Zopakovanie teórie a riešenie typických úloh o kolmosti priamky a roviny (pokračovanie). Kolmica a rovina, znamienko a podmienky kolmosti priamky a roviny Lekcia: Opakovanie teórie a riešenie typických úloh na

V tejto lekcii si zopakujeme prebranú teóriu a budeme pokračovať v riešení typických úloh o kolmosti priamky a roviny.
Najprv si zopakujeme vetu-atribút kolmosti priamky a roviny. A potom vyriešime problémy pomocou tejto funkcie.

Téma: Kolmosť priamok a rovín

Lekcia: Opakovanie teórie a riešenie typických problémov na

kolmosť priamky a roviny (pokračovanie)

V tejto lekcii si zopakujeme prebratú teóriu a budeme pokračovať riešenie typických úloh o kolmosti priamky a roviny.

Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

Dajme nám rovinu α. V tejto rovine sú dve priame čiary. p a q, pretínajúce sa v bode O(obr. 1). Rovno a kolmo na priamku p a priamy q. Podľa znamenia rovno a je kolmá na rovinu α, teda kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

3. Webová stránka učiteľa matematiky()

1. Sformulujte znak kolmosti priamky a roviny.

2. Daný kruh so stredom v bode O. Rovno MO kolmo na rovinu kruhu. Dokážte, že linka MO kolmo na ľubovoľný polomer kruhu.

3. V trojuholníku ABC držaná výška CH. Rovno MA kolmo na rovinu ABC. Je čiara kolmá? CH lietadlo AMV?

4. Priame MA kolmo na rovinu štvorca ABCD. Nájdite dĺžku segmentov PANI,MB, MUDr ak je strana štvorca a, AM = b.



















Späť dopredu

Pozor! Náhľad snímky slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Trieda: 10.

Základný návod: Geometria 10-11: základné a profilové úrovne / L.S. Atanasyan a ďalší - M.: Vzdelávanie, 2009.

Hodinu sprevádza prezentácia, test vyrobený v Microsoft Excel na počítačové testovanie vedomostí žiakov ( Príloha 1), vzdelávací modul Federálneho centra pre informačné a vzdelávacie zdroje ( Príloha 2), ktorý pozostáva z 5 úloh rôznej náročnosti. Všetky úlohy tohto modulu sú parametrizované, čo umožňuje vytvárať jednotlivé úlohy. Úlohy sú určené na rozvoj zručností pri riešení úloh pomocou znamienka kolmosti priamky a roviny. Ak chcete pracovať so vzdelávacím modulom, musíte si ho nainštalovať špeciálny program, ona je v Dodatok 3. V prezentácii na lekciu je samostatná práca na študovanú tému. Množstvo navrhovaného materiálu je teda nadbytočné, čo umožňuje jeho dávkovanie v závislosti od úrovne pripravenosti triedy.

Typ lekcie: lekciu tvorivej aplikácie vedomostí.

Formulár správania: workshop na riešenie kľúčových problémov.

Trávenie času: 45 minút.

Miesto lekcie v sekcii: 4 lekcie.

Ciele:

Návody:

  • "otvoriť" pojmy kolmé a naklonené k rovine;
  • budovať zručnosti:
    pozri konfigurácie, ktoré spĺňajú špecifikované podmienky;
    aplikovať definíciu priamky kolmej na rovinu, znamienka kolmosti priamky a roviny na úlohy dôkazu;
  • rozvíjať zručnosti pri riešení základných úloh o kolmosti priamky a roviny.

vyvíja sa:

  • rozvíjať priestorovú predstavivosť, logické myslenie;
  • rozvíjať samostatnosť žiakov a tvorivý postoj k realizácii úloh;
  • organizovať pochopenie výsledkov štúdia témy a spôsobov, ako ich dosiahnuť.

Vzdelávacie:

  • vychovať:
    vôľu a vytrvalosť dosiahnuť konečné výsledky pri riešení problémov;
    informačnej kultúry a kultúry komunikácie.

Metódy:čiastočne prieskumné, výskumné.

Formy organizácie činnosti: frontálna, skupinová, individuálna, samostatná práca.

Vybavenie: počítačová trieda, multimediálny projektor, plátno, počítačová prezentácia k téme, test (Príloha 1), kartičky na samostatnú prácu (Snímka 9), kartičky s teoretickými otázkami, EOR s praktickou parametrizovanou úlohou (Príloha 2).

Počas vyučovania

Organizačný moment – ​​kontrola pripravenosti triedy na vyučovaciu hodinu.

I. Motivačná a orientačná časť.

1. Aktualizácia poznatkov.

– Dnes pokračujeme v práci na téme „Kolmosť priamky a roviny“. V minulých lekciách sme „objavili“ definíciu priamky kolmej na rovinu, znak kolmosti priamky a roviny a analyzovali najjednoduchšie úlohy. Ako domácu úlohu dostal každý z vás hárok s teoretickými otázkami, mali ste si pripraviť odpovede na tieto otázky.

Pozrime sa, ako ste sa s touto úlohou vyrovnali.

Existuje osobný prieskum. (snímky 6-8).

Otázky:

  1. Je pravdivé tvrdenie: priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na priamku patriacu rovine? (nie)
  2. Môžu byť dve strany trojuholníka kolmé na rovinu súčasne? (nie, potom budú cez jeden bod prechádzať dve priamky kolmé na rovinu).
  3. Strana AB pravidelného trojuholníka ABC leží v rovine α. Môže byť priamka BC kolmá na rovinu α? (nie, odvtedy BC⊥AB, ale v pravidelnom trojuholníku sú uhly 60°).
  4. Platí tvrdenie: ak je priamka kolmá na dve priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na danú rovinu? (iba ak sa pretínajú).
  5. Rovno a kolmá na rovinu α, priamka b nie je kolmá na rovinu α. Môžu byť čiary rovnobežné? a a b? (nie, ak sa to predpokladá, potom b⊥a, čo je v rozpore s podmienkou).
  6. Je pravdivé tvrdenie: ak je priamka kolmá na rovinu, potom je kolmá na dve strany trojuholníka ležiaceho v tejto rovine? (nie, je kolmá na všetky tri strany trojuholníka ležiaceho v tejto rovine).
  7. Vrcholom štvorca ABCD je nakreslená priamka AM, kolmá na rovinu štvorca. Dokážte, že priamka AD je kolmá na rovinu prechádzajúcu priamkami AM a AB.
  8. Stredom kružnice opísanej trojuholníku ABC sa vedie priamka kolmá na rovinu trojuholníka ABC. Dokážte, že každý bod tejto priamky je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka ABC.
  9. V praxi sa zvislosť tyče kontroluje striedavým pohľadom na tyč z dvoch smerov. Ako zdôvodniť správnosť takejto kontroly?

Výsledky ústnej práce sú sčítané, odpovede študentov sú hodnotené.

2. Stanovenie učebnej úlohy.

Dnes budeme pokračovať vo formovaní schopnosti aplikovať známe tvrdenia v problémoch dokazovania a pri riešení typických problémov.

1. Ďalšia etapa práce - dvaja žiaci sú privolaní k tabuli na samostatnú prácu na kartičkách, frontálna práca sa vykonáva so zvyškom žiakov podľa hotových výkresov. Karty pre samostatnú prácu:


Úlohy pre ústnu prácu na hotových výkresoch:

Vzhľadom na to: M ABC, MBCD- obdĺžnik.

Dokázať: rovno CD⊥ABC

Vzhľadom na to: A B C D- rovnobežník.

Dokázať: rovno MO⊥ABC

Vzhľadom na to: MABC, A B C D- kosoštvorec.

Dokázať: rovno BD ⊥AMC

Vzhľadom na to: AH ⊥α, AB- naklonený.

Nájsť AB.

Vzhľadom na to: AH ⊥α, AB- naklonený.

Nájsť AH, BH.

Vzhľadom na to: AH⊥α, AB a AC- šikmý.

AB = 12, HC= 6√6. Nájsť AC.

- Chlapci, v úlohách 4-6 hovoríme o sklone k rovine. Čo si myslíte, že je myslené?

Existuje tu analógia s pojmami kolmá a šikmá k priamke, skúmané v planimetrii?

Študenti sú vyzvaní, aby si preštudovali snímku 10 prezentácie a vyriešili tieto problémy.

2. Práca vo dvojiciach – úlohy sa riešia podľa hotových nákresov.

O riešeniach sa diskutuje. Hodnotia sa odpovede jednotlivých študentov.

Ďalšou fázou lekcie je implementácia praktická úloha na počítači, pracujte s EOR.

III. Reflexno-hodnotiaca časť.

1. Výsledok práce na lekcii je test vo forme testu.

Výsledky hodiny sa sčítajú, dávajú sa známky.

2. Domáce úlohy:č. 130, 131, 145, 148. (Indikácia: použite znamienko kolmosti priamky a roviny).

Geometria. Úlohy a cvičenia na hotových výkresoch. 10-11 ročníkov. Rabinovič E.M.

M.: 2014. - 80 s.

Príručka je zostavená vo forme tabuliek a obsahuje viac ako 350 úloh. Úlohy každej tabuľky zodpovedajú konkrétnej téme kurzu školskej geometrie pre ročníky 10-11 a sú umiestnené vo vnútri tabuľky v poradí podľa zložitosti.

Učiteľ matematiky pôsobiaci na strednej škole dobre vie, aké ťažké je naučiť študentov robiť vizuálne a správne kresby pre stereometrické úlohy.

Kvôli nedostatku priestorovej predstavivosti sa pre študenta často stáva stereometrická úloha, pre ktorú si musíte urobiť kresbu sami.

To je dôvod, prečo použitie hotových výkresov pre stereometrické úlohy výrazne zvyšuje množstvo materiálu zvažovaného v lekcii, zvyšuje jeho účinnosť.

Navrhovaná príručka je doplnkovou zbierkou úloh z geometrie pre žiakov 10.-11. ročníka všeobecnovzdelávacej školy a je zameraná na učebnicu A.V. Pogorelov "Geometria 7-11". Je pokračovaním podobnej príručky pre žiakov 7. – 9. ročníka.

Formát: pdf(2014, 80. roky)

Veľkosť: 1,2 MB

Sledujte, sťahujte:drive.google ; Rghost

Formát: djvu(2006, 80. roky)

Veľkosť: 1,3 MB

Stiahnuť ▼: drive.google

Obsah
Predslov 3
Opakovanie kurzu planimetrie 5
Tabuľka 1. Riešenie trojuholníkov 5
Tabuľka 2. Oblasť trojuholníka 6
Tabuľka 3. Plocha štvoruholníka 7
Tabuľka 4. Plocha štvoruholníka 8
Stereometria. 10 trieda 9
Tabuľka 10.1. Axiómy stereometrie a ich najjednoduchšie dôsledky... 9
Tabuľka 10.2. Axiómy stereometrie a ich najjednoduchšie dôsledky. desať
Tabuľka 10.3. Paralelnosť čiar v priestore. Prekrížené čiary 11
Tabuľka 10.4. Rovnobežnosť čiar a rovín 12
Tabuľka 10.5. Znak rovnobežných rovín 13
Tabuľka 10.6. Vlastnosti rovnobežných rovín 14
Tabuľka 10.7. Obraz priestorových útvarov v rovine 15
Tabuľka 10.8. Obraz priestorových útvarov v rovine 16
Tabuľka 10.9. Kolmosť priamky a roviny 17
Tabuľka 10.10. Kolmosť priamky a roviny 18
Tabuľka 10.11. Kolmé a šikmé 19
Tabuľka 10.12. Kolmé a šikmé 20
Tabuľka 10.13. Veta o troch kolmách 21
Tabuľka 10.14. Veta o troch kolmách 22
Tabuľka 10.15. Veta o troch kolmách 23
Tabuľka 10.16. Kolmosť roviny 24
Tabuľka 10.17. Kolmosť roviny 25
Tabuľka 10.18. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami 26
Tabuľka 10.19. Kartézske súradnice v priestore 27
Tabuľka 10.20. Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami 28
Tabuľka 10.21. Uhol medzi čiarou a rovinou 29
Tabuľka 10.22. Uhol medzi rovinami 30
Tabuľka 10.23. Plocha ortogonálneho priemetu polygónu 31
Tabuľka 10.24. Vektory vo vesmíre 32
Stereometria. 11 trieda 33
Tabuľka 11.1. Dihedrálny uhol. Trojstenný uhol 33
Tabuľka 11.2. Priamy hranol 34
Tabuľka 11.3. Správny hranol 35
Tabuľka 11.4. Správny hranol 36
Tabuľka 11.5. Šikmý hranol 37
Tabuľka 11.6. Rovnobežníky 38
Tabuľka 11.7. Konštrukcia rezov hranola 39
Tabuľka 11.8. Správna pyramída 40
Tabuľka 11.9. Pyramída 41
Tabuľka 11.10. Pyramída 42
Tabuľka 11.11. Pyramída. Skrátená pyramída 43
Tabuľka 11.12. Rozdelenie pyramídy 44
Tabuľka 11.13. Valec 45
Tabuľka 11.14. Kužeľ 46
Tabuľka 11.15. Kužeľ. Zrezaný kužeľ 47
Tabuľka 11.16. Lopta 48
Tabuľka 11.17. Zapísaná a opísaná guľa 49
Tabuľka 11.18. Objem rovnobežnostena je 50
Tabuľka 11.19. Zväzok hranola 51
Tabuľka 11.20. Zväzok pyramídy 52
Tabuľka 11.21. Zväzok pyramídy 53
Tabuľka 11.22. objem pyramídy. Objem zrezanej pyramídy 54
Tabuľka 11.23. Objem a plocha bočného povrchu valca..55
Tabuľka 11.24. Objem a plocha bočného povrchu kužeľa 56
Tabuľka 11.25. Objem kužeľa. Objem zrezaného kužeľa. Oblasť bočného povrchu kužeľa. Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa 57
Tabuľka 11.26. Objem lopty. Povrch lopty 58
Odpovede, návody, riešenia 59


V tomto článku si povieme niečo o kolmosti priamky a roviny. Najprv je uvedená definícia priamky kolmej na rovinu, je uvedené grafické znázornenie a príklad a je znázornené označenie kolmice a roviny. Potom sa sformuluje znak kolmosti priamky a roviny. Ďalej sa získajú podmienky, ktoré umožňujú dokázať kolmosť priamky a roviny, keď priamka a rovina sú dané nejakými rovnicami v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Kolmica a rovina – základné informácie.

Odporúčame najskôr zopakovať definíciu kolmých čiar, pretože definícia čiary kolmej na rovinu je daná kolmosťou čiar.

Definícia.

To hovoria priamka kolmá na rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

Môžete tiež povedať, že rovina je kolmá na priamku, alebo priamka a rovina sú kolmé.

Na označenie kolmosti použite ikonu formulára "". To znamená, že ak je čiara c kolmá na rovinu , potom môžeme krátko napísať .

Ako príklad priamky kolmej na rovinu možno uviesť priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve susedné steny miestnosti. Táto čiara je kolmá na rovinu a na rovinu stropu. Na lano v telocvični sa dá pozerať aj ako na priamku kolmú na rovinu podlahy.

Na záver tohto odseku článku poznamenávame, že ak je čiara kolmá na rovinu, potom sa uhol medzi čiarou a rovinou považuje za deväťdesiat stupňov.

Kolmosť priamky a roviny - znak a podmienky kolmosti.

V praxi často vyvstáva otázka: „Sú daná čiara a rovina kolmé? Aby som odpovedal, tam postačujúca podmienka pre kolmosť priamky a roviny, teda taká podmienka, ktorej splnenie zaručuje kolmosť priamky a roviny. Táto postačujúca podmienka sa nazýva znamienko kolmosti priamky a roviny. Sformulujme to vo forme vety.

Veta.

Aby bola daná priamka a rovina kolmá, stačí, aby bola priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine.

Dôkaz znamienka kolmosti priamky a roviny si môžete pozrieť v učebnici geometrie pre ročníky 10-11.

Pri riešení úloh na určenie kolmosti priamky a roviny sa často používa aj nasledujúca veta.

Veta.

Ak je jedna z dvoch rovnobežných čiar kolmá na rovinu, potom je aj druhá čiara kolmá na rovinu.

Škola uvažuje nad mnohými problémami, na riešenie ktorých sa používa znamienko kolmosti priamky a roviny, ako aj posledná veta. Tu sa nimi nebudeme zaoberať. V tejto časti článku sa zameriame na uplatnenie nasledujúcej nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť priamky a roviny.

Táto podmienka môže byť prepísaná do nasledujúcej formy.

Nechaj je smerový vektor priamky a , a je normálový vektor roviny . Pre kolmosť priamky a a roviny je potrebné a postačujúce, že a : , kde t je nejaké reálne číslo.

Dôkaz tejto nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby priamka a rovina boli kolmé, vychádza z definícií smerového vektora priamky a normálového vektora roviny.

Je zrejmé, že túto podmienku je vhodné použiť na preukázanie kolmosti priamky a roviny, keď súradnice smerového vektora priamky a súradnice normálového vektora roviny v pevnom trojrozmernom priestore sa dajú ľahko nájsť. . Platí to pre prípady, keď sú dané súradnice bodov, ktorými rovina a priamka prechádza, ako aj pre prípady, keď je priamka určená nejakými rovnicami priamky v priestore a rovina je daná rovnica roviny nejakého druhu.

Poďme sa pozrieť na niekoľko príkladov.

Príklad.

Dokážte, že čiara je kolmá a lietadlá.

Riešenie.

Vieme, že čísla v menovateľoch kanonických rovníc priamky v priestore sú zodpovedajúcimi súradnicami smerového vektora tejto priamky. Touto cestou, - smerový vektor rovný .

Koeficienty v premenných x, y a z vo všeobecnej rovnici roviny sú súradnicami normálového vektora tejto roviny, t.j. je normálový vektor roviny .

Skontrolujme splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť priamky a roviny.

Pretože , potom vektory a sú spojené vzťahom , to znamená, že sú kolineárne. Preto rovná čiara kolmo na rovinu.

Príklad.

Sú čiary kolmé? a lietadlo.

Riešenie.

Nájdite smerový vektor danej priamky a normálový vektor roviny, aby sme skontrolovali splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby priamka a rovina boli kolmé.

Smer vektor rovno je