Изчисляване на детерминанта на матрица чрез триъгълник. Определящи свойства. Намаляване на реда на детерминантата. Изчисляване на обратната матрица

Понятието детерминант е едно от основните в курса по линейна алгебра. Тази концепция е присъща САМО на КВАДРАТНИТЕ МАТРИЦИ и тази статия е посветена на тази концепция. Тук ще говорим за детерминанти на матрици, чиито елементи са реални (или комплексни) числа. В този случай детерминантата е реално (или комплексно) число. Цялото по-нататъшно представяне ще бъде отговор на въпросите как да се изчисли детерминантата и какви свойства има.

Първо, даваме дефиницията на детерминантата на квадратна матрица от порядък n по n като сума от продуктите на пермутации на матрични елементи. Въз основа на това определение ние пишем формули за изчисляване на детерминантите на матрици от първи, втори и трети ред и анализираме подробно решенията на няколко примера.

След това се обръщаме към свойствата на детерминантата, които ще формулираме под формата на теореми без доказателство. Тук ще бъде получен метод за изчисляване на детерминантата чрез нейното разширяване върху елементите на ред или колона. Този метод редуцира изчисляването на детерминантата на матрица от порядък n по n до изчисляването на детерминантите на матрици от порядък 3 на 3 или по-малко. Не забравяйте да покажете решения на няколко примера.

В заключение, нека се спрем на изчисляването на детерминантата по метода на Гаус. Този метод е добър за намиране на детерминанти на матрици от порядък по-голям от 3 на 3, защото изисква по-малко изчислителни усилия. Ще анализираме и решението на примери.

Навигация в страницата.

Дефиниране на матричен детерминант, изчисляване на матричен детерминант по дефиниция.

Спомняме си няколко спомагателни понятия.

Определение.

Пермутация на ред nсе нарича подредено множество от числа, състоящо се от n елемента.

За набор, съдържащ n елемента, има n! (n факториел) на пермутации от ред n. Пермутациите се различават една от друга само по реда на елементите.

Например, разгледайте набор, състоящ се от три числа: . Записваме всички пермутации (има общо шест, тъй като ):

Определение.

Инверсия в пермутация от ред nизвиква се всяка двойка индекси p и q, за която p-тият елемент на пермутацията е по-голям от q-тия.

В предишния пример обратното на пермутациите 4, 9, 7 е p=2, q=3, тъй като вторият елемент на пермутациите е 9 и е по-голям от третия елемент, който е 7. Обратното на пермутацията 9, 7, 4 ще бъде три двойки: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) и p=2, q=3 (7>4).

Ще се интересуваме повече от броя на инверсиите в една пермутация, отколкото от самата инверсия.

Нека е квадратна матрица от ред n на n върху полето от реални (или комплексни) числа. Нека е множеството от всички пермутации от ред n на множеството . Комплектът съдържа n! пермутации. Нека обозначим k-тата пермутация на множеството като , а броят на инверсиите в k-тата пермутация като .

Определение.

Матрична детерминантаИ има число равно на .

Нека опишем тази формула с думи. Детерминантата на квадратна матрица от порядък n на n е сумата, съдържаща n! условия. Всеки член е произведение от n елемента на матрицата и всеки продукт съдържа елемент от всеки ред и от всяка колона на матрицата A. Коефициент (-1) се появява преди k-тия член, ако елементите на матрицата A в продукта са подредени по номер на ред и броят на инверсиите в k-тата пермутация на набора от номера на колони е нечетен.

Детерминантата на матрица A обикновено се означава като , и det(A) също се използва. Можете също да чуете, че определителят се нарича определител.

Така, .

Това показва, че детерминантата на матрицата от първи ред е елементът на тази матрица.

Изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от втори ред – формула и пример.

общо взето около 2 на 2.

В този случай n=2 , следователно n!=2!=2 .

Ние имаме

Така получихме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от ред 2 по 2, тя има формата .

Пример.

поръчка.

Решение.

В нашия пример. Прилагаме получената формула :

Изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от трети ред – формула и пример.

Нека намерим детерминантата на квадратна матрица общо взето около 3 на 3.

В този случай n=3 , следователно n!=3!=6 .

Нека подредим под формата на таблица необходимите данни за прилагане на формулата .

Ние имаме

Така получихме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от ред 3 по 3, тя има формата

По подобен начин могат да се получат формули за изчисляване на детерминантите на матрици от порядък 4 на 4, 5 на 5 и по-високи. Те ще изглеждат много обемисти.

Пример.

Изчислете детерминанта на квадратна матрица около 3 на 3.

Решение.

В нашия пример

Прилагаме получената формула, за да изчислим детерминантата на матрица от трети ред:

Много често се използват формули за изчисляване на детерминантите на квадратни матрици от втори и трети ред, затова ви препоръчваме да ги запомните.

Свойства на матрична детерминанта, изчисляване на матрична детерминанта чрез свойства.

Въз основа на горното определение е вярно следното. детерминантни свойства на матрицата.

Детерминантата на матрицата A е равна на детерминантата на транспонираната матрица A T , т.е.

Пример.

Уверете се, че матричната детерминанта е равна на детерминантата на транспонираната матрица.

Решение.

Нека използваме формулата, за да изчислим детерминантата на матрица от порядък 3 на 3:

Транспонираме матрица A:

Изчислете детерминантата на транспонираната матрица:

Наистина, детерминантата на транспонираната матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица.

Ако в квадратна матрица всички елементи на поне един от редовете (една от колоните) са нула, детерминантата на такава матрица е равна на нула.

Пример.

Проверете дали матричната детерминанта ред 3 по 3 е нула.

Решение.

Наистина детерминантата на матрица с нулева колона е нула.

Ако размените всеки два реда (колони) в квадратна матрица, тогава детерминантата на получената матрица ще бъде противоположна на оригиналната (т.е. знакът ще се промени).

Пример.

Дадени са две квадратни матрици от порядък 3 на 3 и . Покажете, че техните детерминанти са противоположни.

Решение.

Матрица B се получава от матрица A чрез замяна на третия ред с първия, а първия с третия. Според разглежданото свойство детерминантите на такива матрици трябва да се различават по знак. Нека проверим това, като изчислим детерминантите с помощта на добре позната формула.

Наистина ли, .

Ако поне два реда (две колони) са еднакви в квадратна матрица, тогава нейният детерминант е равен на нула.

Пример.

Покажете, че матричната детерминанта е равно на нула.

Решение.

В тази матрица втората и третата колона са еднакви, така че според разглежданото свойство нейният детерминант трябва да е равен на нула. Нека го проверим.

Всъщност детерминантата на матрица с две същите колониима нула.

Ако в квадратна матрица всички елементи на всеки ред (колона) се умножат по някакво число k, тогава детерминантата на получената матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Например,

Пример.

Докажете, че матричната детерминанта е равно на три пъти детерминантата на матрицата .

Решение.

Елементите на първата колона на матрица B се получават от съответните елементи на първата колона на матрица A чрез умножаване по 3. Тогава по силата на разглежданото свойство следва да е спазено равенството. Нека проверим това, като изчислим детерминантите на матриците A и B.

Следователно, , което трябваше да се докаже.

ЗАБЕЛЕЖКА.

Не бъркайте и не бъркайте понятията матрица и детерминанта! Разглежданото свойство на детерминанта на матрица и операцията за умножаване на матрица по число далеч не са едно и също нещо.
, но .

Ако всички елементи на който и да е ред (колона) на квадратна матрица са сумата от s членове (s е естествено число, по-голямо от едно), тогава детерминантата на такава матрица ще бъде равна на сумата от s детерминанти на матрици, получени от оригиналния, ако като елементи на реда (колоната) оставят по един термин. Например,

Пример.

Докажете, че детерминантата на матрица е равна на сумата от детерминантите на матриците .

Решение.

В нашия пример , следователно, поради разглежданото свойство на детерминанта на матрицата, равенството . Проверяваме го, като изчисляваме съответните детерминанти на матрици от ред 2 по 2, като използваме формулата .

От получените резултати се вижда, че . Това завършва доказателството.

Ако към елементите на някакъв ред (колона) на матрицата добавим съответните елементи на друг ред (колона), умножени по произволно число k, тогава детерминантата на получената матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица.

Пример.

Уверете се, че ако елементите от третата колона на матрицата добавете съответните елементи от втората колона на тази матрица, умножени по (-2), и добавете съответните елементи от първата колона на матрицата, умножени по произволно реално число, тогава детерминантата на получената матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица.

Решение.

Ако изхождаме от разглежданото свойство на детерминантата, то детерминантата на матрицата, получена след всички преобразувания, посочени в задачата, ще бъде равна на детерминантата на матрицата A.

Първо, изчисляваме детерминантата на оригиналната матрица A:

Сега нека извършим необходимите трансформации на матрицата A.

Нека добавим към елементите от третата колона на матрицата съответните елементи от втората колона на матрицата, като преди това сме ги умножили по (-2) . След това матрицата ще изглежда така:

Към елементите на третата колона на получената матрица добавяме съответните елементи на първата колона, умножени по:

Изчислете детерминантата на получената матрица и се уверете, че тя е равна на детерминантата на матрицата A, тоест -24:

Детерминантата на квадратна матрица е сумата от продуктите на елементите на всеки ред (колона) по техните алгебрични добавки.

Ето алгебричното допълнение на матричния елемент , .

Това свойство позволява изчисляване на детерминанти на матрици с порядък по-висок от 3 на 3 чрез редуцирането им до сумата от няколко детерминанти на матрици на порядък с един по-нисък. С други думи, това е рекурентна формула за изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от всякакъв ред. Препоръчваме ви да го запомните поради доста честата му приложимост.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

ред 4 по 4, разширявайки го

по елементи от 3-ти ред,
от елементите на 2-ра колона.

Решение.

Използваме формулата за разширяване на детерминантата с елементите на 3-ти ред

Ние имаме

Така проблемът за намиране на детерминанта на матрица от порядък 4 на 4 беше намален до изчисляването на три детерминанта на матрици от порядък 3 на 3:

Замествайки получените стойности, стигаме до резултата:

Използваме формулата за разширяване на детерминантата с елементите на 2-ра колона

и действаме по същия начин.

Няма да описваме подробно изчисляването на детерминантите на матрици от трети ред.

Пример.

Изчисляване на детерминанта на матрицата около 4 на 4.

Решение.

Можете да разложите детерминанта на матрицата на елементи от всяка колона или всеки ред, но е по-полезно да изберете реда или колоната, които съдържат най-голям брой нулеви елементи, тъй като това ще помогне да се избегнат ненужни изчисления. Нека разширим детерминантата с елементите на първия ред:

Изчисляваме получените детерминанти на матрици от ред 3 на 3 по известната ни формула:

Заменяме резултатите и получаваме желаната стойност

Пример.

Изчисляване на детерминанта на матрицата около 5 на 5.

Решение.

Четвъртият ред на матрицата има най-голям брой нулеви елементи сред всички редове и колони, така че е препоръчително детерминантата на матрицата да се разшири точно с елементите на четвъртия ред, тъй като в този случай се нуждаем от по-малко изчисления.

Получените детерминанти на матрици от порядъка 4 на 4 бяха намерени в предишните примери, така че ще използваме готовите резултати:

Пример.

Изчисляване на детерминанта на матрицата около 7 на 7.

Решение.

Не трябва веднага да бързате да разложите детерминантата по елементите на всеки ред или колона. Ако се вгледате внимателно в матрицата, ще забележите, че елементите от шестия ред на матрицата могат да бъдат получени чрез умножаване на съответните елементи от втория ред по две. Тоест, ако добавим съответните елементи на втория ред, умножени по (-2) към елементите на шестия ред, тогава детерминантата няма да се промени поради седмото свойство и шестият ред на получената матрица ще се състои от нули. Детерминантата на такава матрица е равна на нула по второто свойство.

Отговор:

Трябва да се отбележи, че разглежданото свойство позволява да се изчислят детерминантите на матрици от всякакъв ред, но трябва да се извършат много изчислителни операции. В повечето случаи е по-изгодно да се намери детерминантата на матрици с порядък по-висок от трети по метода на Гаус, който ще разгледаме по-долу.

Сумата от произведенията на елементите на всеки ред (колона) на квадратна матрица и алгебричните допълнения на съответните елементи на друг ред (колона) е равна на нула.

Пример.

Покажете, че сумата от продуктите на елементите от третата колона на матрицата върху алгебричните добавки на съответните елементи от първата колона е равно на нула.

Решение.

Детерминантата на произведението на квадратни матрици от един и същи ред е равна на произведението на техните детерминанти, т.е. , където m е естествено число, по-голямо от едно, A k , k=1,2,…,m са квадратни матрици от същия ред.

Пример.

Уверете се, че детерминантата на произведението на две матрици и е равно на произведението на техните детерминанти.

Решение.

Нека първо намерим произведението на детерминантите на матриците A и B:

Сега нека извършим умножение на матрици и изчислим детерминантата на получената матрица:

По този начин, , който трябваше да бъде показан.

Изчисляване на матричната детерминанта по метода на Гаус.

Нека опишем същността на този метод. Използвайки елементарни трансформации, матрицата A се редуцира до такава форма, че в първата колона всички елементи с изключение на стават нула (това винаги е възможно, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула). Ще опишем тази процедура малко по-късно, но сега ще обясним защо се прави това. Получават се нулеви елементи, за да се получи най-простото разширение на детерминантата върху елементите на първата колона. След такова преобразуване на матрицата A, като се вземе предвид осмото свойство и , получаваме

където - второстепенен (n-1)-ти ред, получена от матрица A чрез изтриване на елементите от нейния първи ред и първа колона.

С матрицата, на която отговаря минорът, се прави същата процедура за получаване на нулеви елементи в първата колона. И така до окончателното изчисляване на детерминантата.

Сега остава да отговорим на въпроса: "Как да получа нулеви елементи в първата колона"?

Нека опишем алгоритъма на действията.

Ако , то елементите от първия ред на матрицата се добавят към съответните елементи от k-тия ред, в който . (Ако без изключение всички елементи от първата колона на матрицата A са нула, тогава нейният детерминант е нула по второто свойство и не е необходим метод на Гаус). След такава трансформация "новият" елемент ще бъде различен от нула. Детерминантата на "новата" матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица поради седмото свойство.

Сега имаме матрица, която има . Когато към елементите на втория ред добавим съответните елементи на първия ред, умножени по , към елементите на третия ред, съответните елементи на първия ред, умножени по . И така нататък. В заключение, към елементите на n-тия ред добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Така ще се получи трансформираната матрица A, всички елементи от първата колона на която, с изключение на , ще бъдат нула. Детерминантата на получената матрица ще бъде равна на детерминантата на оригиналната матрица поради седмото свойство.

Нека анализираме метода при решаване на пример, така че ще бъде по-ясно.

Пример.

Изчислете детерминантата на матрица от порядък 5 на 5 .

Решение.

Нека използваме метода на Гаус. Нека преобразуваме матрицата A така, че всички елементи от първата й колона, с изключение на , да станат нула.

Тъй като елементът първоначално е , тогава добавяме към елементите на първия ред на матрицата съответните елементи, например втория ред, тъй като:

Знакът "~" означава еквивалентност.

Сега добавяме към елементите от втория ред съответните елементи от първия ред, умножени по , към елементите от третия ред - съответните елементи от първия ред, умножени по и продължете по същия начин до шестия ред:

Получаваме

с матрица извършваме същата процедура за получаване на нулеви елементи в първата колона:

Следователно,

Сега извършваме трансформации с матрицата :

Коментирайте.

На някакъв етап от преобразуването на матрицата по метода на Гаус може да възникне ситуация, когато всички елементи от последните няколко реда на матрицата станат нула. Това ще говори за равенството на детерминантата на нула.

Обобщете.

Детерминантата на квадратна матрица, чиито елементи са числа, е число. Разгледахме три начина за изчисляване на детерминантата:

чрез сумата от произведенията на комбинации от матрични елементи;
чрез разширяване на детерминантата от елементите на реда или колоната на матрицата;
методът за намаляване на матрицата до горната триъгълна (по метода на Гаус).

Получени са формули за изчисляване на детерминантите на матрици от ред 2 по 2 и 3 по 3 .

Анализирахме свойствата на матричната детерминанта. Някои от тях ви позволяват бързо да разберете, че детерминантата е нула.

При изчисляване на детерминантите на матрици от порядък по-висок от 3 на 3 е препоръчително да използвате метода на Гаус: извършете елементарни трансформации на матрицата и я приведете до горната триъгълна. Детерминантата на такава матрица е равна на произведението на всички елементи на главния диагонал.

1. Детерминантата не се променя по време на транспониране.

2. Ако един от редовете на детерминантата се състои от нули, то детерминантата е равна на нула.

3. Ако два реда се пренаредят в детерминантата, детерминантата ще промени знака.

4. Детерминантата, съдържаща два еднакви низа, е равна на нула.

5. Ако всички елементи от някакъв ред на детерминантата се умножат по някакво число k, то самата детерминанта ще бъде умножена по k.

6. Детерминантата, съдържаща два пропорционални реда, е равна на нула.

7. Ако всички елементи на i-тия ред на детерминантата се представят като сума от два члена a i j = b j + c j (j= ), то детерминантата е равна на сумата от детерминантите, в която всички редове, с изключение на за i-тия ред са същите като в дадената детерминанта , a i-ти редв единия член се състои от елементи b j , в другия - от елементи c j .

8. Детерминантата не се променя, ако съответните елементи на друг ред, умножени по същото число, се добавят към елементите на един от неговите редове.

Коментирайте.Всички свойства остават валидни, ако се вземат колони вместо редове.

Незначителен M i j на елемента a i j от детерминантата d от n-ти ред е детерминантата от реда n-1, която се получава от d чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи този елемент.

Алгебрично събиранеелемент a i j на детерминантата d е неговият минор M i j , взет със знака (-1) i + j . Алгебричното допълнение на елемента a i j ще бъде означено с A i j . Така A i j = (-1) i + j M i j .

Методи за практическо изчисляване на детерминанти, основани на факта, че детерминантата от ред n може да бъде изразена чрез детерминанти от по-ниски редове, са дадени от следната теорема.

Теорема (разлагане на детерминантата в ред или колона).

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на всички елементи на неговия произволен ред (или колона) и техните алгебрични допълнения. С други думи, има разширение на d по отношение на i-ти елементиредове d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

или j-та колона d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

По-специално, ако всички елементи на ред (или колона) с изключение на един са равни на нула, тогава детерминантата е равна на този елемент, умножен по неговото алгебрично допълнение.

Пример 1.4.Без изчисляване на детерминантата , показват, че е равно на нула. Решение.Извадете първия ред от втория ред, получаваме детерминантата равен на оригинала. Ако извадим първия ред от третия ред, получаваме детерминантата , в който двата реда са пропорционални. Тази детерминанта е нула.

Пример 1.5.Изчислете детерминантата D = , разширявайки го с елементите на втората колона.

Решение.Нека разширим детерминантата с елементите на втората колона:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Пример 1.6.Изчислителна детерминанта

А=
, при което всички елементи от едната страна на главния диагонал са равни на нула. Решение.Нека разширим детерминантата A в първия ред: A = a 11 A 11 = . Детерминантата вдясно може да бъде разширена отново по първия ред, тогава получаваме:

А=
.И така нататък. След n стъпки стигаме до равенството A = a 11 a 22... a nn.

3.Основни понятия за системите линейни уравнения. Теорема на Крамър.

Определение. Система от линейни уравненияе обединението на нлинейни уравнения, всяко от които съдържа кпроменливи. Написано е така:

Мнозина, когато се сблъскат с по-висока алгебра за първи път, погрешно смятат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено е така, но за висшата алгебра това, общо казано, не е вярно.

Определение. Решаване на система от уравненияе поредица от числа ( к 1 ,к 2 , ..., k n), което е решение на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливи х 1 , х 2 , ..., x nдава правилната цифрова стойност.

съответно реши системата от уравненияозначава да се намери множеството от всички негови решения или да се докаже, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не са еднакви, възможни са три случая:

1. Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, независимо от метода за решаване на системата.

2. Системата е последователна и дефинирана, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.

3. Системата е съвместима и не е дефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се каже, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е подредено това множество.

Определение. Променлива x iНаречен позволен, ако е включено само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в останалите уравнения коефициентът на променливата x iтрябва да е равно на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща изходна система може да се сведе до различни разрешени системи, но това сега не ни засяга. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са разрешени по отношение на променливите х 1 , х 3 и хчетири . Въпреки това, със същия успех може да се твърди, че втората система е разрешена относително х 1 , х 3 и х 5. Достатъчно е да пренапишем последното уравнение като х 5 = х 4 .

Сега разгледайте един по-общ случай. Нека имаме всичко кпроменливи, от които rса разрешени. Тогава са възможни два случая:

1. Брой разрешени променливи rе равен на общия брой променливи к: r = к. Получаваме системата от куравнения, в които r = кпозволени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к х 1 = b 1 , х 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Брой разрешени променливи rпо-малко общ бройпроменливи к: r < к. Остатъка ( к − r) променливите се наричат свободни - те могат да приемат всякакви стойности, от които лесно се изчисляват разрешените променливи.

Така в горните системи променливите х 2 , х 5 , х 6 (за първата система) и х 2 , х 5 (за второ) са безплатни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема...

Как да решим?: – Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместването („училищен метод”).
– Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравнения на системата.
–Решение на системата по формулите на Крамер.
–Решение на системата с помощта на обратната матрица.
–Решаване на системата по метода на Гаус.

КРАМЕР

Първо, разгледайте правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. Има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават точно по правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основният детерминант на системата.

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамър няма да помогне, трябва да използвате Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти: и

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинската буква.

Корените на уравнението се намират по формулите:

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практически задачив математиката взех тази система от иконометричен проблем.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай със сигурност ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

Така че системата има уникално решение.

;

Както можете да видите, корените се оказаха ирационални и бяха намерени приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за проблемите на иконометрията.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава по готови формули, но има едно предупреждение. При използване този метод, задължителноФрагментът на заданието е следният фрагмент: « , така че системата има уникално решение . В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Няма да е излишно да проверите, което е удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да се получат числа, които са от дясната страна.

Формули на Крамер

Методът на Крамър е, че последователно намираме главен системен идентификатор(5.3), т.е. детерминанта на матрица А

и n спомагателни детерминанти D i (i= ), които се получават от детерминантата D чрез замяна на i-тата колона с колона от свободни членове.

Формулите на Крамер имат формата:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

От (5.4) следва правилото на Крамър, което дава изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на система (5.3): ако основният детерминант на системата е различен от нула, тогава системата има единствено решение, което се определя от формулите:

Ако основната детерминанта на системата D и всички спомагателни детерминанти D i = 0 (i= ), то системата има безкраен брой решения. Ако основната детерминанта на системата D = 0 и поне една спомагателна детерминанта е различна от нула, тогава системата е непоследователна.

Пример 1.14. Решете системата от уравнения по метода на Крамер:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

Решение.Основната детерминанта на тази система D = = -142 ¹ 0, така че системата има уникално решение. Нека изчислим спомагателните детерминанти D i (i= ), получени от детерминантата D, като заменим в нея колона, състояща се от коефициенти при x i с колона от свободни членове: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D4= = 142. Следователно x 1 = D 1 / D = 1, x 2 = D 2 / D = 2, x 3 = D 3 / D = 3, x 4 = D 4 / D = -1, решението на системата е вектор C =(1, 2, 3, -1) T .

Основни понятия за системите линейни уравнения. Метод на Гаус.

ВИЖ ПО-ГОРЕ.

Метод на Гаус-Джордан(метод на пълно елиминиране на неизвестни) - метод, който се използва за решаване на квадратни системи от линейни алгебрични уравнения, намиране на обратното на матрица, намиране на координатите на вектор в даден базис или намиране на ранга на матрица. Методът е модификация на метода на Гаус.

Алгоритъм

1. Изберете първата лява колона на матрицата, която има поне една ненулева стойност.

2. Ако най-горното число в тази колона е нула, тогава сменете целия първи ред на матрицата с друг ред на матрицата, където няма нула в тази колона.

3. Всички елементи на първия ред са разделени от най-горния елемент на избраната колона.

4. От останалите редове извадете първия ред, умножен по първия елемент на съответния ред, за да получите първия елемент на всеки ред (с изключение на първия) нула.

6. След еднократно повторение на тази процедура се получава горна триъгълна матрица

7. Извадете от предпоследния ред последния ред, умножен по съответния коефициент, така че в предпоследния ред да остане само 1 по главния диагонал.

8. Повторете предишната стъпка за следващите редове. В резултат на това се получава матрица за идентичност и решение на мястото на свободен вектор (необходимо е да се извършат всички същите трансформации с него).

9. За да получите обратната матрица, трябва да приложите всички операции в същия ред към матрицата за идентичност.

Метод на Гаус

Исторически първият, най-често срещан метод за решаване на системи от линейни уравнения е методът на Гаус или методът на последователно елиминиране на неизвестни. Същността на този метод е, че чрез последователни елиминации на неизвестни тази системасе превръща в стъпаловидна (по-специално триъгълна) система, еквивалентна на дадената. При практическото решение на система от линейни уравнения по метода на Гаус е по-удобно да се намали до стъпаловидна форма не самата система от уравнения, а разширената матрица на тази система, извършвайки елементарни трансформации на нейните редове. Последователно получените по време на трансформацията матрици обикновено се свързват със знак за еквивалентност.

Пример 1.13. Решете системата от уравнения по метода на Гаус: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Решение.Ние пишем разширената матрица на тази система

и извършете следните елементарни трансформации на неговите редове: а) извадете първия ред от втория и третия ред, умножени съответно по 3 и 2: ~ ;

б) умножете третия ред по (-5) и добавете втория към него: .

В резултат на всички тези трансформации тази система се свежда до триъгълна форма: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

От последното уравнение намираме z = -1,3. Замествайки тази стойност във второто уравнение, имаме y = -1,2. Освен това от първото уравнение получаваме x = - 0,7

ОТ ТЕТРАДКАТА:

Метод на Гаус

Методът се състои от две части – предна и обратна.

Директното движение се състои в поведението на разширяване на SLE матрицата до стъпаловидна форма с помощта на елементарни редови трансформации. В стъпаловидна матрица всеки следващ ред има повече нули в началото от предишния - или е нула

Пример:

Елементарното преобразуване на редовете на матрицата е:

1) добавяне на числата от един ред на матрицата, умножени по някакво число, към един от долните редове на матрицата.

2) Променете два реда на места

Обратното движение на метода на Гаус се състои в последователното изразяване на някои променливи по отношение на други, започвайки от долната нулева линия. Резултатът е общо решение.

След хода напред има 3 опции за стъпаловиден тип на разширената матрица:

1) Всеки следващ ред има в началото точно повече от една нула повече от предишния

Пример:

Пишем уравнението ред по ред и започваме да намираме стойността на променливите от долния ред.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

Заместете в предишното уравнение

2X 3 -3X 4 \u003d -8 т.е. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 или 2X 3 \u003d -2, Þ X 3 \u003d -1, заместете X3 и X4 във втория ред и т.н. Получаваме единственото решение на SLU

2) Броят на ненулевите редове е по-малък от броя на променливите. Тогава един от редовете съдържа нули в началото поне с 2 повече от предишния и считаме, че следващият ненулев ред няма формата (0 ... 0 b), където числото b=0

Например:

3) Последният ненулев ред има формата (0…0/b), където b=0 съответства на противоречиви равенства o=b, така че системата е несъвместима

Решение на SLE по метода на Гаус

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4X 1 + 5X 2 + 4X 3 = 7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Съставяме разширената матрица на директния ход.

· детерминант квадрат матрици A от n-ти ред или детерминанта от n-ти ред се нарича число, равно на алгебричната сума П! членове, всеки от които е продукт Пматрични елементи, взети по един от всеки ред и всяка колона с определени знаци. Детерминантата се означава с или.

Детерминанта от втори реде число, изразено по следния начин: . Например .

Детерминанта от трети редизчислено по правилото на триъгълниците (правило на Сарус): .

Пример. .

Коментирайте. На практика детерминанти от трети ред, както и по-високи редове, се изчисляват с помощта на свойствата на детерминантите.

Свойства на детерминанти от n-ти ред.

1. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако всеки ред (колона) се замени с колона (ред) със същия номер - транспонирам.

2. Ако един от редовете (колоната) на детерминантата се състои от нули, то стойността на детерминантата е нула.

3. Ако два реда (колони) се сменят в детерминантата, тогава абсолютната стойност на детерминантата няма да се промени, а знакът ще се промени на противоположния.

4. Детерминантата, съдържаща два еднакви реда (колони), е равна на нула.

5. Общият множител на всички елементи на ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.

· Незначителен някакъв елемент от детерминантата Пти ред се нарича детерминанта ( П-1)-ти ред, получен от оригинала чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира избраният елемент. Обозначаване: .

· Алгебрично събиране елемент от определителя се нарича негов минор, взет със знака . Обозначение: Така =.

6. Детерминантата на квадратна матрица е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (или колона) и техните алгебрични допълнения ( теорема за разлагане).

7. Ако всеки елемент от -тия ред е сумата кусловия, тогава детерминантата се представя като сума кдетерминанти, в които всички редове, с изключение на -тия ред, са същите като в оригиналния детерминант, а -тият ред в първия детерминант се състои от първите членове, във втория - от втория и т.н. Същото важи и за колоните.

8. Детерминантата няма да се промени, ако към един от редовете (колоните) се добави друг ред (колона), умножен по число.

Последица. Ако линейна комбинация от другите му редове (колони) се добави към реда (колоната) на детерминантата, тогава детерминантата няма да се промени.

9. Детерминантата на диагонална матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал, т.е.

Коментирайте. Детерминантата на триъгълна матрица също е равна на произведението на елементите на главния диагонал.

Изброените свойства на детерминантите позволяват значително да се опрости тяхното изчисляване, което е особено важно за детерминанти от висок ред. В този случай е препоръчително да се трансформира оригиналната матрица по такъв начин, че трансформираната матрица да има ред или колона, съдържащи възможно най-много нули („нулиране“ на редове или колони).

Примери.Изчислете отново детерминантата, дадена в предишния пример, като използвате свойствата на детерминантите.

Решение: Обърнете внимание, че в първия ред има общ множител - 2, а във втория - общ множител 3, ще ги извадим от детерминантния знак (по свойство 5). След това разширяваме детерминантата, например в първата колона, използвайки свойство 6 (теорема за разширение).

Най-ефективният метод за редуциране на детерминанта до диагонална или триъгълна форма . За да се изчисли детерминантата на матрица, е достатъчно да се извърши трансформация на матрицата, която не променя детерминантата и дава възможност матрицата да се превърне в диагонална.

В заключение отбелязваме, че ако детерминантата на квадратна матрица е равна на нула, тогава матрицата се нарича изродени (или специален) , в противен случай - неизродени .

Тук ще бъдат посочени онези свойства, които обикновено се използват за изчисляване на детерминанти в стандартния курс на висшата математика. Това е второстепенна тема, към която ще се позоваваме в останалите раздели, ако е необходимо.

И така, дадена е квадратна матрица $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( масив )\вдясно)$. Всяка квадратна матрица има характеристика, наречена детерминанта (или детерминанта). Тук няма да навлизам в същността на това понятие. Ако се нуждае от пояснение, моля, пишете за това във форума и аз ще засегна този въпрос по-подробно.

Детерминантата на матрицата $A$ се означава като $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Определящ редравен на броя на редовете (колоните) в него.

Стойността на детерминантата няма да се промени, ако нейните редове се заменят със съответните колони, т.е. $\Делта A=\Делта A^T$.
Покажи скрий

Нека заменим редовете в него с колони според принципа: "имаше първият ред - стана първата колона", "имаше вторият ред - стана втората колона":

Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Както можете да видите, стойността на детерминантата не се е променила от замяната.
Ако размените два реда (колони) на детерминантата, тогава знакът на детерминантата ще се промени на противоположния.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Помислете за $\left| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|$. Нека намерим стойността му по формула №1 от темата за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(масив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Сега нека разменим първия и втория ред. Вземете детерминанта $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|$. Нека изчислим получената детерминанта: $\left| \begin(масив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(масив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. И така, стойността на първоначалната детерминанта беше (-37), а стойността на детерминантата с променения ред на реда е $-(-37)=37$. Знакът на определителя се е променил на противоположния.
Детерминанта, в която всички елементи на ред (колона) са равни на нула, е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ всички елементи от третата колона са нула, тогава детерминантата е нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(масив) \right|=0$.
Детерминанта, в която всички елементи от даден ред (колона) са равни на съответните елементи от друг ред (колона), е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(масив) \right|$ всички елементи от първия ред са равни на съответния елементи от втория ред, то детерминантата е нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.
Ако в детерминантата всички елементи от един ред (колона) са пропорционални на съответните елементи от друг ред (колона), тогава такава детерминанта е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Тъй като в $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ вторият и третият ред са пропорционални, т.е. $r_3=-3\cdot(r_2)$, то детерминантата е равна на нула, т.е. $\ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.
Ако всички елементи на ред (колона) имат общ фактор, тогава този фактор може да бъде изваден от знака на детерминантата.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Помислете за $\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|$. Имайте предвид, че всички елементи от втория ред се делят на 3:
$$\ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|$$
Числото 3 е общият множител на всички елементи от втория ред. Нека извадим тройката от определящия знак:
$$ \ляво| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(масив) \right|=\left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(масив) \right|= 3\cdot \left| \begin(масив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(масив) \right| $$
Детерминантата не се променя, ако към всички елементи на даден ред (колона) добавим съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Помислете за $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека добавим към елементите от втория ред съответните елементи от третия ред, умножени по 5. Напишете това действие по следния начин: $r_2+5\cdot(r_3)$. Вторият ред ще бъде променен, останалите редове ще останат непроменени.
$$ \ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|. $$
Ако даден ред (колона) в детерминантата е линейна комбинация от други редове (колони), то детерминантата е равна на нула.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Веднага ще обясня какво означава фразата "линейна комбинация". Нека имаме s реда (или колони): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Изразяване
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
където $k_i\in R$ се нарича линейна комбинация от редове (колони) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Например, разгледайте следната детерминанта:
$$ \ляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \край (масив)\десен| $$
В тази детерминанта четвъртият ред може да бъде изразен като линейна комбинация от първите три реда:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Следователно разглежданата детерминанта е равна на нула.
Ако всеки елемент от определен k-ти ред (k-та колона) на детерминанта е равен на сумата от два члена, тогава такава детерминанта е равна на сумата от детерминанти, първата от които има k-ти ред (k-та колона) имат първите членове, а втората детерминанта в k-тия ред (k-тата колона) има вторите членове. Другите елементи на тези детерминанти са еднакви.
Пример за използване на това свойство: show\hide

Помислете за $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|$. Нека запишем елементите на втората колона така: $\left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|$. Тогава такава детерминанта е равна на сумата от две детерминанти:
$$ \ляво| \begin(масив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(масив) \right|= \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(масив) \right|+ \left| \begin(масив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(масив) \right| $$
Детерминантата на произведението на две квадратни матрици от един и същи ред е равна на произведението на детерминантите на тези матрици, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. От това правило можете да получите следната формула: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Ако матрицата $A$ е неособена (т.е. нейният детерминант не е равен на нула), тогава $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Формули за изчисляване на детерминанти

За детерминанти от втори и трети ред са верни следните формули:

\begin(equation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(подравнено) \end(equation)

Примери за прилагане на формули (1) и (2) има в темата "Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред. Примери за изчисляване на детерминанти" .

Детерминантата на матрицата $A_(n\times n)$ може да бъде разширена по отношение на i-ти редизползвайки следната формула:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \край (уравнение)

Съществува аналог на тази формула и за колони. Формулата за разширяване на детерминантата в j-тата колона е следната:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(уравнение)

Правилата, изразени с формули (3) и (4), са подробно илюстрирани с примери и обяснени в темата Намаляване на реда на детерминанта. Разлагане на детерминантата в ред (колона).

Посочваме още една формула за изчисляване на детерминантите на горни триъгълни и долни триъгълни матрици (за обяснение на тези термини вижте темата "Матрици. Видове матрици. Основни термини"). Детерминантата на такава матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал. Примери:

\begin(aligned) &\left| \begin(масив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(масив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(масив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(масив) \ дясно|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \край (подравнено)

Детерминанта: det, ||, детерминанта.

Детерминантата не е матрица, а число.

Как да намерим детерминантата на матрица?

За да намерим детерминантата на матрица, въвеждаме понятието "незначителен". Нотация: M ij - минор, M ij 2 - минор от втори ред (детерминанта на матрицата 2 * 2) и т.н.

За да намерите минора за елемента a ij , изтрийте i-тия ред от матрицата A и j-та колона. Получаваме матрица с размери n-1 * m-1, намираме детерминанта на тази матрица.

Пример: намерете минор от втори порядък за елемент a 12 от матрица A:

Задраскваме 1-ви ред и 2-ра колона от матрицата А. Получаваме матрица с размери 2 * 2, намираме детерминанта на тази матрица:

Така че минор не е матрица, а число.

Пример: намерете детерминанта (в общ вид) на матрица 2*2 чрез разгъване в 1) редове; 2) колона:

По ред: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* а 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

По колона: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* а 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

Лесно се вижда, че се получава същият резултат.

По този начин, за да се намери детерминантата на матрицата 2 * 2, е достатъчно да се извади продуктът на елементите на страничния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал:

Как бързо да изчислим детерминанта от трети ред?

За да изчислите детерминанта от трети ред, използвайте правило на триъгълника(или "звездички").

1. Умножете елементите на главния диагонал: det(A)=11*22*33...

2. Добавете произведението на "триъгълници с основи, успоредни на главния диагонал" към получения продукт: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. Всичко свързано с второстепенния диагонал се взема със знака "-". Умножете елементите на вторичния диагонал и извадете: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. Подобно на "главните триъгълници" умножаваме страничните и изваждаме: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23* 32-33*12*21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

Свойства на матричната детерминанта.

При размяна на два успоредни реда или колони на детерминанта знакът й се обръща;
Детерминанта, съдържаща два еднакви реда или колони, е равна на нула;
Ако един от редовете на детерминантата се умножи по някакво число, тогава детерминантата ще бъде равна на оригиналната детерминанта, умножена по това число;
Когато една матрица се транспонира, нейната детерминанта не променя стойността си;
Ако в детерминанта, вместо който и да е ред, напишете сумата от този ред и всеки друг ред, умножена по някакво число, тогава полученият нов детерминант ще бъде равен на оригиналния;
Ако всеки елемент от който и да е ред или колона на детерминанта е представен като сума от два члена, тогава тази детерминанта може да бъде разложена на сумата от две съответни детерминанти;
Общият множител на елементите на всеки ред или колона на детерминантата може да бъде изваден от знака на детерминантата.