Výpočet determinantu matice trojuholníkom. Vlastnosti určujúce. Zníženie poradia determinantu. Výpočet inverznej matice

Pojem determinantu je jedným z hlavných v kurze lineárnej algebry. Tento koncept je súčasťou LEN Štvorcových MATIC a tento článok je venovaný tomuto konceptu. Tu budeme hovoriť o determinantoch matíc, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla. V tomto prípade je determinantom reálne (alebo komplexné) číslo. Všetky ďalšie prezentácie budú odpoveďou na otázky, ako vypočítať determinant a aké vlastnosti má.

Najprv uvedieme definíciu determinantu štvorcovej matice rádu n x n ako súčet súčinov permutácií prvkov matice. Na základe tejto definície napíšeme vzorce na výpočet determinantov matíc prvého, druhého a tretieho rádu a podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých príkladov.

Ďalej prejdeme k vlastnostiam determinantu, ktoré sformulujeme vo forme viet bez dôkazu. Spôsob výpočtu determinantu sa získa jeho rozšírením na prvky riadku alebo stĺpca. Táto metóda redukuje výpočet determinantu matice rádu n na n na výpočet determinantov matíc rádu 3 na 3 alebo menej. Nezabudnite ukázať riešenia na niekoľkých príkladoch.

Na záver sa ešte zastavíme pri výpočte determinantu Gaussovou metódou. Táto metóda je vhodná na nájdenie determinantov matíc rádu väčších ako 3 x 3, pretože vyžaduje menšie výpočtové úsilie. Rozoberieme si aj riešenie príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia maticového determinantu, výpočet maticového determinantu podľa definície.

Pripomíname niekoľko pomocných pojmov.

Definícia.

Permutácia rádu č sa nazýva usporiadaná množina čísel, pozostávajúca z n prvkov.

Pre množinu obsahujúcu n prvkov existuje n! (n faktoriál) permutácií rádu n. Permutácie sa od seba líšia iba v poradí prvkov.

Uvažujme napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel: . Zapíšeme si všetky permutácie (celkovo je ich šesť, pretože ):

Definícia.

Inverzia v permutácii rádu č volá sa ľubovoľný pár indexov p a q, pre ktorý je p-tý prvok permutácie väčší ako q-tý.

V predchádzajúcom príklade je inverzia permutácie 4, 9, 7 p=2, q=3, pretože druhý prvok permutácie je 9 a je väčší ako tretí prvok, ktorý je 7 . Inverzia permutácie 9, 7, 4 budú tri páry: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) a p=2, q=3 (7>4).

Viac nás bude zaujímať počet inverzií v permutácii, než samotná inverzia.

Nech je štvorcová matica rádu n x n nad poľom reálnych (alebo komplexných) čísel. Dovoliť je množina všetkých permutácií rádu n množiny . Sada obsahuje n! permutácií. Označme k-tu permutáciu množiny ako a počet inverzií v k-tej permutácii ako .

Definícia.

Maticový determinant A existuje číslo, ktoré sa rovná .

Opíšme tento vzorec slovami. Determinant štvorcovej matice rádu n x n je súčet obsahujúci n! podmienky. Každý člen je súčinom n prvkov matice a každý súčin obsahuje prvok z každého riadka a z každého stĺpca matice A. Koeficient (-1) sa objaví pred k-tým členom, ak sú prvky matice A v súčine zoradené podľa čísla riadku a počet inverzií v k-tej permutácii množiny čísel stĺpcov je nepárny.

Determinant matice A sa zvyčajne označuje ako a používa sa aj det(A). Môžete tiež počuť, že determinant sa nazýva determinant.

takže, .

To ukazuje, že determinant matice prvého rádu je prvkom tejto matice.

Výpočet determinantu štvorcovej matice druhého rádu - vzorec a príklad.

vo všeobecnosti asi 2 krát 2.

V tomto prípade n=2, teda n!=2!=2.

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 2 x 2, má tvar .

Príklad.

objednať.

Riešenie.

V našom príklade. Aplikujeme výsledný vzorec :

Výpočet determinantu štvorcovej matice tretieho rádu - vzorec a príklad.

Nájdite determinant štvorcovej matice vo všeobecnosti asi 3 krát 3.

V tomto prípade n=3, teda n!=3!=6.

Usporiadajme vo forme tabuľky potrebné údaje na aplikáciu vzorca .

Máme

Získali sme teda vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3, má tvar

Podobne možno získať vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 4 x 4, 5 x 5 a vyššie. Budú pôsobiť veľmi objemne.

Príklad.

Vypočítajte determinant štvorcovej matice asi 3 na 3.

Riešenie.

V našom príklade

Výsledný vzorec použijeme na výpočet determinantu matice tretieho rádu:

Vzorce na výpočet determinantov štvorcových matíc druhého a tretieho rádu sa používajú veľmi často, preto odporúčame zapamätať si ich.

Vlastnosti maticového determinantu, výpočet maticového determinantu pomocou vlastností.

Na základe vyššie uvedenej definície platí nasledovné. vlastnosti determinantu matrice.

Determinant matice A sa rovná determinantu transponovanej matice A T , teda .

Príklad.

Uistite sa, že maticový determinant sa rovná determinantu transponovanej matice.

Riešenie.

Použime vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3:

Transponujeme maticu A:

Vypočítajte determinant transponovanej matice:

V skutočnosti sa determinant transponovanej matice rovná determinantu pôvodnej matice.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky aspoň jedného z riadkov (jednoho zo stĺpcov) nulové, determinant takejto matice sa rovná nule.

Príklad.

Skontrolujte, či je determinant matice poradie 3 x 3 je nula.

Riešenie.

Skutočne, determinant matice s nulovým stĺpcom je nula.

Ak prehodíte ľubovoľné dva riadky (stĺpce) v štvorcovej matici, tak determinant výslednej matice bude opačný ako pôvodný (teda znamienko sa zmení).

Príklad.

Dané dve štvorcové matice rádu 3 x 3 a . Ukážte, že ich determinanty sú opačné.

Riešenie.

Matrix B sa získa z matice A tak, že sa tretí riadok nahradí prvým a prvý tretím. Podľa uvažovanej vlastnosti sa determinanty takýchto matíc musia líšiť znamienkom. Overme si to výpočtom determinantov pomocou dobre známeho vzorca.

Naozaj,.

Ak sú aspoň dva riadky (dva stĺpce) rovnaké v štvorcovej matici, potom sa jej determinant rovná nule.

Príklad.

Ukážte, že maticový determinant rovná sa nule.

Riešenie.

V tejto matici sú druhý a tretí stĺpec rovnaké, takže podľa uvažovanej vlastnosti sa jej determinant musí rovnať nule. Poďme si to overiť.

V skutočnosti determinant matice s dvoma rovnaké stĺpce je tam nula.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) vynásobené nejakým číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice, vynásobený k. Napríklad,

Príklad.

Dokážte, že maticový determinant sa rovná trojnásobku determinantu matice .

Riešenie.

Prvky prvého stĺpca matice B sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca matice A vynásobením číslom 3. Potom by na základe uvažovanej vlastnosti mala platiť rovnosť. Overme si to výpočtom determinantov matíc A a B.

Preto, , čo sa malo dokázať.

POZNÁMKA.

Nezamieňajte a nezamieňajte pojmy matica a determinant! Uvažovaná vlastnosť determinantu matice a operácia násobenia matice číslom nie sú ani zďaleka to isté.
, ale .

Ak sú všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice súčtom s členov (s je prirodzené číslo väčšie ako jedna), potom sa determinant takejto matice bude rovnať súčtu s determinantov matíc získaných z pôvodný, ak ako prvky riadku (stĺpca) opúšťajú po jednom výraze. Napríklad,

Príklad.

Dokážte, že determinant matice sa rovná súčtu determinantov matíc .

Riešenie.

V našom príklade , teda vzhľadom na uvažovanú vlastnosť maticového determinantu, rovnosť . Skontrolujeme to výpočtom zodpovedajúcich determinantov matíc rádu 2 x 2 pomocou vzorca .

Zo získaných výsledkov je vidieť, že . Tým je dôkaz hotový.

Ak k prvkom niektorého riadku (stĺpca) matice pripočítame zodpovedajúce prvky iného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice.

Príklad.

Uistite sa, že ak prvky tretieho stĺpca matice pridajte zodpovedajúce prvky druhého stĺpca tejto matice vynásobené (-2) a pridajte zodpovedajúce prvky prvého stĺpca matice vynásobené ľubovoľným reálnym číslom, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinant pôvodnej matice.

Riešenie.

Ak vychádzame z uvažovanej vlastnosti determinantu, potom sa determinant matice získaný po všetkých transformáciách uvedených v úlohe bude rovnať determinantu matice A.

Najprv vypočítame determinant pôvodnej matice A:

Teraz vykonajte potrebné transformácie matice A.

Pridajme k prvkom tretieho stĺpca matice zodpovedajúce prvky druhého stĺpca matice, ktoré sme predtým vynásobili (-2) . Potom bude matica vyzerať takto:

K prvkom tretieho stĺpca výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky prvého stĺpca, vynásobené:

Vypočítajte determinant výslednej matice a uistite sa, že sa rovná determinantu matice A, teda -24:

Determinant štvorcovej matice je súčet súčinov prvkov ktoréhokoľvek riadka (stĺpca) podľa ich algebraické sčítania.

Tu je algebraický doplnok maticového prvku , .

Táto vlastnosť umožňuje počítať determinanty matíc rádu vyšších ako 3 x 3 ich redukciou na súčet niekoľkých determinantov rádových matíc o jeden nižší. Inými slovami, toto je opakujúci sa vzorec na výpočet determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Odporúčame si ho zapamätať pre jeho pomerne častú použiteľnosť.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad.

poradie 4 x 4, čím sa rozšíri

podľa prvkov 3. riadku,
prvkami 2. stĺpca.

Riešenie.

Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 3. riadku

Máme

Takže problém nájsť determinant matice rádu 4 x 4 bol zredukovaný na výpočet troch determinantov matíc rádu 3 x 3:

Nahradením získaných hodnôt dospejeme k výsledku:

Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 2. stĺpca

a my konáme rovnakým spôsobom.

Výpočet determinantov matíc tretieho rádu nebudeme podrobne popisovať.

Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 4 na 4.

Riešenie.

Maticový determinant môžete rozložiť na prvky ľubovoľného stĺpca alebo ľubovoľného riadku, ale výhodnejšie je vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov, pretože to pomôže vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Rozšírme determinant o prvky prvého riadku:

Získané determinanty matíc rádu 3 x 3 vypočítame podľa nám známeho vzorca:

Nahradíme výsledky a získame požadovanú hodnotu

Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 5 krát 5.

Riešenie.

Štvrtý riadok matice má spomedzi všetkých riadkov a stĺpcov najväčší počet nulových prvkov, preto je vhodné rozšíriť determinant matice presne o prvky štvrtého riadku, pretože v tomto prípade potrebujeme menej výpočtov.

Získané determinanty matíc rádu 4 x 4 sme našli v predchádzajúcich príkladoch, takže použijeme hotové výsledky:

Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 7 krát 7.

Riešenie.

Nemali by ste sa okamžite ponáhľať, aby ste rozložili determinant pomocou prvkov akéhokoľvek riadku alebo stĺpca. Ak sa pozriete pozorne na maticu, všimnete si, že prvky šiesteho riadku matice možno získať vynásobením zodpovedajúcich prvkov druhého riadku dvoma. To znamená, že ak k prvkom šiesteho riadku pripočítame zodpovedajúce prvky druhého riadku vynásobené (-2), potom sa determinant v dôsledku siedmej vlastnosti nezmení a šiesty riadok výslednej matice bude pozostávať z nuly. Determinant takejto matice sa druhou vlastnosťou rovná nule.

odpoveď:

Treba poznamenať, že uvažovaná vlastnosť umožňuje vypočítať determinanty matíc ľubovoľného rádu, je však potrebné vykonať veľa výpočtových operácií. Vo väčšine prípadov je výhodnejšie nájsť determinant matíc rádu vyšších ako tretí Gaussovou metódou, ktorú budeme uvažovať nižšie.

Súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice a algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) je rovný nule.

Príklad.

Ukážte, že súčet súčinov prvkov tretieho stĺpca matice na algebraických doplnkoch zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca sa rovná nule.

Riešenie.

Determinant súčinu štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu ich determinantov, tj. , kde m je prirodzené číslo väčšie ako jedna, A k , k=1,2,…,m sú štvorcové matice rovnakého rádu.

Príklad.

Uistite sa, že determinant súčinu dvoch matíc a rovná sa súčinu ich determinantov.

Riešenie.

Najprv nájdime súčin determinantov matíc A a B:

Teraz vykonajte násobenie matice a vypočítajte determinant výslednej matice:

Touto cestou, , ktorý sa mal ukázať.

Výpočet maticového determinantu Gaussovou metódou.

Poďme si popísať podstatu tejto metódy. Pomocou elementárnych transformácií sa matica A zredukuje do takej podoby, že v prvom stĺpci sa všetky prvky okrem jedného stanú nulovými (to je možné vždy, ak je determinant matice A nenulový). Tento postup popíšeme trochu neskôr, ale teraz vysvetlíme, prečo sa to robí. Nulové prvky sa získajú, aby sa získalo čo najjednoduchšie rozšírenie determinantu na prvky prvého stĺpca. Po takejto transformácii matice A s prihliadnutím na ôsmu vlastnosť a získame

kde - vedľajší (n-1)-tý rád, získaná z matice A vymazaním prvkov jej prvého riadku a prvého stĺpca.

S maticou, ktorej zodpovedá minor, sa vykoná rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci. A tak ďalej až do konečného výpočtu determinantu.

Teraz zostáva odpovedať na otázku: "Ako získať nulové prvky v prvom stĺpci"?

Poďme popísať algoritmus akcií.

Ak , potom sa prvky prvého riadku matice pridajú k príslušným prvkom k-tého riadku, v ktorom . (Ak sú bez výnimky všetky prvky prvého stĺpca matice A nulové, potom je jej determinant podľa druhej vlastnosti nulový a nie je potrebná žiadna Gaussova metóda). Po takejto transformácii sa "nový" prvok bude líšiť od nuly. Determinant "novej" matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Teraz máme maticu, ktorá má . Keď k prvkom druhého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , k prvkom tretieho riadku zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené . A tak ďalej. Na záver, k prvkom n-tého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . Takže získame transformovanú maticu A, ktorej všetky prvky prvého stĺpca, okrem , budú nulové. Determinant výslednej matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Rozoberme si metódu pri riešení príkladu, aby to bolo jasnejšie.

Príklad.

Vypočítajte determinant matice rádu 5 krát 5 .

Riešenie.

Využime Gaussovu metódu. Transformujme maticu A tak, aby všetky prvky jej prvého stĺpca, okrem , boli nulové.

Keďže prvok je spočiatku , potom k prvkom prvého riadku matice pridáme zodpovedajúce prvky, napríklad druhý riadok, pretože:

Znak "~" znamená rovnocennosť.

Teraz pridáme k prvkom druhého radu zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené , na prvky tretieho riadku - zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené a postupujte podobne až po šiesty riadok:

Dostaneme

s matricou vykonáme rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci:

v dôsledku toho

Teraz vykonáme transformácie s maticou :

Komentujte.

V určitom štádiu transformácie matice Gaussovou metódou môže nastať situácia, keď sa všetky prvky niekoľkých posledných riadkov matice stanú nulovými. Toto bude hovoriť o rovnosti determinantu na nulu.

Zhrnúť.

Determinantom štvorcovej matice, ktorej prvkami sú čísla, je číslo. Zvažovali sme tri spôsoby výpočtu determinantu:

prostredníctvom súčtu súčinov kombinácií prvkov matrice;
prostredníctvom rozšírenia determinantu o prvky riadka alebo stĺpca matice;
metóda zmenšenia matice na hornú trojuholníkovú (Gaussovou metódou).

Získali sa vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 2 x 2 a 3 x 3 .

Analyzovali sme vlastnosti maticového determinantu. Niektoré z nich vám umožňujú rýchlo pochopiť, že determinant je nula.

Pri výpočte determinantov matíc rádu vyšších ako 3 x 3 je vhodné použiť Gaussovu metódu: vykonať elementárne transformácie matice a priviesť ju k hornej trojuholníkovej. Determinant takejto matice sa rovná súčinu všetkých prvkov na hlavnej diagonále.

1. Determinant sa počas transpozície nemení.

2. Ak jeden z riadkov determinantu pozostáva z núl, potom sa determinant rovná nule.

3. Ak sa v determinante preusporiadajú dva riadky, determinant zmení znamienko.

4. Determinant obsahujúci dva rovnaké reťazce sa rovná nule.

5. Ak sú všetky prvky niektorého riadku determinantu vynásobené nejakým číslom k, potom samotný determinant bude vynásobený k.

6. Determinant obsahujúci dva proporcionálne riadky sa rovná nule.

7. Ak sú všetky prvky i-teho riadku determinantu prezentované ako súčet dvoch členov a i j = b j + c j (j= ), potom sa determinant rovná súčtu determinantov, v ktorom sú všetky riadky okrem pre i-tý riadok sú rovnaké ako v danom determinante, a i-tý riadok v jednom z pojmov pozostáva z prvkov b j , v druhom - z prvkov c j .

8. Determinant sa nemení, ak sa zodpovedajúce prvky iného riadku, vynásobené rovnakým číslom, pridajú k prvkom jedného z jeho riadkov.

Komentujte. Všetky vlastnosti zostanú platné, ak sa namiesto riadkov použijú stĺpce.

Menší M i j prvku a i j determinantu d n-tého rádu je determinant rádu n-1, ktorý sa získa z d vymazaním riadku a stĺpca obsahujúceho tento prvok.

Algebraické sčítanie prvok a i j determinantu d je jeho vedľajší M i j , braný so znamienkom (-1) i + j . Algebraický doplnok prvku a i j budeme označovať A i j . Teda Ajj = (-1)i + j Mij.

Metódy praktického výpočtu determinantov založené na skutočnosti, že determinant rádu n možno vyjadriť pomocou determinantov nižších rádov, sú dané nasledujúcou vetou.

Veta (rozklad determinantu v riadku alebo stĺpci).

Determinant sa rovná súčtu súčinov všetkých prvkov jeho ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) a ich algebraických doplnkov. Inými slovami, dochádza k expanzii d v zmysle i-té prvky riadky d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

alebo j-tý stĺpec d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

Najmä, ak sú všetky prvky riadka (alebo stĺpca) okrem jedného rovné nule, potom sa determinant rovná tomuto prvku vynásobenému jeho algebraickým doplnkom.

Príklad 1.4. Nie výpočet determinantu , ukážte, že sa rovná nule. Riešenie. Odčítame prvý riadok od druhého radu, dostaneme determinant rovná originálu. Ak odpočítame aj prvý riadok od tretieho, dostaneme determinant , v ktorom sú dva riadky proporcionálne. Tento determinant je nulový.

Príklad 1.5. Vypočítajte determinant D = , rozširujúc ho o prvky druhého stĺpca.

Riešenie. Rozšírme determinant o prvky druhého stĺpca:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Príklad 1.6. Vypočítajte determinant

A=
, v ktorom sú všetky prvky na jednej strane hlavnej uhlopriečky rovné nule. Riešenie. Rozviňme determinant A v prvom riadku: A = a 11 A 11 = . Determinant napravo možno znova rozšíriť pozdĺž prvého riadku, potom dostaneme:

A=
.A tak ďalej. Po n krokoch dospejeme k rovnosti A = a 11 a 22... a nn.

3.Základné pojmy sústav lineárnych rovníc. Cramerova veta.

Definícia. Systém lineárnych rovníc je spojenie n lineárne rovnice, z ktorých každá obsahuje k premenných. Píše sa to takto:

Mnohí, keď sa prvýkrát stretávajú s vyššou algebrou, sa mylne domnievajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom premenných. V školskej algebre to zvyčajne platí, ale pre vyššiu algebru to vo všeobecnosti neplatí.

Definícia. Riešenie sústavy rovníc je postupnosť čísel ( k 1 ,k 2 , ..., k n), ktorá je riešením každej rovnice sústavy, t.j. pri dosadzovaní do tejto rovnice namiesto premenných X 1 , X 2 , ..., x n dáva správnu číselnú hodnotu.

resp. vyriešiť sústavu rovníc znamená nájsť množinu všetkých jej riešení alebo dokázať, že táto množina je prázdna. Keďže počet rovníc a počet neznámych nemusia byť rovnaké, sú možné tri prípady:

1. Systém je nekonzistentný, t.j. množina všetkých riešení je prázdna. Pomerne zriedkavý prípad, ktorý sa dá ľahko zistiť bez ohľadu na to, akou metódou sa má systém vyriešiť.

2. Systém je konzistentný a definovaný, t.j. má presne jedno riešenie. Klasická verzia, známa už zo školy.

3. Systém je kompatibilný a nie je definovaný, t.j. má nekonečne veľa riešení. Toto je najťažšia možnosť. Nestačí konštatovať, že „systém má nekonečnú množinu riešení“ – treba opísať, ako je táto množina usporiadaná.

Definícia. Variabilné x i volal povolenej, ak je obsiahnutý len v jednej rovnici sústavy, a s koeficientom 1. Inými slovami, vo zvyšných rovniciach koeficient premennej x i by sa mala rovnať nule.

Ak v každej rovnici vyberieme jednu povolenú premennú, dostaneme množinu povolených premenných pre celý systém rovníc. Samotný systém napísaný v tejto forme sa bude tiež nazývať povolený. Vo všeobecnosti možno jeden a ten istý počiatočný systém zredukovať na rôzne povolené systémy, ale to sa nás teraz netýka. Tu sú príklady povolených systémov:

Oba systémy sú povolené vzhľadom na premenné X 1 , X 3 a Xštyri . S rovnakým úspechom však možno tvrdiť, že druhý systém je povolený relatívne X 1 , X 3 a X 5. Poslednú rovnicu stačí prepísať ako X 5 = X 4 .

Teraz zvážte všeobecnejší prípad. Nech máme všetko k premenné, z toho r sú povolené. Potom sú možné dva prípady:

1. Počet povolených premenných r sa rovná celkovému počtu premenných k: r = k. Systém získavame z k rovnice, v ktorých r = k povolené premenné. Takýto systém je kolaboratívny a určitý, pretože X 1 = b 1 , X 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Počet povolených premenných r menej celkový počet premenných k: r < k. Zvyšok ( k − r) premenné sa nazývajú voľné - môžu nadobudnúť akékoľvek hodnoty, z ktorých sa ľahko vypočítajú povolené premenné.

Vo vyššie uvedených systémoch teda premenné X 2 , X 5 , X 6 (pre prvý systém) a X 2 , X 5 (za druhé) sú zadarmo. Prípad, keď existujú voľné premenné, je lepšie formulovať ako vetu...

Ako vyriešiť?: – Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou („školská metóda“).
– Riešenie sústavy sčítaním (odčítaním) systémových rovníc po členoch.
–Riešenie systému podľa Cramerových vzorcov.
–Riešenie systému pomocou inverznej matice.
–Riešenie sústavy Gaussovou metódou.

KRAMER

Najprv zvážte Cramerovo pravidlo pre systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Existujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť presne podľa Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant , tzv hlavným determinantom systému.

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty: a

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice nájdeme podľa vzorcov:,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Vidíme, že koeficienty rovnice sú pomerne veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne vzácnym hosťom v praktické úlohy v matematike som tento systém prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade určite dostanete strašné efektné zlomky, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen po člene, ale tu sa objavia rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

Systém má teda unikátne riešenie.

;

Ako vidíte, korene sa ukázali ako iracionálne a našli sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, keďže úloha sa rieši podľa hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití túto metódu, povinné Fragment zadania je nasledujúci fragment: « , takže systém má jedinečné riešenie . V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebude zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty na ľavej strane každej rovnice systému. V dôsledku toho by sa s malou chybou mali získať čísla, ktoré sú na pravej strane.

Cramerove vzorce

Cramerova metóda spočíva v tom, že postupne nachádzame identifikátor hlavného systému(5.3), t.j. matica A determinant

a n pomocné determinanty D i (i= ), ktoré sa získajú z determinantu D nahradením i-tého stĺpca stĺpcom voľných členov.

Cramerove vzorce majú tvar:

D x x i = D i (i =). (5.4)

Z (5.4) vyplýva Cramerovo pravidlo, ktoré dáva vyčerpávajúcu odpoveď na otázku kompatibility systému (5.3): ak je hlavný determinant systému nenulový, potom má systém jednoznačné riešenie, určené vzorcami:

Ak je hlavný determinant sústavy D a všetky pomocné determinanty D i = 0 (i= ), potom má sústava nekonečný počet riešení. Ak je hlavný determinant systému D = 0 a aspoň jeden pomocný determinant je odlišný od nuly, potom je systém nekonzistentný.

Príklad 1.14. Vyriešte sústavu rovníc Cramerovou metódou:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

Riešenie. Hlavným determinantom tohto systému D = = -142 ¹ 0, takže systém má jedinečné riešenie. Pomocné determinanty D i (i= ) získané z determinantu D vypočítame tak, že v ňom nahradíme stĺpec zložený z koeficientov v x i stĺpcom voľných členov: D 1 = = -142, D2= = -284, D3= = - 426,

D4= = 142. Preto x 1 = D 1 / D = 1, x 2 = D 2 / D = 2, x 3 = D 3 / D = 3, x 4 = D 4 / D = -1, riešenie sústavy je vektor C = (1, 2, 3, -1) T.

Základné pojmy sústav lineárnych rovníc. Gaussova metóda.

VIĎ VYŠŠIE.

Gauss-Jordanova metóda(metóda úplnej eliminácie neznámych) - metóda, ktorá sa používa na riešenie štvorcových sústav lineárnych algebraických rovníc, nájdenie inverznej matice, nájdenie súradníc vektora v danej báze alebo nájdenie hodnosti matice. Metóda je modifikáciou Gaussovej metódy.

Algoritmus

1. Vyberte prvý ľavý stĺpec matice, ktorý má aspoň jednu nenulovú hodnotu.

2. Ak je najvyššie číslo v tomto stĺpci nula, potom vymeňte celý prvý riadok matice za iný riadok matice, kde v tomto stĺpci nie je žiadna nula.

3. Všetky prvky prvého riadku sú rozdelené horným prvkom vybraného stĺpca.

4. Od zostávajúcich riadkov odčítajte prvý riadok vynásobený prvým prvkom príslušného riadku, aby ste dostali prvý prvok každého riadku (okrem prvého) nulu.

6. Po zopakovaní tohto postupu raz sa získa horná trojuholníková matica

7. Od predposledného riadku odpočítajte posledný riadok vynásobený príslušným koeficientom tak, aby v predposlednom riadku zostala len 1 na hlavnej diagonále.

8. Opakujte predchádzajúci krok pre nasledujúce riadky. V dôsledku toho sa získa matica identity a riešenie namiesto voľného vektora (je potrebné s ním vykonať všetky rovnaké transformácie).

9. Ak chcete získať inverznú maticu, musíte použiť všetky operácie v rovnakom poradí na maticu identity.

Gaussova metóda

Historicky prvou, najrozšírenejšou metódou riešenia sústav lineárnych rovníc je Gaussova metóda, alebo metóda postupného odstraňovania neznámych. Podstatou tejto metódy je, že prostredníctvom postupných eliminácií neznámeho tento systém sa zmení na stupňovitý (najmä trojuholníkový) systém ekvivalentný danému systému. Pri praktickom riešení sústavy lineárnych rovníc Gaussovou metódou je vhodnejšie zredukovať do stupňovitého tvaru nie samotnú sústavu rovníc, ale rozšírenú maticu tejto sústavy, pričom na jej riadkoch sa vykonávajú elementárne transformácie. Matice postupne získané počas transformácie sú zvyčajne spojené znakom ekvivalencie.

Príklad 1.13. Riešte sústavu rovníc Gaussovou metódou: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Riešenie. Píšeme rozšírenú maticu tohto systému

a v jeho riadkoch vykonajte tieto elementárne transformácie: a) odpočítajte prvý riadok od jeho druhého a tretieho riadku, vynásobte ho 3 a 2: ~ ;

b) vynásobte tretí riadok (-5) a pridajte k nemu druhý: .

V dôsledku všetkých týchto transformácií sa tento systém redukuje na trojuholníkový tvar: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Z poslednej rovnice zistíme z = -1,3. Dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice máme y = -1,2. Ďalej z prvej rovnice dostaneme x = - 0,7

Z NOTEBOOKU:

Gaussova metóda

Metóda pozostáva z dvoch častí – dopredu a dozadu.

Priamy pohyb spočíva v správaní sa expanzie matice SLE do stupňovitého tvaru pomocou elementárnych riadkových transformácií. V stupňovitej matici má každý nasledujúci riadok na začiatku viac núl ako predchádzajúci – alebo je nulový

Príklad:

Základná transformácia riadkov matice je:

1) sčítanie čísel jedného riadku matice, vynásobených nejakým číslom, do jedného z nižších riadkov matice.

2) Zmeňte dva riadky na miestach

Spätný pohyb Gaussovej metódy spočíva v postupnom vyjadrení niektorých premenných z hľadiska iných, začínajúc od spodnej nulovej čiary. Výsledkom je všeobecné riešenie.

Po doprednom ťahu existujú 3 možnosti pre stupňovitý typ rozšírenej matice:

1) Každý ďalší riadok má na začiatku presne o jednu nulu viac ako predchádzajúci

Príklad:

Rovnicu napíšeme riadok po riadku a začneme zisťovať hodnotu premenných od spodného riadku.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

Dosaďte v predchádzajúcej rovnici

2X 3 -3X 4 \u003d -8 t.j. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 alebo 2X 3 \u003d -2, Þ X 3 \u003d -1, nahraďte X3 a X4 v druhom riadku atď. Získame jediné riešenie SLU

2) Počet nenulových riadkov je menší ako počet premenných. Potom jeden z riadkov obsahuje na začiatku núl aspoň o 2 viac ako predchádzajúci a uvažujeme, že nasledujúci nenulový riadok nemá tvar (0 ... 0 b), kde číslo b=0

Napríklad:

3) Posledný nenulový riadok má tvar (0…0/b), kde b=0 zodpovedá protichodným rovnostiam o=b, takže systém je nekompatibilný

Riešenie SLE Gaussovou metódou

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 7

6 x 1 + 10 x 2 - 3 x 3 = -10

Zostavíme rozšírenú maticu priameho ťahu.

· determinant námestie matice A n-tého rádu alebo determinant n-tého rádu nazvané číslo rovné algebraickému súčtu P! členov, z ktorých každý je produktom P prvky matice prevzaté po jednom z každého riadku a každého stĺpca s určitými znakmi. Determinant je označený alebo .

Determinant druhého rádu je číslo vyjadrené takto: . Napríklad .

Determinant tretieho rádu vypočítané podľa pravidla trojuholníkov (Sarrusovo pravidlo): .

Príklad. .

Komentujte. V praxi sa determinanty tretieho rádu, ako aj vyššie rády počítajú pomocou vlastností determinantov.

Vlastnosti determinantov n-tého rádu.

1. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa každý riadok (stĺpec) nahradí stĺpcom (riadkom) s rovnakým číslom - transponovať.

2. Ak jeden z riadkov (stĺpec) determinantu pozostáva z núl, potom je hodnota determinantu nula.

3. Ak sa v determinante vymenia dva riadky (stĺpce), absolútna hodnota determinantu sa nezmení a znamienko sa zmení na opačné.

4. Determinant obsahujúci dva rovnaké riadky (stĺpce) sa rovná nule.

5. Zo znamienka determinantu možno vyňať spoločný činiteľ všetkých prvkov radu (stĺpca).

· Menší nejaký prvok determinantu P poradie sa nazýva determinant ( P-1)-tý rád, získaný z originálu vymazaním riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa nachádza vybraný prvok. Označenie: .

· Algebraické sčítanie prvok determinantu sa nazýva jeho vedľajší, berie sa so znamienkom . Označenie: Takže =.

6. Determinant štvorcovej matice sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) a ich algebraických doplnkov ( rozkladová veta).

7. Ak je každý prvok -tého riadku súčtom kčlenov, potom je determinant reprezentovaný ako súčet k determinanty, v ktorých sú všetky riadky okrem -tého riadku rovnaké ako v pôvodnom determinante a -tý riadok v prvom determinante pozostáva z prvých členov, v druhom - z druhého atď. To isté platí pre stĺpce.

8. Determinant sa nezmení, ak sa do jedného z riadkov (stĺpcov) pridá ďalší riadok (stĺpec) vynásobený číslom.

Dôsledok. Ak sa do riadku (stĺpca) determinantu pridá lineárna kombinácia jeho ďalších riadkov (stĺpcov), potom sa determinant nezmení.

9. Determinant diagonálnej matice sa rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále, t.j.

Komentujte. Determinant trojuholníkovej matice sa tiež rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále.

Uvedené vlastnosti determinantov umožňujú výrazne zjednodušiť ich výpočet, čo je dôležité najmä pre determinanty vysokého rádu. V tomto prípade je vhodné transformovať pôvodnú maticu tak, aby transformovaná matica mala riadok alebo stĺpec obsahujúci čo najviac núl („nulovanie“ riadkov alebo stĺpcov).

Príklady. Znova vypočítajte determinant uvedený v predchádzajúcom príklade pomocou vlastností determinantov.

Riešenie: Všimnite si, že v prvom riadku je spoločný súčiniteľ - 2 av druhom - spoločný súčiniteľ 3, vyberieme ich zo znamienka determinantu (vlastnosťou 5). Ďalej rozvinieme determinant napríklad v prvom stĺpci pomocou vlastnosti 6 (veta o expanzii).

Najefektívnejšie spôsob redukcie determinantu na diagonálny alebo trojuholníkový tvar . Na výpočet determinantu matice stačí vykonať transformáciu matice, ktorá determinant nemení a umožňuje zmeniť maticu na diagonálnu.

Na záver poznamenávame, že ak sa determinant štvorcovej matice rovná nule, potom sa matica nazýva tzv. degenerovať (alebo špeciálne) , inak - nedegenerované .

Tu budú uvedené tie vlastnosti, ktoré sa zvyčajne používajú na výpočet determinantov v štandardnom kurze vyššej matematiky. Ide o vedľajšiu tému, na ktorú sa podľa potreby odvoláme zo zvyšných častí.

Takže za predpokladu nejakej štvorcovej matice $A_(n\krát n)=\left(\begin(pole) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( pole )\vpravo)$. Každá štvorcová matica má charakteristiku nazývanú determinant (alebo determinant). Nebudem tu zachádzať do podstaty tohto konceptu. Ak to vyžaduje objasnenie, napíšte o tom do fóra a ja sa tejto problematike dotknem podrobnejšie.

Determinant matice $A$ je označený ako $\Delta A$, $|A|$ alebo $\det A$. Určujúce poradie rovný počtu riadkov (stĺpcov) v ňom.

Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa jeho riadky nahradia zodpovedajúcimi stĺpcami, t.j. $\Delta A=\Delta A^T$.
ukázať skryť

Nahraďte riadky v ňom stĺpcami podľa princípu: "bol prvý riadok - prvý stĺpec sa stal", "bol druhý riadok - stal sa druhý stĺpec":

Vypočítajme výsledný determinant: $\left| \začiatok(pole) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Ako vidíte, hodnota determinantu sa od nahradenia nezmenila.
Ak vymeníte dva riadky (stĺpce) determinantu, potom sa znamienko determinantu zmení na opačné.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Zvážte $\left| \začiatok(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \vpravo|$. Jeho hodnotu nájdime pomocou vzorca č.1 z témy Výpočet determinantov druhého a tretieho rádu:
$$\left| \začiatok(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37,$$
Teraz si vymeníme prvý a druhý riadok. Získajte determinant $\left| \začiatok(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \vpravo|$. Vypočítajme výsledný determinant: $\left| \začiatok(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Takže hodnota pôvodného determinantu bola (-37) a hodnota determinantu so zmeneným poradím riadkov je $-(-37)=37$. Znak determinantu sa zmenil na opačný.
Determinant, v ktorom sú všetky prvky riadka (stĺpca) rovné nule, sa rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Keďže v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|$ všetky prvky tretieho stĺpca sú nula, potom determinant je nula , t.j. $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|=0$.
Determinant, v ktorom sa všetky prvky určitého riadka (stĺpca) rovnajú zodpovedajúcim prvkom iného riadka (stĺpca), sa rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Keďže v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|$ všetky prvky prvého riadku sa rovnajú príslušným prvky druhého radu, potom je determinant nulový, t.j. $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|=0$.
Ak sú v determinante všetky prvky jedného riadku (stĺpca) úmerné zodpovedajúcim prvkom iného riadku (stĺpca), potom sa takýto determinant rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Keďže v $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|$ druhý a tretí riadok sú proporcionálne, t.j. $r_3=-3\cdot(r_2)$, potom sa determinant rovná nule, t.j. $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|=0$.
Ak majú všetky prvky riadku (stĺpca) spoločný faktor, potom tento faktor možno vyňať zo znamienka determinantu.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Zvážte $\left| \začiatok(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \vpravo|$. Všimnite si, že všetky prvky druhého riadku sú deliteľné 3:
$$\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \začiatok(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(pole) \right|$$
Číslo 3 je spoločným faktorom všetkých prvkov druhého radu. Vyberme trojicu zo znamienka determinantu:
$$ \left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \začiatok(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(pole) \right|= 3\cdot \left| \začiatok(pole) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(pole) \vpravo| $$
Determinant sa nemení, ak sa všetky prvky určitého riadka (stĺpca) pripočítajú k zodpovedajúcim prvkom iného riadka (stĺpca), vynásobia sa ľubovoľným číslom.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Zvážte $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \vpravo|$. Pridajme k prvkom druhého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené 5. Túto akciu zapíšme takto: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druhý riadok sa zmení, ostatné riadky zostanú nezmenené.
$$ \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \vpravo| \begin(pole) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(pole)= \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \vpravo|. $$
Ak je určitý riadok (stĺpec) v determinante lineárnou kombináciou iných riadkov (stĺpcov), potom sa determinant rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Hneď vysvetlím, čo znamená slovné spojenie „lineárna kombinácia“. Nech máme s riadkov (alebo stĺpcov): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Výraz
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
kde $k_i\in R$ sa nazýva lineárna kombinácia riadkov (stĺpcov) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Zvážte napríklad nasledujúci determinant:
$$ \left| \begin(pole) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(pole)\vpravo| $$
V tomto determinante môže byť štvrtý riadok vyjadrený ako lineárna kombinácia prvých troch riadkov:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Preto sa uvažovaný determinant rovná nule.
Ak sa každý prvok určitého k-tého riadku (k-tého stĺpca) determinantu rovná súčtu dvoch členov, potom sa takýto determinant rovná súčtu determinantov, z ktorých prvý má k-tý riadok (k-tý stĺpec) majú prvé členy a druhý determinant v k-tom riadku (k-tom stĺpci) má druhé členy. Ostatné prvky týchto determinantov sú rovnaké.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show\hide

Zvážte $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \vpravo|$. Prvky druhého stĺpca napíšeme takto: $\left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \vpravo|$. Potom sa takýto determinant rovná súčtu dvoch determinantov:
$$ \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(pole) \right|+ \left| \začiatok(pole) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(pole) \right| $$
Determinant súčinu dvoch štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu determinantov týchto matíc, t.j. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Z tohto pravidla môžete získať nasledujúci vzorec: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Ak je matica $A$ nesingulárna (t.j. jej determinant sa nerovná nule), potom $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Vzorce na výpočet determinantov

Pre determinanty druhého a tretieho rádu platia nasledujúce vzorce:

\begin(rovnica) \Delta A=\left| \begin(pole) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(pole) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(rovnica) \začiatok(rovnica) \začiatok(zarovnané) & \Delta A=\left| \begin(pole) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(pole) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(zarovnané) \end(rovnica)

Príklady použitia vzorcov (1) a (2) sú v téme "Vzorce na výpočet determinantov druhého a tretieho rádu. Príklady výpočtu determinantov" .

Determinant matice $A_(n\krát n)$ možno rozšíriť v zmysle i-tý riadok pomocou nasledujúceho vzorca:

\začiatok(rovnica)\Delta A=\súčet\limity_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(equation)

Analóg tohto vzorca existuje aj pre stĺpce. Vzorec na rozšírenie determinantu v j-tom stĺpci je nasledujúci:

\začiatok(rovnica)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(rovnica)

Pravidlá vyjadrené vzorcami (3) a (4) sú podrobne ilustrované na príkladoch a vysvetlené v téme Znižovanie rádu determinantu. Rozklad determinantu v rade (stĺpci).

Uvádzame ešte jeden vzorec na výpočet determinantov horných trojuholníkových a dolných trojuholníkových matíc (vysvetlenie týchto pojmov nájdete v téme "Matice. Typy matíc. Základné pojmy"). Determinant takejto matice sa rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále. Príklady:

\začiatok(zarovnané) &\vľavo| \začiatok(pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(pole) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \začiatok(pole) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(pole) \ vpravo|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (zarovnané)

Determinant: det, ||, determinant.

Determinant nie je matica, ale číslo.

Ako nájsť determinant matice?

Aby sme našli determinant matice, zavedieme koncept "malý". Zápis: M ij - moll, M ij 2 - moll druhého rádu (determinant matice 2 * 2) atď.

Ak chcete nájsť vedľajšiu hodnotu pre prvok a ij , vymažte i-tý riadok z matice A a j-tom stĺpci. Dostaneme maticu s rozmermi n-1 * m-1, nájdeme determinant tejto matice.

Príklad: nájdite vedľajší prvok druhého rádu pre prvok a 12 matice A:

Z matice A vyčiarkneme 1. riadok a 2. stĺpec. Dostaneme maticu 2 * 2 rozmerov, nájdeme determinant tejto matice:

Maloletý teda nie je matica, ale číslo.

Príklad: nájdite determinant (vo všeobecnom tvare) matice 2*2 expanziou v 1) riadkoch; 2) stĺpec:

Podľa riadku: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* a 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

Podľa stĺpca: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* a 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Je ľahké vidieť, že sa dosiahne rovnaký výsledok.

Na nájdenie determinantu matice 2 * 2 teda stačí odpočítať súčin prvkov bočnej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky:

Ako rýchlo vypočítať determinant tretieho rádu?

Na výpočet determinantu tretieho rádu použite trojuholníkové pravidlo(alebo "hviezdičky").

1. Vynásobte prvky hlavnej uhlopriečky: det(A)=11*22*33...

2. K výslednému súčinu pridajte súčin "trojuholníkov so základňami rovnobežnými s hlavnou uhlopriečkou": det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. Všetko, čo súvisí so sekundárnou uhlopriečkou, sa berie so znamienkom "-". Vynásobte prvky vedľajšej uhlopriečky a odčítajte: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. Podobne ako pri "hlavných trojuholníkoch" vynásobíme bočné a odčítame: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23* 32-33*12 *21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Vlastnosti maticového determinantu.

Pri zámene dvoch rovnobežných riadkov alebo stĺpcov determinantu sa jeho znamienko obráti;
Determinant obsahujúci dva rovnaké riadky alebo stĺpce sa rovná nule;
Ak sa jedna z čiar determinantu vynásobí nejakým číslom, potom sa determinant bude rovnať pôvodnému determinantu vynásobenému týmto číslom;
Keď je matica transponovaná, jej determinant nemení jej hodnotu;
Ak do determinantu namiesto ľubovoľného riadku napíšete súčet tohto riadku a akéhokoľvek iného riadku vynásobený nejakým číslom, potom sa výsledný nový determinant bude rovnať pôvodnému;
Ak je každý prvok ktoréhokoľvek riadku alebo stĺpca determinantu reprezentovaný ako súčet dvoch členov, potom tento determinant možno rozložiť na súčet dvoch zodpovedajúcich determinantov;
Spoločný faktor prvkov ľubovoľného riadku alebo stĺpca determinantu možno vyňať zo znamienka determinantu.