درس "مفهوم یک جمله. شکل استاندارد یک تک جمله" توسعه روشی در جبر در مورد موضوع. تقلیل یک مونومی به فرم استاندارد، مثال ها، راه حل ها الگوریتم کاهش تک جملات به فرم استاندارد

در این درس، تعریف دقیقی از یک جمله ارائه می دهیم، مثال های مختلفی را از کتاب درسی در نظر می گیریم. قوانین ضرب توان با پایه یکسان را به یاد بیاورید. اجازه دهید تعریفی از شکل استاندارد یک تک جمله، ضریب یک مونومی و قسمت تحت اللفظی آن ارائه دهیم. اجازه دهید دو عملیات معمولی اساسی را در مورد تک‌جملات در نظر بگیریم، یعنی کاهش به شکل استاندارد و محاسبه مقدار عددی خاص یک تک جمله برای نقاط تنظیممتغیرهای تحت اللفظی آن اجازه دهید قاعده ای را برای کاهش مونومیال به فرم استاندارد فرموله کنیم. بیایید تصمیم گیری را یاد بگیریم وظایف معمولیبا هر تک اسمی

موضوع:یکپارچه ها عملیات حسابی روی تک جفت ها

درس:مفهوم یکپارچه. شکل استاندارد یک مونومیال

چند نمونه را در نظر بگیرید:

3. ;

بیایید ویژگی های مشترک عبارات داده شده را پیدا کنیم. در هر سه مورد، عبارت حاصلضرب اعداد و متغیرهایی است که به یک توان افزایش یافته است. بر این اساس می دهیم تعریف یک واحد : یک جمله یک عبارت جبری است که از حاصل ضرب توان ها و اعداد تشکیل شده است.

حال مثال هایی از عباراتی می آوریم که تک اسمی نیستند:

بیایید تفاوت بین این عبارات و عبارات قبلی را پیدا کنیم. این شامل این واقعیت است که در مثال‌های 4-7 عملیات جمع، تفریق یا تقسیم وجود دارد، در حالی که در مثال‌های 1-3 که تک‌جمعی هستند، این عملیات وجود ندارد.

در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد:

عبارت شماره 8 یک تک جمله است، زیرا حاصل ضرب یک توان و یک عدد است، در حالی که مثال 9 یک تک جمله نیست.

حالا بیایید بفهمیم اقدامات روی یکپارچه ها .

1. ساده سازی. مثال شماره 3 را در نظر بگیرید و مثال شماره 2 /

در مثال دوم، ما فقط یک ضریب را می بینیم - هر متغیر فقط یک بار رخ می دهد، یعنی متغیر " آ” در یک نمونه نمایش داده می شود، به عنوان “”، به طور مشابه، متغیرهای “” و “” تنها یک بار رخ می دهند.

در مثال شماره 3، برعکس، دو ضریب مختلف وجود دارد - و، متغیر "" را دو بار می بینیم - به صورت "" و به صورت ""، به همین ترتیب، متغیر "" دو بار رخ می دهد. به این معنا که، بیان داده شدهباید ساده شود، بنابراین به آن می رسیم اولین اقدامی که روی تک‌جملات انجام می‌شود، رساندن مونومیال به فرم استاندارد است . برای این کار، عبارت از مثال 3 را به فرم استاندارد می آوریم، سپس این عملیات را تعریف می کنیم و یاد می گیریم که چگونه هر مونومی را به فرم استاندارد بیاوریم.

بنابراین یک مثال را در نظر بگیرید:

اولین گام در عملیات استانداردسازی همیشه ضرب همه عوامل عددی است:

;

نتیجه این عمل نامیده می شود ضریب تک اسمی .

در مرحله بعد، باید درجات را ضرب کنید. ما درجات متغیر را ضرب می کنیم " ایکسطبق قانون ضرب توان ها با پایه یکسان، که بیان می کند وقتی ضرب می شود، توان ها با هم جمع می شوند:

حالا بیایید توان ها را ضرب کنیم در»:

;

بنابراین در اینجا یک عبارت ساده شده است:

;

هر مونومی را می توان به شکل استاندارد کاهش داد. فرمول بندی کنیم قانون استانداردسازی :

همه عوامل عددی را ضرب کنید.

ضریب حاصل را در وهله اول قرار دهید.

همه درجات را ضرب کنید، یعنی قسمت حرف را بدست آورید.

یعنی هر تک اسمی با یک ضریب و یک قسمت حرف مشخص می شود. با نگاهی به آینده، توجه می‌کنیم که تک‌جملاتی که دارای حروف یکسان هستند، مشابه نامیده می‌شوند.

حالا شما نیاز به کسب درآمد دارید تکنیک کاهش تک‌جملات به فرم استاندارد . نمونه هایی از کتاب درسی را در نظر بگیرید:

تکلیف: یک جمله را به فرم استاندارد بیاورید، ضریب و قسمت حرف را نام ببرید.

برای تکمیل کار از قاعده رساندن مونومیال به فرم استاندارد و خصوصیات درجات استفاده می کنیم.

1. ;

3. ;

نظرات در مورد مثال اول: برای شروع، بیایید تعیین کنیم که آیا این عبارت واقعاً یک جمله است یا خیر، برای این کار بررسی می کنیم که آیا شامل عملیات ضرب اعداد و توان ها است و آیا شامل عملیات جمع، تفریق یا تقسیم است. از آنجایی که شرط فوق برآورده می شود، می توان گفت که این عبارت یک جمله است. علاوه بر این، با توجه به قاعده آوردن یک جمله به فرم استاندارد، ضرایب عددی را ضرب می کنیم:

- ضریب تک جمله ای را پیدا کرده ایم.

; ; ; یعنی قسمت تحت اللفظی عبارت دریافت می شود:;

پاسخ را یادداشت کنید:

نظرات در مورد مثال دوم: طبق قانون اجرا می کنیم:

1) ضرب عوامل عددی:

2) توان ها را ضرب کنید:

متغیرها و در یک نسخه ارائه می شوند ، یعنی با هیچ چیز نمی توان آنها را ضرب کرد ، بدون تغییر بازنویسی می شوند ، درجه ضرب می شود:

جواب را یادداشت کنید:

;

AT این مثالضریب تک جمله برابر با یک و جزء تحت اللفظی برابر است.

نظرات در مورد مثال سوم: الفمشابه مثال های قبلی، اقدامات زیر را انجام می دهیم:

1) ضرب عوامل عددی:

;

2) توان ها را ضرب کنید:

;

پاسخ را بنویسید:

در این مورد، ضریب تک جمله برابر با ""، و جزء تحت اللفظی است .

حال در نظر بگیرید دومین عملیات استاندارد روی تک اسم ها . از آنجایی که یک جمله یک عبارت جبری متشکل از متغیرهای تحت اللفظی است که می تواند مقادیر عددی خاصی را به خود بگیرد، یک عبارت عددی حسابی داریم که باید محاسبه شود. یعنی عملیات زیر روی چند جمله ای ها می باشد محاسبه مقدار عددی خاص آنها .

یک مثال را در نظر بگیرید. تک نام داده شده است:

این تک جمله قبلاً به شکل استاندارد کاهش یافته است، ضریب آن برابر با یک و قسمت تحت اللفظی است

قبلاً گفتیم که یک عبارت جبری همیشه قابل محاسبه نیست، یعنی متغیرهایی که وارد آن می شوند ممکن است هیچ مقداری نگیرند. در مورد مونومیال، متغیرهای موجود در آن می توانند هر کدام باشند، این یکی از ویژگی های مونومیال است.

بنابراین، در مثال داده شده، لازم است مقدار یک جمله برای , , , , محاسبه شود.

ما اشاره کردیم که هر یکنواختی می تواند باشد به فرم استاندارد برسانید. در این مقاله متوجه خواهیم شد که به چه چیزی تبدیل یک مونومیال به فرم استاندارد گفته می شود، چه اقداماتی امکان انجام این فرآیند را می دهد و راه حل های مثال هایی را با توضیحات مفصل در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

منظور از آوردن مونومیال به فرم استاندارد چیست؟

کار با تک اسم ها زمانی که به شکل استاندارد نوشته می شوند راحت است. با این حال، تک اسم ها اغلب به شکلی متفاوت از شکل استاندارد ارائه می شوند. در این موارد، همیشه می‌توان با انجام تبدیل‌های یکسان، از تک‌جملی اصلی به تک‌جمله‌ای استاندارد رفت. فرآیند انجام چنین تبدیل‌هایی را رساندن مونومیال به فرم استاندارد می‌گویند.

اجازه دهید استدلال فوق را تعمیم دهیم. مونومیال را به فرم استاندارد بیاورید- این بدان معنی است که چنین تبدیلات یکسانی را با آن انجام دهید تا شکل استانداردی به خود بگیرد.

چگونه مونومیال را به فرم استاندارد برسانیم؟

زمان آن فرا رسیده است که بفهمیم چگونه تک اسم ها را به فرم استاندارد بیاوریم.

همانطور که از تعریف مشخص است، تک‌جملات یک فرم غیر استاندارد حاصل اعداد، متغیرها و توان آنها و احتمالاً تکرار می‌شوند. و مونومی فرم استاندارد می تواند در رکورد خود فقط یک عدد و متغیرهای تکرار نشدنی یا درجات آنها را داشته باشد. حال باید فهمید که چگونه می توان محصولات نوع اول را به شکل دوم کاهش داد؟

برای این کار باید از موارد زیر استفاده کنید قانون برای کاهش یک تک اسمی به فرم استانداردشامل دو مرحله:

• ابتدا گروه بندی عوامل عددی و همچنین متغیرهای یکسان و درجات آنها انجام می شود.
• ثانیاً حاصل ضرب اعداد محاسبه و اعمال می شود.

در نتیجه اعمال قاعده بیان شده، هر تک نامی به فرم استاندارد کاهش می یابد.

مثال ها، راه حل ها

باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه از قانون پاراگراف قبل در حل مثال استفاده کنید.

مثال.

مونومی 3·x·2·x 2 را به فرم استاندارد بیاورید.

راه حل.

بیایید عوامل عددی و عوامل را با متغیر x گروه بندی کنیم. پس از گروه بندی، تک نام اصلی به شکل (3 2) (x x 2) خواهد بود. حاصل ضرب اعداد در پرانتز اول 6 است و قانون ضرب توان ها با پایه های یکسان اجازه می دهد تا عبارت در پرانتز دوم به صورت x 1 +2 = x 3 نمایش داده شود. در نتیجه، یک چند جمله ای از فرم استاندارد 6·x 3 به دست می آوریم.

در اینجا خلاصه ای از راه حل است: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

پاسخ:

3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

پس برای اینکه یک تک اسمی به فرم استاندارد برسیم، باید بتوان فاکتورها را گروه بندی کرد، ضرب اعداد را انجام داد و با توان ها کار کرد.

برای تجمیع مطالب، اجازه دهید یک مثال دیگر را حل کنیم.

مثال.

یک جمله را به صورت استاندارد بیان کنید و ضریب آن را نشان دهید.

راه حل.

مونومی اصلی دارای یک عامل عددی منفرد -1 در نماد خود است، اجازه دهید آن را به ابتدا منتقل کنیم. پس از آن، عوامل را جداگانه با متغیر a گروه بندی می کنیم، جداگانه - با متغیر b، و چیزی برای گروه بندی متغیر m وجود ندارد، آن را به حال خود رها کنید، داریم . پس از انجام عملیات با درجه در پرانتز، مونومیال شکل استاندارد مورد نیاز ما را به خود می گیرد، از آنجا می توانید ضریب تک جمله را برابر با 1- ببینید. منهای یک را می توان با علامت منفی جایگزین کرد: .

عبارات ریاضی مختلفی در ریاضیات وجود دارد و برخی از آنها نام ثابت خود را دارند. ما باید با یکی از این مفاهیم آشنا شویم - این یک واحد است.

یک جمله یک عبارت ریاضی است که از حاصل ضرب اعداد، متغیرهایی تشکیل شده است که هر کدام را می توان تا حدی در حاصلضرب گنجاند. برای درک بهتر مفهوم جدید، باید خود را با چندین مثال آشنا کنید.

نمونه هایی از تک اسم ها

عبارات 4، x^2، -3*a^4، 0.7*c، ¾*y^2 تک قلو هستندهمانطور که می بینید، یک عدد یا یک متغیر به تنهایی (با یا بدون توان) نیز یک تک جمله است. اما، برای مثال، عبارات 2+с، 3*(y^2)/x، a^2 –x^2 قبلا یکنواخت نیستندزیرا با تعریف مطابقت ندارند. عبارت اول از «جمع» استفاده می کند که مجاز نیست، دومی از «تقسیم» استفاده می کند و سومی از تفاوت استفاده می کند.

در نظر گرفتن چند نمونه دیگر

به عنوان مثال، عبارت 2*a^3*b/3 نیز یک جمله است، اگرچه تقسیم در آنجا وجود دارد. اما در این حالت تقسیم بر یک عدد اتفاق می افتد و بنابراین عبارت مربوطه را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: 2/3*a^3*b. یک مثال دیگر:کدام یک از عبارات 2/x و x/2 یک جمله است و کدام نیست؟ به درستی پاسخ دهید که عبارت اول یک جمله نیست، بلکه عبارت دوم است.

شکل استاندارد یک مونومیال

به دو عبارت یکنواخت زیر نگاه کنید: ¾*a^2*b^3 و 3*a*1/4*b^3*a. در واقع این دو تک اسمی یکسان هستند. آیا این درست نیست که عبارت اول راحت تر از دومی به نظر می رسد؟

دلیل این امر این است که عبارت اول به صورت استاندارد نوشته شده است. شکل استاندارد چند جمله ای حاصل ضربی است که از یک عامل عددی و توان متغیرهای مختلف تشکیل شده است. عامل عددی را ضریب تک اسمی می نامند.

برای اینکه مونومی را به شکل استاندارد خود برسانید، کافی است تمام فاکتورهای عددی موجود در یک جمله را ضرب کرده و عدد حاصل را در وهله اول قرار دهید. سپس تمام توان هایی را که پایه حروف یکسانی دارند ضرب کنید.

کاهش یک تک اسمی به شکل استاندارد آن

اگر در مثال خود در عبارت دوم، همه ضرایب عددی را 3 * 1/4 ضرب کنیم و سپس a * a را ضرب کنیم، اولین تک جمله ای به دست می آید. به این عمل رساندن مونومیال به شکل استاندارد آن گفته می شود.

اگر دو تک جمله ای فقط با یک ضریب عددی با هم تفاوت داشته باشند یا با یکدیگر مساوی باشند، در ریاضیات به این تک جمله ها مشابه می گویند.

یکنواختعبارتی است که حاصل ضرب دو یا چند عامل است که هر یک عددی است که با یک حرف، اعداد یا توان (با یک عدد صحیح غیر منفی) بیان می‌شود:

2آ, آ 3 ایکس, 4abc, -7ایکس

از آنجایی که حاصل ضرب عوامل یکسان را می توان به عنوان یک درجه نوشت، پس یک درجه (با یک نماگر عدد صحیح غیر منفی) نیز یک تک جمله است:

(-4) 3 , ایکس 5 ,

از آنجایی که یک عدد (کل یا کسری) که با یک حرف یا اعداد بیان می شود را می توان به عنوان حاصلضرب این عدد با یک نوشت، پس هر عدد منفرد را نیز می توان به عنوان یک تک جمله در نظر گرفت:

ایکس, 16, -آ,

شکل استاندارد یک مونومیال

شکل استاندارد یک مونومیال- این یک مونومی است که فقط یک عامل عددی دارد که در وهله اول باید نوشته شود. همه متغیرها به ترتیب حروف الفبا هستند و فقط یک بار در تک نام قرار می گیرند.

اعداد، متغیرها و درجات متغیرها نیز به تک‌جملات فرم استاندارد اشاره دارند:

7, ب, ایکس 3 , -5ب 3 z 2 - تک اسم های فرم استاندارد.

ضریب عددی یک تک جمله ای فرم استاندارد نامیده می شود ضریب تک اسمی. ضرایب تک اسمی برابر با 1 و -1 معمولاً نوشته نمی شوند.

اگر هیچ عامل عددی در تک جمله ای فرم استاندارد وجود نداشته باشد، فرض می شود که ضریب تک جمله 1 است:

ایکس 3 = 1 ایکس 3

اگر ضریب عددی در تک جمله ای شکل استاندارد وجود نداشته باشد و قبل از آن علامت منفی باشد، ضریب تک جمله 1- است:

-ایکس 3 = -1 ایکس 3

کاهش یک مونومیال به فرم استاندارد

برای رساندن مونومیال به فرم استاندارد، باید:

1. در صورت وجود چند فاکتور عددی را ضرب کنید. اگر ضریب عددی دارای توان باشد، آن را به توان برسانید. ضریب اعداد را در وهله اول قرار دهید.
2. همه متغیرهای یکسان را طوری ضرب کنید که هر متغیر فقط یک بار در مونومیال رخ دهد.
3. متغیرها را بعد از فاکتور عددی به ترتیب حروف الفبا مرتب کنید.

مثال.یک جمله را به شکل استاندارد بیان کنید:

الف) 3 yx 2 (-2) y 5 ایکس; ب) 6 قبل از میلاد مسیح 0.5 ab 3

راه حل:

الف) 3 yx 2 (-2) y 5 ایکس= 3 (-2) ایکس 2 ایکسyy 5 = -6ایکس 3 y 6
ب) 6 قبل از میلاد مسیح 0.5 ab 3 = 6 0.5 abب 3 ج = 3ab 4 ج

درجه یک مونومیال

درجه یک مونومیالمجموع نماهای تمام حروف موجود در آن است.

اگر یک تک جمله یک عدد باشد، یعنی دارای متغیر نباشد، درجه آن برابر با صفر در نظر گرفته می شود. مثلا:

5، -7، 21 - تک جملات صفر درجه.

بنابراین، برای یافتن درجه یک تک اسمی، باید توان هر یک از حروف موجود در آن را تعیین کنید و این توان ها را اضافه کنید. اگر نماي حرف مشخص نشده باشد برابر يك است.

مثال ها:

پس چطوری ایکستوان مشخص نشده است، به این معنی که برابر با 1 است. مونومی حاوی متغیرهای دیگری نیست، به این معنی که درجه آن برابر با 1 است.

مونومی فقط دارای یک متغیر در درجه دوم است، بنابراین درجه این تک جمله 2 است.

3) ab 3 ج 2 د

فهرست مطالب آبرابر با 1، نشانگر است ب- 3، نشانگر ج- 2، نشانگر د- 1. درجه این یکنواختی برابر است با مجموع این شاخص ها.

تک نام ها حاصل ضرب اعداد، متغیرها و توان آنها هستند. اعداد، متغیرها و درجات آنها نیز تک جمله در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال: 12ac، -33، a^2b، a، c^9. یک جمله 5aa2b2b را می توان به شکل 20a^2b^2 تقلیل داد.به این شکل فرم استاندارد تک جمله می گویند.یعنی شکل استاندارد تک جمله حاصل ضرب ضریب (که اول می آید) و توان های متغیرها ضرایب 1 و -1 نوشته نمی شوند، اما منهای 1- را حفظ می کنند. مونومیال و شکل استاندارد آن

عبارات 5a2x، 2a3(-3)x2، b2x حاصل ضرب اعداد، متغیرها و توان آنها هستند. به این گونه عبارات تک جملهی می گویند. تک نام ها نیز اعداد، متغیرها و توان آنها در نظر گرفته می شوند.

به عنوان مثال، عبارات - 8، 35، y و y2 یک جمله هستند.

شکل استاندارد یک تک جمله یک تک جمله ای است که به شکل حاصلضرب یک عامل عددی در وهله اول و توان متغیرهای مختلف است. هر تک اسمی را می توان با ضرب همه متغیرها و اعداد موجود در آن به شکل استاندارد در آورد. در اینجا مثالی از آوردن یک تک اسمی به فرم استاندارد آورده شده است:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

ضریب عددی یک تک جمله ای که به شکل استاندارد نوشته می شود را ضریب تک جمله می گویند. به عنوان مثال، ضریب تک جمله -7x2y2 -7 است. ضرایب تک‌جملات x3 و -xy برابر با 1 و -1 در نظر گرفته می‌شوند، زیرا x3 = 1x3 و -xy = -1xy

درجه یک تک جمله مجموع توان همه متغیرهای موجود در آن است. اگر مونومی متغییر نباشد یعنی عدد باشد درجه آن برابر صفر در نظر گرفته می شود.

به عنوان مثال، درجه مونومی 8x3yz2 6، مونومیال 6x برابر با 1 و مونومی 10- 0 است.

ضرب تک جفت ها. بالا بردن تک اسم ها به یک قدرت

هنگام ضرب تک جملات و افزایش توان به توان از قانون ضرب توان با پایه یکسان و قانون افزایش توان به توان استفاده می شود. در این حالت یک مونومیال به دست می آید که معمولاً به شکل استاندارد نشان داده می شود.

مثلا

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6