شبکه عصبی و منطق فازی روش ها و مدل های ریاضی هوش مصنوعی: منطق فازی، الگوریتم های ژنتیک، شبکه های عصبی و ... داده کاوی. مدیریت دانش. منطق فازی در کنترلرهای PID

همانطور که مشخص است، دستگاه مجموعه های فازی و منطق فازی برای مدت طولانی (بیش از 10 سال) با موفقیت برای حل مسائلی که در آن داده های اولیه غیرقابل اعتماد و به طور ضعیف رسمی هستند، استفاده شده است. نقاط قوت این رویکرد:
- شرح شرایط و روش حل مسئله به زبانی نزدیک به طبیعی.
- جهانشمول بودن: با توجه به معروف FAT (قضیه تقریب فازی)، که توسط B. Kosko در سال 1993 اثبات شد، هر سیستم ریاضی را می توان با یک سیستم مبتنی بر منطق فازی تقریب زد.

در عین حال، سیستم های کارشناسی و کنترل فازی نیز با معایب خاصی مشخص می شوند:
1) مجموعه اولیه قوانین فازی فرضی توسط یک متخصص انسانی فرموله شده است و ممکن است ناقص یا ناسازگار باشد.
2) نوع و پارامترهای توابع عضویت که متغیرهای ورودی و خروجی سیستم را توصیف می کنند به صورت ذهنی انتخاب می شوند و ممکن است به طور کامل واقعیت را منعکس نکنند.
برای از بین بردن، حداقل تا حدی، این کاستی ها، تعدادی از نویسندگان پیشنهاد کردند که سیستم های خبره و کنترل فازی را تطبیق پذیر کنند - همانطور که سیستم کار می کند، قوانین و پارامترهای توابع عضویت را تنظیم می کند. در میان چندین گزینه برای چنین انطباق، یکی از موفق ترین، ظاهرا، روش به اصطلاح شبکه های عصبی ترکیبی است.
یک شبکه عصبی ترکیبی از نظر ساختار با یک شبکه عصبی چندلایه با یادگیری، به عنوان مثال، طبق الگوریتم پس انتشار خطا، به طور رسمی یکسان است، اما لایه‌های پنهان در آن با مراحل عملکرد سیستم فازی مطابقت دارد. بنابراین:
لایه 1 نورون ها عملکرد معرفی فازی را بر اساس توابع عضویت داده شده ورودی ها انجام می دهد.
لایه دوم مجموعه ای از قوانین فازی را نمایش می دهد.
لایه سوم عملکرد شفاف سازی را انجام می دهد.
هر یک از این لایه ها با مجموعه ای از پارامترها (پارامترهای توابع عضویت، قوانین تصمیم گیری فازی، فعال) مشخص می شوند.
توابع منطقی، وزن اتصالات)، که در اصل به همان روشی که برای شبکه های عصبی معمولی پیکربندی شده اند.
این کتاب جنبه های نظری اجزای این گونه شبکه ها، یعنی دستگاه منطق فازی، مبانی تئوری شبکه های عصبی مصنوعی و شبکه های ترکیبی مناسب را در رابطه با مسائل کنترل و تصمیم گیری در شرایط عدم قطعیت مورد بحث قرار می دهد.
توجه ویژه ای می شود پیاده سازی نرم افزارمدل های این رویکردها ابزار سیستم ریاضی MATLAB 5.2/5.3.

مقالات قبلی:

کنترل‌کننده‌های PID که در بالا توضیح داده شد، هنگام کنترل سیستم‌های غیرخطی و پیچیده، و همچنین زمانی که اطلاعات کافی در مورد شی کنترل وجود ندارد، شاخص‌های عملکرد ضعیفی دارند. ویژگی های کنترل کننده ها را در برخی موارد می توان با استفاده از روش های منطق فازی، شبکه های عصبی و الگوریتم های ژنتیک بهبود بخشید. روش های ذکر شده در خارج از کشور "محاسبات نرم" نامیده می شوند و بر تفاوت آنها با "محاسبات سخت" تأکید می کنند که شامل توانایی کار با داده های ناقص و نادرست است. ترکیبی از روش های فوق (کنترل کننده های فازی-PID, neuro-PID, neuro-fuzzy-PID با الگوریتم های ژنتیک) در یک کنترلر قابل استفاده است.

نقطه ضعف اصلی کنترل کننده های شبکه های فازی و عصبی پیچیدگی پیکربندی آنها (ایجاد پایه ای از قوانین فازی و آموزش شبکه عصبی) است.

5.7.1. منطق فازی در کنترلرهای PID

استنتاج فازی به صورت زیر انجام می شود. اجازه دهید فرض کنیم که منطقه تغییر خطا به مجموعه ها، منطقه تغییر عملکرد کنترل به مجموعه ها تقسیم می شود، و با کمک یک متخصص می توان قوانین زیر را برای عملیات تنظیم کرد. کنترل کننده [Astrom]:

این قوانین اغلب به شکل جدولی فشرده تری نوشته می شوند (شکل 5.91).

با استفاده از قوانین می توانید مقدار متغیر کنترل را در خروجی کنترل کننده فازی بدست آورید. برای انجام این کار، باید تابع عضویت متغیر را به مجموعه ای که در نتیجه انجام عملیات استنتاج بر روی مجموعه های موجود در سیستم قوانین (5.118) تشکیل شده است، پیدا کنید.

عملیات "AND" در قوانین (5.118) با تقاطع مجموعه ها مطابقت دارد و نتیجه اعمال همه قوانین مربوط به عملیات اتحاد مجموعه ها [Rutkovskaya] است. تابع عضویت برای تقاطع دو مجموعه، به عنوان مثال، و (به قانون 1 مراجعه کنید) به عنوان [Rutkovskaya] یافت می شود.

توابع عضویت که با تقاطع یا اتحاد مجموعه ها به دست می آیند، بسته به معنای مسئله حل شده، می توانند به روش های مختلفی تعریف شوند. از این نظر، خود نظریه مجموعه های فازی نیز فازی است. [Rutkowska] 10 تعریف مختلف از تابع عضویت برای تقاطع مجموعه ها ارائه می دهد، اما نمی گوید کدام یک باید برای حل یک مشکل خاص انتخاب شود. به ویژه، آنها از عملیات قابل فهم تری برای یافتن توابع عضویت در مورد تقاطع و اتحاد مجموعه ها استفاده می کنند که مشابهی با قوانین ضرب و جمع احتمالات دارد:

با این حال، استفاده از دو روش اول برای یافتن تابع عضویت معمولا ارجح تر است، زیرا در حالی که بسیاری از قوانین توسعه یافته برای مجموعه های معمولی [Uskov] را حفظ می کند.

توابع عضویت برای هر یک از مجموعه های موجود در متغیر فازی در قوانین (5.118) به شکل [Rutkovskaya] به دست می آید.

در اینجا هر یک از 9 معادله با یکی از قوانین (5.118) مطابقت دارد. تابع عضویت حاصل از عمل کنترلی که پس از اعمال هر 9 قانون به دست می آید، به عنوان اتحاد توابع عضویت همه قوانین یافت می شود:

اکنون که تابع عضویت حاصل از عمل کنترلی به دست آمده است، این سوال مطرح می شود که چه مقدار خاصی از عمل کنترلی باید انتخاب شود. اگر از تفسیر احتمالی تئوری مجموعه های فازی استفاده کنیم، مشخص می شود که چنین مقداری را می توان با قیاس با انتظار ریاضی عمل کنترل به شکل زیر بدست آورد:

این روش فازی سازی رایج ترین است، اما نه تنها.

برای ساخت کنترل‌کننده‌های فازی، معمولاً از قوانین کنترلی P، I، PI و PD PD+I، PI+D و PID استفاده می‌شود [Mann]. سیگنال خطا، افزایش خطا، مربع خطا، و انتگرال خطا [Mann] به عنوان سیگنال های ورودی برای سیستم استنتاج فازی استفاده می شود. اجرای یک کنترل کننده PID فازی باعث ایجاد مشکلاتی می شود زیرا باید یک جدول قوانین سه بعدی مطابق با سه عبارت موجود در معادله کنترل کننده PID داشته باشد که تکمیل آن با استفاده از پاسخ های متخصص بسیار دشوار است. تعداد زیادی از ساختارهای کنترل کننده های فازی PID مانند را می توان در مقاله [Mann] یافت.

تنظیم نهایی یک کنترل کننده فازی یا تنظیم نزدیک به بهینه هنوز یک کار دشوار است. برای این کار از الگوریتم های یادگیری style="color:red"> و روش های جستجوی ژنتیک استفاده می شود که نیازمند منابع محاسباتی و زمان زیادی است.

استفاده از منطق فازی برای تنظیم بهره PID

تنظیم کنترلر انجام شده با روش های شرح داده شده در بخش های "محاسبه پارامتر" و "تنظیم و تطبیق خودکار" بهینه نیست و با تنظیم بیشتر قابل بهبود است. تنظیم می تواند توسط اپراتور بر اساس قوانین (به بخش "تنظیم دستی بر اساس قوانین" مراجعه کنید) یا به طور خودکار با استفاده از یک بلوک منطق فازی (شکل 5.92) انجام شود. بلوک منطق فازی (بلوک فازی) از پایه قوانین تنظیم و روش های استنتاج فازی استفاده می کند. تنظیم فازی باعث کاهش بیش از حد، کاهش زمان ته نشینی و بهبود استحکام کنترل کننده PID [Yesil ] می شود.

فرآیند تنظیم خودکار کنترلر با استفاده از یک بلوک منطق فازی با جستجو برای تقریب های اولیه ضرایب کنترل کننده آغاز می شود. این کار معمولاً با روش زیگلر نیکولز بر اساس دوره نوسانات طبیعی در یک سیستم بسته و بهره حلقه انجام می شود. سپس یک تابع معیار فرموله می شود که برای یافتن مقادیر بهینه پارامترهای تنظیم با روش های بهینه سازی ضروری است.

چندین مرحله [Hsuan ] در فرآیند تنظیم کنترلر استفاده می شود. ابتدا محدوده سیگنال های ورودی و خروجی واحد تنظیم خودکار، شکل توابع عضویت پارامترهای مورد نظر، قوانین استنتاج فازی، مکانیسم استنتاج، روش فازی سازی و محدوده فاکتورهای مقیاس لازم برای تبدیل متغیرهای واضح به فازی انتخاب می شوند.

جستجوی پارامترهای کنترلر با روش های بهینه سازی انجام می شود. برای این کار تابع هدف به عنوان انتگرال مجموع مجذور خطای کنترل و زمان ته نشینی انتخاب می شود. نرخ slew متغیر خروجی شی گاهی اوقات به معیار کمینه سازی اضافه می شود.

به عنوان پارامترهای مورد نظر (پارامترهایی که باید پیدا شوند)، موقعیت حداکثر توابع عضویت (نگاه کنید به شکل 5.90) ​​و فاکتورهای مقیاس در ورودی و خروجی بلوک فازی انتخاب می شوند. به مسئله بهینه‌سازی، محدودیت‌هایی در دامنه تغییرات در موقعیت‌های توابع عضویت اضافه می‌شود. بهینه سازی تابع معیار را می توان به عنوان مثال با استفاده از الگوریتم های ژنتیک انجام داد.

لازم به ذکر است که در مواردی که اطلاعات کافی برای بدست آوردن یک مدل ریاضی دقیق از شی وجود دارد، کنترل کننده سنتی همیشه بهتر از کنترل کننده فازی خواهد بود، زیرا داده های اولیه تقریباً هنگام سنتز کنترل کننده فازی ارائه می شود.

5.7.2. شبکه های عصبی مصنوعی

شبکه‌های عصبی مانند منطق فازی در کنترل‌کننده‌های PID به دو صورت استفاده می‌شوند: ساختن خود کنترل‌کننده و ساختن بلوکی برای تنظیم ضرایب آن. شبکه عصبی دارای قابلیت "یادگیری" است که به شما امکان می دهد از تجربه یک متخصص برای آموزش شبکه عصبی در هنر تنظیم ضرایب کنترل کننده PID استفاده کنید. یک کنترل‌کننده شبکه عصبی شبیه به یک کنترل‌کننده جدول محور است (به "کنترل جدولی"> مراجعه کنید)، اما در روش‌های تنظیم ویژه ("آموزش") که برای شبکه‌های عصبی و روش‌های درون یابی داده‌ها ایجاد شده‌اند، متفاوت است.

بر خلاف یک کنترل کننده فازی، که در آن یک متخصص باید قوانین تنظیم را در متغیرهای زبانی فرموله کند، در هنگام استفاده از یک شبکه عصبی، متخصص نیازی به تدوین قوانین ندارد - کافی است در فرآیند یادگیری شبکه عصبی چندین بار کنترل کننده را تنظیم کند. ".

شبکه های عصبی در سال 1943 توسط مک کالوچ و پیتس در نتیجه مطالعه فعالیت عصبی و نورون های بیولوژیکی پیشنهاد شدند. نورون مصنوعییک بلوک تابعی با یک خروجی و ورودی است که در حالت کلی یک تبدیل غیر خطی را اجرا می کند ، جایی که - ضرایب وزنی (پارامترها) برای متغیرهای ورودی ; - جابجایی ثابت؛ -" عملکرد فعال سازی"نرون، برای مثال، از فرم (عملکرد سیگموئید، جایی که برخی از پارامترها هستند. یک شبکه عصبی (شکل 5.93) از نورون های به هم پیوسته زیادی تشکیل شده است که تعداد اتصالات می تواند هزاران باشد. به دلیل خطی نبودن توابع فعال سازی و تعداد زیاد ضرایب قابل تنظیم (در کار [Kato ] از 35 نورون در لایه ورودی و 25 نورون در لایه خروجی استفاده شد، در حالی که تعداد ضرایب 1850 بود)، شبکه عصبی می تواند یک نگاشت غیر خطی از سیگنال های ورودی چندگانه به سیگنال های خروجی متعدد را انجام دهید.

یک ساختار معمولی از یک سیستم کنترل خودکار با یک کنترل کننده PID و یک شبکه عصبی به عنوان یک واحد تنظیم خودکار در شکل نشان داده شده است. 5.94 [کاوافوکو، کاتو]. شبکه عصبی در این ساختار نقش یک مبدل عملکردی را ایفا می کند که برای هر مجموعه سیگنال ضرایب کنترل کننده PID را تولید می کند. روش های دیگری نیز برای یافتن حداقل ها از جمله الگوریتم ژنتیک، روش شبیه سازی بازپخت، روش حداقل مربعات استفاده می شود.

فرآیند آموزش شبکه عصبی به شرح زیر است (شکل 5.95). به متخصص این امکان داده می شود تا پارامترهای تنظیم کننده را در یک سیستم کنترل خودکار حلقه بسته با ورودی های مختلف تنظیم کند. فرض بر این است که متخصص قادر است این کار را با کیفیت کافی برای تمرین انجام دهد. نمودارهای زمان بندی (اسیلوگرام) متغیرهای به دست آمده در یک سیستم تنظیم شده توسط متخصص در یک آرشیو ثبت می شود و سپس به یک شبکه عصبی متصل به یک کنترل کننده PID تغذیه می شود (شکل 5.95).

برنج. 5.95. طرح آموزش شبکه عصبی در بلوک تنظیم خودکار

مدت زمان فرآیند یادگیری مانع اصلی استفاده گسترده از روش های شبکه عصبی در کنترل کننده های PID [Uskov] است. از دیگر معایب شبکه های عصبی عدم امکان پیش بینی خطای کنترل برای اقدامات ورودی است که در مجموعه سیگنال های آموزشی گنجانده نشده است. عدم وجود معیارهایی برای انتخاب تعداد نورون ها در شبکه، مدت زمان آموزش، دامنه و تعداد تأثیرات آموزشی. هیچ یک از نشریات استحکام یا حاشیه پایداری تنظیم کننده را بررسی نکردند.

5.7.3. الگوریتم های ژنتیک

1. انتخاب جمعیت اولیه کروموزوم های اندازه N.

2. ارزیابی تناسب کروموزوم ها در جمعیت.

3. بررسی وضعیت توقف الگوریتم.

4. انتخاب کروموزوم ها.

5. کاربرد عملگرهای ژنتیکی.

6. تشکیل جمعیت جدید.

7. به مرحله 2 بروید.

برای کارکرد الگوریتم، باید حد پایین و بالایی تغییر پارامترهای مورد نظر، احتمال تلاقی، احتمال جهش، اندازه جمعیت و حداکثر تعداد نسل را تعیین کرد.

جمعیت اولیه کروموزوم ها به طور تصادفی تولید می شود. تناسب کروموزوم با استفاده از یک تابع هدف به شکل کد شده ارزیابی می شود. در مرحله بعد، کروموزوم هایی که بهترین تناسب را دارند در یک گروه جمع می شوند که در آن عملیات تلاقی ژنتیکی یا جهش انجام می شود. عبور به شما امکان می دهد یک فرزند امیدوار کننده از دو والدین به دست آورید. عملگر جهش تغییراتی در کروموزوم ها ایجاد می کند. در مورد رمزگذاری باینری، جهش شامل تغییر یک بیت تصادفی در یک کلمه باینری است.

برنج. 5.97)، سپس تبادل اطلاعات ژنتیکی در سمت راست موقعیت انتخاب شده [فلمینگ] وجود دارد.

پس از اجرای الگوریتم ژنتیک، نمایش باینری به کمیت های مهندسی رمزگشایی می شود.

ارزیابی تناسب کروموزوم ها در یک جمعیت برای تخمین ضرایب کنترل کننده PID می تواند به عنوان مثال انتخاب شود.

,

جایی که مقدار فعلی خطای کنترل، زمان است.

انتخاب کروموزوم ها به روش رولت انجام می شود. بخش هایی روی چرخ رولت وجود دارد و عرض بخش با عملکرد تناسب اندام متناسب است. بنابراین، هر چه مقدار این تابع بیشتر باشد، احتمال انتخاب کروموزوم مربوط به آن بیشتر می شود.

نظریه ریاضی مجموعه های فازی و منطق فازی تعمیم نظریه مجموعه های کلاسیک و منطق رسمی کلاسیک هستند. این مفاهیم برای اولین بار توسط دانشمند آمریکایی لطفی زاده در سال 1965 مطرح شد. دلیل اصلی پیدایش نظریه جدید وجود استدلال فازی و تقریبی در توصیف فرآیندها، سیستم ها، اشیاء توسط شخص بود.

قبل از اینکه رویکرد فازی برای مدل‌سازی سیستم‌های پیچیده در سراسر جهان شناخته شود، بیش از یک دهه از تولد نظریه مجموعه‌های فازی گذشته بود. و در این مسیر توسعه سیستم های فازی، مرسوم است که سه دوره را از هم تشخیص دهیم.

دوره اول (اواخر دهه 60 - اوایل دهه 70) با توسعه دستگاه نظری مجموعه های فازی (ل. زاده، ای. ممدانی، بلمن) مشخص می شود. در دوره دوم (دهه 70-80)، اولین نتایج عملی در زمینه کنترل فازی مجتمع ظاهر می شود سیستم های فنی(ژنراتور بخار با کنترل فازی). در همان زمان، توجه به مسائل ساخت سیستم های خبره بر اساس منطق فازی، توسعه کنترل کننده های فازی شروع شد. سیستم های خبره فازی برای پشتیبانی تصمیم گیری به طور گسترده در پزشکی و اقتصاد استفاده می شود. سرانجام در دوره سوم که از اواخر دهه 80 به طول می انجامد و در حال حاضر نیز ادامه دارد، بسته های نرم افزاری برای ساخت سیستم های خبره فازی ظاهر می شود و حوزه های کاربرد منطق فازی به طور محسوسی در حال گسترش است. در صنایع خودروسازی، هوافضا و حمل و نقل، در زمینه محصولات کاربرد دارد لوازم خانگی، در زمینه مالی، تجزیه و تحلیل و تصمیم گیری مدیریت و بسیاری دیگر.

راهپیمایی پیروزمندانه منطق فازی در سراسر جهان پس از اثبات قضیه معروف FAT (قضیه تقریب فازی) در اواخر دهه 80 توسط Bartholomew Kosko آغاز شد. در تجارت و امور مالی، منطق فازی در سال 1988 پس از آن مورد پذیرش قرار گرفت سیستم خبرهبر اساس قوانین فازی برای پیش‌بینی شاخص‌های مالی، تنها شاخص سقوط بازار سهام را پیش‌بینی کرد. و تعداد برنامه های فازی موفق اکنون به هزاران رسیده است.

دستگاه ریاضی

یکی از ویژگی های یک مجموعه فازی، تابع عضویت است. با MF c (x) درجه عضویت در مجموعه فازی C را نشان دهید که تعمیم مفهوم تابع مشخصه یک مجموعه معمولی است. سپس مجموعه فازی C مجموعه ای از جفت های مرتب شده به شکل C=(MF c (x)/x)، MF c (x) است. مقدار MF c (x)=0 به معنای عدم عضویت در مجموعه است، 1 - عضویت کامل.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال ساده توضیح دهیم. ما تعریف نادرست "چای داغ" را رسمیت می دهیم. به عنوان x (منطقه استدلال) مقیاس دما بر حسب درجه سانتیگراد خواهد بود. بدیهی است که از 0 تا 100 درجه تغییر خواهد کرد. مجموعه فازی برای مفهوم "چای داغ" ممکن است به شکل زیر باشد:

C=(0/0؛ 0/10؛ 0/20؛ 0.15/30؛ 0.30/40؛ 0.60/50؛ 0.80/60؛ 0.90/70؛ 1/80؛ 1/90؛ 1/100).

بنابراین، چای با دمای 60 درجه سانتیگراد متعلق به مجموعه "Hot" با درجه عضویت 0.80 است. برای یک نفر، چای در دمای 60 درجه سانتیگراد ممکن است داغ باشد، برای دیگری - نه خیلی گرم. در این است که فازی بودن تخصیص مجموعه مربوطه خود را نشان می دهد.

برای مجموعه های فازی و همچنین برای مجموعه های معمولی، عملیات منطقی اصلی تعریف شده است. اساسی ترین موارد مورد نیاز برای محاسبات، تقاطع و اتحاد هستند.

تقاطع دو مجموعه فازی (فازی "AND"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x)، MF B (x)).
اتحاد دو مجموعه فازی (فازی "OR"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x)، MF B (x)).

در تئوری مجموعه های فازی، یک رویکرد کلی برای اجرای عملگرهای تقاطع، اتحاد و جمع ایجاد شده است که در اصطلاح به هنجارها و معیارهای مثلثی پیاده سازی شده است. پیاده سازی های فوق از عملیات تقاطع و اتحادیه رایج ترین موارد t-norm و t-conorm هستند.

برای توصیف مجموعه های فازی، مفاهیم متغیرهای فازی و زبانی معرفی می شوند.

یک متغیر فازی با یک مجموعه (N,X,A) توصیف می شود، که در آن N نام متغیر است، X یک مجموعه جهانی (منطقه استدلال)، A یک مجموعه فازی در X است.
مقادیر یک متغیر زبانی می تواند متغیرهای فازی باشد، به عنوان مثال. متغیر زبانی در سطح بالاتری نسبت به متغیر فازی قرار دارد. هر متغیر زبانی شامل موارد زیر است:

• عناوین؛
• مجموعه مقادیر آن، که به آن مجموعه ترم پایه T نیز می گویند. عناصر مجموعه ترم پایه، نام متغیرهای فازی هستند.
• مجموعه جهانی X;
• یک قاعده نحوی G که بر اساس آن اصطلاحات جدید با استفاده از کلمات یک زبان طبیعی یا رسمی تولید می شوند.
• قانون معنایی P، که هر مقدار از یک متغیر زبانی را با یک زیر مجموعه فازی از مجموعه X مرتبط می کند.

چنین مفهوم فازی را به عنوان "قیمت سهام" در نظر بگیرید. این نام متغیر زبانی است. بیایید یک مجموعه اصطلاح پایه برای آن تشکیل دهیم که از سه متغیر فازی "کم"، "متوسط"، "بالا" تشکیل شده و منطقه استدلال را به شکل X= (واحد) تنظیم می کنیم. آخرین کاری که باید انجام شود ساخت توابع عضویت برای هر عبارت زبانی از مجموعه عبارت پایه T است.

بیش از دوجین شکل منحنی معمولی برای تعریف توابع عضویت وجود دارد. گسترده ترین آنها عبارتند از: توابع عضویت مثلثی، ذوزنقه ای و گاوسی.

تابع عضویت مثلثی با سه اعداد (a,b,c) تعریف می شود و مقدار آن در نقطه x بر اساس عبارت محاسبه می شود:

$$MF\,(x) = \,\begin(موارد) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\not \in\,(a;\,c)\ \end (موارد)$$

با (b-a)=(c-b) مورد یک تابع عضویت مثلثی متقارن را داریم که می تواند به طور منحصر به فرد توسط دو پارامتر از سه گانه (a,b,c) مشخص شود.

به طور مشابه، برای تنظیم تابع عضویت ذوزنقه ای، چهار عدد (a، b، c، d) مورد نیاز است:

$$MF\,(x)\,=\, \begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\not \in\,(a;\,d) \ \end (موارد)$$

با (b-a)=(d-c)، تابع عضویت ذوزنقه شکلی متقارن به خود می گیرد.

تابع عضویت از نوع گاوسی با فرمول توصیف می شود

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

و بر روی دو پارامتر عمل می کند. پارامتر جمرکز مجموعه فازی را نشان می دهد و پارامتر مسئول شیب تابع است.

مجموعه توابع عضویت برای هر جمله از مجموعه عبارت پایه T معمولاً با هم در یک نمودار نشان داده می شود. شکل 3 نمونه ای از متغیر زبانی "قیمت سهام" را نشان می دهد که در بالا توضیح داده شد، شکل 4 رسمی شدن مفهوم نادرست "سن فرد" را نشان می دهد. بنابراین، برای یک فرد 48 ساله، درجه تعلق به مجموعه "جوان" 0، "متوسط" - 0.47، "بالاتر از میانگین" - 0.20 است.

تعداد اصطلاحات در یک متغیر زبانی به ندرت از 7 بیشتر می شود.

استنتاج فازی

مبنای اجرای عملیات استنتاج فازی، پایه قاعده ای است که شامل عبارات فازی به شکل «اگر-پس» و توابع عضویت برای اصطلاحات زبانی مربوطه است. در این مورد، شرایط زیر باید رعایت شود:

1. حداقل یک قانون برای هر عبارت زبانی متغیر خروجی وجود دارد.
2. برای هر عبارت متغیر ورودی، حداقل یک قانون وجود دارد که در آن از این عبارت به عنوان پیش شرط استفاده می شود (سمت چپ قانون).

در غیر این صورت، یک پایه ناقص از قوانین فازی وجود دارد.

اجازه دهید پایه قانون دارای m قوانین شکل باشد:
R 1: اگر x 1 A 11 است ... و ... x n A 1n است پس y B 1 است
…
R i: اگر x 1 A i1 است ... و ... x n A است در آنگاه y B i است
…
R m: اگر x 1 A i1 است ... و ... x n A mn است، پس y B m است،
که در آن x k , k=1..n – متغیرهای ورودی. y متغیر خروجی است. به یک ik مجموعه های فازی با توابع عضویت داده می شود.

نتیجه استنتاج فازی یک مقدار واضح از متغیر y * بر اساس مقادیر واضح داده شده x k , k=1..n است.

به طور کلی، مکانیسم استنتاج شامل چهار مرحله است: معرفی فازی (فازی سازی)، استنتاج فازی، ترکیب و کاهش به وضوح، یا فازی سازی (نگاه کنید به شکل 5).

الگوریتم‌های استنتاج فازی عمدتاً در نوع قواعد مورد استفاده، عملیات منطقی و نوع روش فازی‌سازی متفاوت هستند. مدل های استنتاج فازی Mamdani، Sugeno، Larsen، Tsukamoto توسعه یافته اند.

اجازه دهید استنتاج فازی را با جزئیات بیشتری با استفاده از مکانیزم ممدانی به عنوان مثال در نظر بگیریم. این رایج ترین روش استنتاج منطقی در سیستم های فازی است. از ترکیب کمینه مجموعه های فازی استفاده می کند. این مکانیسم شامل توالی اقدامات زیر است.

1. روش فازی سازی: درجاتی از صدق تعیین می شود، به عنوان مثال. مقادیر توابع عضویت برای قسمت های سمت چپ هر قانون (پیش نیازها). برای یک قاعده با قوانین m، درجات صدق را به صورت A ik (x k)، i=1..m، k=1..n نشان می دهیم.

نتیجه گیری مبهم ابتدا سطوح "برش" برای سمت چپ هر یک از قوانین تعیین می شود:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

ترکیب یا اتحاد توابع کوتاه به دست آمده، که حداکثر ترکیب مجموعه های فازی برای آن استفاده می شود:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

که در آن MF(y) تابع عضویت مجموعه فازی حاصل است.

فازی زدایی یا کاهش به وضوح. چندین روش فازی سازی وجود دارد. به عنوان مثال، روش مرکز میانگین یا روش مرکز:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

معنای هندسی این مقدار مرکز ثقل منحنی MF(y) است. شکل 6 به صورت گرافیکی فرآیند استنتاج فازی ممدانی را برای دو متغیر ورودی و دو قانون فازی R1 و R2 نشان می دهد.

ادغام با پارادایم های هوشمند

هیبریداسیون روش های پردازش اطلاعات فکری شعاری است که محققان غربی و آمریکایی دهه 90 را تحت آن گذراندند. در نتیجه ترکیب چندین فناوری هوش مصنوعییک اصطلاح خاص ظاهر شد - محاسبات نرم (soft computing) که توسط L. Zadeh در سال 1994 معرفی شد. در حال حاضر، محاسبات نرم حوزه هایی مانند: منطق فازی، شبکه های عصبی مصنوعی، استدلال احتمالی و الگوریتم های تکاملی را ترکیب می کند. آنها مکمل یکدیگر هستند و در ترکیب های مختلف برای ایجاد سیستم های هوشمند هیبریدی استفاده می شوند.

تأثیر منطق فازی شاید گسترده ترین باشد. درست همانطور که مجموعه‌های فازی دامنه نظریه مجموعه‌های ریاضی کلاسیک را گسترش دادند، منطق فازی تقریباً به اکثر روش‌های داده کاوی «تهاجم» کرد و کارکردهای جدیدی به آن‌ها داد. در زیر بیشترین موارد وجود دارد نمونه های جالبچنین انجمن هایی

شبکه های عصبی فازی

شبکه‌های عصبی فازی (شبکه‌های عصبی فازی) نتیجه‌گیری را بر اساس دستگاه منطق فازی انجام می‌دهند، با این حال، پارامترهای توابع عضویت با استفاده از الگوریتم‌های یادگیری NN تنظیم می‌شوند. بنابراین برای انتخاب پارامترهای اینگونه شبکه ها از روش انتشار پس انتشار استفاده می کنیم که در ابتدا برای آموزش پرسپترون چند لایه پیشنهاد شده بود. برای این کار، ماژول کنترل فازی در قالب یک شبکه چند لایه ارائه شده است. یک شبکه عصبی فازی معمولاً از چهار لایه تشکیل شده است: یک لایه فازی سازی برای متغیرهای ورودی، یک لایه برای تجمیع مقادیر فعال سازی شرایط، یک لایه برای تجمیع قوانین فازی و یک لایه خروجی.

معماری شبکه عصبی فازی از نوع ANFIS و TSK در حال حاضر بیشترین استفاده را دارد. ثابت شده است که چنین شبکه هایی تقریب دهنده جهانی هستند.

الگوریتم های یادگیری سریع و تفسیرپذیری دانش انباشته شده - این عوامل امروزه شبکه های عصبی فازی را به یکی از امیدوارکننده ترین و موثرترین ابزار محاسبات نرم تبدیل کرده است.

سیستم های فازی تطبیقی

سیستم‌های فازی کلاسیک این عیب را دارند که برای تدوین قوانین و توابع عضویت، نیاز به مشارکت متخصصان در یک حوزه موضوعی خاص است که ارائه آن همیشه ممکن نیست. سیستم های فازی تطبیقی ​​این مشکل را حل می کنند. در چنین سیستم هایی، پارامترهای سیستم فازی در فرآیند یادگیری بر روی داده های تجربی انتخاب می شوند. الگوریتم‌های یادگیری سیستم‌های فازی تطبیقی ​​در مقایسه با الگوریتم‌های یادگیری شبکه‌های عصبی نسبتاً زمان‌بر و پیچیده هستند و معمولاً از دو مرحله تشکیل می‌شوند: 1. ایجاد قواعد زبانی. 2. تصحیح توابع عضویت. مسئله اول مربوط به مسئله نوع شمارش است، مسئله دوم مربوط به بهینه سازی در فضاهای پیوسته است. در این مورد، یک تناقض خاص ایجاد می شود: توابع عضویت برای تولید قوانین فازی مورد نیاز هستند، و قوانین برای انجام استنتاج فازی ضروری هستند. علاوه بر این، هنگام ایجاد قوانین فازی به طور خودکار، لازم است از کامل بودن و سازگاری آنها اطمینان حاصل شود.

بخش قابل توجهی از روش های آموزش سیستم های فازی از الگوریتم های ژنتیک استفاده می کنند. در ادبیات انگلیسی، این مربوط به یک اصطلاح خاص - سیستم های فازی ژنتیکی است.

گروهی از محققان اسپانیایی به رهبری F. Herrera سهم قابل توجهی در توسعه تئوری و عمل سیستم های فازی با سازگاری تکاملی داشتند.

پرس و جوهای فازی

پرس و جوهای فازی به پایگاه داده (پرس و جوهای فازی) - یک جهت امیدوارکننده در سیستم های مدرنپردازش اطلاعات. این ابزار به شما امکان می دهد پرس و جوها را به زبان طبیعی فرموله کنید، به عنوان مثال: "نمایش لیستی از پیشنهادات مسکن ارزان قیمت در نزدیکی مرکز شهر"، که در هنگام استفاده امکان پذیر نیست. مکانیزم استاندارددرخواست ها. برای این منظور یک جبر رابطه ای فازی توسعه داده شده است و پسوندهای ویژهزبان های SQL برای پرس و جوهای فازی. بیشتر تحقیقات در این زمینه متعلق به دانشمندان اروپای غربی D. Dubois و G. Prade است.

قوانین تداعی فازی

قواعد تداعی فازی ابزاری برای استخراج الگوها از پایگاه های داده است که به عنوان گزاره های زبانی فرموله می شوند. در اینجا مفاهیم خاصی از یک تراکنش فازی، پشتیبانی و قابلیت اطمینان یک قانون تداعی فازی معرفی می‌شوند.

نقشه های شناختی فازی

نقشه های شناختی فازی توسط B. Kosko در سال 1986 پیشنهاد شد و برای مدل سازی روابط علی شناسایی شده بین مفاهیم یک منطقه خاص استفاده می شود. بر خلاف نقشه های شناختی ساده، نقشه های شناختی فازی یک گراف جهت دار فازی هستند که گره های آن مجموعه های فازی هستند. لبه های جهت دار نمودار نه تنها منعکس کننده روابط علت و معلولی بین مفاهیم است، بلکه میزان تأثیر (وزن) مفاهیم مرتبط را نیز تعیین می کند. استفاده فعال از نقشه های شناختی فازی به عنوان ابزار مدل سازی سیستم به دلیل امکان نمایش بصری سیستم تحلیل شده و سهولت تفسیر روابط علت و معلولی بین مفاهیم است. مشکلات اصلی مربوط به فرآیند ساخت یک نقشه شناختی است که قابل رسمی سازی نیست. علاوه بر این، لازم است ثابت شود که نقشه شناختی ساخته شده برای سیستم شبیه سازی شده واقعی کافی است. برای حل این مشکلات، الگوریتم‌هایی برای ساخت خودکار نقشه‌های شناختی بر اساس نمونه داده توسعه داده شده است.

خوشه بندی فازی

روش‌های خوشه‌بندی فازی، برخلاف روش‌های دقیق (مثلاً شبکه‌های عصبی کوهونن)، به یک شی اجازه می‌دهند که به طور همزمان به چندین خوشه، اما با درجات متفاوت، تعلق داشته باشد. خوشه بندی فازی در بسیاری از موقعیت ها بیشتر "طبیعی" است تا واضح، به عنوان مثال، برای اشیاء واقع در مرز خوشه ها. رایج ترین آنها عبارتند از: الگوریتم خودسازماندهی فازی c-means و تعمیم آن در قالب الگوریتم گوستافسون-کسل.

ادبیات

• زاده ل. مفهوم متغیر زبانی و کاربرد آن در تصمیم گیری های تقریبی. - م.: میر، 1976.
• Kruglov V.V.، Dli M.I. پر فکر سیستم های اطلاعاتی: پشتیبانی کامپیوتری از منطق فازی و سیستم های استنتاج فازی. - M.: Fizmatlit، 2002.
• لئولنکوف A.V. مدل سازی فازی در MATLAB و fuzzyTECH. - سن پترزبورگ، 2003.
• Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. شبکه های عصبی، الگوریتم های ژنتیک و سیستم های فازی. - م.، 2004.
• ماسالوویچ A. منطق فازی در تجارت و امور مالی. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy Systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43، شماره 11 آبان 94. - ص 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., A مطالعه کلی در مورد سیستم های فازی ژنتیک // الگوریتم های ژنتیک در مهندسی و علوم کامپیوتر، 1995. - P. 33-57.

منطق فازی و شبکه های عصبی

مقدمه

منطق فازی- شاخه ای از ریاضیات که تعمیم منطق کلاسیک و نظریه مجموعه ها بر اساس مفهوم مجموعه فازی است که برای اولین بار توسط لطفی زاده در سال 1965 به عنوان یک شی با تابع عضویت یک عنصر به مجموعه ای که هر مقداری را می گیرد معرفی کرد. در فاصله زمانی و نه فقط 0 یا 1. بر اساس این مفهوم، عملیات منطقی مختلفی بر روی مجموعه های فازی معرفی شده و مفهوم یک متغیر زبانی فرموله می شود که مقادیر آن مجموعه های فازی هستند.

موضوع منطق فازی مطالعه استدلال در شرایط فازی، فازی، مشابه استدلال به معنای معمول، و کاربرد آنها در سیستم های محاسباتی است.

جهات تحقیق منطق فازی

در حال حاضر، حداقل دو حوزه اصلی تحقیق در زمینه منطق فازی وجود دارد:

منطق فازی به معنای وسیع (نظریه محاسبات تقریبی)؛

منطق فازی به معنای محدود (منطق فازی نمادین).

منطق فازی نمادین

منطق فازی نمادین بر اساس این مفهوم است هنجارهای t. پس از انتخاب یک هنجار t خاص (و می توان آن را توسط چندین نفر معرفی کرد روش های مختلف) تعریف عملیات اساسی بر روی متغیرهای گزاره ای امکان پذیر می شود: ربط، تفکیک، استلزام، نفی و غیره.

اثبات این قضیه که توزیع پذیری موجود در منطق کلاسیک تنها در صورتی ارضا می شود که هنجار t گودل به عنوان هنجار t انتخاب شود، آسان است.

علاوه بر این، به دلایل خاصی، عملیاتی به نام residium اغلب به عنوان یک مفهوم انتخاب می شود (به طور کلی، این به انتخاب t-norm نیز بستگی دارد).

تعریف عملیات اساسی فهرست شده در بالا منجر به تعریف رسمی منطق فازی پایه می شود که شباهت زیادی با منطق ارزشی بولی کلاسیک (به طور دقیق تر، با حساب گزاره ای) دارد.

سه منطق فازی اصلی وجود دارد: منطق لوکازیویچ، منطق گودل، و منطق محصول. جالب توجه است که اتحاد هر دو از سه منطق ذکر شده در بالا منجر به منطق ارزشی بولی کلاسیک می شود.

عملکرد مشخصه

برای یک فضای استدلال و یک تابع عضویت معین مجموعه فازی به صورت تعریف شده است

تابع عضویت به طور کمی تعلق عناصر مجموعه بنیادی فضای استدلال را به مجموعه فازی درجه بندی می کند. مقدار به این معنی است که عنصر در مجموعه فازی گنجانده نشده است، عنصر کاملاً گنجانده شده را توصیف می کند. مقادیر بین عناصر شامل فازی و مشخصه آنها.

مجموعه فازی و کلاسیک، واضح ( ترد) بسیاری از

نمونه هایی از مجموعه های فازی

1. اجازه دهید E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. مجموعه فازی "چند" را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

"چند" = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; ویژگی های آن: ارتفاع = 1, حامل = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, نقاط انتقال - {3, 8}.

2. اجازه دهید E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). مجموعه فازی "Small" را می توان تعریف کرد:

3. اجازه دهید E= (1، 2، 3، . . . 100) و با مفهوم "سن" مطابقت دارد، سپس مجموعه فازی "جوان" را می توان با استفاده از تعریف کرد.

مجموعه فازی "جوان" در مجموعه جهانی E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) توسط تابع عضویت داده می شود μ جوان ( ایکس) روی E =(1، 2، 3، . . .، 100) (سن)، که در رابطه با E"تابع سازگاری، در حالی که:

جایی که ایکس- سن سیدوروف

4. اجازه دهید E\u003d (ZAPOROZHETS، ZHIGULI، MERCEDES، ...) مجموعه ای از مارک های خودرو است، و E"= - مجموعه جهانی "هزینه"، سپس روشن است E"ما می توانیم مجموعه های فازی را مانند:

برنج. 1.1. نمونه های تابع عضویت

"برای فقرا"، "برای طبقه متوسط"، "معتبر"، با توابع عضویت مانند شکل. 1.1.

داشتن این توابع و اطلاع از قیمت تمام شده خودروها از Eدر یک برهه زمانی معین، ما به این ترتیب تعیین می کنیم E"مجموعه های فازی با همین نام ها

بنابراین، به عنوان مثال، مجموعه فازی "برای فقرا"، داده شده در مجموعه جهانی E =(ZAPORIZHETZ، ZHIGULI، MERCEDES،...)، به نظر می رسد همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.2.

برنج. 1.2. نمونه ای از تعیین یک مجموعه فازی

به طور مشابه، می توانید مجموعه فازی را "High-speed"، "Medium"، "Low-speed" و غیره تعریف کنید.

5. اجازه دهید E- مجموعه اعداد صحیح:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

سپس یک زیرمجموعه فازی از اعداد نزدیک به صفر در مقدار مطلق را می توان تعریف کرد، به عنوان مثال، به صورت زیر:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

عملیات بولی

شمول.اجازه دهید ولیو AT- مجموعه های فازی در مجموعه جهانی E.آنها گفتند که ولیموجود در AT،اگر

تعیین: ولی⊂ AT.

این اصطلاح گاهی اوقات استفاده می شود سلطه،آن ها در صورتی که ولی⊂ AT،آنها گفتند که ATمسلط است ولی.

برابری. A و B مساوی هستند اگر

تعیین: A = B.

اضافهاجازه دهید م = , ولیو ATمجموعه های فازی تعریف شده بر روی هستند E. Aو ATمکمل یکدیگر باشند اگر

تعیین:

بدیهی است که (اضافه تعریف شده برای م= ، اما بدیهی است که برای هر مرتبه ای قابل تعریف است م).

تقاطع. ولی⋂ ATبزرگترین زیر مجموعه فازی است که به طور همزمان در آن موجود است ولیو AT:

یک انجمنآ∪ATکوچکترین زیر مجموعه فازی شامل هر دو است ولی،بنابراین AT،با عملکرد عضویت:

تفاوت. با عملکرد عضویت:

مجموع منفصل

ولی ⊕ AT = (A-B) ∪ (B-A) = (آ ⋂ ̅ ب) ∪ (̅A ⋂ B)

با عملکرد عضویت:

مثال ها. اجازه دهید

اینجا:

1) A ⊂ AT،یعنی A در بیا بمسلط است ولیاز جانب غیر قابل مقایسهنه با آ، نه با AT،آن ها زوج ها ( الف، سی) و ( الف، سی) جفت مجموعه های فازی غیر غالب هستند.

2) آ≠ ب ≠ سی

3) ̅A = 0,6/ایکس 1 + 0,8/ایکس 2 + 1/ایکس 3 + 0/ایکس 4 ; ̅B = 0,3/ایکس 1 + 0,1/ایکس 2 + 0,9/ایکس 3 +0/ایکس 4 .

4) ولی⋂ B = 0,4/ایکس 1 + 0,2/ایکس 2 + 0/ایکس 3 + 1 /ایکس 4 .

5) آ∪ AT= 0.7/x1+ 0,9/ایکس 2 + 0,1/ایکس 3 + 1/ایکس 4 .

6) الف - ب= ولی⋂̅B = 0,3/ایکس 1 + 0، l/ ایکس 2 + 0/ایکس 3 + 0/ایکس 4 ;

AT- A= ̅A⋂ AT= 0,6/ایکس 1 + 0,8/ایکس 2 + 0، l/ ایکس 3 + 0/ایکس 4 .

7) ولی⊕ B = 0,6/ایکس 1 + 0,8/ایکس 2 + 0,1/ایکس 3 + 0/ایکس 4 .

نمایش بصری عملیات منطقی در مجموعه های فازی. برای مجموعه های فازی، می توانید یک نمایش بصری بسازید. یک سیستم مختصات مستطیلی را در نظر بگیرید که در محور y مقادیر آن رسم می شوند. μ ولی(ایکس)،عناصر به ترتیب تصادفی بر روی محور آبسیسا مرتب شده اند E(ما قبلاً از چنین نمایشی در مثال های مجموعه های فازی استفاده کرده ایم). اگر یک Eطبق طبیعت سفارش شده است، مطلوب است که این نظم در آرایش عناصر در محور x حفظ شود. چنین نمایشی عملیات منطقی ساده را روی مجموعه های فازی بصری می کند (شکل 1.3 را ببینید).

برنج. 1.3. تفسیر گرافیکی عملیات منطقی:
α - مجموعه فازی ولی؛ ب- مجموعه فازی ̅A، در - ولی⋂ولی؛ جی-آ∪ ولی

روی انجیر 1.3α قسمت سایه دار مربوط به مجموعه فازی است ولیو به طور دقیق، محدوده را به تصویر می کشد ولیو تمام مجموعه های فازی موجود در ولی.روی انجیر 1.3 ب, ج، جداده می شود الف، الف ⋂ آ،آ U ولی.

ویژگی های عملیات ∪ و ⋂

اجازه دهید الف، ب، جمجموعه های فازی هستند، پس ویژگی های زیر برقرار است:

بر خلاف ست های ترد، به طور کلی برای مجموعه های فازی

آ ⋂ ̅A ≠ ∅، A∪ ̅A ≠ E

(که به ویژه در بالا در مثالی از نمایش بصری مجموعه های فازی نشان داده شده است).

اظهار نظر . عملیات فوق بر روی مجموعه های فازی بر اساس استفاده از عملیات حداکثر و حداقل است. در تئوری مجموعه های فازی، مسائل مربوط به ساخت عملگرهای تعمیم یافته، پارامتری شده از تقاطع، اتحاد و جمع ایجاد می شود که امکان در نظر گرفتن سایه های معنایی مختلف اتصالات مربوطه "و"، "یا"، "نه" را فراهم می کند.

هنجارها و معیارهای مثلثی

یک رویکرد برای عملگرهای تقاطع و اتحادیه، تعریف آنها در آن است کلاس هنجارها و معیارهای مثلثی.

هنجار مثلثی (t-norm)یک عملیات باینری (تابع واقعی دوگانه) نامیده می شود.

1. محدود: .

2. یکنواختی: .

3. جابجایی: .

4. انجمنی بودن: .

نمونه هایی از هنجارهای مثلثی

دقیقه( μ AμB)

کار کردن μ AμB

حداکثر(0 μA+μ B - 1).

کانرم مثلثی(به اختصار conorm) یک واقعی دو مکان است عملکرد

ارضای شرایط زیر:

1. محدود: .

2. یکنواختی: .

3. جابجایی: .

4. انجمنی بودن: .

کانرم مثلثیاست ارشمیدسیاگر پیوسته باشد
و برای هر مجموعه فازیانجام نابرابری .

اگر سخت گیر نامیده می شود عملکرددر هر دو استدلال به شدت کاهش می یابد.

نمونه هایی از t-conorms

حداکثر( μ AμB)

μA+ μ B - μ A μB

دقیقه(1 μA+μB).

نمونه هایی از کانورم های مثلثی به شرح زیر است اپراتورها:

هنجار مثلثی تیو conorm مثلثی اسعملیات باینری مکمل نامیده می شوند اگر

T( آ,ب) + اس(1 − آ,1 − ب) = 1

محبوب ترین در نظریه زاده سه جفت هنجارهای مثلثی اضافی و کانورم ها هستند.

1) تقاطع و اتحاد توسط زاده:

تی زی(آ,ب) = دقیقه ( آ,ب}, S Z(آ,ب) = حداکثر ( آ,ب}.

2) تقاطع و اتحاد طبق لوکاسیویچ:

3) تقاطع و اتحاد احتمالی:

اپراتورهای مکمل

در تئوری مجموعه های فازیعملگر مکمل منحصر به فرد نیست.

علاوه بر معروف

وجود دارد کلمجموعه اپراتور مکمل مجموعه فازی.

بگذار برخی نمایش دادن

.

آی تی نمایش دادندر تئوری عملگر نفی نامیده می شود مجموعه های فازیدر صورت داشتن شرایط زیر:

علاوه بر این، اگر شرایط زیر نیز رعایت شود:

(3) - به شدت کاهش می یابد عملکرد

(4) - مستمر عملکرد

سپس آن را نامیده می شود نفی شدید.

عملکردتماس گرفت انکار قوییا دگرگونیاگر همراه با شرایط (1) و (2) موارد زیر برای آن صادق باشد:

(5) .

در اینجا نمونه هایی از تابع نفی آورده شده است:

نفی کلاسیک: .

نفی درجه دوم: .

تکذیب سوگنو: .

افزودن نوع آستانه: .

با هر کدوم تماس میگیریم معنی، برای کدام ، نقطه تعادل. برای هر نفی پیوسته، یک نقطه تعادل منحصر به فرد وجود دارد.

اعداد مبهم

اعداد مبهم- متغیرهای فازی تعریف شده بر روی محور عددی، به عنوان مثال. یک عدد فازی به عنوان یک مجموعه فازی تعریف می شود ولیروی مجموعه اعداد حقیقی ℝ با تابع عضویت μ A(ایکس) ϵ ، جایی که ایکسیک عدد واقعی است، یعنی ایکس ϵ ℝ.

عدد فازی و خوب استاگر حداکثر μ A(ایکس) = 1; محدباگر برای هر کدام ایکس ≤ در ≤ zانجام

μ A (x) ≥ μ A(در) ˄ μ A(z).

بسیاری از α - سطح عدد فازی ولیکه تعریف میشود

Aα = {ایکس/μ α (ایکس) ≥ α } .

زیرمجموعه S A⊂ ℝ حامل عدد فازی نامیده می شود ولی،اگر

S A = { x/μ A (x)> 0 }.

عدد فازی و تک وجهیاگر شرط μ A(ایکس) = 1 فقط برای یک نقطه از محور واقعی معتبر است.

عدد فازی محدب ولیتماس گرفت صفر فازی،اگر

μ A (0) = شام ( μ A(ایکس)).

عدد فازی و مثبتاگر ∀ ایکسϵ S A، x> 0 و منفیاگر ∀ ایکس ϵ S A، x< 0.

نوع اعداد فازی (L-R).

اعداد فازی نوع (L-R) نوعی اعداد فازی از نوع خاص هستند، یعنی. با توجه به قوانین خاصی به منظور کاهش میزان محاسبات در حین عملیات روی آنها تنظیم شده است.

توابع عضویت اعداد فازی نوع (L-R) با استفاده از توابع متغیر واقعی L( ایکس) و R( ایکس) ارضای خواص:

الف) L(- ایکس) = L( ایکس), R(- ایکس) = R( ایکس);

ب) L(0) = R(0).

بدیهی است که کلاس توابع (L-R) شامل توابعی است که نمودارهای آنها شکل نشان داده شده در شکل 1 را دارند. 1.7.

برنج. 1.7. شکل ممکن توابع (L-R).

نمونه هایی از مشخصات تحلیلی توابع (L-R) می تواند باشد

اجازه دهید L( در) و R( در)-توابع (L-R)-نوع (بتنی). عدد فازی تک وجهی ولیبا مد الف(یعنی μ A(آ) = 1) با استفاده از L( در) و R( در) به شرح زیر ارائه می شود:

که در آن a حالت است. α > 0, β > 0 - ضرایب فازی چپ و راست.

بنابراین، برای L داده شده ( در) و R( در) عدد فازی (تک وجهی) با سه گانه داده می شود ولی = (آ, α, β ).

عدد فازی متحمل به ترتیب با چهار پارامتر داده می شود ولی = (آ 1 , آ 2 , α, β )، جایی که آ 1 و آ 2 - حدود تحمل، یعنی. در این میان [ آ 1 , آ 2] مقدار تابع عضویت برابر با 1 است.

نمونه هایی از نمودارهای توابع عضویت از نوع اعداد فازی (L-R) در شکل نشان داده شده است. 1.8.

برنج. 1.8. نمونه هایی از نمودارهای توابع عضویت اعداد فازی (L-R).

توجه داشته باشید که در موقعیت های خاصتوابع L (y)آر (y)و همچنین پارامترها آ، β اعداد مبهم (آ, α, β ) و ( آ 1 , آ 2 , α, β ) باید به گونه ای انتخاب شود که نتیجه یک عمل (جمع، تفریق، تقسیم و غیره) دقیقاً یا تقریباً برابر با یک عدد فازی با همان L باشد. (y)و R (y)و پارامترها α" و β" نتیجه فراتر از محدودیت های این پارامترها برای اعداد فازی اصلی نبود، به خصوص اگر نتیجه بعداً در عملیات شرکت کند.

اظهار نظر. حل مسائل مدل‌سازی ریاضی سیستم‌های پیچیده با استفاده از دستگاه مجموعه‌های فازی مستلزم انجام مقدار زیادی عملیات بر روی انواع مختلف متغیرهای زبانی و سایر متغیرهای فازی است. برای راحتی انجام عملیات و همچنین برای ورودی-خروجی و ذخیره سازی داده ها، کار با توابع عضویت در فرم استاندارد مطلوب است.

مجموعه‌های فازی که باید در اکثر مشکلات عمل کرد، معمولاً یک‌وجهی و عادی هستند. یکی از روش های ممکن برای تقریب مجموعه های فازی تک وجهی، تقریب با استفاده از توابع نوع (L-R) است.

نمونه هایی از (L-R)-بازنمایی برخی از متغیرهای زبانی در جدول آورده شده است. 1.2.

جدول 1.2. نمایش احتمالی (L-R) برخی از متغیرهای زبانی

روابط مبهم

روابط مبهمنقش اساسی در نظریه سیستم های فازی دارند. دستگاه نظریه روابط مبهمدر ساخت تئوری اتوماتای ​​فازی، در مدل سازی ساختار سیستم های پیچیده، در تجزیه و تحلیل فرآیندهای تصمیم گیری استفاده می شود.

تعاریف اساسی

تئوری روابط مبهمنیز پیدا می کند ضمیمهدر مسائلی که در آنها نظریه روابط معمولی (روشن) به طور سنتی اعمال می شود. به عنوان یک قاعده، دستگاه تئوری روابط روشن در تحلیل کیفی روابط بین اشیاء سیستم مورد مطالعه استفاده می شود، زمانی که روابط ماهیت دوگانه دارند و می توانند بر حسب "تفسیر شوند" ارتباطحاضر"، " ارتباطاز دست رفته»، یا زمانی که روش‌های تحلیل کمی روابط به دلایلی غیرقابل اجرا هستند و روابط به طور مصنوعی به شکل دوگانه تقلیل می‌یابند. ارتباطبه ظاهر مورد نظر با این حال، چنین رویکرد، اجازه می دهد برای یک کیفی تحلیل و بررسیسیستم ها منجر به از دست رفتن اطلاعات در مورد قدرت اتصالات بین اشیا می شود یا نیاز به محاسبات در آستانه های مختلف برای قدرت اتصالات دارد. این نقیصه عاری از روش های تحلیل داده های مبتنی بر نظریه است روابط مبهم، که امکان کیفیت بالا را فراهم می کند تحلیل و بررسیسیستم ها، با در نظر گرفتن تفاوت در قدرت پیوند بین اشیاء سیستم.

تاری معمولی - رابطه آریکه تعریف میشود زیرمجموعهمحصول دکارتی مجموعه ها

مثل یک مجموعه مبهم، رابطه فازی را می توان با استفاده از تابع عضویت آن مشخص کرد

که در حالت کلی فرض می کنیم که یک شبکه توزیعی کامل است. بنابراین، یک مجموعه تا حدی مرتب است که در آن هر غیر خالی است زیرمجموعهدارای بزرگترین پایین و کوچکترین قسمت بالایی است وجوهو عملیات تقاطعو اتحادیه ها قوانین توزیع را رعایت می کنند. همه عملیاتدر بالا روابط مبهمبا استفاده از این عملیات از . به عنوان مثال، اگر به عنوان یک مجموعه محدود در نظر بگیریم اعداد واقعی، سپس عملیات تقاطع و اتحاد در به ترتیب خواهد بود، عملیاتو، و اینها عملیاتتعیین خواهد کرد و عملیاتدر بالا روابط مبهم.

اگر یک مجموعه هاو نهایی رابطه فازیبین و می توان با استفاده از آن نشان داد ماتریس های رابطه، که سطر اول و ستون اول آن به عناصر مجموعه ها اختصاص داده می شود و عنصری در محل تقاطع سطر و ستون قرار می گیرد (جدول 2.1 را ببینید).

در صورتی که مجموعه هاو مطابقت، رابطه فازیتماس گرفت رابطه فازی در مجموعهایکس.

در مورد متناهی یا قابل شمارش مجموعه های جهانیواضح تفسیر رابطه فازیمانند نمودار وزنی، که در آن هر جفت رئوس از یک یال با وزن به هم متصل می شود.

مثال. اجازه دهید و ، سپس فازی نموداردر شکل نشان داده شده است. 2.1، برخی را مشخص می کند رابطه فازی .

برنج. 2.1.

ویژگی های روابط فازی

انواع متفاوت روابط مبهمبا استفاده از ویژگی های مشابه روابط معمولی و برای تعریف می شوند روابط مبهممی توانید مشخص کنید راه های مختلفتعمیم این ویژگی ها

1. انعکاس پذیری:

2. بازتاب ضعیف:

3. انعکاس پذیری قوی:

4. ضد انعکاس:

5. ضد انعکاس ضعیف:

6. ضد انعکاس قوی:

7. تقارن:

8. ضد تقارن:

9. عدم تقارن:

10. خطی بودن قوی:

11. خطی بودن ضعیف:

12. گذرا:

پیش بینی روابط فازی

نقش مهمی در نظریه مجموعه های فازی توسط مفهوم ایفا می شود پیش بینی رابطه فازی. بدهیم تعریف پیش بینی یک رابطه فازی باینری.

اجازه دهید - تابع عضویت رابطه فازیکه در . طرح ها و روابط روی و - است مجموعه هادر و با تابع عضویت فرم

طرح ریزی شرطی رابطه فازیدر، برای ثابت دلخواه، مجموعه ای با تابع عضویت از فرم است.

مشروط طرح ریزیدر داده شده:

از جانب این تعریفمشاهده می شود که پیش بینی ها و به ترتیب بر پیش بینی های شرطی و . بیایید بیشتر بدهیم تعریفکه رابطه آنها را در نظر می گیرد.

در حالی که منطق فازی را می توان به صراحت برای نشان دادن دانش تخصصی با قوانینی استفاده کرد متغیرهای زبانی، معمولاً برای ساخت و تنظیم توابع عضویت که این متغیرها را کمیت می کنند، زمان بسیار زیادی طول می کشد. روش های آموزش شبکه عصبی این فرآیند را خودکار می کند و زمان و هزینه های توسعه را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد و در عین حال پارامترهای سیستم را بهبود می بخشد. سیستم هایی که از شبکه های عصبی برای تعیین پارامترهای مدل های فازی استفاده می کنند، سیستم های فازی عصبی نامیده می شوند. مهمترین ویژگی این سیستم ها تفسیرپذیری آنها از نظر قواعد اگر-آنگاه فازی است.

چنین سیستم‌هایی را سیستم‌های فازی عصبی تعاونی نیز می‌نامند و در مقابل سیستم‌های فازی عصبی رقابتی هستند که در آن شبکه‌های عصبی و سیستم‌های فازی با هم کار می‌کنند تا یک مشکل را بدون تعامل با یکدیگر حل کنند. در این حالت معمولاً از یک شبکه عصبی برای پیش پردازش ورودی ها یا برای پس پردازش خروجی های یک سیستم فازی استفاده می شود.

علاوه بر آنها، فازی نیز وجود دارد سیستم های عصبی. این نام شبکه های عصبی است که از روش های فازی برای افزایش سرعت یادگیری و بهبود عملکرد خود استفاده می کنند. این را می توان به عنوان مثال با استفاده از قوانین فازی برای تغییر نرخ یادگیری یا با در نظر گرفتن شبکه های عصبی با مقادیر ورودی فازی به دست آورد.

دو رویکرد اصلی برای کنترل میزان یادگیری پرسپترون وجود دارد روش پس انتشار. در حالت اول، این نرخ به طور همزمان و یکنواخت برای همه نورون های شبکه بسته به یک معیار جهانی کاهش می یابد - خطای ریشه میانگین مربع در لایه خروجی. در عین حال، شبکه در مرحله اولیه آموزش به سرعت یاد می گیرد و از نوسانات خطا در مرحله بعدی جلوگیری می کند. در مورد دوم، تغییرات در ارتباطات بین عصبی فردی ارزیابی می شود. اگر در دو مرحله یادگیری بعدی، افزایش اتصالات دارای علامت مخالف باشد، منطقی است که نرخ محلی مربوطه را کاهش دهیم، در غیر این صورت، باید افزایش یابد. استفاده از قواعد فازی می تواند کنترل دقیق تری بر نرخ محلی اصلاح پیوند فراهم کند. به طور خاص، اگر مقادیر متوالی گرادیان های خطا به عنوان پارامترهای ورودی این قوانین استفاده شود، می توان به این امر دست یافت. جدول قوانین مربوطه ممکن است به شکل زیر باشد:

متغیرهای زبانی نرخ یادگیری و گرادیان مقادیر زیر را در قانون انطباق فازی نشان‌داده‌شده توسط جدول می‌گیرند: NB - منفی بزرگ؛ NS - منفی کوچک؛ Z - نزدیک به صفر؛ PS - مثبت کوچک؛ PB - مثبت بزرگ.

در نهایت، در سیستم‌های فازی عصبی ترکیبی مدرن، شبکه‌های عصبی و مدل‌های فازی در یک معماری همگن واحد ترکیب می‌شوند. چنین سیستم هایی را می توان به عنوان شبکه های عصبی با پارامترهای فازی یا به عنوان سیستم های فازی توزیع شده موازی تفسیر کرد.

عناصر منطق فازی

مفهوم اصلی منطق فازی مفهوم است متغیر زبانی. به گفته لطفی زاده، متغیر زبانی متغیری است که مقادیر آن کلمات یا جملات یک زبان طبیعی یا مصنوعی باشد. یک مثال از یک متغیر زبانی، برای مثال، کاهش تولید است اگر ارزش‌های زبانی مانند ناچیز، قابل توجه، قابل توجه و فاجعه‌بار به خود بگیرد. بدیهی است که معانی زبانی وضعیت موجود را به وضوح مشخص نمی کند. به عنوان مثال، کاهش 3 درصدی تولید را می توان تا حدودی ناچیز و تا حدودی محسوس دانست. به طور شهودی واضح است که اندازه گیری فاجعه بار بودن یک سقوط باید بسیار کوچک باشد.