Ortalama değer sembolü. Sayıların aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması nasıl bulunur? Sayıların aritmetik ortalaması nedir?

Ekonomik araştırmalarda kullanılan istatistiksel göstergelerin en yaygın biçimi, istatistiksel bir popülasyondaki bir özelliğin genelleştirilmiş niceliksel özelliği olan ortalama değerdir. Ortalama değer, değişen özelliklerden birine göre benzer olayların genel bir özelliğini sağlar. Nüfusun bir birimine atanan bu özelliğin düzeyini yansıtır. Ortalamaların yaygın kullanımı, onları ekonomideki olguları ve süreçleri analiz etmek için vazgeçilmez bir araç haline getiren bir takım olumlu özelliklere sahip olmaları ile açıklanmaktadır.

Ortalama değerin en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin bir şirketin hisse senedi fiyatı bir bütün olarak mali durumuna göre belirlenir, aynı zamanda belirli günlerde ve belirli borsalarda bu hisseler, içinde bulunulan şartlara göre daha yüksek veya daha düşük bir fiyatla satılabilir. Ortalamanın özü, popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristik değerlerinde rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu sapmaları iptal etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri dikkate almasıdır. Bu, ortalamanın, bireysel birimlerin doğasında bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasına olanak tanır.

Ortalamaların kullanımına ilişkin bazı genel ilkeler üzerinde duralım.

1. Her özel durumda ortalama değeri belirlerken, üzerinde çalışılan özelliklerin ilişkisi ve hesaplama için mevcut veriler dikkate alınarak ortalaması alınan özelliğin niteliksel içeriğinden yola çıkılmalıdır.

2. Ortalama değer öncelikle homojen bir popülasyondan hesaplanmalıdır. Niteliksel olarak homojen popülasyonlar, her zaman bir genelleme göstergeleri sisteminin hesaplanmasını içeren bir gruplandırma yönteminin elde edilmesini mümkün kılar.

3. Genel ortalamalar grup ortalamalarıyla desteklenmelidir. Örneğin, bireysel mahsul verimlerinin dinamikleri üzerine yapılan bir analizin, genel ortalama verimin azaldığını gösterdiğini varsayalım. Ancak bu ürünün veriminin toprak, iklim ve diğer koşullara bağlı olduğu ve bölgelere göre farklılık gösterdiği bilinmektedir. İlçeleri farklılıklara göre gruplandırıp grup ortalamalarının dinamiklerini analiz ettiğimizde, bazı ilçelerde ortalama verimin ya değişmediğini ya da arttığını, cumhuriyet genel ortalamasındaki düşüşün ise artıştan kaynaklandığını görebiliriz. Bu tarımsal ürünün toplam üretiminde düşük verimli alanların payı. Açıkçası, grup ortalamalarının dinamikleri getirideki değişim modellerini daha yakından yansıtırken, genel ortalamanın dinamikleri yalnızca genel sonucu gösterir.

Ortalamanın hesaplanacağı nüfus biriminin makul bir şekilde seçilmesi gereklidir.

Ortalama kategorisi, kavramı aracılığıyla ortaya çıkarılabilir. özelliği tanımlamak. Bu kavrama göre, tüm popülasyonun genelleştirici bir özelliği olan ortalama, bu popülasyonun tüm birimleriyle ilişkili belirli bir değere odaklanmalıdır. Bu değer bir fonksiyon olarak temsil edilebilir: (x 1,x 2,…x n).

Bu değer çoğu durumda gerçek ekonomik kategoriyi yansıttığından, ortalamanın tanımlayıcı özelliği kavramının yerini bazen tanımlayıcı gösterge kavramı alır.

Yukarıdaki fonksiyonda tüm x 1, x 2, x n değerleri ortalama değerleri x͞ ile değiştirilirse, bu fonksiyonun değeri aynı kalmalıdır:

ƒ(x 1 ,x 2 ,…,x n)=ƒ(x͞, x͞, …,x͞)

Bu eşitliğe göre ortalama belirlenir. Pratikte birçok durumda ortalamayı belirlemek mümkündür. ortalamanın başlangıç ​​oranı aracılığıyla(ISS) veya mantıksal formülü:

Örneğin, bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplamak için toplam ücret fonunu çalışan sayısına bölmek gerekir:

Ortalamanın başlangıç ​​oranının payı, onun tanımlayıcı göstergesidir. Ortalama ücretler için böyle belirleyici bir gösterge ücret fonudur. Hangi birincil bilgiye sahip olursak olalım (toplam ücret fonunu veya ücretleri ve bireysel pozisyonlarda istihdam edilen işçi sayısını veya başka herhangi bir başlangıç ​​verisini bilsek de), her durumda ortalama ücret yalnızca bu başlangıç ​​oran ortalaması aracılığıyla elde edilebilir.

Ekonomik analizde kullanılan her gösterge için ortalamayı hesaplamak amacıyla yalnızca tek bir gerçek başlangıç ​​oranı derlenebilir. Örneğin, bir bankadaki ortalama mevduatı hesaplamanız gerekiyorsa, ilk oran aşağıdaki gibi olacaktır:

ISS=

Şimdi ortalama türlerini ele alalım. Ortalama türünün seçimi, göstergenin ekonomik içeriğine ve kaynak verilere göre belirlenir. Her özel durumda ortalama değerlerden biri kullanılır:

Aritmetik

Harmonik

Geometrik

İkinci dereceden

Kübik vb.

Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalamalar ve genel formülle birleştirilir (farklı c değerleri için):

burada xi, söz konusu özelliğin i'inci değişkenidir (i=1͞,k); f i, i'inci seçeneğin özgül ağırlığıdır.

İlk önce güç ortalamalarını ele alalım.

Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama konusu 6-7. sınıf matematik programında yer almaktadır. Paragrafın anlaşılması oldukça kolay olduğundan hızla atlanır ve okul yılı sonunda öğrenciler onu unutur. Ancak Birleşik Devlet Sınavını ve uluslararası SAT sınavlarını geçmek için temel istatistik bilgisine ihtiyaç vardır. Ve günlük yaşam için gelişmiş analitik düşüncenin asla zararı olmaz.

Sayıların aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması nasıl hesaplanır?

Diyelim ki bir dizi sayı var: 11, 4 ve 3. Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının verilen sayıların sayısına bölünmesiyle elde edilir. Yani 11, 4, 3 sayıları durumunda cevap 6 olacaktır. 6'yı nasıl elde edersiniz?

Çözüm: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Payda, ortalaması bulunması gereken sayıların sayısına eşit bir sayı içermelidir. Üç terim olduğundan toplam 3'e bölünebilir.

Şimdi geometrik ortalamayı bulmamız gerekiyor. Diyelim ki bir dizi sayı var: 4, 2 ve 8.

Sayıların geometrik ortalaması, kökün altında yer alan ve verilen sayıların sayısına eşit olan tüm sayıların çarpımıdır. Yani 4, 2 ve 8 sayıları durumunda cevap 4 olacaktır. ortaya çıktı:

Çözüm: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Her iki seçenekte de tam yanıtlar aldık çünkü örnek olarak özel sayılar alındı. Bu her zaman gerçekleşmez. Çoğu durumda cevabın yuvarlanması veya kökte bırakılması gerekir. Örneğin 11, 7 ve 20 sayılarının aritmetik ortalaması ≈ 12,67, geometrik ortalaması ise ∛1540'tır. 6 ve 5 sayıları için ise cevaplar sırasıyla 5,5 ve √30 olacaktır.

Aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit olabilir mi?

Tabii ki yapabilir. Ancak yalnızca iki durumda. Yalnızca birlerden veya sıfırlardan oluşan bir sayı dizisi varsa. Cevabın sayılarına bağlı olmaması da dikkat çekicidir.

Birimli ispat: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetik ortalama).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrik ortalama).

Sıfırlarla ispat: (0 + 0) / 2=0 (aritmetik ortalama).

√(0 × 0) = 0 (geometrik ortalama).

Başka seçenek yoktur ve olamaz.

Durağan bir rasgele sürecin sayı kümesinin eleman sayısı sonsuza doğru yaklaştıkça, aritmetik ortalama da rasgele değişkenin matematiksel beklentisine yönelir.

giriiş

Sayı kümesini gösterelim X = (X 1 , X 2 , …, X N), bu durumda örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir ("" olarak telaffuz edilir) X bir çizgiyle").

Yunanca μ harfi genellikle bir dizi sayının aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ olasılık ortalaması veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Eğer set X olasılıksal ortalaması μ olan rastgele sayıların bir koleksiyonudur, o zaman herhangi bir örnek için X Ben bu kümeden μ = E( X Ben) bu numunenin matematiksel beklentisidir.

Uygulamada μ ve arasındaki fark x¯ (\displaystyle (\bar (x)))μ tipik bir değişkendir çünkü popülasyonun tamamı yerine bir örneği görebilirsiniz. Bu nedenle, eğer örneklem rastgele ise (olasılık teorisi açısından), o zaman x¯ (\displaystyle (\bar (x)))(ancak μ değil), numune üzerinde olasılık dağılımına (ortalamanın olasılık dağılımı) sahip rastgele bir değişken olarak ele alınabilir.

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:

Örnekler

• Üç sayının aritmetik ortalamasını elde etmek için bunları toplayıp 3'e bölmeniz gerekir:

• Dört sayının aritmetik ortalamasını elde etmek için bunları toplayıp 4'e bölmeniz gerekir:

Sürekli rastgele değişken

Bir fonksiyonun integrali varsa f (x) (\displaystyle f(x)) bir değişken varsa, bu fonksiyonun segment üzerindeki aritmetik ortalaması [A; b ] (\displaystyle)

Burada kastedilen şudur b > a . (\displaystyle b>a.)

Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Aritmetik ortalamalar genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, bu kavram sağlam bir istatistik değildir; bu, aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için aritmetik ortalamanın “ortalama” kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden (örneğin medyan) ortalama değerlerinin merkezini daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir. eğilim.

Klasik bir örnek ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir ve bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip insanların olduğu sonucuna varılmasına yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın bu rakam civarında bir gelire sahip olduğu şeklinde yorumlanıyor. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile birlikte yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı oldukça çarpık hale getirir (buna karşılık, medyan ortalama gelir böyle bir çarpıklığa "direnir"). Ancak bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın insan sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modal gelire yakın insan sayısı hakkında da hiçbir şey söylemez). Ancak, "ortalama" ve "çoğu insan" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu yönünde yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Medine, Washington'da sakinlerin tüm yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir raporu, Bill Gates sayesinde şaşırtıcı derecede büyük bir rakam üretecektir. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3,17 ama altı değerden beşi bu ortalamanın altında.

Bileşik faiz

Eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman bu olay, finans yatırımının getirisi hesaplanırken ortaya çıkar.

Örneğin, bir hisse senedi ilk yıl %10 düşüp ikinci yılda %30 yükseldiyse, bu iki yıldaki “ortalama” artışın aritmetik ortalama (-%10 + %30) / 2 olarak hesaplanması yanlıştır. = %10; bu durumda doğru ortalama, yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 yıllık büyüme oranı veren bileşik yıllık büyüme oranıyla verilmektedir.

Bunun nedeni yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç ​​noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha düşük bir rakamdan: eğer bir hisse senedi 30 dolardan başlayıp %10 düşerse, ikinci yılın başında değeri 27 dolar olur. Hisse senedi %30 değer kazanırsa ikinci yılın sonunda değeri 35,1 dolar olacaktı. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda yalnızca 5,1 dolar arttığından, %8,2'lik ortalama büyüme 35,1 dolarlık nihai sonucu verir:

[30 ABD Doları (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 ABD Doları (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 ABD Doları]. Aynı şekilde %10'luk aritmetik ortalamayı kullanırsak gerçek değeri elde edemeyiz: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3$].

2 yıl sonundaki bileşik faiz: %90 * %130 = %117 yani toplam artış %17 olup yıllık ortalama bileşik faiz %117 ≈ %108,2 (\displaystyle (\sqrt (117\%))\yaklaşık 108,2\%) yani yıllık ortalama %8,2 artış.

Talimatlar

Ana makale: Yön istatistikleri. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.

Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel bir değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamaya göre yapay olarak sayısal aralığın ortasına doğru kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı şekilde hesaplanır, yani varyansı en küçük olan sayı (merkez noktası) ortalama değer olarak seçilir. Ayrıca çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1° ile 359° arasındaki modüler mesafe 358° değil 2°'dir (359° ile 360°==0° arasındaki daire üzerinde - bir derece, 0° ile 1° arasında - ayrıca 1°, toplamda - 2 °).

İstatistiksel toplam birimlerinin özellikleri anlam bakımından farklıdır; örneğin, bir işletmede aynı meslekte çalışan işçilerin ücretlerinin aynı zaman dilimi için aynı olmaması, aynı ürünlerin piyasa fiyatları, ilçedeki mahsul rekolteleri. çiftlikler vb. Bu nedenle, incelenen birimlerin tüm popülasyonunun karakteristiği olan bir özelliğin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer – bu, bazı niceliksel özelliklere sahip bir dizi bireysel değerin genelleştirici bir özelliğidir.

Niceliksel olarak incelenen popülasyon bireysel değerlerden oluşur; hem genel nedenlerden hem de bireysel koşullardan etkilenirler. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tek bir değere sahip toplamın tamamını temsil eder ve tüm birimlerinde ortak olanı yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin, belirli bir meslek grubundaki (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanın ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, niteliklerindeki farklılıklar, hizmet süreleri, aylık çalışılan süre ve diğer birçok faktör nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama düzey, ücret düzeyini etkileyen temel faktörleri yansıtmakta ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıklar ortadan kaldırılmaktadır. Ortalama maaş, belirli bir çalışan türü için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, belirli bir popülasyonun niteliksel olarak ne kadar homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Bütünlük bireysel parçalardan oluşuyorsa, tipik gruplara (hastanedeki ortalama sıcaklık) bölünmelidir.

Heterojen popülasyonlar için özellik olarak kullanılan ortalama değerlere denir sistem ortalamaları. Örneğin, kişi başına düşen gayri safi yurtiçi hasılanın (GSYİH) ortalama değeri, kişi başına çeşitli mal gruplarının ortalama tüketim değeri ve devletin birleşik bir ekonomik sistem olarak genel özelliklerini temsil eden diğer benzer değerler.

Yeterince fazla sayıda birimden oluşan popülasyonlar için ortalamanın hesaplanması gerekir. Büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için bu koşula uygunluk gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları karşılıklı olarak iptal edilir.

Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ve kaynak verilerin ekonomik içeriğine göre belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleştirici veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge ortalama göstergeyle ilişkilidir. Örneğin, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama hızlarla değiştirirken, aracın aynı anda kat ettiği toplam mesafe değişmemelidir; bir işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama ücretle değiştirirken ücret fonu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin niteliğine bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun olan göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En sık kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ikinci dereceden ortalama ve kübik ortalamadır.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalamalar ve genel formülle birleştirilir:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m – ortalama derece indeksi;
– ortalaması alınan özelliğin mevcut değeri (varyant);
n – özelliklerin sayısı.
Üs m'nin değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalama türleri ayırt edilir:
m = -1 olduğunda – harmonik ortalama;
m = 0'da – geometrik ortalama;
m = 1 için – aritmetik ortalama;
m = 2 için – ortalama karekök;
m = 3'te – ortalama kübik.
Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, yukarıdaki formüldeki m üssü ne kadar büyük olursa, ortalama değer de o kadar büyük olur:
.
Güç ortalamalarının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun artan üssüyle birlikte artış denir. ortalamaların çoğunluğu kuralı.
İşaretlenen ortalamaların her biri iki biçimde olabilir: basit Ve ağırlıklı.
Basit orta form ortalama birincil (gruplanmamış) verilerden hesaplandığında kullanılır. Ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) verilere dayalı ortalamayı hesaplarken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi değişen bir karakteristiğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalamanın türü belirtilmediği takdirde aritmetik ortalamanın varsayılacağına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şuna benzer:

Basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere dayalı formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değeri ile karakterize edilen, gözlem ünitesinin seri numarasıdır;
N – gözlem birimlerinin sayısı (nüfusun hacmi).
Örnek.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi, 10 kişilik bir ekibin iş deneyimini gözlemlemenin sonuçlarını inceledi. Ekip çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayalım. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak şunu da hesaplayabiliriz: kronolojik serideki ortalamalar karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Örnek.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den'i buldu. ikinci 54, üçüncü 65 ve dördüncü 58 den için birimler. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Anlık göstergeler kronolojik bir seri halinde verilirse, ortalama hesaplanırken bunlar, dönemin başındaki ve sonundaki değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
burada n, zaman noktalarının sayısıdır
Verilerin karakteristik değerlere göre gruplanması durumunda (yani ayrı bir varyasyonel dağılım serisi oluşturulmuştur) ile aritmetik ortalama ağırlıklı sayısı (k) gözlem sayısından (N) önemli ölçüde daha az olan, özelliğin belirli değerlerinin gözlem frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır.
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i – varyasyon serisinin grup numarası.
a olduğundan pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
Ve
Örnek. Gruplandırılmış bir satırdaki çalışma ekiplerinin ortalama hizmet süresini hesaplayalım.
a) frekansların kullanılması:

b) frekansların kullanılması:

Verilerin aralıklara göre gruplandırılması durumunda yani aralık dağılım serileri şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken, belirli bir aralıkta nüfus birimlerinin tekdüze bir dağılımı varsayımına dayanarak aralığın ortası özelliğin değeri olarak alınır. Hesaplama aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:
Ve
aralığın ortası nerede: ,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (belirli bir aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırıyla çakışması koşuluyla).

Örnek. 30 işçinin yıllık ücretleri üzerine yapılan bir çalışmanın sonuçlarına dayanarak oluşturulan aralık değişim serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım (bkz. “İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi).
Tablo 1 – Aralık değişim serisi dağılımı.

UAH veya UAH
Kaynak verilere ve aralık varyasyon serilerine dayanarak hesaplanan aritmetik ortalamalar, nitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda ağırlıklı aritmetik ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortaları değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın birçok özelliği vardır.
1. Ortalama seçenekten sapmaların toplamı sıfırdır:
.
2. Opsiyonun tüm değerleri A miktarı kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A miktarı kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B katı artırılır veya azaltılırsa ortalama değer de aynı sayıda artacak veya azalacaktır:
veya
4. Seçeneğin çarpımlarının frekanslara göre toplamı, ortalama değerin frekansların toplamına göre çarpımına eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, ağırlıklı aritmetik ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenize olanak tanır.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısı kadar, sonra da B faktörü kadar azaltıldığını varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın ortasının değeri A olarak seçildiğinde ve aralığın değeri (aynı aralıklara sahip seriler için) B olarak seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir. yol B koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümün ardından varyantları eşit olan yeni bir varyasyonel dağılım serisi elde ederiz. Aritmetik ortalamalarına denir ilk sipariş anı, formülle ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A, sonra B katı ile azaltılır, yani;
Almak için gerçek ortalama(orijinal serinin ortalaması) birinci dereceden momenti B ile çarpmanız ve A'yı eklemeniz gerekir:

Momentler yöntemi kullanılarak aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 – Fabrika atölyesi çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İlk sipariş anını bulma . Daha sonra A = 17,5 ve B = 5 olduğunu bilerek atölye çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz:
yıllar

Harmonik ortalama
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgi popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor ancak bunların ürünü olarak sunuluyorsa formül uygulanır ağırlıklı harmonik ortalama. Ortalamayı hesaplamak için nerede olduğunu belirtelim. Bu ifadeleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz:
,
i (i=1,2, …, k) numaralı aralıktaki gösterge nitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.

Bu nedenle, harmonik ortalama, seçeneklerin kendisinin toplamaya tabi olmadığı, ancak bunların karşılıklı olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda; Ters karakteristiğin bireysel değerleri bir kez uygulanır, uygulanır harmonik basit demek:
,
ters özelliğin bireysel değişkenleri nerede bir kez meydana gelir;
N – sayı seçeneği.
Bir popülasyonun iki kısmı için harmonik ortalamalar varsa, o zaman tüm popülasyonun genel ortalaması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ve denir grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.

Örnek. Döviz alım satımı sırasında, operasyonun ilk saatinde üç işlem gerçekleştirildi. Grivna satış miktarı ve ABD doları karşısında Grivna döviz kuruna ilişkin veriler tabloda verilmektedir. 3 (sütun 2 ve 3). İşlemin ilk saati için Grivnanın ABD dolarına karşı ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 – Döviz ticaretinin ilerlemesine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivna miktarının, aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranıyla belirlenir. Grivnanın nihai satış tutarı tablonun 2. sütunundan bilinmektedir ve her işlemde satın alınan dolar miktarı, Grivnanın satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (sütun 4). Üç işlem sırasında toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için Grivnanın ortalama döviz kurunun şu şekilde olduğu anlamına gelir:
.
Ortaya çıkan değer gerçektir çünkü İşlemlerdeki gerçek Grivna döviz kurları ile değiştirilmesi, Grivna satışlarının nihai tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanıldıysa; Grivnası, daha sonra 22 milyon dolarlık döviz kuruyla satın alındı. 110,66 milyon UAH harcamak gerekecek ki bu doğru değil.

Geometrik ortalama
Geometrik ortalama, olayların dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme katsayısının belirlenmesine olanak tanır. Geometrik ortalamayı hesaplarken, bir özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan dinamiklerin göreceli göstergeleridir.
Basit geometrik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
,
ürünün işareti nerede,
N – ortalama değerlerin sayısı.
Örnek. 4 yılda kayıtlı suç sayısı 1,57 kat arttı; 1'incide 1,08 kat, 2'de 1,1 kat, 3'te 1,18 ve 4'te 1,12 kat artış yaşandı. Bu durumda suç sayısının ortalama yıllık artış oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı her yıl ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Ağırlıklı ortalamanın karesini hesaplamak için ve'yi belirleyip tabloya giriyoruz. Daha sonra ürünlerin uzunluğunun verilen normdan ortalama sapması şuna eşittir:

Bu durumda aritmetik ortalama uygun olmayacaktır çünkü sonuç olarak sıfır sapma elde ederiz.
Ortalama karenin kullanımı varyasyon açısından daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Aritmetik ortalama veya basitçe ortalama, bir numunenin temel özelliklerinden biridir.

Ortalama– bir özelliğin böyle bir değeri, özelliğin örnek değerlerinin sıfıra eşit olduğu sapmaların toplamı (sapmanın işareti dikkate alınarak).

Ortalama genellikle örnekleme seçenekleriyle aynı harfle gösterilir; tek fark, ortalama alma sembolünün (çubuk) harfin üzerine yerleştirilmesidir. Örneğin, incelenen özelliği şu şekilde belirlersek: X ve sayısal değerleri x ben, o zaman aritmetik ortalamanın ataması vardır.

Aritmetik ortalama, bir numunenin diğer sayısal özellikleri gibi, hem ham birincil verilerden hem de bu verilerin gruplandırılmasının sonuçlarından hesaplanabilir.

Gruplandırılmamış veriler için aritmetik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:

Nerede N- örnek boyut;

x ben- örnekleme seçenekleri.

Veriler gruplandırılırsa

Nerede N- örnek boyut;

k- gruplandırma aralıklarının sayısı;

n ben- sıklık Ben inci aralık;

x ben- ortalama değer Ben-inci aralık.

Aritmetik ortalama, özelliklerin değerleriyle aynı adı taşıyan bir değerdir.

Sürekli bir varyasyon serisinin aritmetik ortalamasını bulmak, aşırı aralıklar kapalı değilse (yani "10'dan az" veya "60'tan fazla" gibi görünüyorsa) karmaşıktır. Bu durumda, ilk aralığın genişliğinin ikincinin genişliğine eşit olduğu ve son aralığın genişliğinin sondan bir önceki aralığın genişliğine eşit olduğu kabul edilir.

Formül kullanılarak hesaplanan aritmetik ortalamaya da denir. ağırlıklı ortalama formülde bunu vurgulayarak x ben, gruplandırma aralıklarında meydana gelme sıklıklarına eşit katsayılar (ağırlıklar) ile toplanır.

Medyan

Medyan (Meh) bu nitelik değerine denir X, deneysel veri değerlerinin tam olarak yarısı bundan daha az olduğunda ve ikinci yarısı daha fazla olduğunda.

Çok az veri varsa (örneklem boyutu küçükse), medyan çok basit bir şekilde hesaplanır. Bunu yapmak için örnek sıralanır, yani veriler artan veya azalan sırada ve aşağıdakileri içeren sıralanmış örnekte düzenlenir: Nüyeler, rütbe R medyanın (sıra numarası) şu şekilde tanımlanır:

Örnek 7.8. Tek sayıda üye içeren sıralanmış bir örnek var N = 9:

12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28.

Daha sonra medyanın sıralaması:

ve medyan serinin beşinci terimiyle çakışıyor: Meh = 20.

Örnek çift sayıda üye içeriyorsa, medyan bu kadar açık bir şekilde belirlenemez.

Örnek 7.9. 10 üyeden oluşan sıralanmış bir örnek var:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

Medyanın sıralaması şu şekilde ortaya çıkıyor:

Bu durumda medyan 14 ile 16 arasında herhangi bir sayı olabilir (serinin 5. ve 6. terimleri). Kesinlik için, bu değerlerin aritmetik ortalamasını medyan olarak düşünmek gelenekseldir, yani:

Gruplandırılmış veriler için medyanı bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki şekilde ilerleyin. İlk olarak, medyanı içeren gruplandırma aralığı, birikmiş frekansların veya birikmiş göreceli frekansların sayılmasıyla bulunur.

Medyan, birikmiş frekansın ilk kez daha büyük olduğu veya birikmiş bağıl frekansın 0,5'ten büyük olduğu aralık olacaktır. Medyan aralığı içinde medyan aşağıdaki formülle belirlenir:

medyan aralığının alt sınırı nerede;

ha ben- ortanca aralığın genişliği;

Medyandan önceki aralığın kümülatif frekansı,

- medyan aralığın frekansı.

Örnek 7.10. Örnek 6.3'teki aralık serisinin ortancasını bulun.

Örnek boyutu: P = 50 + 32 + 26 + 11 + 5 = 124.

Medyan aralığını bulalım - ilk kez birikmiş frekansın daha büyük olduğu veya birikmiş göreceli frekansın 0,5'ten büyük olduğu aralık.

İkinci aralığın kümülatif frekansı 50 + 32 = 82 > 62 olduğundan, (30; 40) aralığı ortanca olacak ve = 30 olacaktır, ha ben = 40 – 30 = 10, = 50, = 32.

Medyan genellikle aritmetik ortalamadan biraz farklıdır. Ampirik dağılımın asimetrik bir biçimi olduğunda bu her zaman olur.

Moda

Moda ( Ay) örnekte en sık ortaya çıkan öznitelik değerini temsil eder.

Seri denir tek modlu, yalnızca bir modal değeri varsa ve çok modlu Eşit sıklıkta ortaya çıkan birkaç karakteristik değer varsa. Multimodal bir seri için mod hesaplanmaz.

Ayrık bir seri için mod, tanım gereği bulunur.

En yüksek frekansa sahip gruplama aralığına denir modal.

Bir aralık serisindeki modu belirlemek için aşağıdaki formül kullanılır:

modal aralığın alt sınırı nerede;

H- gruplandırma aralığının genişliği;

n Pzt- modal aralığın frekansı;

n Mo-1- modal olandan önceki aralığın frekansı;

nMo+1- modal olanı takip eden aralığın frekansı.