محاسبه دترمینان یک ماتریس توسط یک مثلث. خواص تعیین کننده کاهش ترتیب تعیین کننده. محاسبه ماتریس معکوس

مفهوم دترمینان یکی از مفاهیم اصلی در درس جبر خطی است. این مفهوم در ONLY SQUARE MATRIXES ذاتی است و این مقاله به این مفهوم اختصاص دارد. در اینجا ما در مورد تعیین کننده های ماتریس هایی صحبت خواهیم کرد که عناصر آنها اعداد واقعی (یا مختلط) هستند. در این مورد، دترمینان یک عدد واقعی (یا مختلط) است. تمام ارائه های بعدی پاسخی به سؤالات چگونگی محاسبه تعیین کننده و ویژگی های آن خواهد بود.

ابتدا، ما تعریف دترمینان یک ماتریس مربع از مرتبه n در n را به عنوان مجموع حاصل از جایگشت های عناصر ماتریس ارائه می دهیم. بر اساس این تعریف، فرمول هایی را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مرتبه اول، دوم و سوم می نویسیم و حل های چند مثال را به تفصیل تجزیه و تحلیل می کنیم.

در ادامه به ویژگی های دترمینال می پردازیم که آن ها را در قالب قضایای بدون برهان صورت بندی می کنیم. در اینجا، روشی برای محاسبه تعیین کننده از طریق بسط آن بر روی عناصر یک سطر یا ستون به دست می آید. این روش محاسبه دترمینان ماتریس مرتبه n در n را به محاسبه دترمینان ماتریس های مرتبه 3 به 3 یا کمتر کاهش می دهد. حتماً برای چندین مثال راه حل نشان دهید.

در پایان، اجازه دهید در محاسبه تعیین کننده با روش گاوس صحبت کنیم. این روش برای یافتن عوامل تعیین کننده ماتریس هایی با ترتیب بزرگتر از 3 در 3 خوب است زیرا به تلاش محاسباتی کمتری نیاز دارد. حل مثال ها را نیز تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعریف تعیین کننده ماتریس، محاسبه تعیین کننده ماتریس بر اساس تعریف.

چندین مفهوم کمکی را به یاد می آوریم.

تعریف.

جایگشت نظم nمجموعه ای مرتب از اعداد، متشکل از n عنصر نامیده می شود.

برای مجموعه ای حاوی n عنصر، n وجود دارد! (n فاکتوریل) جایگشت های مرتبه n. جایگشت ها فقط در ترتیب عناصر با یکدیگر تفاوت دارند.

برای مثال مجموعه ای متشکل از سه عدد را در نظر بگیرید: . ما همه جایگشت ها را می نویسیم (از آنجا که در مجموع شش عدد وجود دارد ):

تعریف.

وارونگی در جایگشت مرتبه nهر جفت شاخص p و q نامیده می شود که برای آن عنصر p-امین جایگشت بزرگتر از q-th است.

در مثال قبل، معکوس جایگشت 4، 9، 7 p=2، q=3 است، زیرا عنصر دوم جایگشت 9 است و از عنصر سوم که 7 است بزرگتر است. معکوس جایگشت 9 , 7 , 4 سه جفت خواهد بود: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1، q=3 (9>4) و p=2، q=3 (7>4).

ما بیشتر به تعداد وارونگی ها در یک جایگشت علاقه مند خواهیم بود تا خود وارونگی.

اجازه دهید یک ماتریس مربع از مرتبه n در n در میدان اعداد واقعی (یا مختلط) باشد. اجازه دهید مجموعه همه جایگشت های مرتبه n مجموعه باشد. مجموعه شامل n! جایگشت. بیایید جایگشت k ام مجموعه را به عنوان و تعداد وارونگی ها در جایگشت k ام را به عنوان نشان دهیم.

تعریف.

تعیین کننده ماتریسو عددی برابر است با .

بیایید این فرمول را با کلمات توصیف کنیم. تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه n در n مجموع حاوی n است! مقررات. هر عبارت حاصل ضرب n عنصر ماتریس است و هر حاصل شامل یک عنصر از هر سطر و از هر ستون ماتریس A است. اگر عناصر ماتریس A در حاصل ضرب بر اساس شماره ردیف مرتب شوند، ضریب (-1) قبل از kامین ترم ظاهر می شود و تعداد وارونگی ها در جایگشت k ام مجموعه اعداد ستون فرد باشد.

تعیین کننده یک ماتریس A معمولاً با نشان داده می شود و از det(A) نیز استفاده می شود. شما همچنین می توانید بشنوید که تعیین کننده را تعیین کننده می نامند.

بنابراین، .

این نشان می دهد که تعیین کننده ماتریس مرتبه اول عنصر این ماتریس است.

محاسبه دترمینان یک ماتریس مربع مرتبه دوم - فرمول و مثال.

به طور کلی حدود 2 در 2

در این مورد n=2، بنابراین n!=2!=2.

ما داریم

بنابراین، فرمولی برای محاسبه دترمینان یک ماتریس مرتبه 2 در 2 به دست آورده ایم، به شکل .

مثال.

سفارش.

راه حل.

در مثال ما. فرمول حاصل را اعمال می کنیم :

محاسبه تعیین کننده یک ماتریس مربع مرتبه سوم - فرمول و مثال.

بیایید تعیین کننده یک ماتریس مربع را پیدا کنیم به طور کلی حدود 3 در 3.

در این مورد n=3، بنابراین n!=3!=6.

بیایید داده های لازم برای اعمال فرمول را در قالب یک جدول مرتب کنیم .

ما داریم

بنابراین، فرمولی برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس از مرتبه 3 در 3 به دست آورده ایم، این فرمول را دارد.

به همین ترتیب، می توان فرمول هایی را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مرتبه 4 در 4، 5 در 5 و بالاتر به دست آورد. آنها بسیار حجیم به نظر می رسند.

مثال.

محاسبه تعیین کننده ماتریس مربع حدود 3 در 3

راه حل.

در مثال ما

ما فرمول به دست آمده را برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس مرتبه سوم اعمال می کنیم:

فرمول هایی برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع مرتبه دوم و سوم اغلب استفاده می شود، بنابراین توصیه می کنیم آنها را به خاطر بسپارید.

خواص یک دترمینان ماتریس، محاسبه یک دترمینان ماتریس با استفاده از خواص.

بر اساس تعریف فوق موارد زیر صحیح است. خواص تعیین کننده ماتریس.

تعیین کننده ماتریس A برابر با تعیین کننده ماتریس انتقال یافته A T است، یعنی .

مثال.

از تعیین کننده ماتریس اطمینان حاصل کنید برابر با تعیین کننده ماتریس جابجا شده است.

راه حل.

بیایید از فرمول برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس از مرتبه 3 در 3 استفاده کنیم:

ماتریس A را جابجا می کنیم:

تعیین کننده ماتریس جابجا شده را محاسبه کنید:

در واقع، تعیین کننده ماتریس جابجا شده با تعیین کننده ماتریس اصلی برابر است.

اگر در یک ماتریس مربع همه عناصر حداقل یکی از سطرها (یکی از ستون ها) صفر باشند، تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با صفر است.

مثال.

بررسی کنید که تعیین کننده ماتریس باشد ترتیب 3 در 3 صفر است.

راه حل.

در واقع، تعیین کننده یک ماتریس با ستون صفر صفر است.

اگر هر دو سطر (ستون) را در یک ماتریس مربعی جابه‌جا کنید، تعیین‌کننده ماتریس حاصل مخالف ماتریس اصلی خواهد بود (یعنی علامت تغییر می‌کند).

مثال.

دو ماتریس مربع به ترتیب 3 در 3 داده می شود و . نشان دهید که تعیین کننده های آنها متضاد هستند.

راه حل.

ماتریس B از ماتریس A با جایگزینی ردیف سوم با ردیف اول و ردیف اول با سوم به دست می آید. با توجه به ویژگی در نظر گرفته شده، تعیین کننده های این ماتریس ها باید در علامت متفاوت باشند. بیایید این را با محاسبه عوامل تعیین کننده با استفاده از یک فرمول شناخته شده بررسی کنیم.

واقعا، .

اگر حداقل دو سطر (دو ستون) در یک ماتریس مربع یکسان باشند، دترمینان آن برابر با صفر است.

مثال.

نشان دهید که تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است.

راه حل.

در این ماتریس، ستون دوم و سوم یکسان هستند، بنابراین، با توجه به ویژگی در نظر گرفته شده، تعیین کننده آن باید برابر با صفر باشد. بگذار چک کنیم.

در واقع، تعیین کننده یک ماتریس با دو همان ستون هاصفر وجود دارد

اگر در یک ماتریس مربع همه عناصر هر ردیف (ستون) در مقداری k ضرب شوند، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k خواهد بود. مثلا،

مثال.

ثابت کنید که تعیین کننده ماتریس برابر با سه برابر تعیین کننده ماتریس است .

راه حل.

عناصر ستون اول ماتریس B از عناصر مربوط به ستون اول ماتریس A با ضرب در 3 به دست می آیند. سپس به موجب مال در نظر گرفته شده، برابری باید برقرار باشد. بیایید این را با محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های A و B بررسی کنیم.

بنابراین، که قرار بود ثابت شود.

توجه داشته باشید.

مفاهیم ماتریس و دترمینان را با هم اشتباه نگیرید یا اشتباه نگیرید! خاصیت در نظر گرفته شده تعیین کننده یک ماتریس و عملیات ضرب یک ماتریس در یک عدد از یک چیز دور هستند.
، ولی .

اگر همه عناصر هر سطر (ستون) یک ماتریس مربع مجموع s عبارت ها باشند (s یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است)، آنگاه تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با مجموع s تعیین کننده های ماتریس ها خواهد بود. یکی اصلی، اگر به عنوان عناصر ردیف (ستون) هر بار یک عبارت را ترک کنید. مثلا،

مثال.

ثابت کنید که تعیین کننده یک ماتریس برابر است با مجموع عوامل تعیین کننده ماتریس ها .

راه حل.

در مثال ما بنابراین، با توجه به ویژگی در نظر گرفته شده تعیین کننده ماتریس، برابری است . ما آن را با محاسبه تعیین کننده های مربوط به ماتریس های مرتبه 2 در 2 با استفاده از فرمول بررسی می کنیم. .

از نتایج به دست آمده می توان دریافت که . این اثبات را کامل می کند.

اگر عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون) ضرب در عدد دلخواه k را به عناصر یک ردیف (ستون) معینی از ماتریس اضافه کنیم، آنگاه تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی خواهد بود.

مثال.

مطمئن شوید که اگر عناصر ستون سوم ماتریس عناصر مربوط به ستون دوم این ماتریس را با ضرب در (2-) جمع کنید و عناصر مربوط به ستون اول ماتریس را با یک عدد واقعی دلخواه ضرب کنید، سپس تعیین کننده ماتریس حاصل برابر خواهد بود با تعیین کننده ماتریس اصلی

راه حل.

اگر از خاصیت در نظر گرفته شده دترمینان شروع کنیم، دترمینان ماتریس به دست آمده پس از تمام تبدیل های نشان داده شده در مسئله، برابر با تعیین کننده ماتریس A خواهد بود.

ابتدا تعیین کننده ماتریس اصلی A را محاسبه می کنیم:

حال اجازه دهید تبدیل های لازم ماتریس A را انجام دهیم.

بیایید به عناصر ستون سوم ماتریس، عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس را که قبلاً آنها را در (-2) ضرب کرده ایم، اضافه کنیم. پس از آن، ماتریس به شکل زیر خواهد بود:

به عناصر ستون سوم ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ستون اول را ضرب می کنیم:

تعیین کننده ماتریس حاصل را محاسبه کنید و مطمئن شوید که با تعیین کننده ماتریس A برابر است، یعنی 24-:

تعیین کننده یک ماتریس مربع مجموع حاصلضرب عناصر هر سطر (ستون) با آنها است. اضافات جبری.

در اینجا مکمل جبری عنصر ماتریس است.

این ویژگی امکان محاسبه تعیین کننده های ماتریس های مرتبه بالاتر از 3 در 3 را با کاهش آنها به مجموع چندین عامل تعیین کننده ماتریس های مرتبه یک پایین تر می دهد. به عبارت دیگر، این یک فرمول تکراری برای محاسبه دترمینان یک ماتریس مربع از هر مرتبه است. توصیه می کنیم به دلیل کاربرد نسبتاً مکرر آن را به خاطر بسپارید.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال.

4 در 4 سفارش دهید، آن را گسترش دهید

توسط عناصر ردیف 3،
توسط عناصر ستون 2.

راه حل.

ما از فرمول برای بسط دترمینان توسط عناصر ردیف 3 استفاده می کنیم

ما داریم

بنابراین مسئله یافتن تعیین کننده یک ماتریس مرتبه 4 در 4 به محاسبه سه تعیین کننده ماتریس های مرتبه 3 در 3 کاهش یافت:

با جایگزینی مقادیر به دست آمده، به نتیجه می رسیم:

ما از فرمول برای گسترش دترمینانت توسط عناصر ستون 2 استفاده می کنیم

و ما به همین ترتیب عمل می کنیم.

ما به طور دقیق محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مرتبه سوم را شرح نمی دهیم.

مثال.

محاسبه ماتریس تعیین کننده حدود 4 در 4

راه حل.

شما می توانید تعیین کننده ماتریس را به عناصر هر ستون یا هر ردیفی تجزیه کنید، اما بهتر است سطر یا ستونی را انتخاب کنید که دارای بیشترین تعداد عناصر صفر باشد، زیرا این کار به جلوگیری از محاسبات غیر ضروری کمک می کند. بیایید تعیین کننده را با عناصر ردیف اول گسترش دهیم:

ما تعیین کننده های بدست آمده از ماتریس های مرتبه 3 در 3 را طبق فرمولی که برای ما شناخته شده است محاسبه می کنیم:

نتایج را جایگزین می کنیم و مقدار مورد نظر را می گیریم

مثال.

محاسبه ماتریس تعیین کننده حدود 5 در 5

راه حل.

ردیف چهارم ماتریس دارای بیشترین تعداد عناصر صفر در بین تمام سطرها و ستون ها است، بنابراین توصیه می شود که تعیین کننده ماتریس را دقیقاً با عناصر ردیف چهارم گسترش دهید، زیرا در این مورد به محاسبات کمتری نیاز داریم.

تعیین کننده های به دست آمده از ماتریس های مرتبه 4 در 4 در مثال های قبلی یافت شد، بنابراین از نتایج آماده استفاده خواهیم کرد:

مثال.

محاسبه ماتریس تعیین کننده حدود 7 در 7

راه حل.

شما نباید فوراً برای تجزیه تعیین کننده توسط عناصر هر ردیف یا ستون عجله کنید. اگر به ماتریس دقت کنید، متوجه می شوید که عناصر ردیف ششم ماتریس را می توان با ضرب عناصر مربوط به ردیف دوم در دو به دست آورد. یعنی اگر عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب در (-2) به عناصر ردیف ششم اضافه کنیم، آنگاه به دلیل خاصیت هفتم، تعیین کننده تغییر نمی کند و ردیف ششم ماتریس حاصل از آن تشکیل می شود. صفرها تعیین کننده چنین ماتریسی با خاصیت دوم برابر با صفر است.

پاسخ:

لازم به ذکر است که ویژگی در نظر گرفته شده به فرد اجازه می دهد تا تعیین کننده های ماتریس های هر مرتبه را محاسبه کند، با این حال، باید عملیات محاسباتی زیادی را انجام داد. در بیشتر موارد، یافتن تعیین کننده ماتریس های مرتبه بالاتر از سوم با روش گاوس سودمندتر است، که در زیر به آن خواهیم پرداخت.

مجموع حاصل ضرب عناصر هر سطر (ستون) ماتریس مربع و متمم های جبری عناصر مربوط به سطر دیگر (ستون) برابر با صفر است.

مثال.

نشان دهید که مجموع حاصل ضرب عناصر ستون سوم ماتریس است در متمم های جبری عناصر مربوطه ستون اول برابر با صفر است.

راه حل.

تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس های مربعی هم ردیف با حاصلضرب تعیین کننده های آنها برابر است، یعنی: ، جایی که m یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است، A k , k=1,2,…,m ماتریس های مربعی هم مرتبه هستند.

مثال.

مطمئن شوید که تعیین کننده حاصل ضرب دو ماتریس است و برابر است با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده آنها.

راه حل.

اجازه دهید ابتدا حاصل ضرب عوامل تعیین کننده ماتریس های A و B را پیدا کنیم:

حالا بیایید ضرب ماتریس را انجام دهیم و تعیین کننده ماتریس حاصل را محاسبه کنیم:

به این ترتیب، ، که قرار بود نمایش داده شود.

محاسبه دترمینانت ماتریس به روش گاوس.

اجازه دهید ماهیت این روش را شرح دهیم. با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس A به شکلی کاهش می‌یابد که در ستون اول همه عناصر به جز برای صفر می‌شوند (این همیشه ممکن است اگر تعیین‌کننده ماتریس A غیر صفر باشد). ما این روش را کمی بعد توضیح خواهیم داد، اما اکنون توضیح خواهیم داد که چرا این کار انجام می شود. عناصر صفر به منظور به دست آوردن ساده ترین بسط تعیین کننده بر روی عناصر ستون اول به دست می آیند. پس از چنین تبدیلی از ماتریس A، با در نظر گرفتن ویژگی هشتم و، به دست می آوریم

جایی که - جزئی (n-1)-امین مرتبه، از ماتریس A با حذف عناصر سطر اول و ستون اول آن به دست می آید.

با ماتریسی که مینور با آن مطابقت دارد، همین روش برای به دست آوردن عناصر صفر در ستون اول انجام می شود. و به همین ترتیب تا محاسبه نهایی تعیین کننده.

اکنون باید به این سؤال پاسخ دهیم: "چگونه عناصر null را در ستون اول دریافت کنیم"؟

بیایید الگوریتم اقدامات را شرح دهیم.

اگر، عناصر ردیف اول ماتریس به عناصر مربوط به ردیف k اضافه می شوند که در آن . (اگر بدون استثنا همه عناصر ستون اول ماتریس A صفر باشند، دترمینان آن با خاصیت دوم صفر است و به روش گاوسی نیازی نیست). پس از چنین تبدیلی، عنصر "جدید" با صفر متفاوت خواهد بود. تعیین کننده ماتریس "جدید" به دلیل خاصیت هفتم برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی خواهد بود.

اکنون ماتریسی داریم که دارای . هنگامی که به عناصر ردیف دوم، عناصر مربوط به ردیف اول را، ضرب در، به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به ردیف اول، ضرب در . و غیره. در خاتمه، به عناصر ردیف n ام، عناصر مربوط به ردیف اول را در ضرب اضافه می کنیم. بنابراین ماتریس تبدیل شده A به دست می آید که تمام عناصر ستون اول آن به جز , صفر خواهند بود. تعیین کننده ماتریس حاصل به دلیل خاصیت هفتم برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی خواهد بود.

بیایید هنگام حل یک مثال روش را تجزیه و تحلیل کنیم تا واضح تر شود.

مثال.

تعیین کننده یک ماتریس از مرتبه 5 در 5 را محاسبه کنید .

راه حل.

بیایید از روش گاوس استفاده کنیم. اجازه دهید ماتریس A را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول آن، به جز , صفر شوند.

از آنجایی که عنصر در ابتدا است، سپس عناصر مربوطه را به عناصر ردیف اول ماتریس اضافه می کنیم، به عنوان مثال، ردیف دوم، زیرا:

علامت «~» به معنای هم ارزی است.

حالا عناصر ردیف اول را به عناصر ردیف دوم اضافه می کنیم ، به عناصر ردیف سوم - عناصر مربوط به ردیف اول، ضرب در ، و به طور مشابه تا خط ششم ادامه دهید:

ما گرفتیم

با ماتریس ما همین روش را برای به دست آوردن عناصر صفر در ستون اول انجام می دهیم:

در نتیجه،

اکنون با ماتریس تبدیل ها را انجام می دهیم :

اظهار نظر.

در برخی از مراحل تبدیل ماتریس به روش گاوس، موقعیتی ممکن است ایجاد شود که تمام عناصر چند ردیف آخر ماتریس صفر شوند. این در مورد برابری تعیین کننده به صفر صحبت خواهد کرد.

خلاصه کنید.

تعیین کننده یک ماتریس مربع که عناصر آن اعداد هستند یک عدد است. ما سه روش برای محاسبه دترمینان در نظر گرفته ایم:

از طریق مجموع محصولات ترکیبی از عناصر ماتریس؛
از طریق گسترش تعیین کننده توسط عناصر سطر یا ستون ماتریس؛
روش کاهش ماتریس به مثلث بالایی (به روش گاوس).

فرمول هایی برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مرتبه 2 در 2 و 3 در 3 به دست آمد.

ما خواص تعیین کننده ماتریس را تجزیه و تحلیل کرده ایم. برخی از آنها به شما امکان می دهند به سرعت بفهمید که تعیین کننده صفر است.

هنگام محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بالاتر از 3 در 3، توصیه می شود از روش گاوس استفاده کنید: تبدیل های اولیه ماتریس را انجام دهید و آن را به مثلث بالایی برسانید. تعیین کننده چنین ماتریسی برابر است با حاصلضرب تمام عناصر در مورب اصلی.

1. تعیین کننده در حین جابجایی تغییر نمی کند.

2. اگر یکی از ردیف های دترمینان از صفر تشکیل شده باشد، دترمینان برابر با صفر است.

3. اگر دو ردیف در دترمینان مرتب شوند، دترمینان علامت تغییر خواهد کرد.

4. دترمینان حاوی دو رشته یکسان برابر با صفر است.

5. اگر همه عناصر یک ردیف از دترمینال در مقداری k ضرب شوند، خود تعیین کننده در k ضرب می شود.

6. دترمینان حاوی دو ردیف متناسب برابر با صفر است.

7. اگر همه عناصر ردیف i-ام تعیین کننده به صورت مجموع دو جمله ارائه شوند a i j = b j + c j (j= ) آنگاه تعیین کننده برابر است با مجموع دترمینال ها که در آن همه ردیف ها به جز برای ردیف i، همان چیزی است که در تعیین کننده داده شده، a من می اندازمدر یکی از اصطلاحات از عناصر b j و در دیگری - از عناصر c j تشکیل شده است.

8. اگر عناصر متناظر سطر دیگری به عناصر یکی از سطرهای آن ضرب در همان عدد اضافه شود، تعیین کننده تغییر نمی کند.

اظهار نظر.اگر به جای ردیف‌ها، ستون‌ها گرفته شوند، همه ویژگی‌ها معتبر می‌مانند.

جزئی M i j از عنصر a i j از تعیین کننده d از مرتبه n، تعیین کننده مرتبه n-1 است که با حذف سطر و ستون حاوی این عنصر از d به دست می آید.

جمع جبریعنصر a i j از تعیین کننده d جزئی M i j است که با علامت (-1) i + j گرفته می شود. متمم جبری عنصر a i j با A i j نشان داده می شود. بنابراین، A i j = (-1) i + j M i j .

روش‌های محاسبه عملی تعیین‌کننده‌ها بر اساس این واقعیت که تعیین‌کننده مرتبه n را می‌توان بر حسب تعیین‌کننده‌های مرتبه‌های پایین‌تر بیان کرد، با قضیه زیر ارائه می‌شود.

قضیه (تجزیه تعیین کننده در یک ردیف یا ستون).

تعیین کننده برابر است با مجموع حاصلضرب تمام عناصر سطر (یا ستون) دلخواه آن و مکمل های جبری آنها. به عبارت دیگر، بسط d بر حسب وجود دارد عناصر i-امردیف های d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

یا j-امین ستون d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

به طور خاص، اگر همه عناصر یک ردیف (یا ستون) به جز یک برابر با صفر باشند، تعیین کننده برابر با این عنصر ضرب در مکمل جبری آن است.

مثال 1.4.عدم محاسبه تعیین کننده ، نشان دهید که برابر با صفر است. راه حل.ردیف اول را از ردیف دوم کم کنید، تعیین کننده را به دست می آوریم برابر با اصل اگر ردیف اول را هم از ردیف سوم کم کنیم، دترمینان به دست می آید ، که در آن دو ردیف متناسب هستند. این تعیین کننده صفر است.

مثال 1.5.تعیین کننده D = را محاسبه کنید ، آن را با عناصر ستون دوم گسترش می دهد.

راه حل.بیایید تعیین کننده را با عناصر ستون دوم گسترش دهیم:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

مثال 1.6.تعیین کننده را محاسبه کنید

A=
، که در آن تمام عناصر یک طرف مورب اصلی برابر با صفر هستند. راه حل.اجازه دهید تعیین A را در ردیف اول گسترش دهیم: A = a 11 A 11 = . تعیین کننده سمت راست را می توان دوباره در امتداد خط اول گسترش داد، سپس دریافت می کنیم:

A=
.و غیره. بعد از n مرحله به برابری A = a 11 a 22... a nn می رسیم.

3.مفاهیم اساسی سیستم های معادلات خطی. قضیه کرامر.

تعریف. سیستم معادلات خطیاتحادیه است nمعادلات خطی که هر کدام شامل کمتغیرها اینگونه نوشته شده است:

بسیاری، هنگامی که برای اولین بار با جبر بالاتر مواجه می شوند، به اشتباه معتقدند که تعداد معادلات باید لزوماً با تعداد متغیرها منطبق باشد. در جبر مدرسه معمولاً چنین است، اما برای جبر بالاتر، به طور کلی، این درست نیست.

تعریف. حل یک سیستم معادلاتدنباله ای از اعداد است ( ک 1 ,ک 2 , ..., k n) که راه حلی برای هر معادله سیستم است، یعنی. هنگامی که به جای متغیرها در این معادله جایگزین می شود ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x nمقدار عددی صحیح را می دهد.

به ترتیب، حل سیستم معادلاتبه معنای یافتن مجموعه تمام راه حل های آن یا اثبات خالی بودن این مجموعه است. از آنجایی که ممکن است تعداد معادلات و تعداد مجهولات یکسان نباشد، سه حالت ممکن است:

1. سیستم ناسازگار است، یعنی. مجموعه همه راه حل ها خالی است. یک مورد نسبتاً نادر که بدون توجه به روش حل سیستم به راحتی قابل تشخیص است.

2. سیستم سازگار و تعریف شده است، i.e. دقیقا یک راه حل دارد نسخه کلاسیک، از زمان مدرسه به خوبی شناخته شده است.

3. سیستم سازگار است و تعریف نشده است، i.e. راه حل های بی نهایت زیادی دارد این سخت ترین گزینه است. این کافی نیست که بگوییم "سیستم دارای مجموعه بی نهایت راه حل است" - لازم است نحوه چیدمان این مجموعه را شرح دهیم.

تعریف. متغیر x iتماس گرفت مجاز استدر صورتی که فقط در یک معادله سیستم قرار گیرد و با ضریب 1. به عبارت دیگر در معادلات باقیمانده ضریب متغیر x iباید برابر با صفر باشد.

اگر در هر معادله یک متغیر مجاز را انتخاب کنیم، مجموعه ای از متغیرهای مجاز برای کل سیستم معادلات به دست می آید. خود سیستم که به این شکل نوشته شده است مجاز نیز نامیده می شود. به طور کلی، یک سیستم اولیه را می توان به سیستم های مجاز مختلف تقلیل داد، اما این اکنون به ما مربوط نمی شود. در اینجا نمونه هایی از سیستم های مجاز آورده شده است:

هر دو سیستم با توجه به متغیرها مجاز هستند ایکس 1 , ایکس 3 و ایکسچهار . با این حال، با همان موفقیت می توان استدلال کرد که سیستم دوم نسبتاً مجاز است ایکس 1 , ایکس 3 و ایکس 5 . برای بازنویسی آخرین معادله کافی است ایکس 5 = ایکس 4 .

حال یک مورد کلی تری را در نظر بگیرید. بگذار همه چیز داشته باشیم کمتغیرها، که rمجاز. سپس دو مورد ممکن است:

1. تعداد متغیرهای مجاز rبرابر با تعداد کل متغیرها است ک: r = ک. ما سیستم را از کمعادلاتی که در آن r = کمتغیرهای مجاز چنین سیستمی مشارکتی و قطعی است، زیرا ایکس 1 = ب 1 , ایکس 2 = ب 2 , ..., x k = b k;

2. تعداد متغیرهای مجاز rکمتر تعداد کلمتغیرها ک: r < ک. بقیه ( ک − r) متغیرها رایگان نامیده می شوند - آنها می توانند هر مقداری را بگیرند که متغیرهای مجاز به راحتی محاسبه شوند.

بنابراین در سیستم های فوق متغیرها ایکس 2 , ایکس 5 , ایکس 6 (برای سیستم اول) و ایکس 2 , ایکس 5 (برای دوم) رایگان است. حالتی که متغیرهای آزاد وجود دارد بهتر است به صورت یک قضیه فرموله شود...

چگونه حل کنیم؟: – حل سیستم معادلات خطی به روش جایگزینی («روش مدرسه»).
- حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.
– حل سیستم با فرمول های کرامر.
– حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس.
- حل سیستم به روش گاوس.

کرامر

ابتدا قانون کرامر را برای سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول در نظر بگیرید. سیستم های معادلات خطی با دو متغیر وجود دارد که توصیه می شود دقیقاً طبق قانون کرامر حل شوند!

سیستم معادلات را در نظر بگیرید

در مرحله اول، دترمینان را محاسبه می کنیم که نامیده می شود تعیین کننده اصلی سیستم.

اگر، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است (راه حلی ندارد). در این مورد، قانون Cramer کمکی نخواهد کرد، شما باید استفاده کنید روش گاوس.

اگر، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و برای یافتن ریشه ها باید دو عامل تعیین کننده دیگر را محاسبه کنیم: و

در عمل، معیارهای فوق را می توان با حرف لاتین نیز نشان داد.

ریشه های معادله با فرمول های زیر بدست می آید:

مثال 7

حل یک سیستم معادلات خطی

می بینیم که ضرایب معادله بسیار بزرگ است، در سمت راست کسری اعشاری با کاما وجود دارد. کاما یک مهمان نسبتا نادر در است وظایف عملیدر ریاضیات، من این سیستم را از یک مسئله اقتصاد سنجی گرفتم.

چگونه چنین سیستمی را حل کنیم؟ می توانید سعی کنید یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید، اما در این صورت، مطمئناً کسرهای فانتزی وحشتناکی خواهید داشت که کار با آنها بسیار ناخوشایند است و طراحی راه حل بسیار وحشتناک به نظر می رسد. می توانید معادله دوم را در 6 ضرب کنید و جمله به جمله را کم کنید، اما همان کسرها در اینجا ظاهر می شوند.

چه باید کرد؟ در چنین مواردی، فرمول های کرامر به کمک می آیند.

بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

;

همانطور که می بینید، ریشه ها غیرمنطقی بودند و تقریباً یافت شدند که برای مشکلات اقتصاد سنجی کاملاً قابل قبول (و حتی عادی) است.

در اینجا به نظرات نیازی نیست، زیرا کار طبق فرمول های آماده حل می شود، با این حال، یک اخطار وجود دارد. هنگام استفاده این روش, اجباریقطعه تکلیف قطعه زیر است: « ، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد . در غیر این صورت، داور ممکن است شما را به دلیل بی احترامی به قضیه کرامر مجازات کند.

بررسی اضافی نخواهد بود، که برای انجام آن در ماشین حساب راحت است: ما مقادیر تقریبی را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم. در نتیجه با یک خطای کوچک باید اعدادی که در سمت راست قرار دارند به دست آید.

فرمول های کرامر

روش کرامر این است که ما پی در پی پیدا می کنیم شناسه اصلی سیستم(5.3)، یعنی ماتریس A تعیین کننده

و n تعیین کننده کمکی D i (i= ) که از دترمینال D با جایگزینی ستون i با ستونی از عبارات آزاد به دست می آیند.

فرمول های کرامر به شکل زیر هستند:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

از (5.4)، قانون کرامر دنبال می‌شود، که پاسخی جامع به سؤال سازگاری سیستم (5.3) می‌دهد: اگر تعیین‌کننده اصلی سیستم غیر صفر باشد، سیستم دارای یک راه‌حل منحصربه‌فرد است که با فرمول‌ها تعیین می‌شود:

اگر تعیین کننده اصلی سیستم D و همه تعیین کننده های کمکی D i = 0 (i= ) باشد، سیستم دارای تعداد بی نهایت جواب است. اگر تعیین کننده اصلی سیستم D = 0 و حداقل یک تعیین کننده کمکی با صفر متفاوت باشد، آنگاه سیستم ناسازگار است.

مثال 1.14. حل سیستم معادلات با استفاده از روش کرامر:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5، x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2، 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2، 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

راه حل.تعیین کننده اصلی این سیستم D = = -142 ¹ 0، بنابراین سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اجازه دهید تعیین کننده های کمکی D i (i= ) را که از تعیین کننده D بدست می آید با جایگزین کردن ستونی متشکل از ضرایب در x i با ستونی از اعضای آزاد در آن محاسبه کنیم: D 1 = = - 142، D 2 = = - 284، D 3 = = - 426,

D4= = 142. بنابراین x 1 = D 1 / D = 1، x 2 = D 2 / D = 2، x 3 = D 3 / D = 3، x 4 = D 4 / D = -1، راه حل سیستم بردار C =(1، 2، 3، -1) T است.

مفاهیم اساسی سیستم های معادلات خطی. روش گاوس

بالا را ببین.

روش گاوس-اردن(روش حذف کامل مجهولات) - روشی که برای حل سیستم های مربعی معادلات جبری خطی، یافتن معکوس یک ماتریس، یافتن مختصات یک بردار در یک مبنای معین یا یافتن رتبه یک ماتریس استفاده می شود. این روش اصلاحی از روش گاوس است.

الگوریتم

1. اولین ستون سمت چپ ماتریس را انتخاب کنید که حداقل یک مقدار غیر صفر دارد.

2. اگر بالاترین عدد در این ستون صفر است، کل سطر اول ماتریس را با سطر دیگری از ماتریس تغییر دهید، جایی که در این ستون صفر وجود ندارد.

3. تمام عناصر سطر اول بر عنصر بالای ستون انتخاب شده تقسیم می شوند.

4. از ردیف های باقی مانده، ردیف اول را که در اولین عنصر ردیف مربوطه ضرب می شود، کم کنید تا اولین عنصر هر ردیف (به جز اولین) صفر شود.

6. پس از یک بار تکرار این روش، یک ماتریس مثلثی بالایی به دست می آید

7. از ردیف ماقبل آخر، ردیف آخر را در ضریب مربوطه ضرب کنید، به طوری که فقط 1 در مورب اصلی در ردیف ماقبل آخر باقی بماند.

8. مرحله قبل را برای خطوط بعدی تکرار کنید. در نتیجه، یک ماتریس هویت و یک راه حل به جای یک بردار آزاد به دست می آید (لازم است تمام تبدیلات مشابه با آن انجام شود).

9. برای به دست آوردن ماتریس معکوس، باید تمام عملیات را به یک ترتیب در ماتریس هویت اعمال کنید.

روش گاوس

از نظر تاریخی، اولین و رایج ترین روش برای حل سیستم های معادلات خطی، روش گاوس یا روش حذف متوالی مجهولات است. ماهیت این روش این است که از طریق حذف متوالی مجهولات این سیستمبه یک سیستم پلکانی (به ویژه مثلثی شکل) معادل سیستم داده شده تبدیل می شود. در حل عملی یک سیستم معادلات خطی با روش گاوس، راحت تر است که نه خود سیستم معادلات، بلکه ماتریس توسعه یافته این سیستم را به شکل گام به گام کاهش دهیم و تبدیلات اولیه را روی ردیف های آن انجام دهیم. ماتریس هایی که به طور متوالی در طول تبدیل به دست می آیند معمولاً با یک علامت هم ارزی به هم متصل می شوند.

مثال 1.13. سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید: x + y - 3z = 2، 3x - 2y + z = - 1، 2x + y - 2z = 0.

راه حل.ماتریس افزوده شده این سیستم را می نویسیم

و تبدیل های ابتدایی زیر را روی ردیف های آن انجام دهید: الف) از ردیف های دوم و سوم آن، ردیف اول را به ترتیب در 3 و 2 ضرب کنید: ~ ;

ب) ردیف سوم را در (5-) ضرب کنید و ردیف دوم را به آن اضافه کنید: .

در نتیجه همه این تبدیل ها، این سیستم به شکل مثلثی کاهش می یابد: x + y - 3z = 2، -5y + 10z = -7، - 10z = 13.

از آخرین معادله z = -1.3 را پیدا می کنیم. با جایگزینی این مقدار به معادله دوم، y = -1.2 داریم. علاوه بر این از معادله اول، x = - 0.7 را دریافت می کنیم

از نوت بوک:

روش گاوس

این روش از دو بخش تشکیل شده است - جلو و عقب.

حرکت مستقیم شامل رفتار گسترش ماتریس SLE به شکل پلکانی با کمک تبدیل‌های ردیف ابتدایی است. در یک ماتریس پلکانی، هر سطر بعدی در ابتدا تعداد صفرهای بیشتری نسبت به ردیف قبلی دارد - یا صفر است.

مثال:

تبدیل اولیه ردیف های ماتریس به صورت زیر است:

1) اضافه کردن اعداد یک ردیف از ماتریس، ضرب در تعدادی، به یکی از ردیف های پایین ماتریس.

2) دو خط را در جاها تغییر دهید

حرکت معکوس روش گاوسی شامل بیان متوالی برخی از متغیرها بر حسب متغیرهای دیگر است که از خط صفر پایین شروع می شود. نتیجه یک راه حل کلی است.

پس از حرکت رو به جلو، 3 گزینه برای نوع پلکانی ماتریس گسترش یافته وجود دارد:

1) هر خط بعدی در ابتدا دقیقاً بیش از یک صفر بیشتر از خط قبلی دارد

مثال:

معادله را خط به خط می نویسیم و از خط پایین شروع به یافتن مقدار متغیرها می کنیم.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

در معادله قبلی جایگزین کنید

2X 3 -3X 4 \u003d -8 یعنی. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 یا 2X 3 \u003d -2، Þ X 3 \u003d -1، جایگزین X3 و X4 در خط دوم و غیره. ما تنها راه حل SLU را دریافت می کنیم

2) تعداد ردیف های غیر صفر از تعداد متغیرها کمتر است. سپس یکی از خطوط دارای صفر در ابتدا حداقل 2 بیشتر از خط قبلی است و در نظر می گیریم که خط بعدی غیر صفر شکل (0 ... 0 b) را ندارد که عدد b=0 است.

مثلا:

3) آخرین خط غیر صفر شکل (0…0/b) دارد، جایی که b=0 با برابری های متناقض o=b مطابقت دارد، بنابراین سیستم ناسازگار است.

حل SLE به روش گاوس

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4X 1 + 5X 2 + 4X 3 = 7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

ماتریس توسعه یافته حرکت مستقیم را می سازیم.

· تعیین کننده مربع ماتریس های A از مرتبه n یا تعیین کننده مرتبه n به عددی مساوی با مجموع جبری می گویند پ! اعضایی که هر کدام یک محصول هستند پعناصر ماتریس از هر سطر و هر ستون با علائم مشخص یکی گرفته شده است. تعیین کننده با یا نشان داده می شود.

تعیین کننده مرتبه دومعددی است که به صورت زیر بیان می شود: . مثلا .

تعیین کننده مرتبه سومبر اساس قاعده مثلث ها (قاعده ساروس) محاسبه می شود: .

مثال. .

اظهار نظر. در عمل، تعیین‌کننده‌های مرتبه سوم و همچنین مرتبه‌های بالاتر، با استفاده از ویژگی‌های تعیین‌کننده محاسبه می‌شوند.

ویژگی های تعیین کننده های مرتبه n.

1. اگر هر سطر (ستون) با یک ستون (ردیف) با همان عدد جایگزین شود، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد - جابجا کردن.

2. اگر یکی از سطرهای (ستون) دترمینان از صفر تشکیل شده باشد، مقدار دترمینان صفر است.

3. اگر دو ردیف (ستون) در تعیین کننده با هم عوض شوند، قدر مطلق تعیین کننده تغییر نمی کند و علامت به عکس تغییر می کند.

4. دترمینان حاوی دو ردیف (ستون) یکسان برابر با صفر است.

5. ضریب مشترک همه عناصر یک ردیف (ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

· جزئی برخی از عناصر تعیین کننده پمرتبه تعیین کننده نامیده می شود ( پ-1)-امین مرتبه، با حذف سطر و ستونی که در تقاطع آنها عنصر انتخاب شده قرار دارد، از نسخه اصلی به دست می آید. تعیین: .

· جمع جبری عنصر تعیین کننده را جزئی می نامند که با علامت گرفته می شود. نامگذاری: بنابراین =.

6. تعیین کننده یک ماتریس مربع برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر هر سطر (یا ستون) و مکمل های جبری آنها ( قضیه تجزیه).

7. اگر هر عنصر از ردیف -ام حاصل جمع باشد کشرایط، سپس تعیین کننده به صورت مجموع نشان داده می شود کتعیین کننده هایی که در آنها همه ردیف ها به جز ردیف -ام، مانند تعیین کننده اصلی هستند و ردیف -امین در تعیین کننده اول از جمله های اول، در ردیف دوم - دوم و غیره تشکیل شده است. همین امر در مورد ستون ها نیز صادق است.

8. اگر سطر دیگری (ستون) ضرب در یک عدد به یکی از سطرها (ستون ها) اضافه شود، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

نتیجه. اگر ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) به ردیف (ستون) تعیین کننده اضافه شود، آنگاه تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

9. تعیین کننده یک ماتریس مورب برابر است با حاصلضرب عناصر در مورب اصلی، یعنی.

اظهار نظر. تعیین کننده یک ماتریس مثلثی نیز برابر با حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی است.

ویژگی های فهرست شده تعیین کننده ها این امکان را فراهم می کند که محاسبه آنها را به طور قابل توجهی ساده کنید، که به ویژه برای تعیین کننده های مرتبه بالا مهم است. در این مورد، توصیه می شود که ماتریس اصلی را به گونه ای تبدیل کنید که ماتریس تبدیل شده دارای سطر یا ستونی باشد که تا حد امکان صفر داشته باشد (سطرها یا ستون ها "صفر کردن").

مثال ها.با استفاده از ویژگی‌های تعیین‌کننده‌ها، تعیین‌کننده‌ای را که در مثال قبل ارائه شد، دوباره محاسبه کنید.

راه حل: توجه داشته باشید که در خط اول یک عامل مشترک - 2 وجود دارد و در خط دوم - یک عامل مشترک 3، آنها را از علامت تعیین خارج می کنیم (با خاصیت 5). در مرحله بعد، تعیین کننده را به عنوان مثال در ستون اول با استفاده از ویژگی 6 (قضیه بسط) گسترش می دهیم.

موثرترین روشی برای کاهش یک دترمینان به شکل مورب یا مثلثی . برای محاسبه دترمینان ماتریس کافی است تبدیلی از ماتریس انجام دهیم که دترمینان را تغییر ندهد و امکان تبدیل ماتریس به مورب را فراهم کند.

در پایان، توجه می کنیم که اگر تعیین کننده یک ماتریس مربع برابر با صفر باشد، ماتریس نامیده می شود. منحط (یا خاص) , در غیر این صورت - غیر منحط .

در اینجا آن دسته از خصوصیاتی که معمولاً برای محاسبه دترمینال ها در درس استاندارد ریاضیات عالی استفاده می شود بیان خواهد شد. این یک مبحث فرعی است که در صورت نیاز از قسمت های باقی مانده به آن اشاره خواهیم کرد.

بنابراین، با توجه به مقداری ماتریس مربع $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( آرایه )\راست)$. هر ماتریس مربع دارای یک مشخصه به نام دترمینان (یا دترمینان) است. من در اینجا به اصل این مفهوم نمی پردازم. اگر نیاز به توضیح دارد، لطفاً در مورد آن در انجمن بنویسید و من در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری صحبت خواهم کرد.

تعیین کننده ماتریس $A$ به صورت $\Delta A$، $|A|$ یا $\det A$ نشان داده می شود. ترتیب تعیین کنندهبرابر تعداد ردیف ها (ستون ها) در آن است.

اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. $\Delta A=\Delta A^T$.
نمایش/پنهان کردن

بیایید ردیف های موجود در آن را با ستون ها مطابق اصل جایگزین کنیم: "ردیف اول وجود داشت - ستون اول شد"، "ردیف دوم وجود داشت - ستون دوم شد":

بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. همانطور که می بینید، مقدار تعیین کننده نسبت به جایگزینی تغییر نکرده است.
اگر دو ردیف (ستون) تعیین کننده را عوض کنید، علامت تعیین کننده به عکس تغییر می کند.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

$\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. بیایید مقدار آن را با استفاده از فرمول شماره 1 از مبحث محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم پیدا کنیم:
$$\ چپ| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
حالا بیایید خط اول و دوم را با هم عوض کنیم. تعیین کننده $\left| را دریافت کنید \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. بنابراین، مقدار تعیین کننده اصلی (37-) بود و مقدار تعیین کننده با ترتیب ردیف تغییر یافته $-(-37)=37$ است. علامت تعیین کننده به عکس تغییر کرده است.
تعیین کننده ای که در آن تمام عناصر یک ردیف (ستون) برابر با صفر باشد، برابر با صفر است.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ همه عناصر ستون سوم صفر هستند، سپس تعیین کننده صفر است، یعنی $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.
تعیین کننده ای که در آن همه عناصر یک ردیف خاص (ستون) برابر با عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون) برابر با صفر است.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ همه عناصر سطر اول برابر هستند عناصر ردیف دوم، سپس تعیین کننده صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.
اگر در تعیین کننده همه عناصر یک ردیف (ستون) با عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون) متناسب باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ خط دوم و سوم متناسب هستند، یعنی. $r_3=-3\cdot(r_2)$، سپس دترمینان برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.
اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) یک عامل مشترک داشته باشند، می توان این عامل را از علامت تعیین کننده خارج کرد.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

$\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. توجه داشته باشید که تمام عناصر ردیف دوم بر 3 بخش پذیر هستند:
$$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
عدد 3 فاکتور مشترک همه عناصر ردیف دوم است. بیایید سه گانه را از علامت تعیین کننده خارج کنیم:
$$ \ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$
اگر همه عناصر یک ردیف خاص (ستون) به عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون)، ضرب در یک عدد دلخواه اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

$\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید به عناصر خط دوم عناصر مربوط به خط سوم را در 5 ضرب کنیم. این عمل را به صورت زیر بنویسید: $r_2+5\cdot(r_3)$. خط دوم تغییر می کند، بقیه خطوط بدون تغییر باقی می مانند.
$$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (آرایه) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$
اگر یک سطر (ستون) معین در دترمینان ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) باشد، دترمینان برابر با صفر است.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

من بلافاصله توضیح خواهم داد که عبارت "ترکیب خطی" به چه معناست. اجازه دهید s ردیف (یا ستون) داشته باشیم: $A_1$، $A_2$،...، $A_s$. اصطلاح
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
که در آن $k_i\در R$ ترکیبی خطی از ردیف‌ها (ستون‌ها) $A_1$، $A_2$،...، $A_s$ نامیده می‌شود.

به عنوان مثال، تعیین کننده زیر را در نظر بگیرید:
$$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(آرایه)\right| $$
در این تعیین کننده، ردیف چهارم را می توان به صورت ترکیبی خطی از سه ردیف اول بیان کرد:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
بنابراین، تعیین کننده مورد نظر برابر با صفر است.
اگر هر عنصر از یک ردیف k-امین معین (k-امین ستون) یک تعیین کننده برابر با مجموع دو جمله باشد، چنین تعیین کننده ای برابر با مجموع عوامل تعیین کننده است که اولین آن دارای خط k-ام (ستون k-ام) دارای جمله های اول و تعیین کننده دوم در ردیف k ام (ستون kth) دارای جمله های دوم هستند. سایر عناصر این تعیین کننده ها یکسان هستند.
نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

$\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید عناصر ستون دوم را به این صورت بنویسیم: $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. سپس چنین تعیین کننده ای برابر است با مجموع دو تعیین کننده:
$$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (cccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$
دترمینان حاصل ضرب دو ماتریس مربعی هم‌ترتیب برابر است با حاصلضرب تعیین‌کننده‌های این ماتریس‌ها، یعنی. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. از این قانون، می توانید فرمول زیر را دریافت کنید: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
اگر ماتریس $A$ غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن برابر با صفر نیست)، آنگاه $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

فرمول های محاسبه عوامل تعیین کننده

برای تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، فرمول های زیر درست است:

\begin(معادله) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(معادله) \begin(معادله) \begin(تراز شده) & \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(تراز شده) \end(معادله)

نمونه هایی از استفاده از فرمول های (1) و (2) در مبحث "فرمول های محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم. نمونه هایی از محاسبه دترمیناتور" آمده است.

تعیین کننده ماتریس $A_(n\times n)$ را می توان بر حسب خط i-امبا استفاده از فرمول زیر:

\begin(معادله)\دلتا A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(معادله)

آنالوگ این فرمول نیز برای ستون ها وجود دارد. فرمول گسترش دترمینان در ستون j به شرح زیر است:

\begin(معادله)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(معادله)

قواعد بیان شده با فرمول های (3) و (4) به طور مفصل با مثال ها نشان داده شده و در مبحث کاهش ترتیب یک تعیین کننده توضیح داده شده است. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون).

ما یک فرمول دیگر را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مثلثی بالا و پایین نشان می دهیم (برای توضیح این اصطلاحات به مبحث "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" مراجعه کنید). تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با حاصلضرب عناصر در مورب اصلی است. مثال ها:

\ آغاز (تراز) &\ چپ| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end (آرایه) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\ End (Array) \\ راست|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (تراز شده)

تعیین کننده: دت، ||، تعیین کننده.

تعیین کننده یک ماتریس نیست، بلکه یک عدد است.

چگونه تعیین کننده یک ماتریس را پیدا کنیم؟

برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس، مفهوم را معرفی می کنیم "جزئی". علامت گذاری: M ij - مینور، M ij 2 - مینور مرتبه دوم (تعیین کننده ماتریس 2 * 2) و غیره.

برای پیدا کردن مینور برای عنصر a ij، ردیف i را از ماتریس A حذف کنید و j-امین ستون. ما یک ماتریس با ابعاد n-1 * m-1 دریافت می کنیم تعیین کننده این ماتریس.

مثال: مینور مرتبه دوم را برای عنصر a 12 ماتریس A پیدا کنید:

سطر 1 و ستون 2 را از ماتریس A خط می زنیم. ما یک ماتریس از ابعاد 2 * 2 دریافت می کنیم، پیدا می کنیم تعیین کننده این ماتریس:

بنابراین مینور یک ماتریس نیست، بلکه یک عدد است.

مثال: تعیین کننده (به شکل کلی) یک ماتریس 2*2 را با بسط در 1) ردیف پیدا کنید. 2) ستون:

بر اساس خط: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 12 *(-1) 1+2 *M 12 = a 11 *1*a 22 +a 12 *(-1)* a 21 =
= a 11 *a 22 -a 12 *a 21

براساس ستون: det A = a 11 *(-1) 1+1 *M 11 +a 21 *(-1) 2+1 *M 21 = a 11 *1*a 22 +a 21 *(-1)* a 12 =
= a 11 *a 22 -a 21 *a 12

به راحتی می توان دریافت که همان نتیجه به دست می آید.

بنابراین، برای یافتن تعیین کننده ماتریس 2 * 2، کافی است حاصل ضرب عناصر مورب جانبی را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید:

چگونه به سرعت تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه تعیین کننده مرتبه سوم، استفاده کنید قانون مثلث(یا "ستاره").

1. عناصر مورب اصلی را ضرب کنید: det(A)=11*22*33...

2. به حاصل ضرب حاصل ضرب «مثلث با قاعده موازی مورب اصلی» اضافه کنید: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32...

3. همه چیز مربوط به مورب ثانویه با علامت "-" گرفته می شود. عناصر قطر ثانویه را ضرب و تفریق می کنیم: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31...

4. مشابه "مثلث های اصلی" ضلع ها را ضرب و تفریق می کنیم: det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23* 32-33*12*21.

det(A)=11*22*33+31*12*23+13*21*32-13*22*31-11*23*32-33*12*21=
=7986+8556+8736-8866-8096-8316=0

ویژگی های تعیین کننده ماتریس.

هنگام مبادله دو ردیف یا ستون موازی یک تعیین کننده، علامت آن معکوس می شود.
یک تعیین کننده حاوی دو سطر یا ستون یکسان برابر با صفر است.
اگر یکی از خطوط تعیین کننده در عددی ضرب شود، تعیین کننده برابر با تعیین کننده اصلی ضرب در این عدد خواهد بود.
هنگامی که یک ماتریس جابجا می شود، تعیین کننده آن مقدار آن را تغییر نمی دهد.
اگر به جای هر خطی، مجموع این خط و هر خط دیگر را در یک عدد ضرب کنید، تعیین کننده جدید به دست آمده برابر با اصلی خواهد بود.
اگر هر عنصر از هر ردیف یا ستون یک تعیین کننده به صورت مجموع دو جمله نمایش داده شود، آنگاه این تعیین کننده را می توان به مجموع دو تعیین کننده متناظر تجزیه کرد.
عامل مشترک عناصر هر سطر یا ستون تعیین کننده را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.