Lekcia "Pojem jednočlena. Štandardná forma jednočlena" metodický vývoj v algebre na danú tému. Redukcia monomiálu na štandardný tvar, príklady, riešenia Algoritmus na redukciu monomiálu na štandardný tvar
V tejto lekcii uvedieme prísnu definíciu monomiálu, zvážte rôzne príklady z učebnice. Pripomeňme si pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom. Uveďme definíciu štandardného tvaru jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho doslovnú časť. Uvažujme o dvoch základných typických operáciách na monomiáliách, a to o redukcii na štandardný tvar a výpočte konkrétnej číselnej hodnoty monomílu pre nastavené hodnoty jeho doslovné premenné. Sformulujme pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardný tvar. Naučme sa rozhodovať typické úlohy s akýmikoľvek monomámi.
téma:monomiály. Aritmetické operácie s jednočlenmi
lekcia:Koncept monomiálu. Štandardná forma monomiálu
Zvážte niekoľko príkladov:
3. 
;
Nájdime spoločné znaky pre dané výrazy. Vo všetkých troch prípadoch je výraz súčinom čísel a premenných umocnených na mocninu. Na základe toho dávame definícia monomiálu : jednočlen je algebraický výraz, ktorý pozostáva zo súčinu mocnín a čísel.
Teraz uvádzame príklady výrazov, ktoré nie sú jednočlenné:
Nájdime rozdiel medzi týmito výrazmi a predchádzajúcimi. Spočíva v tom, že v príkladoch 4-7 sú operácie sčítania, odčítania alebo delenia, kým v príkladoch 1-3, ktoré sú jednočlenné, tieto operácie nie sú.
Tu je niekoľko ďalších príkladov:
Výraz číslo 8 je jednočlenný, pretože je súčinom mocniny a čísla, zatiaľ čo príklad 9 jednočlenný nie je.
Teraz to poďme zistiť akcie na monomály .
1. Zjednodušenie. Zvážte príklad č. 3 ;a príklad č. 2 /
V druhom príklade vidíme iba jeden koeficient - , každá premenná sa vyskytuje iba raz, teda premenná " a“ je reprezentovaný v jedinom prípade ako „“, podobne aj premenné „“ a „“ sa vyskytujú iba raz.
V príklade č. 3 sú naopak dva rôzne koeficienty - a , premennú "" vidíme dvakrát - ako "" a ako "", podobne premenná "" sa vyskytuje dvakrát. teda daný výraz by mali byť zjednodušené, takže sa dostávame k prvou akciou vykonanou na monomiách je uvedenie monomiálu do štandardnej formy . Aby sme to dosiahli, prenesieme výraz z príkladu 3 do štandardného tvaru, potom definujeme túto operáciu a naučíme sa, ako preniesť ľubovoľný monomický tvar do štandardného tvaru.
Takže zvážte príklad:
Prvým krokom v operácii štandardizácie je vždy vynásobenie všetkých číselných faktorov:
;
Výsledok tejto akcie bude vyvolaný monomiálny koeficient .
Ďalej musíte vynásobiť stupne. Vynásobíme stupne premennej " X“podľa pravidla pre násobenie mocnín s rovnakým základom, ktoré hovorí, že pri násobení sa exponenty spočítajú:
Teraz znásobme sily pri»:
;
Takže tu je zjednodušený výraz:
;
Akýkoľvek monomiál môže byť zredukovaný na štandardnú formu. Poďme formulovať štandardizačné pravidlo :
Vynásobte všetky číselné faktory;
Dajte výsledný koeficient na prvé miesto;
Vynásobte všetky stupne, to znamená, že získate časť písmena;
To znamená, že akýkoľvek monomiál je charakterizovaný koeficientom a písmenom. Pri pohľade do budúcnosti si všimneme, že monomály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné.
Teraz musíte zarobiť technika na redukciu monomiálov na štandardnú formu . Zvážte príklady z učebnice:
Úloha: priveďte jednohlas do štandardného tvaru, pomenujte koeficient a písmenovú časť.
Na dokončenie úlohy používame pravidlo uvedenia monomiálu do štandardného tvaru a vlastnosti stupňov.
1. 
;
3. 
;
Komentáre k prvému príkladu: Na začiatok určme, či je tento výraz skutočne jednočlenný, preto skontrolujeme, či obsahuje operácie násobenia čísel a mocnín a či obsahuje operácie sčítania, odčítania alebo delenia. Môžeme povedať, že tento výraz je jednočlenný, pretože vyššie uvedená podmienka je splnená. Ďalej, podľa pravidla uvedenia monomiálu do štandardnej formy, vynásobíme číselné faktory:
- našli sme koeficient daného monomiálu;
; ; ; to znamená, že sa prijíma doslovná časť výrazu:;
zapíšte odpoveď: ;
Komentáre k druhému príkladu: Podľa pravidla vykonáme:
1) vynásobte číselné faktory:
2) vynásobte mocniny:
Premenné a sú prezentované v jednej kópii, to znamená, že ich nemožno s ničím násobiť, prepisujú sa bez zmien, stupeň sa násobí:
napíš odpoveď:
;
AT tento príklad koeficient jednočlenu sa rovná jednej a doslovná časť je .
Komentáre k tretiemu príkladu: a podobne ako v predchádzajúcich príkladoch vykonáme nasledujúce akcie:
1) vynásobte číselné faktory:
;
2) vynásobte mocniny:
;
napíš odpoveď: ;
V tomto prípade sa koeficient monomiálu rovná "" a doslovnej časti 
.
Teraz zvážte druhá štandardná operácia na monomiáliách . Keďže monomický výraz je algebraický výraz pozostávajúci z doslovných premenných, ktoré môžu nadobúdať špecifické číselné hodnoty, máme aritmetický číselný výraz, ktorý by sa mal vypočítať. To znamená, že nasledujúca operácia s polynómami je výpočet ich konkrétnej číselnej hodnoty .
Zvážte príklad. Monomial je daný:
tento jednočlen už bol zredukovaný na štandardnú formu, jeho koeficient sa rovná jednej a doslovná časť
Predtým sme povedali, že algebraický výraz nemožno vždy vypočítať, to znamená, že premenné, ktoré do neho vstupujú, nemusia mať žiadnu hodnotu. V prípade monomiálu môžu byť premenné v ňom zahrnuté ľubovoľné, to je vlastnosť monomiálu.
Takže v uvedenom príklade je potrebné vypočítať hodnotu monomiálu pre , , , .
Poznamenali sme, že môže byť akýkoľvek monomiál uviesť do štandardnej formy. V tomto článku pochopíme, čo sa nazýva redukcia monomiálu na štandardnú formu, aké akcie umožňujú vykonať tento proces a zvážime riešenia príkladov s podrobnými vysvetleniami.
Navigácia na stránke.
Čo to znamená uviesť monomiál do štandardnej formy?
Je výhodné pracovať s monomály, keď sú napísané v štandardnej forme. Monomály sa však pomerne často uvádzajú v inej forme ako je štandardná. V týchto prípadoch je možné vždy prejsť z pôvodného monomiálu na štandardný monomický tvar vykonaním rovnakých transformácií. Proces vykonávania takýchto transformácií sa nazýva uvedenie monomiálu do štandardnej formy.
Zovšeobecnme vyššie uvedené úvahy. Preneste monomial do štandardnej formy- to znamená vykonať s ním také identické transformácie, aby nadobudol štandardnú podobu.
Ako priviesť monomial do štandardnej formy?
Je čas prísť na to, ako preniesť monomiály do štandardnej formy.
Ako je známe z definície, monomiály neštandardného tvaru sú súčinom čísel, premenných a ich mocničiek, prípadne opakujúcich sa. A jednočlen štandardného tvaru môže vo svojom zázname obsahovať len jedno číslo a neopakujúce sa premenné alebo ich stupne. Teraz zostáva pochopiť, ako možno produkty prvého typu zredukovať na formu druhého?
Ak to chcete urobiť, musíte použiť nasledujúce pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardnú formu pozostáva z dvoch krokov:
- Najprv sa vykoná zoskupenie číselných faktorov, ako aj identických premenných a ich stupňov;
- Po druhé, vypočíta sa a použije súčin čísel.
V dôsledku uplatnenia uvedeného pravidla sa akýkoľvek monomál zredukuje na štandardnú formu.
Príklady, Riešenia
Zostáva naučiť sa aplikovať pravidlo z predchádzajúceho odseku pri riešení príkladov.
Príklad.
Uveďte jednočlen 3·x·2·x 2 do štandardnej formy.
Riešenie.
Zoskupme číselné faktory a faktory s premennou x . Po zoskupení bude mať pôvodný jednočlen tvar (3 2) (x x 2) . Súčin čísel v prvých zátvorkách je 6 a pravidlo pre násobenie mocnín s rovnakými základmi umožňuje, aby bol výraz v druhých zátvorkách vyjadrený ako x 1 + 2 = x 3. Výsledkom je polynóm štandardného tvaru 6·x 3 .
Tu je zhrnutie riešenia: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
odpoveď:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Na to, aby sa monomický tvar dostal do štandardného tvaru, je potrebné vedieť zoskupovať faktory, vykonávať násobenie čísel a pracovať s mocninami.
Na konsolidáciu materiálu vyriešme ešte jeden príklad.
Príklad.
Vyjadrite jednočlen v štandardnej forme a uveďte jeho koeficient.
Riešenie.
Pôvodný jednočlen má vo svojom zápise jediný číselný činiteľ −1, posuňme ho na začiatok. Potom faktory zoskupíme samostatne s premennou a , samostatne - s premennou b a premennú m už nie je čo zoskupovať, nechajme to tak, máme 
. Po vykonaní operácií so stupňami v zátvorkách nadobudne monomický tvar štandardný tvar, ktorý potrebujeme, odkiaľ môžete vidieť koeficient monomizmu rovný −1. Mínus jedna môže byť nahradený znamienkom mínus: .
V matematike existuje veľa rôznych matematických výrazov a niektoré z nich majú svoje pevné názvy. Musíme sa zoznámiť s jedným z týchto pojmov - toto je monomial.
Monomial je matematický výraz, ktorý pozostáva zo súčinu čísel, premenných, z ktorých každá môže byť do určitej miery zahrnutá do súčinu. Aby ste lepšie porozumeli novému konceptu, musíte sa oboznámiť s niekoľkými príkladmi.
Príklady monočlenov
Výrazy 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sú singletony. Ako vidíte, samotné číslo alebo premenná (s mocninou alebo bez nej) je tiež jednočlen. Ale napríklad výrazy 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sú už nie sú monomiálne pretože nezodpovedajú definícii. Prvý výraz používa „súčet“, čo nie je povolené, druhý výraz „delenie“ a tretí používa rozdiel.
Zvážte ešte pár príkladov.
Napríklad výraz 2*a^3*b/3 je tiež jednočlenný, hoci delenie je tam prítomné. Ale v tomto prípade dochádza k deleniu číslom, a preto je možné zodpovedajúci výraz prepísať takto: 2/3*a^3*b. Ešte jeden príklad: Ktorý z výrazov 2/x a x/2 je jednočlenný a ktorý nie? správne odpovedzte, že prvý výraz nie je jednočlenný, ale druhý.
Štandardná forma monomiálu
Pozrite sa na nasledujúce dva jednočlenné výrazy: ¾*a^2*b^3 a 3*a*1/4*b^3*a. V skutočnosti ide o dva rovnaké monomiály. Nie je pravda, že prvý výraz vyzerá pohodlnejšie ako druhý?
Dôvodom je, že prvý výraz je napísaný v štandardnej forme. Štandardná forma polynómu je súčin tvorený číselným faktorom a mocninami rôznych premenných. Číselný faktor sa nazýva monomiálny koeficient.
Aby sme dostali monomický tvar do štandardného tvaru, stačí vynásobiť všetky číselné faktory prítomné v monomíle a výsledné číslo dať na prvé miesto. Potom vynásobte všetky mocniny, ktoré majú rovnaký základ písmen.
Redukcia monomiálu na jeho štandardnú formu
Ak v našom príklade v druhom výraze vynásobíme všetky číselné faktory 3 * 1/4 a potom vynásobíme a * a, dostaneme prvý jednočlen. Táto akcia sa nazýva uvedenie monomiálu do jeho štandardnej formy.
Ak sa dva monomály líšia iba číselným koeficientom alebo sú si navzájom rovné, potom sa takéto monomály v matematike nazývajú podobné.
Monomiálny je výraz, ktorý je výsledkom dvoch alebo viacerých faktorov, z ktorých každý je číslo vyjadrené písmenom, číslicami alebo mocninou (s nezáporným exponentom celého čísla):
2a, a 3 X, 4abc, -7X
Keďže súčin identických faktorov možno zapísať ako stupeň, potom jeden stupeň (s nezáporným celočíselným exponentom) je tiež monomický:
(-4) 3 , X 5 ,
Keďže číslo (celé alebo zlomkové), vyjadrené písmenom alebo číslami, možno zapísať ako súčin tohto čísla jednotkou, potom každé jednotlivé číslo možno považovať za jednočlenné:
X, 16, -a,
Štandardná forma monomiálu
Štandardná forma monomiálu- ide o jednočlen, ktorý má len jeden číselný činiteľ, ktorý treba zapísať na prvom mieste. Všetky premenné sú v abecednom poradí a sú obsiahnuté v monomiáli iba raz.
Čísla, premenné a stupne premenných sa vzťahujú aj na monomály štandardného tvaru:
7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomály štandardného tvaru.
Číselný faktor štandardného tvarového monomiálu sa nazýva monomiálny koeficient. Monomické koeficienty rovné 1 a -1 sa zvyčajne nepíšu.
Ak v monomiáli štandardnej formy nie je žiadny číselný faktor, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je 1:
X 3 = 1 X 3
Ak v monomiáli štandardného tvaru nie je žiadny číselný faktor a predchádza mu znamienko mínus, potom sa predpokladá, že koeficient monomiálu je -1:
-X 3 = -1 X 3
Redukcia monomiálu na štandardnú formu
Ak chcete previesť monomial do štandardnej formy, musíte:
- Vynásobte číselné faktory, ak ich je niekoľko. Zvýšte číselný faktor na mocninu, ak má exponent. Na prvé miesto dajte násobiteľa čísel.
- Vynásobte všetky identické premenné tak, aby sa každá premenná vyskytla v monomiáli iba raz.
- Usporiadajte premenné za číselným faktorom v abecednom poradí.
Príklad. Vyjadrite jednočlen v štandardnej forme:
a) 3 yx 2 (-2) r 5 X; b) 6 bc 0,5 ab 3
Riešenie:
a) 3 yx 2 (-2) r 5 X= 3 (-2) X 2 Xrr 5 = -6X 3 r 6
b) 6 bc 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Stupeň monomiálu
Stupeň monomiálu je súčet exponentov všetkých písmen v ňom.
Ak je jednočlen číslo, to znamená, že neobsahuje premenné, potom sa jeho stupeň považuje za rovný nule. Napríklad:
5, -7, 21 - jednostupňové nula.
Preto, aby ste našli stupeň monomiálu, musíte určiť exponent každého z písmen v ňom zahrnutých a tieto exponenty pridať. Ak nie je zadaný exponent písmena, potom sa rovná jednej.
Príklady:
Takže ako sa máš X exponent nie je určený, to znamená, že je rovný 1. Monomial neobsahuje ďalšie premenné, čiže jeho stupeň je rovný 1.
Monomial obsahuje iba jednu premennú v druhom stupni, takže stupeň tohto monomiálu je 2.
3) ab 3 c 2 d
Index a sa rovná 1, indikátor b- 3, indikátor c- 2, indikátor d- 1. Stupeň tohto monomiálu sa rovná súčtu týchto ukazovateľov.
Monomiály sú produkty čísel, premenných a ich mocničiek. Čísla, premenné a ich stupne sa tiež považujú za jednočlenné. Napríklad: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednočlen 5aa2b2b možno redukovať na tvar 20a^2b^2. Tento tvar sa nazýva štandardný tvar monočlenu. To znamená, že štandardný tvar monočlenu je súčinom koeficientu (ktorý je na prvom mieste) a mocničiek premenných. Koeficienty 1 a -1 sa nepíšu, ale zachovávajú si mínus od -1. Monomiálny a jeho štandardná forma
Výrazy 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x sú súčinom čísel, premenných a ich mocnín. Takéto výrazy sa nazývajú monomiály. Monomiály sa tiež považujú za čísla, premenné a ich stupne.
Napríklad výrazy - 8, 35, y a y2 sú jednočlenné.
Štandardná forma monomiálu je monomizmus vo forme súčinu číselného faktora v prvom rade a mocnín rôznych premenných. Akýkoľvek monomiál môže byť uvedený do štandardnej formy vynásobením všetkých premenných a čísel, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Tu je príklad uvedenia monomiálu do štandardného tvaru:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Číselný faktor jednočlenu zapísaného v štandardnom tvare sa nazýva koeficient jednočlena. Napríklad koeficient monomiálu -7x2y2 je -7. Koeficienty monočlenov x3 a -xy sa považujú za rovné 1 a -1, pretože x3 = 1x3 a -xy = -1xy
Stupeň monomiálu je súčet exponentov všetkých premenných v ňom zahrnutých. Ak monomiál neobsahuje premenné, to znamená, že ide o číslo, potom sa jeho stupeň považuje za rovný nule.
Napríklad stupeň 8x3yz2 monomiálu je 6, 6x monomiálu je 1 a -10 monomiálu je 0.
Násobenie monomilov. Povýšenie monomálov na moc
Pri násobení monomílov a zvyšovaní mocnin na mocninu sa používa pravidlo násobenia mocnin s rovnakým základom a pravidlo zvyšovania mocniny na mocninu. V tomto prípade sa získa monomial, ktorý je zvyčajne reprezentovaný v štandardnej forme.
Napríklad
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6