır vardı - ilk sütun vardı", "ikinci satır vardı - ikinci sütun vardı" ilkesine göre sütunlarla değiştirelim:

Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Gördüğünüz gibi determinantın değeri değiştirme nedeniyle değişmedi.
Determinantın iki satırını (sütununu) değiştirirseniz determinantın işareti ters yönde değişir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyiciyi düşünün $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. İkinci ve üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanması konusundaki 1 numaralı formülü kullanarak değerini bulalım:
$$\sol| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Şimdi birinci ve ikinci satırları yer değiştirelim. $\left| determinantını elde ediyoruz \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Ortaya çıkan determinantı hesaplayalım: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Yani orijinal determinantın değeri (-37), satır sırası değiştirildiğinde determinantın değeri $-(-37)=37$ olur. Determinantın işareti ters yönde değişti.
Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olduğu bir determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyicide olduğundan $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ üçüncü sütunun tüm elemanları sıfırdır, bu durumda determinant sıfırdır, yani $\sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.
Belirli bir satırın (sütun) tüm elemanlarının başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarına eşit olduğu determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyicide olduğundan $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ ilk satırın tüm elemanları karşılık gelenlere eşittir ikinci satırın elemanları, o zaman determinant sıfıra eşittir, yani. $\sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.
Bir determinantta bir satırın (sütun) tüm elemanları başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarıyla orantılıysa, o zaman böyle bir determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyicide olduğundan $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ İkinci ve üçüncü satırlar orantılıdır, yani. $r_3=-3\cdot(r_2)$ ise determinant sıfıra eşit olur, yani. $\sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.
Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ortak bir çarpanı varsa, bu çarpan determinant işaretinden çıkarılabilir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyiciyi düşünün $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. İkinci satırdaki tüm öğelerin 3'e bölünebildiğine dikkat edin:
$$\sol| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
3 sayısı ikinci sıranın tüm elemanlarının ortak çarpanıdır. Belirleyici işaretin üçünü çıkaralım:
$$\sol| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$
Belirli bir satırın (sütun) tüm öğelerine, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerini rastgele bir sayıyla çarparsak, determinant değişmeyecektir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyiciyi düşünün $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. İkinci satırın elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını 5 ile çarparak ekleyelim. Bu eylem şu şekilde yazılır: $r_2+5\cdot(r_3)$. İkinci satır değiştirilecek, kalan satırlar değişmeden kalacaktır.
$$\sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (dizi) \sağ|= \sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$
Bir determinanttaki belirli bir satır (sütun) diğer satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimi ise, o zaman determinant sıfıra eşittir.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Hemen “doğrusal kombinasyon” tabirinin ne anlama geldiğini açıklayayım. Elimizde s satır (veya sütun) olsun: $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. İfade
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
burada $k_i\in R$, $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ satırlarının (sütunlarının) doğrusal birleşimi olarak adlandırılır.

Örneğin aşağıdaki determinantı düşünün:
$$\sol| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$
Bu determinantta dördüncü satır, ilk üç satırın doğrusal birleşimi olarak ifade edilebilir:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Dolayısıyla söz konusu determinant sıfıra eşittir.
Bir determinantın belirli bir k'inci satırının (k'inci sütunu) her bir öğesi iki terimin toplamına eşitse, o zaman böyle bir determinant, birincisi olan determinantların toplamına eşittir. k. satır (k'inci sütun) birinci terimlere sahiptir ve ikinci determinant k'inci satırdaki (k'inci sütun) ikinci terimlere sahiptir. Bu belirleyicilerin diğer unsurları aynıdır.
Bu özelliği kullanma örneği: show\hide

Belirleyiciyi düşünün $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. İkinci sütunun elemanlarını şu şekilde yazalım: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. O zaman böyle bir determinant iki determinantın toplamına eşittir:
$$\sol| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$
Aynı mertebeden iki kare matrisin çarpımının determinantı, bu matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir; $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Bu kuraldan şu formülü elde edebiliriz: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Eğer $A$ matrisi tekil değilse (yani determinantı sıfıra eşit değilse), o zaman $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Belirleyicileri hesaplamak için formüller

İkinci ve üçüncü dereceden determinantlar için aşağıdaki formüller doğrudur:

\begin(denklem) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(denklem)

Formül (1) ve (2)'nin kullanımına ilişkin örnekler "İkinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanmasına yönelik formüller. Belirleyicilerin hesaplanmasına ilişkin örnekler" konusundadır.

$A_(n\times n)$ matrisinin determinantı şu şekilde genişletilebilir: i'inci çizgi aşağıdaki formülü kullanarak:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(denklem)

Bu formülün bir benzeri sütunlar için de mevcuttur. J'inci sütundaki determinantı genişletme formülü aşağıdaki gibidir:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(denklem)

Formül (3) ve (4) ile ifade edilen kurallar örneklerle detaylı olarak gösterilmiş ve Determinantın sırasının azaltılması konusunda açıklanmıştır. Determinantın arka arkaya (sütun) ayrıştırılması.

Üst üçgen ve alt üçgen matrislerin determinantlarını hesaplamak için başka bir formül verelim (bu terimlerin açıklaması için “Matrisler. Matris türleri. Temel terimler” konusuna bakın). Böyle bir matrisin determinantı ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir. Örnekler:

\begin(hizalanmış) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ sağ|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(hizalanmış)

Determinant: det, ||, determinant.

Determinant bir matris değil, bir sayıdır.

Bir matrisin determinantı nasıl bulunur?

Bir matrisin determinantını bulmak için kavramı tanıtın "küçük". Tanım: M ij - minör, M ij 2 - ikinci dereceden minör (2*2 matrisinin determinantı), vb.

a ij öğesinin minörünü bulmak için A matrisinin i'inci satırını sileriz ve j'inci sütun. n-1*m-1 boyutunda bir matris elde ederiz, şunu buluruz: bu matrisin determinantı.

Örnek: A matrisinin a 12 elemanı için ikinci dereceden küçük olanı bulun:

A matrisinin 1. satırının ve 2. sütununun üzerini çiziyoruz. 2*2 boyutunda bir matris elde ederiz, bulun bu matrisin determinantı:

Dolayısıyla minör bir matris değil bir sayıdır.

Örnek: 2*2'lik bir matrisin determinantını (genel biçimde) 1) satır boyunca ayrıştırarak bulun; 2) sütun:

Satır olarak: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* bir 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

Sütuna göre: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Aynı sonucun elde edildiğini görmek kolaydır.

Böylece, 2*2'lik bir matrisin determinantını bulmak için ikincil köşegenin elemanlarının çarpımını ana köşegenin elemanlarının çarpımından çıkarmak yeterlidir:

Üçüncü dereceden determinant hızlı bir şekilde nasıl hesaplanır?

Üçüncü dereceden determinantı hesaplamak için şunu kullanın: üçgen kuralı(veya "yıldızlar").

1. Ana köşegenin elemanlarını çarpın: det(A)=11*22*33...

2. Ortaya çıkan çarpıma “tabanları ana köşegenlere paralel olan üçgenler” çarpımını ekliyoruz: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. İkincil köşegenle bağlantılı her şeyi “-” işaretiyle alıyoruz. İkincil köşegenin elemanlarını çarpıyoruz ve çıkarıyoruz: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. “Ana üçgenlere” benzer şekilde yan üçgenleri çarpıp çıkarıyoruz: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23 *32-33*12 *21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Bir matrisin determinantının özellikleri.

Bir determinantın iki paralel satırı veya sütunu yer değiştirdiğinde işareti ters çevrilir;
İki özdeş satır veya sütun içeren determinant sıfıra eşittir;
Determinantın doğrularından biri herhangi bir sayıyla çarpılırsa sonuç, orijinal determinantın bu sayıyla çarpımına eşit bir determinant olur;
Bir matrisin yeri değiştirildiğinde determinantı değerini değiştirmez;
Determinantta herhangi bir çizgi yerine bu çizginin ve diğer herhangi bir çizginin toplamını belirli bir sayıyla çarparsak, ortaya çıkan yeni determinant orijinaline eşit olacaktır;
Bir determinantın herhangi bir satırının veya sütununun her elemanı iki terimin toplamı olarak temsil edilirse, bu durumda bu determinant karşılık gelen iki determinantın toplamına ayrıştırılabilir;
Determinantın herhangi bir satır veya sütununun elemanlarının ortak çarpanı, determinantın işaretinden çıkarılabilir.