Maximálna energia kondenzátora v oscilačnom obvode je vzorec. Oscilačný obvod. Thomsonov vzorec. Aký je ideálny oscilačný obvod

V elektrických obvodoch, ako aj v mechanických systémoch, ako je pružinové závažie alebo kyvadlo, voľné vibrácie.

Elektromagnetické vibrácienazývané periodické vzájomne súvisiace zmeny náboja, prúdu a napätia.

zadarmooscilácie sa nazývajú tie, ktoré sa vyskytujú bez vonkajšieho vplyvu v dôsledku pôvodne nahromadenej energie.

nútenýsa nazývajú kmity v obvode pôsobením vonkajšej periodickej elektromotorickej sily

Voľné elektromagnetické oscilácie periodicky sa opakujúce zmeny elektromagnetických veličín (q- nabíjačka,ja- sila prúdu,U- potenciálny rozdiel) vyskytujúci sa bez spotreby energie z externých zdrojov.

Najjednoduchší elektrický systém, ktorý môže voľne oscilovať, je sériová RLC slučka alebo oscilačný obvod.

Oscilačný obvod -je systém pozostávajúci zo sériovo zapojených kapacitných kondenzátorovC, induktoryL a vodič s odporomR

Uvažujme uzavretý oscilačný obvod pozostávajúci z indukčnosti L a kontajnery OD.

Na vybudenie kmitov v tomto obvode je potrebné informovať kondenzátor o určitom náboji zo zdroja ε . Keď kľúč K je v polohe 1, kondenzátor je nabitý na napätie. Po prepnutí kľúča do polohy 2 sa začne proces vybíjania kondenzátora cez odpor R a induktor L. Za určitých podmienok môže byť tento proces oscilačný.

Na obrazovke osciloskopu je možné pozorovať voľné elektromagnetické oscilácie.

Ako je možné vidieť z oscilačného grafu získaného na osciloskope, sú to voľné elektromagnetické oscilácie blednutiu t.j. ich amplitúda s časom klesá. Časť elektrickej energie na aktívnom odpore R sa totiž premieňa na vnútornú energiu. vodič (vodič sa zahrieva, keď ním prechádza elektrický prúd).

Uvažujme, ako sa v oscilačnom obvode vyskytujú oscilácie a aké zmeny energie v tomto prípade nastávajú. Zoberme si najprv prípad, keď v obvode nedochádza k žiadnym stratám elektromagnetickej energie ( R = 0).

Ak nabíjate kondenzátor na napätie U 0, potom v počiatočnom čase t 1 = 0 sa na doskách kondenzátora stanovia hodnoty amplitúdy napätia U 0 a náboja q 0 = CU 0.

Celková energia W systému sa rovná energii elektrického poľa W el:

Ak je okruh uzavretý, začne prúdiť prúd. V obvode sa objaví EMF. samoindukcia

V dôsledku samoindukcie v cievke sa kondenzátor nevybíja okamžite, ale postupne (keďže podľa Lenzovho pravidla výsledný indukčný prúd svojim magnetickým poľom pôsobí proti zmene magnetického toku, ktorou je spôsobený. Tzn. magnetické pole indukčného prúdu neumožňuje okamžitému zvýšeniu magnetického toku prúdu v slučke). V tomto prípade sa prúd postupne zvyšuje, pričom svoju maximálnu hodnotu Io dosiahne v čase t2 = T/4 a náboj na kondenzátore sa rovná nule.

Keď sa kondenzátor vybíja, energia elektrického poľa klesá, ale zároveň sa zvyšuje energia magnetického poľa. Celková energia obvodu po vybití kondenzátora sa rovná energii magnetického poľa W m:

V ďalšom časovom okamihu prúd tečie rovnakým smerom a klesá na nulu, čo spôsobí dobitie kondenzátora. Prúd sa nezastaví okamžite po vybití kondenzátora v dôsledku samoindukcie (teraz magnetické pole indukčného prúdu neumožňuje, aby sa magnetický tok prúdu v obvode okamžite znížil). V čase t 3 \u003d T / 2 je nabitie kondenzátora opäť maximálne a rovné počiatočnému náboju q \u003d q 0, napätie sa tiež rovná počiatočnému U \u003d U 0 a prúd v obvode je nula I \u003d 0.

Potom sa kondenzátor opäť vybije, prúd tečie cez induktor v opačnom smere. Po čase T sa systém vráti do pôvodného stavu. Kompletná oscilácia je dokončená, proces sa opakuje.

Graf zmeny náboja a intenzity prúdu s voľnými elektromagnetickými osciláciami v obvode ukazuje, že kolísanie sily prúdu zaostáva za kolísaním náboja o π/2.

V každom danom čase je celková energia:

Pri voľných vibráciách dochádza k periodickej premene elektrickej energie W e, uložený v kondenzátore, na magnetickú energiu W m cievka a naopak. Ak v oscilačnom obvode nie sú žiadne straty energie, potom celková elektromagnetická energia systému zostáva konštantná.

Voľné elektrické vibrácie sú podobné mechanickým vibráciám. Obrázok ukazuje grafy zmeny náboja q(t) kondenzátor a predpätie X(t) zaťaženie z rovnovážnej polohy, ako aj aktuálne grafy ja(t) a rýchlosť zaťaženia υ( t) na jednu periódu oscilácie.

Pri absencii tlmenia dochádza k voľným osciláciám v elektrický obvod sú harmonický, teda vyskytujú sa podľa zákona

q(t) = q 0 cos(ω t + φ 0)

možnosti L a C oscilačný obvod určuje iba vlastnú frekvenciu voľných kmitov a periódu kmitov - Thompsonov vzorec

Amplitúda q 0 a počiatočná fáza φ 0 sú určené počiatočné podmienky, teda spôsob, akým sa systém dostal z rovnováhy.

Pre kolísanie náboja, napätia a prúdu sa získajú vzorce:

Pre kondenzátor:

q(t) = q 0 cosω 0 t

U(t) = U 0 cosω 0 t

Pre induktor:

i(t) = ja 0 cos(ω 0 t+ π/2)

U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)

Spomeňme si hlavné charakteristiky kmitavého pohybu:

q 0, U 0 , ja 0 - amplitúda– modul najväčšiu hodnotu kolísajúca hodnota

T - obdobie- minimálny časový interval, po ktorom sa proces úplne zopakuje

ν - Frekvencia- počet kmitov za jednotku času

ω - Cyklická frekvencia je počet kmitov za 2n sekúnd

φ - oscilačná fáza- hodnota stojaca pod kosínusovým (sínusovým) znamienkom a charakterizujúca stav systému v ľubovoľnom čase.

Pokroky v štúdiu elektromagnetizmu v 19. storočí viedli k prudkému rozvoju priemyslu a techniky, najmä čo sa týka komunikácií. Pri kladení telegrafných liniek na veľké vzdialenosti sa inžinieri stretli s množstvom nevysvetliteľných javov, ktoré podnietili vedcov k výskumu. Takže v 50-tych rokoch sa britský fyzik William Thomson (Lord Kelvin) chopil otázky transatlantickej telegrafie. Vzhľadom na zlyhania prvých praktizujúcich teoreticky skúmal problematiku šírenia elektrických impulzov po kábli. Zároveň Kelvin dostal množstvo dôležitých záverov, ktoré neskôr umožnili vykonávať telegrafiu cez oceán. V roku 1853 tiež britský fyzik odvodil podmienky existencie oscilačného elektrického výboja. Tieto podmienky tvorili základ celej doktríny elektrických oscilácií. V tejto lekcii a v ďalších lekciách tejto kapitoly sa pozrieme na niektoré základy Thomsonovej teórie elektrických kmitov.

Periodické alebo takmer periodické zmeny náboja, prúdu a napätia v obvode sa nazývajú elektromagnetické vibrácie. Možno uviesť ešte jednu definíciu.

Elektromagnetické vibrácie sa nazývajú periodické zmeny intenzity elektrického poľa ( E) a magnetická indukcia ( B).

Na vybudenie elektromagnetických kmitov je potrebné mať oscilačný systém. Najjednoduchší oscilačný systém, v ktorom možno udržiavať voľné elektromagnetické oscilácie, sa nazýva oscilačný obvod.

Obrázok 1 ukazuje najjednoduchší oscilačný obvod - to je elektrický obvod, ktorý pozostáva z kondenzátora a vodivej cievky spojenej s doskami kondenzátora.

Ryža. 1. Oscilačný obvod

V takomto oscilačnom obvode môže dochádzať k voľným elektromagnetickým osciláciám.

zadarmo nazývajú sa oscilácie, ktoré sa vykonávajú v dôsledku energetických zásob nahromadených samotným oscilačným systémom bez priťahovania energie zvonku.

Uvažujme oscilačný obvod znázornený na obrázku 2. Pozostáva z: cievky s indukčnosťou L, kondenzátor s kapacitou C, žiarovky (na kontrolu prítomnosti prúdu v obvode), kľúč a zdroj prúdu Pomocou kľúča je možné kondenzátor pripojiť buď k zdroju prúdu alebo k cievke. V počiatočnom okamihu (kondenzátor nie je pripojený k zdroju prúdu) je napätie medzi jeho doskami 0.

Ryža. 2. Oscilačný obvod

Kondenzátor nabíjame skratovaním na jednosmerný zdroj.

Keď sa kondenzátor prepne na cievku, lampa sa na krátky čas rozsvieti, to znamená, že kondenzátor sa rýchlo vybije.

Ryža. 3. Graf závislosti napätia medzi doskami kondenzátora od času pri vybíjaní

Obrázok 3 zobrazuje graf napätia medzi doskami kondenzátora v závislosti od času. Tento graf zobrazuje časový interval od okamihu, keď sa kondenzátor prepne na cievku, do okamihu, keď je napätie na kondenzátore nulové. Je vidieť, že napätie sa periodicky menilo, to znamená, že v obvode dochádzalo k osciláciám.

V dôsledku toho v oscilačnom obvode prúdia voľné tlmené elektromagnetické oscilácie.

V počiatočnom okamihu (pred uzavretím kondenzátora k cievke) sa všetka energia sústredila v elektrickom poli kondenzátora (pozri obr. 4 a).

Keď je kondenzátor uzavretý na cievke, začne sa vybíjať. Vybíjací prúd kondenzátora prechádzajúci závitmi cievky vytvára magnetické pole. To znamená, že dochádza k zmene magnetického toku obklopujúceho cievku a dochádza v nej k EMF samoindukcie, ktorá zabraňuje okamžitému vybitiu kondenzátora, preto sa vybíjací prúd postupne zvyšuje. S nárastom vybíjacieho prúdu sa elektrické pole v kondenzátore zmenšuje, ale magnetické pole cievky sa zvyšuje (pozri obr. 4 b).

V momente, keď pole kondenzátora zmizne (kondenzátor sa vybije), magnetické pole cievky bude maximálne (pozri obr. 4 c).

Ďalej sa magnetické pole zoslabne a v obvode sa objaví samoindukčný prúd, ktorý zabráni poklesu magnetického poľa, preto bude tento samoindukčný prúd smerovaný rovnakým spôsobom ako vybíjací prúd kondenzátora. Tým dôjde k prebitiu kondenzátora. To znamená, že na podšívke, kde na začiatku bolo znamienko plus, sa objaví mínus a naopak. Smer vektora intenzity elektrického poľa v kondenzátore sa tiež zmení na opačný (pozri obr. 4 d).

Prúd v obvode zoslabne v dôsledku nárastu elektrického poľa v kondenzátore a úplne zmizne, keď pole v kondenzátore dosiahne svoju maximálnu hodnotu (pozri obr. 4e).

Ryža. 4. Procesy prebiehajúce v jednej perióde kmitov

Keď elektrické pole kondenzátora zmizne, magnetické pole opäť dosiahne svoje maximum (pozri obr. 4g).

Nabíjanie kondenzátora sa začne v dôsledku indukčného prúdu. S postupujúcim nábojom bude prúd slabnúť a s ním aj magnetické pole (pozri obr. 4h).

Keď je kondenzátor nabitý, prúd v obvode a magnetické pole zmizne. Systém sa vráti do pôvodného stavu (pozri obr. 4 e).

Uvažovali sme teda o procesoch vyskytujúcich sa v jednej perióde oscilácií.

Hodnota energie sústredenej v elektrickom poli kondenzátora v počiatočnom okamihu sa vypočíta podľa vzorca:

, kde

Nabíjanie kondenzátora; C je kapacita kondenzátora.

Po štvrtine periódy sa celá energia elektrického poľa kondenzátora premení na energiu magnetického poľa cievky, ktorá je určená vzorcom:

kde L- indukčnosť cievky, ja- sila prúdu.

Pre ľubovoľný časový okamih je súčet energií elektrického poľa kondenzátora a magnetického poľa cievky konštantnou hodnotou (ak zanedbáme útlm):

Podľa zákona o zachovaní energie zostáva celková energia obvodu konštantná, preto sa derivácia konštantnej hodnoty vzhľadom na čas bude rovnať nule:

Výpočtom časových derivácií dostaneme:

Berieme do úvahy, že okamžitá hodnota prúdu je prvou deriváciou náboja vzhľadom na čas:

V dôsledku toho:

Ak je okamžitá hodnota prúdu prvou deriváciou náboja vzhľadom na čas, potom derivácia prúdu vzhľadom na čas bude druhou deriváciou náboja vzhľadom na čas:

V dôsledku toho:

Získali sme diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením bude harmonická funkcia (náboj harmonicky závisí od času):

Frekvencia cyklického kmitania, ktorá je určená hodnotami kapacity kondenzátora a indukčnosti cievky:

Preto bude kolísanie náboja, a teda prúdu a napätia v obvode, harmonické.

Keďže perióda oscilácie je nepriamo úmerná cyklickej frekvencii, perióda sa rovná:

Tento výraz sa nazýva Thomsonov vzorec.

Bibliografia

1. Myakishev G.Ya. Fyzika: Proc. pre 11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2010.
2. Kasyanov V.A. fyzika. 11. ročník: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Drop, 2005.
3. Gendenstein L.E., Dick Yu.I., fyzika 11. - M .: Mnemosyne

1. Lms.licbb.spb.ru ().
2. home-task.com().
3. Sch130.ru ().
4. Youtube.com().

Domáca úloha

1. Čo sú elektromagnetické vlny?
2. Otázky na konci odseku 28, 30 (2) - Myakishev G.Ya. Fyzika 11 (pozri zoznam odporúčanej literatúry) ().
3. Ako prebieha transformácia energie v okruhu?

ELEKTROMAGNETICKÉ KMITY A VLNY

§1 Oscilačný obvod.

Prirodzené vibrácie v oscilačnom obvode.

Thomsonov vzorec.

Tlmené a nútené oscilácie v c.c.

1. Voľné vibrácie v c.c.

Oscilačný obvod (c.c.) je obvod pozostávajúci z kondenzátora a induktora. Za určitých podmienok v c.c. môže dochádzať k elektromagnetickým výkyvom náboja, prúdu, napätia a energie.

Zvážte obvod znázornený na obrázku 2. Ak vložíte kľúč do polohy 1, kondenzátor sa nabije a na jeho platniach sa objaví nábojQ a napätie U C. Ak potom otočíte kľúčom do polohy 2, kondenzátor sa začne vybíjať, obvodom bude prúdiť prúd, zatiaľ čo energia elektrického poľa uzavretého medzi platňami kondenzátora sa premení na energiu magnetického poľa sústredenú v induktore.L. Prítomnosť induktora vedie k tomu, že prúd v obvode sa nezvyšuje okamžite, ale postupne v dôsledku fenoménu samoindukcie. Keď sa kondenzátor vybije, náboj na jeho doskách sa zníži, prúd v obvode sa zvýši. Maximálnu hodnotu slučkového prúdu dosiahne, keď sa náboj na doskách rovná nule. Od tohto bodu začne prúd slučky klesať, ale v dôsledku fenoménu samoindukcie bude udržiavaný magnetickým poľom induktora, t.j. keď je kondenzátor úplne vybitý, energia magnetického poľa uloženého v induktore sa začne meniť na energiu elektrického poľa. Vplyvom slučkového prúdu sa kondenzátor začne dobíjať a na jeho platniach sa začne hromadiť náboj opačný ako pôvodný. Kondenzátor sa bude nabíjať dovtedy, kým sa všetka energia magnetického poľa tlmivky nepremení na energiu elektrického poľa kondenzátora. Potom sa proces bude opakovať v opačnom smere, a teda v obvode dôjde k elektromagnetickým osciláciám.

Zapíšme si 2. Kirchhoffov zákon pre uvažované k.k.,

Diferenciálna rovnica k.k.

Získali sme diferenciálnu rovnicu pre oscilácie náboja v c.c. Táto rovnica je podobná diferenciálnej rovnici popisujúcej pohyb telesa pri pôsobení kvázi-elastickej sily. Preto bude riešenie tejto rovnice napísané podobne

Rovnica kolísania náboja v c.c.

Rovnica kolísania napätia na doskách kondenzátora v c.c.

Rovnica kolísania prúdu v k.k.

1. Tlmené oscilácie v QC

Zvážte C.C. obsahujúci kapacitu, indukčnosť a odpor. 2. Kirchhoffov zákon v tomto prípade bude napísaný vo forme

- faktor útlmu,

Vlastná cyklická frekvencia.

- - diferenciálna rovnica tlmených kmitov v c.c.

Rovnica tlmených oscilácií náboja v c.c.

Zákon zmeny amplitúdy náboja pri tlmených kmitoch v c.c.;

Obdobie tlmených kmitov.

Zníženie útlmu.

- logaritmické zníženie tlmenia.

Dobrota okruhu.

Ak je tlmenie slabé, potom T ≈T 0

Skúmame zmenu napätia na doskách kondenzátora.

Zmena prúdu je mimo fázy o φ od napätia.

at - sú možné tlmené oscilácie,

v kritickej situácii

kravata. R > RKomu- nedochádza k výkyvom (aperiodické vybíjanie kondenzátora).

2. Prečo sa v oscilačnom obvode zachováva celková energia elektromagnetického poľa?

3. Vysvetlite, prečo v obvode vznikajú harmonické netlmené oscilácie náboja a prúdu.

4. Podľa akého zákona sa časom mení náboj na kondenzátore a prúd v tlmivke?

5. Ako závisí doba vlastných kmitov v oscilačnom obvode od hodnoty elektrickej kapacity kondenzátora a indukčnosti cievky?

Voľné kmity sú dobre vnímané na príklade pružiny alebo matematického kyvadla, ale môžu sa vyskytnúť nielen v mechanických systémoch, ale aj v elektrických obvodoch. Jedným príkladom takýchto obvodov je oscilačný obvod $LCR$.

Definícia

Oscilačný obvod (LCR obvod)- elektrický obvod pozostávajúci z kondenzátora $C$, tlmivky $L$ a rezistora $R$. V tomto obvode sa vyskytujú voľné tlmené elektromagnetické oscilácie a rýchlosť útlmu týchto oscilácií je určená odporom $R$ odporu.

Ideálny oscilačný obvod (LC obvod)- oscilačný obvod, v ktorom nie je elektrický odpor $R$. Vyskytujú sa v ňom voľné netlmené elektromagnetické kmity.

Typ obrysu je určený spôsobom pripojenia jeho prvkov. Napríklad, keď oni sériové pripojenie oscilačný obvod sa nazýva sekvenčný.

KÝVAJÚCI OBRYS ($LC$-CONTOUR)

Poďme študovať správanie $LC$-kontúry. Zvážte sériovo zapojený kondenzátor $C$, induktor $L$ a otvorený spínač $K$.

Predpokladajme, že kondenzátor bol pôvodne nabitý na $U_0$, ako je znázornené na obrázku. Čo sa stane v okruhu po zatvorení kľúča $K$?

Všeobecná analýza

V obvode bude prúdiť sínusový prúd, ktorý bude kondenzátor pravidelne vybíjať alebo nabíjať.

Každá zo základných veličín sa bude meniť podľa sínusového alebo kosínusového zákona s cyklickou (prirodzenou) frekvenciou

$\omega=\dfrac(1)(\sqrt(L(\cdot)C))(\textrm(.))$

dôkaz

Počiatočné nabitie kondenzátora je $q_0=C(\cdot)U_0$. Ihneď po zopnutí spínača $K$ sa prúd v obvode prudko nezmení a bude nulový. Je to kvôli prítomnosti induktora, v ktorom bude zmene prúdu bránené samoindukčným EMF $ℰ_(si)$.

Napätie $U_C$ na kondenzátore je priamo úmerné jeho náboju $q$, t.j.

$U_C=\dfrac(q)(C)(\textrm(.))$

Napätie $U_L$ na cievke je určené jej samoindukciou EMF $ℰ_(si)$ podľa vzorca

$U_L=-ℰ_(si)=L(\cdot)I"(t)(\textrm(,))$

kde $I"(t)=\dfrac((\Delta)I)((\Delta)t)$ je rýchlosť zmeny aktuálneho $I$ (aktuálny derivát).