Neuralt nätverk och luddig logik. Matematiska metoder och modeller för artificiell intelligens: fuzzy logic, genetiska algoritmer, neurala nätverk, etc. Data mining. Kunskapshantering. Otydlig logik i PID-regulatorer

Som bekant har apparaten med fuzzy sets och fuzzy logik framgångsrikt använts under lång tid (mer än 10 år) för att lösa problem där initialdata är opålitliga och dåligt formaliserade. Styrkor med detta tillvägagångssätt:
- beskrivning av villkoren och metoden för att lösa problemet på ett språk nära naturligt;
- universalitet: enligt den berömda FAT (Fuzzy Approximation Theorem), bevisad av B. Kosko 1993, kan vilket matematiskt system som helst approximeras med ett system baserat på fuzzy logic;

Samtidigt kännetecknas fuzzy expert- och kontrollsystem också av vissa nackdelar:
1) den initiala uppsättningen av postulerade luddiga regler är formulerad av en mänsklig expert och kan vara ofullständig eller inkonsekvent;
2) typen och parametrarna för medlemsfunktioner som beskriver ingångs- och utdatavariablerna för systemet väljs subjektivt och kanske inte helt återspeglar verkligheten.
För att eliminera, åtminstone delvis, dessa brister föreslog ett antal författare att göra suddiga expert- och kontrollsystem anpassningsbara - justera, allt eftersom systemet fungerar, både regler och parametrar för medlemskapsfunktioner. Bland flera alternativ för sådan anpassning är en av de mest framgångsrika, uppenbarligen, metoden för de så kallade hybridneurala nätverken.
Ett hybridt neuralt nätverk är formellt identiskt till strukturen med ett flerlagers neuralt nätverk med inlärning, till exempel enligt fel-backpropagation-algoritmen, men de dolda lagren i det motsvarar stadierna av det fuzzy systemets funktion. Så:
-1:a lagret av neuroner utför funktionen att introducera luddighet baserat på de givna medlemsfunktionerna för ingångarna;
-2:a lagret visar en uppsättning luddiga regler;
-3:e lagret utför funktionen att bringa till klarhet.
Vart och ett av dessa lager kännetecknas av en uppsättning parametrar (parametrar för medlemsfunktioner, suddiga beslutsregler, aktiva
rationella funktioner, vikter av anslutningar), som i huvudsak är konfigurerade på samma sätt som för konventionella neurala nätverk.
Boken diskuterar de teoretiska aspekterna av komponenterna i sådana nätverk, nämligen apparaten för suddig logik, grunderna för teorin om artificiella neurala nätverk och hybridnätverk i förhållande till problemen med kontroll och beslutsfattande under osäkerhet.
Särskild uppmärksamhet ägnas mjukvaruimplementering modeller för dessa tillvägagångssätt verktyg matematiskt system MATLAB 5.2/5.3.

Tidigare artiklar:

PID-regulatorerna som beskrivs ovan har dåliga prestandaindikatorer vid styrning av icke-linjära och komplexa system, såväl som när det inte finns tillräcklig information om styrobjektet. Styrenheternas egenskaper kan i vissa fall förbättras med hjälp av fuzzy logikmetoder, neurala nätverk och genetiska algoritmer. De listade metoderna kallas "soft-computing" utomlands, vilket betonar deras skillnad från "hard-computing", som består i förmågan att arbeta med ofullständiga och felaktiga data. Kombinationer av ovanstående metoder (fuzzy-PID, neuro-PID, neuro-fuzzy-PID-kontroller med genetiska algoritmer) kan användas i en kontrollenhet.

Den största nackdelen med styrenheter för fuzzy och neurala nätverk är komplexiteten i deras konfiguration (att skapa en bas av fuzzy regler och träna ett neuralt nätverk).

5.7.1. Otydlig logik i PID-regulatorer

Fuzzy inferens utförs enligt följande. Låt oss anta att området för feländring är uppdelat i uppsättningar, området för förändring av kontrollåtgärden - i uppsättningar, och att det med hjälp av en expert var möjligt att formulera följande regler för driften av styrenhet [Aström]:

Dessa regler är ofta skrivna i en mer kompakt tabellform (bild 5.91).

Med hjälp av reglerna kan du få värdet på kontrollvariabeln vid utgången av den fuzzy styrenheten. För att göra detta måste du hitta medlemskapsfunktionen för variabeln till den mängd som bildas som ett resultat av att utföra slutledningsoperationer på uppsättningarna som ingår i regelsystemet (5.118).

Operationen "AND" i reglerna (5.118) motsvarar skärningspunkten mellan mängder, och resultatet av att tillämpa alla regler motsvarar operationen av förening av mängder [Rutkovskaya]. Medlemskapsfunktionen för skärningspunkten mellan två uppsättningar, till exempel, och (se regel 1) hittas som [Rutkovskaya]

Medlemskapsfunktioner som erhålls genom korsning eller förening av uppsättningar kan definieras på olika sätt, beroende på innebörden av problemet som ska lösas. I denna mening är teorin om fuzzy set också fuzzy. [Rutkowska] ger 10 olika definitioner av medlemskapsfunktionen för skärningspunkten mellan mängder, men säger inte vilken som ska väljas för att lösa ett särskilt problem. I synnerhet använder de en mer förståelig operation för att hitta medlemsfunktioner i fallet med korsning och förening av mängder, vilket har en analogi med reglerna för multiplikation och addition av sannolikheter:

Användningen av de två första metoderna för att hitta medlemsfunktionen är dock vanligtvis mer att föredra, eftersom samtidigt som de flesta av de regler som utvecklats för vanliga uppsättningar [Uskov] behålls.

Medlemskapsfunktionerna för var och en av uppsättningarna som ingår i den luddiga variabeln i reglerna (5.118) erhålls i formen [Rutkovskaya]

Här motsvarar var och en av de 9 ekvationerna en av reglerna (5.118). Den resulterande medlemskapsfunktionen för kontrollåtgärden, erhållen efter att ha tillämpat alla 9 reglerna, återfinns som föreningen av medlemsfunktionerna för alla regler:

Nu när den resulterande medlemskapsfunktionen för kontrollåtgärden har erhållits, uppstår frågan vilket specifikt värde av kontrollåtgärden som ska väljas. Om vi ​​använder den probabilistiska tolkningen av teorin om fuzzy sets, blir det tydligt att ett sådant värde kan erhållas i analogi med den matematiska förväntan av kontrollåtgärden i formen:

Denna metod för defuzzifiering är den vanligaste, men inte den enda.

För att bygga fuzzy regulatorer används vanligtvis P, I, PI och PD PD+I, PI+D och PID reglerlagar [Mann ]. Felsignalen, felökningen, kvadraten på felet och integralen av felet [Mann ] används som insignaler för fuzzy inferenssystemet. Implementeringen av en fuzzy PID-regulator orsakar problem eftersom den måste ha en tredimensionell regeltabell enligt de tre termerna i PID-regulatorns ekvation, vilket är extremt svårt att slutföra med hjälp av expertsvar. Ett stort antal strukturer av PID-liknande fuzzy controllers finns i artikeln [Mann].

Den slutliga justeringen av en fuzzy controller eller en tuning nära optimal är fortfarande en svår uppgift. För att göra detta används inlärningsalgoritmer style="color:red"> och genetiska sökmetoder, vilket kräver stora beräkningsresurser och tid.

Använder Fuzzy Logic för att justera PID-förstärkningen

Justeringen av regulatorn som utförs med metoderna som beskrivs i avsnitten "Parameterberäkning" och "Automatisk inställning och anpassning" är inte optimal och kan förbättras genom ytterligare inställning. Inställningen kan utföras av operatören baserat på reglerna (se avsnittet "Manuell inställning baserat på reglerna") eller automatiskt med hjälp av ett luddigt logikblock (Fig. 5.92). Det luddiga logiska blocket (fuzzy blocket) använder basen för justeringsregler och fuzzy inferensmetoder. Fuzzy tuning minskar översvängning, minskar inställningstiden och förbättrar robustheten hos PID-regulatorn [Yesil ].

Processen för automatisk justering av styrenheten med användning av ett luddigt logikblock börjar med sökningen efter initiala approximationer av styrenhetskoefficienterna. Detta görs vanligtvis med Ziegler-Nichols-metoden, baserat på perioden av naturliga svängningar i ett slutet system och loopförstärkning. Därefter formuleras en kriteriefunktion, som är nödvändig för att hitta de optimala värdena för inställningsparametrarna med optimeringsmetoder.

Flera steg [Hsuan ] används i styrinställningsprocessen. För det första intervallen för in- och utsignaler från autotuningenheten, formen på medlemskapsfunktionerna för de önskade parametrarna, reglerna för otydlig slutledning, inferensmekanismen, defuzzifieringsmetoden och intervallen av skalfaktorer som är nödvändiga för att konvertera skarpa variabler till fuzzy sådana väljs.

Sökningen efter regulatorparametrar utförs med optimeringsmetoder. För att göra detta väljs objektivfunktionen som integralen av summan av kvadraterna på styrfelet och inställningstiden. Svänghastigheten för objektets utdatavariabel läggs ibland till minimeringskriteriet.

Som önskade parametrar (parametrar som ska hittas) väljs positionen för maxima för medlemskapsfunktionerna (se fig. 5.90) ​​och skalfaktorerna vid ingången och utgången av fuzzy blocket. Till optimeringsproblemet läggs restriktioner på omfånget av förändringar i positionerna för medlemsfunktioner. Optimering av kriteriefunktionen kan utföras till exempel med hjälp av genetiska algoritmer.

Det bör noteras att i de fall där det finns tillräckligt med information för att erhålla en korrekt matematisk modell av objektet, kommer den traditionella styrenheten alltid att vara bättre än den fuzzy styrenheten, eftersom initialdata ges ungefär vid syntetisering av en fuzzy styrenhet.

5.7.2. Artificiellt nervsystem

Neurala nätverk, som fuzzy logic, används i PID-regulatorer på två sätt: för att bygga själva styrenheten och för att bygga ett block för att justera dess koefficienter. Det neurala nätverket har förmågan att "lära sig", vilket gör att du kan använda erfarenheten från en expert för att träna det neurala nätverket i konsten att justera PID-regulatorns koefficienter. En neural nätverksstyrenhet liknar en tabelldriven styrenhet (se "Tabulär styrning">), men skiljer sig i speciella inställningsmetoder ("träning") utvecklade för neurala nätverk och datainterpolationsmetoder.

Till skillnad från en fuzzy controller, där en expert måste formulera inställningsregler i språkliga variabler, när han använder ett neuralt nätverk, behöver experten inte formulera regler - det räcker för honom att justera kontrollern flera gånger i processen att "träna" neuralt nätverk.

Neurala nätverk föreslogs 1943 av McCulloch och Pitts som ett resultat av studiet av neural aktivitet och biologiska neuroner. artificiell neuronär ett funktionsblock med en utgång och ingångar som implementerar i det allmänna fallet en icke-linjär transformation , där - viktkoefficienter (parametrar) för indatavariabler ; - konstant förskjutning; -" aktiveringsfunktion"neuron, till exempel av formen (sigmoid funktion), var är någon parameter. Ett neuralt nätverk (Fig. 5.93) består av många sammankopplade neuroner, antalet anslutningar kan vara tusentals. På grund av aktiveringsfunktionernas icke-linjäritet och ett stort antal justerbara koefficienter (i arbetet använde [Kato ] 35 neuroner i ingångsskiktet och 25 i utgångsskiktet, medan antalet koefficienter var 1850), kan det neurala nätverket utföra en icke-linjär mappning av flera insignaler till flera utsignaler.

En typisk struktur för ett automatiskt styrsystem med en PID-regulator och ett neuralt nätverk som en autotuning-enhet visas i fig. 5,94 [Kawafuku, Kato]. Det neurala nätverket i denna struktur spelar rollen som en funktionell omvandlare, som för varje uppsättning signaler genererar koefficienterna för PID-regulatorn. Andra metoder för att hitta minimum används också, inklusive genetiska algoritmer, anlöpningssimuleringsmetod, minsta kvadratmetod.

Den neurala nätverksträningsprocessen är som följer (Fig. 5.95). Experten ges möjlighet att justera parametrarna för regulatorn i ett automatiskt styrsystem med sluten slinga med olika ingångar. Det förutsätts att experten kan göra detta med tillräcklig kvalitet för praktiken. Tidsdiagram (oscillogram) av variabler som erhållits i ett system som justerats av en expert registreras i ett arkiv och matas sedan till ett neuralt nätverk anslutet till en PID-kontroller (Fig. 5.95)

Ris. 5,95. Träningsschema för neurala nätverk i autotuning-blocket

Varaktigheten av inlärningsprocessen är det främsta hindret för den utbredda användningen av neurala nätverksmetoder i PID-styrenheter [Uskov]. Andra nackdelar med neurala nätverk är omöjligheten att förutsäga kontrollfelet för ingångsåtgärder som inte ingick i uppsättningen träningssignaler; frånvaron av kriterier för att välja antalet neuroner i nätverket, träningens varaktighet, utbudet och antalet träningsinfluenser. Ingen av publikationerna undersökte regulatorns robusthet eller stabilitetsmarginal.

5.7.3. Genetiska algoritmer

1. Val av den initiala populationen av kromosomer av storlek N.

2. Utvärdering av kromosomernas kondition i befolkningen.

3. Kontrollera algoritmens stopptillstånd.

4. Val av kromosomer.

5. Tillämpning av genetiska operatorer.

6. Bildande av en ny befolkning.

7. Gå till steg 2.

För att algoritmen ska fungera är det nödvändigt att ställa in de nedre och övre gränserna för förändringen av de önskade parametrarna, sannolikheten för korsning, sannolikheten för mutation, populationsstorleken och det maximala antalet generationer.

Den initiala populationen av kromosomer genereras slumpmässigt. Kromosomkondition bedöms med hjälp av en objektiv funktion i kodad form. Därefter sätts kromosomerna med bäst kondition ihop till en grupp, inom vilken genetiska korsningar eller mutationsoperationer utförs. Crossing låter dig få en lovande avkomma från två föräldrar. Mutationsoperatören gör förändringar i kromosomerna. I fallet med binär kodning består mutation i att ändra en slumpmässig bit i ett binärt ord.

Ris. 5.97), så sker ett utbyte av genetisk information till höger om den valda positionen [Fleming ].

Efter att den genetiska algoritmen har körts avkodas den binära representationen till tekniska kvantiteter.

Bedömningen av kromosomernas lämplighet i en population för att uppskatta koefficienterna för PID-regulatorn kan väljas t.ex.

,

var är det aktuella värdet på kontrollfelet, är tid.

Urvalet av kromosomer utförs med roulettemetoden. Det finns sektorer på roulettehjulet, och sektorns bredd är proportionell mot fitnessfunktionen. Därför, ju större värde denna funktion har, desto mer sannolikt är valet av kromosomen som motsvarar den.

Den matematiska teorin om fuzzy mängder och fuzzy logik är generaliseringar av klassisk mängdlära och klassisk formell logik. Dessa koncept föreslogs först av den amerikanske vetenskapsmannen Lotfi Zadeh 1965. Den främsta anledningen till uppkomsten av en ny teori var närvaron av luddiga och ungefärliga resonemang när man beskrev processer, system, objekt av en person.

Innan det otydliga tillvägagångssättet för att modellera komplexa system erkändes över hela världen, hade mer än ett decennium gått sedan teorin om fuzzy set föddes. Och på denna väg för utveckling av fuzzy system är det vanligt att särskilja tre perioder.

Den första perioden (slutet av 60-talet-början av 70-talet) kännetecknas av utvecklingen av den teoretiska apparaten för luddiga uppsättningar (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). Under den andra perioden (70–80-talet) dyker de första praktiska resultaten upp inom området för otydlig kontroll av komplex tekniska system(ånggenerator med fuzzy kontroll). Samtidigt började uppmärksamhet ägnas åt frågorna om att bygga expertsystem baserade på fuzzy logic, utvecklingen av fuzzy controllers. Luddiga expertsystem för beslutsstöd används flitigt inom medicin och ekonomi. Slutligen, under den tredje perioden, som sträcker sig från slutet av 80-talet och fortsätter för närvarande, dyker upp mjukvarupaket för att bygga fuzzy expertsystem, och tillämpningsområdena för fuzzy logik expanderar märkbart. Det används inom fordons-, flyg- och transportindustrin, inom produktområdet hushållsprodukter, inom området ekonomi, analys och förvaltningsbeslut och många andra.

Suddig logiks triumferande marsch runt om i världen började efter att Bartholomew Kosko bevisade det berömda FAT-teoremet (Fuzzy Approximation Theorem) i slutet av 80-talet. Inom affärer och finans fick fuzzy logic acceptans 1988 efter expertsystem på grundval av luddiga regler för att förutsäga finansiella indikatorer var den enda som förutspådde en börskrasch. Och antalet framgångsrika fuzzy ansökningar är nu i tusental.

Matematisk apparat

En egenskap hos en luddig uppsättning är medlemskapsfunktionen. Beteckna med MF c (x) graden av medlemskap i den luddiga mängden C, vilket är en generalisering av begreppet den karakteristiska funktionen för en vanlig mängd. Då är den luddiga mängden C mängden ordnade par av formen C=(MF c (x)/x), MF c (x) . Värdet MF c (x)=0 betyder inget medlemskap i setet, 1 – fullt medlemskap.

Låt oss illustrera detta med ett enkelt exempel. Vi formaliserar den felaktiga definitionen av "varmt te". Som x (resonemangsområde) blir temperaturskalan i grader Celsius. Uppenbarligen kommer det att ändras från 0 till 100 grader. Den luddiga uppsättningen för konceptet "hett te" kan se ut så här:

C=(0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100).

Så, te med en temperatur på 60 C hör till "Hot" set med en medlemsgrad på 0,80. För en person kan te vid en temperatur på 60 C vara varmt, för en annan - inte för varmt. Det är i detta som suddigheten i tilldelningen av motsvarande uppsättning manifesterar sig.

För luddiga uppsättningar, såväl som för vanliga, definieras de huvudsakliga logiska operationerna. De mest grundläggande som behövs för beräkningar är korsning och union.

Skärning mellan två otydliga uppsättningar (suddigt "OCH"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Förening av två otydliga uppsättningar (fuzzy "ELLER"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).

I teorin om fuzzy sets har ett allmänt tillvägagångssätt för utförande av korsnings-, unions- och additionsoperatorer utvecklats, implementerat i de så kallade triangulära normerna och konormerna. Ovanstående implementeringar av korsnings- och fackföreningsverksamheten är de vanligaste fallen av t-norm och t-konorm.

För att beskriva fuzzy sets introduceras begreppen fuzzy och lingvistiska variabler.

En fuzzy variabel beskrivs av en mängd (N,X,A), där N är namnet på variabeln, X är en universell mängd (resonemangsområde), A är en fuzzy set på X.
Värdena på en språklig variabel kan vara fuzzy variabler, dvs. den språkliga variabeln är på en högre nivå än den luddiga variabeln. Varje språklig variabel består av:

• titlar;
• uppsättningen av dess värden, som också kallas basterm-mängden T. Elementen i basterm-mängden är namnen på fuzzy variabler;
• universaluppsättning X;
• en syntaktisk regel G, enligt vilken nya termer genereras med hjälp av ord från ett naturligt eller formellt språk;
• semantisk regel P, som associerar varje värde i en språklig variabel med en otydlig delmängd av mängden X.

Tänk på ett så luddigt koncept som "aktiepris". Detta är namnet på den språkliga variabeln. Låt oss bilda en grundläggande termuppsättning för det, som kommer att bestå av tre luddiga variabler: "Låg", "Moderat", "Hög" och ställ in resonemangsområdet i form av X= (enheter). Det sista som återstår att göra är att bygga medlemskapsfunktioner för varje språklig term från bastermuppsättningen T.

Det finns över ett dussin typiska kurvformer för att definiera medlemsfunktioner. De mest utbredda är: triangulära, trapetsformade och gaussiska medlemsfunktioner.

Den triangulära medlemskapsfunktionen definieras av en trippel av tal (a,b,c), och dess värde vid punkten x beräknas enligt uttrycket:

$$MF\,(x) = \,\begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\inte \in\,(a;\,c)\ \end(cases)$$

Med (b-a)=(c-b) har vi fallet med en symmetrisk triangulär medlemskapsfunktion, som kan specificeras unikt av två parametrar från trippeln (a,b,c).

På samma sätt, för att ställa in den trapetsformade medlemskapsfunktionen, behövs fyra siffror (a, b, c, d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\inte \in\,(a;\,d) \ \end(cases)$$

Med (b-a)=(d-c) tar den trapetsformade medlemskapsfunktionen en symmetrisk form.

Medlemskapsfunktionen av Gaussisk typ beskrivs av formeln

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

och fungerar på två parametrar. Parameter c betecknar mitten av den luddiga uppsättningen, och parametern är ansvarig för funktionens branthet.

Uppsättningen av medlemskapsfunktioner för varje term från bastermuppsättningen T visas vanligtvis tillsammans på en graf. Figur 3 visar ett exempel på den språkliga variabeln "Aktiepris" som beskrivs ovan, Figur 4 visar formaliseringen av det felaktiga konceptet "Age of a person". Så för en person 48 år är graden av tillhörighet till uppsättningen "Ung" 0, "Genomsnitt" - 0,47, "Over genomsnittet" - 0,20.

Antalet termer i en språklig variabel överstiger sällan 7.

Luddrig slutsats

Grunden för att utföra fuzzy inferensoperationen är regelbasen som innehåller fuzzy statements i formen "If-then" och medlemskapsfunktioner för motsvarande språkliga termer. I detta fall måste följande villkor vara uppfyllda:

1. Det finns minst en regel för varje språklig term i utdatavariabeln.
2. För varje term i indatavariabeln finns det minst en regel där denna term används som en förutsättning (regelns vänstra sida).

Annars finns det en ofullständig bas av luddiga regler.

Låt regelbasen ha m regler av formen:
R 1: OM x 1 är A 11 … OCH … x n är A 1n DÅ är y B 1
…
R i: OM x 1 är A i1 … OCH … x n är A i DÅ är y B i
…
R m: OM x 1 är A i1 … OCH … x n är A mn DÅ är y B m ,
där x k , k=1..n – indatavariabler; y är utdatavariabeln; En ik får luddiga set med medlemsfunktioner.

Resultatet av fuzzy inferens är ett skarpt värde för variabeln y * baserat på de givna skarpa värdena x k , k=1..n.

I allmänhet inkluderar slutledningsmekanismen fyra steg: införandet av luddighet (fuzzification), fuzzy inferens, sammansättning och reducering till klarhet, eller defuzzification (se figur 5).

Algoritmer för luddiga slutledningar skiljer sig huvudsakligen i typen av regler som används, logiska operationer och typen av defuzzifieringsmetod. Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto fuzzy inferensmodeller har utvecklats.

Låt oss överväga fuzzy inferens mer i detalj med Mamdani-mekanismen som exempel. Detta är den vanligaste metoden för logisk slutledning i fuzzy system. Den använder minimax sammansättning av fuzzy set. Denna mekanism inkluderar följande sekvens av åtgärder.

1. Fuzzifieringsprocedur: grader av sanning bestäms, d.v.s. värden för medlemskapsfunktioner för de vänstra delarna av varje regel (förutsättningar). För en regelbas med m regler betecknar vi sanningsgraderna som A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Lugn slutsats. Först bestäms "cutoff"-nivåerna för den vänstra sidan av var och en av reglerna:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Sammansättning, eller förening av de erhållna trunkerade funktionerna, för vilken den maximala sammansättningen av fuzzy set används:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

där MF(y) är medlemskapsfunktionen för den resulterande fuzzy uppsättningen.

Defuzzification, eller reducering till klarhet. Det finns flera defuzzifieringsmetoder. Till exempel medelcentrummetoden eller centroidmetoden:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Den geometriska betydelsen av detta värde är tyngdpunkten för MF(y)-kurvan. Figur 6 visar grafiskt Mamdani fuzzy inferensprocess för två indatavariabler och två fuzzy regler R1 och R2.

Integration med intelligenta paradigm

Hybridisering av intellektuella informationsbearbetningsmetoder är mottot under vilket västerländska och amerikanska forskare passerade 90-talet. Som ett resultat av att kombinera flera tekniker artificiell intelligens en speciell term dök upp - "soft computing" (soft computing), som introducerades av L. Zadeh 1994. För närvarande kombinerar soft computing sådana områden som: fuzzy logic, artificiella neurala nätverk, probabilistiska resonemang och evolutionära algoritmer. De kompletterar varandra och används i olika kombinationer för att skapa intelligenta hybridsystem.

Inflytandet från suddig logik visade sig vara det kanske mest omfattande. Precis som fuzzy sets utökade omfattningen av klassisk matematisk mängdteori, "invaderade" fuzzy logik nästan de flesta Data Mining-metoder, vilket gav dem ny funktionalitet. Nedan är de flesta intressanta exempel sådana föreningar.

Luddiga neurala nätverk

Fuzzy neurala nätverk (fuzzy-neurala nätverk) utför slutsatser baserade på apparaten för fuzzy logik, men parametrarna för medlemskapsfunktioner ställs in med hjälp av NN-inlärningsalgoritmer. Därför, för att välja parametrarna för sådana nätverk, använder vi backpropagation-metoden, som ursprungligen föreslogs för att träna en flerskiktsperceptron. För detta presenteras den fuzzy styrmodulen i form av ett flerskiktsnätverk. Ett fuzzy neuralt nätverk består vanligtvis av fyra lager: ett fuzzifieringslager för indatavariabler, ett lager för aggregering av tillståndsaktiveringsvärden, ett lager för aggregering av fuzzy regler och ett utdatalager.

De suddiga neurala nätverksarkitekturerna av ANFIS- och TSK-typerna är för närvarande de mest använda. Det är bevisat att sådana nätverk är universella approximatorer.

Algoritmer för snabb inlärning och tolkningsbarheten av den ackumulerade kunskapen - dessa faktorer har gjort dagens fuzzy neurala nätverk till ett av de mest lovande och effektiva verktygen för soft computing.

Adaptiva fuzzy system

Klassiska fuzzy system har nackdelen att det för att formulera regler och medlemsfunktioner är nödvändigt att involvera experter inom ett visst ämnesområde, vilket inte alltid är möjligt att tillhandahålla. Adaptiva fuzzy system löser detta problem. I sådana system väljs de luddiga systemparametrarna under inlärning av experimentella data. Algoritmer för inlärning av adaptiva fuzzy system är relativt tidskrävande och komplexa jämfört med inlärningsalgoritmer för neurala nätverk, och består som regel av två steg: 1. Generering av språkliga regler; 2. Rättelse av medlemsfunktioner. Det första problemet är relaterat till problemet med uppräkningstyp, det andra problemet är relaterat till optimering i kontinuerliga utrymmen. I det här fallet uppstår en viss motsägelse: medlemskapsfunktioner behövs för att generera luddiga regler, och regler behövs för att göra suddiga slutsatser. Dessutom, när du genererar fuzzy regler automatiskt, är det nödvändigt att säkerställa deras fullständighet och konsekvens.

En betydande del av träningsmetoderna för luddiga system använder genetiska algoritmer. I engelsk litteratur motsvarar detta en speciell term - Genetic Fuzzy Systems.

En grupp spanska forskare under ledning av F. Herrera gjorde ett betydande bidrag till utvecklingen av teorin och praktiken för fuzzy system med evolutionär anpassning.

Luddiga frågor

Fuzzy queries till databaser (fuzzy queries) - en lovande riktning in moderna system informationsbearbetning. Detta verktyg låter dig formulera frågor på naturligt språk, till exempel: "Visa en lista över billiga bostäder nära centrum", vilket inte är möjligt när du använder standardmekanism förfrågningar. För detta ändamål har en suddig relationalgebra utvecklats och speciella tillägg SQL-språk för otydliga frågor. Det mesta av forskningen inom detta område tillhör de västeuropeiska forskarna D. Dubois och G. Prade.

Luddiga föreningsregler

Fuzzy associativa regler är ett verktyg för att extrahera mönster från databaser som är formulerade som språkliga påståenden. Här introduceras speciella koncept för en fuzzy transaktion, stöd och tillförlitlighet för en fuzzy association regel.

Luddiga kognitiva kartor

Luddiga kognitiva kartor föreslogs av B. Kosko 1986 och används för att modellera orsakssamband som identifierats mellan begreppen för ett visst område. Till skillnad från enkla kognitiva kartor är fuzzy kognitiva kartor en fuzzy riktad graf vars noder är fuzzy sets. Grafens riktade kanter återspeglar inte bara orsak-och-verkan-relationerna mellan begrepp, utan bestämmer också graden av påverkan (vikt) av de associerade begreppen. Den aktiva användningen av fuzzy kognitiva kartor som ett systemmodelleringsverktyg beror på möjligheten till en visuell representation av det analyserade systemet och lättheten att tolka orsak-och-verkan-samband mellan begrepp. De största problemen är relaterade till processen att konstruera en kognitiv karta, som inte är mottaglig för formalisering. Dessutom är det nödvändigt att bevisa att den konstruerade kognitiva kartan är adekvat för det verkliga simulerade systemet. För att lösa dessa problem har algoritmer för automatisk konstruktion av kognitiva kartor baserade på ett dataprov utvecklats.

Luddiga kluster

Luddiga klustermetoder, i motsats till precisa metoder (till exempel Kohonens neurala nätverk), tillåter samma objekt att tillhöra flera kluster samtidigt, men med varierande grad. Fuzzy kluster är i många situationer mer "naturligt" än tydligt, till exempel för objekt som ligger på gränsen till kluster. De vanligaste är: c-betyder fuzzy self-organization-algoritm och dess generalisering i form av Gustafson-Kessel-algoritmen.

Litteratur

• Zadeh L. Begreppet en språklig variabel och dess tillämpning för att fatta ungefärliga beslut. – M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. intellektuell Informationssystem: datorstöd för fuzzy logic och fuzzy inferenssystem. – M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Fuzzy modellering i MATLAB och fuzzyTECH. - St. Petersburg, 2003.
• Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neurala nätverk, genetiska algoritmer och fuzzy system. - M., 2004.
• Masalovich A. Luddrig logik i affärer och finans. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Luddiga system som universella approximatorer // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, nr. 11, november 1994. - P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., A General study on genetisk fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and data science, 1995. - P. 33-57.

Fuzzy logik och neurala nätverk

Introduktion

Rolig logik- en gren av matematiken, som är en generalisering av klassisk logik och mängdteori, baserad på konceptet med en suddig mängd, först introducerad av Lotfi Zadeh 1965 som ett objekt med en elementmedlemsfunktion till en mängd som tar alla värden i intervallet , och inte bara 0 eller 1. Baserat på detta koncept introduceras olika logiska operationer på fuzzy sets och konceptet med en språklig variabel formuleras, vars värden är fuzzy sets.

Ämnet för fuzzy logic är studiet av resonemang under förhållanden av luddighet, fuzziness, liknande resonemang i vanlig mening, och deras tillämpning i datorsystem.

Riktningar för fuzzy logic research

För närvarande finns det åtminstone två huvudområden för forskning inom området fuzzy logic:

Luddrig logik i vid mening (teori om ungefärliga beräkningar);

Fuzzy logic i snäv mening (symbolic fuzzy logic).

Symbolisk Fuzzy Logic

Symbolisk fuzzy logic bygger på konceptet t-normer. Efter att ha valt en viss t-norm (och den kan införas av flera olika sätt) blir det möjligt att definiera de grundläggande operationerna på propositionella variabler: konjunktion, disjunktion, implikation, negation och andra.

Det är inte svårt att bevisa satsen att fördelningsförmågan som finns i klassisk logik är uppfylld endast i det fall då Gödel t-normen väljs som t-norm.

Dessutom, av vissa skäl, väljs oftast operationen som kallas residium som en implikation (allmänt sett beror det också på valet av t-normen).

Definitionen av de grundläggande operationerna som listas ovan leder till en formell definition av grundläggande fuzzy logic, som har mycket gemensamt med klassisk boolesk logik (mer exakt, med propositionskalkyl).

Det finns tre grundläggande otydliga logiker: Lukasiewiczs logik, Gödels logik och produktlogik. Intressant nog leder föreningen av två av de tre logikerna ovan till den klassiska booleska värdelogiken.

karakteristisk funktion

För ett resonemangsutrymme och en given medlemsfunktion fuzzy set definieras som

Medlemskapsfunktionen graderar kvantitativt tillhörigheten av elementen i den grundläggande uppsättningen av resonemangsutrymmet till den luddiga uppsättningen. Värdet betyder att elementet inte ingår i fuzzy set, beskriver det helt inkluderade elementet. Värdena mellan och kännetecknar fuzzy inkluderade element.

Luddigt set och klassiskt, skarpt ( knaprig) mycket av

Exempel på fuzzy set

1. Låt E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Den otydliga uppsättningen "Flera" kan definieras enligt följande:

"Flera" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; dess egenskaper: höjd = 1, bärare = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, övergångspunkter - {3, 8}.

2. Låt E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Den luddiga uppsättningen "Small" kan definieras:

3. Låt E= (1, 2, 3, . . ., 100) och motsvarar begreppet "Ålder", då kan den luddiga uppsättningen "Ung" definieras med hjälp av

Fuzzy set "Young" på universalsetet E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) ges av medlemsfunktionen μ Ung ( x) på E =(1, 2, 3, . . ., 100) (ålder), kallad i förhållande till E" kompatibilitetsfunktion, medan:

var X- SIDOROVs ålder.

4. Låt E\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) är en uppsättning bilmärken, och E"= - universell inställning "Kostnad", sedan på E" vi kan definiera fuzzy set som:

Ris. 1.1. Exempel på medlemskapsfunktioner

"För de fattiga", "För medelklassen", "Prestigefull", med medlemsfunktioner som Fig. 1.1.

Att ha dessa funktioner och veta kostnaden för bilar från E vid en given tidpunkt bestämmer vi därmed om E" fuzzy set med samma namn.

Så, till exempel, den luddiga uppsättningen "För de fattiga", som ges på den universella uppsättningen E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), ser ut som visas i fig. 1.2.

Ris. 1.2. Ett exempel på att specificera en fuzzy set

På samma sätt kan du definiera den otydliga uppsättningen "Höghastighet", "Medium", "Låghastighet" etc.

5. Låt E- uppsättning heltal:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Då kan en suddig delmängd av tal nära noll i absolut värde definieras, till exempel enligt följande:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

booleska operationer

Inkludering. Låta MEN och PÅ- fuzzy set på universalsetet E. Det säger de MEN ingår i PÅ, om

Beteckning: MEN⊂ PÅ.

Termen används ibland herravälde, de där. i fall när MEN⊂ PÅ, de säger det PÅ dominerar MEN.

Jämlikhet. A och B är lika om

Beteckning: A = B.

Tillägg. Låta M = , MEN och PÅär fuzzy set definierade på E.A och PÅ kompletterar varandra om

Beteckning:

Det är uppenbart (tillägg definierat för M= , men det är uppenbart att det kan definieras för vilken beställning som helst M).

genomskärning. MEN⋂ PÅär den största otydliga delmängden som samtidigt finns i MEN och PÅ:

En förening.A∪PÅär den minsta otydliga delmängden inklusive båda MEN, så PÅ, med medlemsfunktion:

Skillnad. med medlemsfunktion:

Disjunkt summa

MEN ⊕ PÅ = (A-B) ∪ (B-A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ (̅A ⋂ B)

med medlemsfunktion:

Exempel. Låta

Här:

1) A ⊂ PÅ, dvs A ingår i B eller B dominerar MEN FRÅN ojämförligt varken med A, inte heller med PÅ, de där. par ( A, C) och ( A, C) är par av icke-dominerade fuzzy set.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) MEN⋂ B = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /X 4 .

5) A∪ PÅ= 0,7/x1+ 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) A - B= MEN⋂̅B = 0,3/x 1 + 0,l/ x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

PÅ- A= ̅A⋂ PÅ= 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/ x 3 + 0/x 4 .

7) MEN⊕ B = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Visuell representation av logiska operationer på fuzzy set. För luddiga uppsättningar kan du bygga en visuell representation. Betrakta ett rektangulärt koordinatsystem, på vars y-axel värdena är plottade μ MEN(X), elementen är ordnade i slumpmässig ordning på abskissaxeln E(vi har redan använt en sådan representation i exemplen på fuzzy sets). Om en Eär ordnad av naturen, är det önskvärt att bevara denna ordning i arrangemanget av element på x-axeln. En sådan representation gör enkla logiska operationer på fuzzy sets visuella (se fig. 1.3).

Ris. 1.3. Grafisk tolkning av logiska operationer:
α - luddigt set MEN; b- luddigt set ̅A, in - MEN⋂MEN; G-A∪ MEN

På fig. 1.3α motsvarar den skuggade delen den luddiga uppsättningen MEN och, för att vara exakt, skildrar intervallet MEN och alla fuzzy set som ingår i MEN. På fig. 1.3 b, c, gär given A, A ⋂ ̅A,A U MEN.

Driftegenskaper ∪ och ⋂

Låta A, B, Cär fuzzy set, då gäller följande egenskaper:

Till skillnad från skarpa set, för fuzzy set i allmänhet

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A∪ ̅A ≠ E

(vilket i synnerhet illustreras ovan i exemplet med en visuell representation av luddiga uppsättningar).

Kommentar . Ovanstående operationer på fuzzy set är baserade på användningen av max och min operationer. I teorin om luddiga uppsättningar utvecklas frågorna om att konstruera generaliserade, parametriserade operatörer av korsning, förening och komplement, vilket gör det möjligt att ta hänsyn till de olika semantiska nyanserna av motsvarande kopplingar "och", "eller", "inte".

Triangulära normer och konormer

Ett tillvägagångssätt för korsningen och fackliga operatörer är att definiera dem i klassen av triangulära normer och konormer.

Triangulär norm(t-norm) kallas en binär operation (dubbel reell funktion)

1. Begränsat: .

2. Monotoni: .

3. Kommutativitet: .

4. Associativitet: .

Exempel på triangulära normer

min( µ A ,μB)

arbete µAμB

max(0, μA+μ B - 1).

triangulär konorm(förkortat som en konorm) är en två-plats real fungera

som uppfyller följande villkor:

1. Begränsat: .

2. Monotoni: .

3. Kommutativitet: .

4. Associativitet: .

Triangulär konormär Archimedean om det är kontinuerligt
och för alla luddigt set genomförde olikhet .

Det kallas strikt om fungera strikt minskande i båda argumenten.

Exempel på t-konormer

max( µ A ,μB)

μA+ μ B - µA μB

min(1, μA+μB).

Exempel på triangulära konormer är följande operatörer:

Triangulär norm T och triangulär konorm S kallas komplementära binära operationer if

T( a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1

De mest populära i Zadehs teori är tre par ytterligare triangulära normer och konormer.

1) Korsning och förening av Zade:

T Z(a,b) = min( a,b}, S Z(a,b) = max( a,b}.

2) Korsning och förening enligt Lukasiewicz:

3) Probabilistisk korsning och förening:

Komplettera operatörer

I teorin luddiga uppsättningar komplementoperatören är inte unik.

Förutom det välkända

existerar hela komplement operatörsuppsättning luddigt set.

Låt några visa

.

Det visa kommer att kallas negationsoperatorn i teorin luddiga uppsättningar om följande villkor är uppfyllda:

Om dessutom följande villkor är uppfyllda:

(3) - strikt minskande fungera

(4) - kontinuerlig fungera

då heter det strikt negation.

Fungera kallad stark förnekelse eller involution om, tillsammans med villkor (1) och (2), följande gäller för det:

(5) .

Här är exempel på negationsfunktionen:

Klassisk negation: .

Kvadratisk negation: .

Sugenos förnekande: .

Tillägg av tröskeltyp: .

Vi kommer att ringa någon menande, för vilka , jämviktspunkt. För varje kontinuerlig negation finns det en unik jämviktspunkt.

luddiga siffror

luddiga siffror- fuzzy variabler definierade på den numeriska axeln, dvs. ett fuzzy nummer definieras som en fuzzy set MEN på uppsättningen av reella tal ℝ med medlemsfunktion μ A(X) ϵ , var Xär ett reellt tal, dvs. X ϵ ℝ.

luddigt nummer Och det är okej om max μ A(x) = 1; konvex om för någon X ≤ på ≤ z genomförde

μ A (x) ≥ μ A(på) ˄ µA(z).

Mycket av α - Otydlig nummernivå MEN definierad som

Aa = {x/μ α (x) ≥ α } .

Delmängd S A⊂ ℝ kallas bäraren för det otydliga numret MEN, om

S A = { x/μ A (x)> 0 }.

luddigt nummer Och unimodal om tillstånd μ A(X) = 1 gäller endast för en punkt på den reella axeln.

konvext otydligt tal MEN kallad luddig noll, om

μ A (0) = sup ( µA(x)).

luddigt nummer Och positivt om ∀ xϵ S A, x> 0 och negativ om ∀ X ϵ S A, x< 0.

Fuzzy Numbers (L-R)-typ

(L-R)-typ fuzzy siffror är ett slags fuzzy siffror av ett speciellt slag, d.v.s. ställas enligt vissa regler för att minska mängden beräkningar vid drift på dem.

Medlemskapsfunktioner av (L-R)-typ fuzzy tal specificeras med funktioner av den reella variabeln L( x) och R( x) som uppfyller egenskaperna:

a) L(- x) = L( x), R(- x) = R( x);

b) L(0) = R(0).

Uppenbarligen inkluderar klassen av (L-R)-funktioner funktioner vars grafer har den form som visas i fig. 1.7.

Ris. 1.7. Möjlig form av (L-R)-funktioner

Exempel på analytisk specifikation av (L-R)-funktioner kan vara

Låt L( på) och R( på)-funktioner av (L-R)-typ (betong). Unimodalt fuzzy nummer MEN Med mode a(dvs. μ A(a) = 1) med L( på) och R( på) ges enligt följande:

där a är läget; α > 0, β > 0 - vänster och höger luddighetskoefficienter.

Alltså, för given L( på) och R( på) det otydliga talet (unimodalt) ges av trippeln MEN = (a, α, β ).

Det toleranta fuzzy-talet ges av de fyra parametrarna MEN = (a 1 , a 2 , α, β ), var a 1 och a 2 - toleransgränser, dvs. under tiden [ a 1 , a 2 ] värdet på medlemskapsfunktionen är lika med 1.

Exempel på grafer över medlemsfunktioner av fuzzy number (L-R)-typ visas i fig. 1.8.

Ris. 1.8. Exempel på grafer över medlemsfunktioner av fuzzy number (L-R)-typ

Observera att i specifika situationer funktioner L (y), R (y), samt parametrar a, β luddiga siffror (a, α, β ) och ( a 1 , a 2 , α, β ) måste väljas på ett sådant sätt att resultatet av en operation (addition, subtraktion, division, etc.) är exakt eller ungefär lika med ett fuzzy tal med samma L (y) och R (y), och parametrar α" och β" av resultatet gick inte utöver gränserna för dessa parametrar för de ursprungliga fuzzy siffrorna, särskilt om resultatet senare kommer att delta i operationer.

Kommentar. Att lösa problem med matematisk modellering av komplexa system med hjälp av apparat av fuzzy set kräver att man utför en stor mängd operationer på olika typer av språkliga och andra fuzzy variabler. För bekvämligheten med att utföra operationer, såväl som för input-output och datalagring, är det önskvärt att arbeta med medlemskapsfunktioner i en standardform.

De luddiga seten som man måste använda i de flesta problem är som regel unimodala och normala. En av de möjliga metoderna för att approximera unimodala fuzzy sets är approximation med hjälp av (L-R)-funktioner.

Exempel på (L-R)-representationer av några språkliga variabler ges i tabell. 1.2.

Tabell 1.2. Möjlig (L-R)-representation av några språkliga variabler

Luddiga relationer

Luddiga relationer spelar en grundläggande roll i teorin om fuzzy system. Teoriapparat luddiga relationer används i konstruktionen av teorin om fuzzy automata, vid modellering av strukturen hos komplexa system, i analysen av beslutsprocesser.

Grundläggande definitioner

Teori luddiga relationer hittar också Bilaga i problem där teorin om vanliga (tydliga) relationer traditionellt tillämpas. Som regel används apparaten för teorin om tydliga relationer i den kvalitativa analysen av relationerna mellan objekten i det studerade systemet, när relationerna är dikotoma till sin natur och kan tolkas i termer av " förbindelse närvarande", " förbindelse saknas", eller när metoderna för kvantitativ analys av relationer är otillämpliga av någon anledning och relationerna är artificiellt reducerade till en dikotom form. förbindelse till önskat utseende. Men ett sådant tillvägagångssätt, vilket möjliggör en kvalitativ analys system leder till förlust av information om styrkan hos kopplingar mellan objekt eller kräver beräkningar vid olika tröskelvärden för förbindelsernas styrka. Denna brist saknar dataanalysmetoder baserade på teorin luddiga relationer, vilket möjliggör hög kvalitet analys system, med hänsyn till skillnaden i styrkan hos länkarna mellan objekten i systemet.

Normal suddig - arlig relation definierad som delmängd Kartesisk produkt av uppsättningar

Som en suddig uppsättning, luddigt förhållande kan specificeras med hjälp av dess medlemsfunktion

där vi i det allmänna fallet kommer att anta att det är ett fullständigt distributivt gitter. Således är en delvis ordnad uppsättning där alla icke-tomma delmängd har den största nedre och minsta övre fasetter och korsningsverksamhet och fackföreningar tillfredsställer distributionslagarna. Allt operationer ovan luddiga relationer definieras med hjälp av dessa operationer från . Till exempel, om vi tar som en avgränsad mängd riktiga nummer, då blir verksamheten för korsning och förbund i resp. operationer och , och dessa operationer kommer att bestämma och operationer ovan luddiga relationer.

Om en set och final luddigt förhållande mellan och kan representeras med hjälp av den relationsmatriser, vars första rad och första kolumn är tilldelade element i uppsättningarna och , och ett element placeras i skärningspunkten mellan raden och kolumnen (se tabell 2.1).

I fall när set och matcha, luddigt förhållande kallad luddig relation på uppsättningen x.

I fallet med ändlig eller räknebar universella set uppenbar tolkning av suddig relation som viktad graf, där varje par av hörn från är förbundna med en kant med vikt.

Exempel. Låta och , sedan luddig Graf visas i fig. 2.1, specificerar några luddigt förhållande .

Ris. 2.1.

Egenskaper för luddiga relationer

olika typer luddiga relationer definieras med egenskaper som liknar de för vanliga relationer, och för luddiga relationer du kan specificera olika sätt generaliseringar av dessa egenskaper.

1. reflexivitet:

2. Svag reflexivitet:

3. Stark reflexivitet:

4. Antireflexivitet:

5. Svag antireflexivitet:

6. Stark antireflexivitet:

7. Symmetri:

8. Antisymmetri:

9. asymmetri:

10. Stark linjäritet:

11. Svag linjäritet:

12. Transitivitet:

Projektioner av luddiga relationer

En viktig roll i teorin om fuzzy sets spelas av konceptet suddiga relationsprojektioner. Låt oss ge definition projektioner av en binär fuzzy relation.

Låt - fuzzy relation medlemskap funktion i . projektioner och relationer på och - är set i och med formulärets medlemsfunktion

Villkorlig projektion av fuzzy relation on , för en godtycklig fix , är en uppsättning med en medlemskapsfunktion av formen .

Det villkorliga utsprång på given:

Från denna definition Det kan ses att projektionerna och inte påverkar de villkorade projektionerna respektive . Låt oss ge vidare definition som tar hänsyn till deras förhållande.

Medan fuzzy logic explicit kan användas för att representera expertkunskap med regler för språkliga variabler, tar det vanligtvis mycket lång tid att konstruera och ställa in medlemsfunktionerna som kvantifierar dessa variabler. Utbildningsmetoder för neurala nätverk automatiserar denna process och minskar utvecklingstiden och kostnaderna avsevärt, samtidigt som systemparametrarna förbättras. System som använder neurala nätverk för att bestämma parametrarna för fuzzy modeller kallas neurala fuzzy system. Den viktigaste egenskapen hos dessa system är deras tolkningsbarhet i termer av luddiga om-då-regler.

Sådana system kallas också kooperativa neurala fuzzy-system och är i motsats till konkurrenskraftiga neurala fuzzy-system, där neurala nätverk och fuzzy system arbetar tillsammans för att lösa samma problem utan att interagera med varandra. I det här fallet används vanligtvis ett neuralt nätverk för förbearbetning av indata eller för efterbehandling av utsignaler från ett fuzzy system.

Utöver dem finns det också fuzzy neurala system. Detta är namnet på neurala nätverk som använder luddiga metoder för att påskynda inlärningen och förbättra deras prestanda. Detta kan uppnås till exempel genom att använda luddiga regler för att ändra inlärningshastigheten eller genom att överväga neurala nätverk med luddiga ingångsvärden.

Det finns två huvudsakliga metoder för att kontrollera inlärningshastigheten för perceptronen metod för återförökning. I det första fallet minskar denna hastighet samtidigt och likformigt för alla nervceller i nätverket, beroende på ett globalt kriterium - det uppnådda rot-medelkvadratfelet på utgångsskiktet. Samtidigt lär sig nätverket snabbt i det inledande skedet av träningen och undviker felsvängningar i det senare skedet. I det andra fallet utvärderas förändringar i individuella internuronala anslutningar. Om vid de följande två inlärningsstegen stegen av anslutningar har motsatt tecken, är det rimligt att sänka motsvarande lokala hastighet, annars bör den ökas. Användningen av luddiga regler kan ge mer exakt kontroll av den lokala frekvensen för länkmodifiering. I synnerhet kan detta uppnås om successiva värden för felgradienterna används som ingångsparametrar till dessa regler. Tabellen med motsvarande regler kan se ut så här, till exempel:

De språkliga variablerna Learning Rate och Gradient tar följande värden i den luddiga anpassningsregeln som illustreras av tabellen: NB - stor negativ; NS - liten negativ; Z - nära noll; PS - liten positiv; PB - stort positivt.

Slutligen, i moderna hybrida neurala fuzzy-system kombineras neurala nätverk och fuzzy modeller till en enda homogen arkitektur. Sådana system kan tolkas antingen som neurala nätverk med fuzzy parametrar eller som parallellt distribuerade fuzzy system.

Element av suddig logik

Det centrala konceptet för fuzzy logic är konceptet språklig variabel. Enligt Lotfi Zade är en språklig variabel en variabel vars värden är ord eller meningar av ett naturligt eller konstgjort språk. Ett exempel på en språklig variabel är till exempel en produktionsnedgång om den antar språkliga värden, såsom försumbara, märkbara, signifikanta och katastrofala, till exempel. Det är uppenbart att språkliga betydelser inte tydligt präglar den existerande situationen. Till exempel kan en produktionsnedgång på 3 % ses som både något obetydlig och något märkbar. Det är intuitivt tydligt att måttet på att ett givet fall är katastrofalt måste vara ganska litet.