Lektion "Begreppet en monomial. Standardformen för en monomial" metodisk utveckling i algebra på ämnet. Reducera en monomial till en standardform, exempel, lösningar Algoritm för att reducera en monomial till en standardform
I den här lektionen kommer vi att ge en strikt definition av en monomial, överväg olika exempel från läroboken. Kom ihåg reglerna för att multiplicera potenser med samma bas. Låt oss ge en definition av standardformen för en monomial, koefficienten för en monomial och dess bokstavliga del. Låt oss betrakta två grundläggande typiska operationer på monomialer, nämligen reduktion till en standardform och beräkning av ett specifikt numeriskt värde för en monomial för börvärden dess bokstavliga variabler. Låt oss formulera regeln för att reducera monomialen till standardformen. Låt oss lära oss att bestämma typiska uppgifter med eventuella monomer.
Ämne:monomer. Aritmetiska operationer på monomialer
Lektion:Begreppet monomial. Standardform av en monomial
Tänk på några exempel:
3. 
;
Låt oss hitta gemensamma drag för de givna uttrycken. I alla tre fallen är uttrycket produkten av tal och variabler upphöjda till en potens. Utifrån detta ger vi definition av en monomial : en monomial är ett algebraiskt uttryck som består av en produkt av potenser och tal.
Nu ger vi exempel på uttryck som inte är monomialer:
Låt oss hitta skillnaden mellan dessa uttryck och de tidigare. Den består i det faktum att i exemplen 4-7 finns operationer med addition, subtraktion eller division, medan i exemplen 1-3, som är monomer, inte är dessa operationer.
Här är några fler exempel:
Uttryck nummer 8 är ett monom, eftersom det är produkten av en potens och ett tal, medan exempel 9 inte är ett monom.
Nu ska vi ta reda på det åtgärder på monomialer .
1. Förenkling. Tänk på exempel #3 ;och exempel #2 /
I det andra exemplet ser vi bara en koefficient - , varje variabel förekommer bara en gång, det vill säga variabeln " a” representeras i en enda instans, som ””, på samma sätt förekommer variablerna ”” och ”” endast en gång.
I exempel nr 3, tvärtom, finns det två olika koefficienter - och vi ser variabeln "" två gånger - som "" och som "", på samma sätt förekommer variabeln "" två gånger. Det är, givet uttryck bör förenklas, så vi kommer fram till den första åtgärden som utförs på monomialer är att få monomialen till standardformen . För att göra detta tar vi uttrycket från exempel 3 till standardformen, sedan definierar vi den här operationen och lär oss hur man tar med någon monomial till standardformen.
Så ta ett exempel:
Det första steget i standardiseringsoperationen är alltid att multiplicera alla numeriska faktorer:
;
Resultatet av denna åtgärd kommer att anropas monomial koefficient .
Därefter måste du multiplicera graderna. Vi multiplicerar graderna av variabeln " X”enligt regeln för att multiplicera potenser med samma bas, som säger att när de multipliceras, summerar exponenterna:
Låt oss nu multiplicera potenserna på»:
;
Så här är ett förenklat uttryck:
;
Vilken monom som helst kan reduceras till standardform. Låt oss formulera standardiseringsregeln :
Multiplicera alla numeriska faktorer;
Sätt den resulterande koefficienten på första plats;
Multiplicera alla grader, det vill säga få bokstavsdelen;
Det vill säga, varje monomial kännetecknas av en koefficient och en bokstavsdel. När vi blickar framåt noterar vi att monomer som har samma bokstavsdel kallas liknande.
Nu måste du tjäna teknik för att reducera monomer till standardform . Tänk på exempel från läroboken:
Uppgift: ta monomialen till standardformen, namnge koefficienten och bokstavsdelen.
För att slutföra uppgiften använder vi regeln att föra monomialen till standardformen och gradernas egenskaper.
1. 
;
3. 
;
Kommentarer till det första exemplet: Till att börja med, låt oss avgöra om detta uttryck verkligen är ett monomial, för detta kontrollerar vi om det innehåller operationer för multiplikation av tal och potenser och om det innehåller operationer med addition, subtraktion eller division. Vi kan säga att detta uttryck är ett monomialt, eftersom ovanstående villkor är uppfyllt. Vidare, enligt regeln att föra monomialen till standardformen, multiplicerar vi de numeriska faktorerna:
- vi har hittat koefficienten för den givna monomialen;
; ; ; det vill säga den bokstavliga delen av uttrycket tas emot:;
skriv ner svaret: ;
Kommentarer till det andra exemplet: Enligt regeln kör vi:
1) multiplicera numeriska faktorer:
2) multiplicera potenserna:
Variabler och presenteras i en enda kopia, det vill säga de kan inte multipliceras med någonting, de skrivs om utan ändringar, graden multipliceras:
skriv ner svaret:
;
PÅ detta exempel koefficienten för monomialen är lika med en, och den bokstavliga delen är .
Kommentarer till det tredje exemplet: a på samma sätt som de tidigare exemplen utför vi följande åtgärder:
1) multiplicera numeriska faktorer:
;
2) multiplicera potenserna:
;
skriv ut svaret: ;
I det här fallet är koefficienten för monomialen lika med "", och den bokstavliga delen 
.
Överväg nu andra standardoperationen på monomialer . Eftersom ett monomial är ett algebraiskt uttryck som består av bokstavliga variabler som kan anta specifika numeriska värden, har vi ett aritmetiskt numeriskt uttryck som bör beräknas. Det vill säga följande operation på polynom är beräkna deras specifika numeriska värde .
Tänk på ett exempel. Monomialet ges:
denna monomial har redan reducerats till standardform, dess koefficient är lika med en och den bokstavliga delen
Tidigare sa vi att ett algebraiskt uttryck inte alltid kan beräknas, det vill säga att de variabler som kommer in i det kanske inte får något värde. När det gäller en monomial kan variablerna som ingår i den vara vilken som helst, detta är en egenskap hos monomialen.
Så i det givna exemplet krävs det att man beräknar värdet på monomialen för , , , .
Vi noterade att vilken monom som helst kan vara föra till standardform. I den här artikeln kommer vi att förstå vad som kallas reduktion av en monomial till en standardform, vilka åtgärder som gör att denna process kan utföras och överväga lösningarna på exempel med detaljerade förklaringar.
Sidnavigering.
Vad innebär det att få en monomial till standardform?
Det är bekvämt att arbeta med monomialer när de är skrivna i standardform. Monomialer ges dock ganska ofta i en annan form än den vanliga. I dessa fall är det alltid möjligt att övergå från den ursprungliga monomialen till standardformen monomial genom att utföra identiska transformationer. Processen att utföra sådana transformationer kallas att föra monomialen till standardformen.
Låt oss generalisera resonemanget ovan. Ta monomial till standardform- detta innebär att utföra sådana identiska transformationer med den så att den får en standardform.
Hur får man monomial till standardform?
Det är dags att ta reda på hur man tar monomialer till standardformen.
Som är känt från definitionen är monomialer av en icke-standardform produkter av tal, variabler och deras styrkor, och eventuellt upprepande sådana. Och standardformens monomial kan i sitt register bara innehålla ett antal och icke-repeterande variabler eller deras grader. Nu återstår det att förstå hur produkterna av den första typen kan reduceras till formen av den andra?
För att göra detta måste du använda följande regeln för att reducera en monomial till standardform som består av två steg:
- Först utförs gruppering av numeriska faktorer, samt identiska variabler och deras grader;
- För det andra beräknas och tillämpas produkten av siffror.
Som ett resultat av tillämpningen av den angivna regeln kommer alla monomer att reduceras till standardformuläret.
Exempel, lösningar
Det återstår att lära sig hur man tillämpar regeln från föregående stycke när man löser exempel.
Exempel.
Ta den monomiala 3·x·2·x 2 till standardform.
Lösning.
Låt oss gruppera de numeriska faktorerna och faktorerna med variabel x . Efter gruppering kommer originalmonomialet att ha formen (3 2) (x x 2) . Produkten av talen i de första parenteserna är 6, och regeln för att multiplicera potenser med samma baser tillåter att uttrycket i den andra parentesen representeras som x 1 +2=x 3. Som ett resultat får vi ett polynom av standardformen 6·x 3 .
Här är en sammanfattning av lösningen: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Svar:
3 x 2 x 2 =6 x 3 .
Så för att få en monomial till en standardform är det nödvändigt att kunna gruppera faktorer, utföra multiplikation av tal och arbeta med potenser.
För att konsolidera materialet, låt oss lösa ytterligare ett exempel.
Exempel.
Uttryck monomialen i standardform och ange dess koefficient.
Lösning.
Den ursprungliga monomialen har en enda numerisk faktor −1 i sin notation, låt oss flytta den till början. Efter det grupperar vi faktorerna separat med variabeln a , separat - med variabeln b , och det finns inget att gruppera variabeln m med, låt det vara som det är, vi har 
. Efter att ha utfört operationer med grader inom parentes, kommer monomialen att ta den standardform vi behöver, varifrån du kan se koefficienten för monomialen, lika med -1. Minus ett kan ersättas med ett minustecken: .
Det finns många olika matematiska uttryck i matematik, och några av dem har sina egna fasta namn. Vi måste bekanta oss med ett av dessa begrepp - det här är ett monomial.
En monomial är ett matematiskt uttryck som består av en produkt av tal, variabler, som var och en kan inkluderas i produkten till viss del. För att bättre förstå det nya konceptet måste du bekanta dig med flera exempel.
Exempel på monomialer
Uttryck 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 är singlar. Som du kan se är ett tal eller en variabel ensam (med eller utan en potens) också en monomial. Men, till exempel, uttrycken 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 är redan är inte monomiala eftersom de inte passar in i definitionen. Det första uttrycket använder "summa", vilket inte är tillåtet, det andra använder "division", och det tredje använder skillnaden.
Överväga några fler exempel.
Till exempel är uttrycket 2*a^3*b/3 också ett monomial, även om division finns där. Men i det här fallet sker division med ett tal, och därför kan motsvarande uttryck skrivas om på följande sätt: 2/3*a^3*b. Ytterligare ett exempel: Vilket av uttrycken 2/x och x/2 är ett monom och vilket är det inte? svara rätt att det första uttrycket inte är ett monomial, utan det andra.
Standardform av en monomial
Titta på följande två monomiala uttryck: ¾*a^2*b^3 och 3*a*1/4*b^3*a. I själva verket är dessa två identiska monomer. Är det inte sant att det första uttrycket ser bekvämare ut än det andra?
Anledningen till detta är att det första uttrycket är skrivet i standardform. Standardformen för ett polynom är en produkt som består av en numerisk faktor och potenser av olika variabler. Den numeriska faktorn kallas monomial koefficient.
För att få monomialen till sin standardform räcker det att multiplicera alla numeriska faktorer som finns i monomialen och sätta det resulterande talet på första plats. Multiplicera sedan alla potenser som har samma bokstavsbas.
Att reducera en monomial till dess standardform
Om vi i vårt exempel i det andra uttrycket multiplicerar alla numeriska faktorer 3 * 1/4 och sedan multiplicerar a * a, så får vi den första monomialen. Denna handling kallas att föra monomialen till dess standardform.
Om två monomialer skiljer sig endast med en numerisk koefficient eller är lika med varandra, kallas sådana monomialer liknande i matematik.
Monomialär ett uttryck som är produkten av två eller flera faktorer, som var och en är ett tal uttryckt med en bokstav, siffror eller potens (med en icke-negativ heltalsexponent):
2a, a 3 x, 4abc, -7x
Eftersom produkten av identiska faktorer kan skrivas som en grad, är en enda grad (med en icke-negativ heltalsexponent) också en monomial:
(-4) 3 , x 5 ,
Eftersom ett tal (helt eller bråktal), uttryckt med en bokstav eller siffror, kan skrivas som produkten av detta tal med ett, kan vilket enstaka tal också betraktas som ett monom:
x, 16, -a,
Standardform av en monomial
Standardform av en monomial- detta är en monomial, som bara har en numerisk faktor, som måste skrivas i första hand. Alla variabler är i alfabetisk ordning och ingår i monomialen endast en gång.
Tal, variabler och grader av variabler hänvisar också till monomer av standardformen:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomer av standardform.
Den numeriska faktorn för en standardform monomial kallas monomial koefficient. Monomialkoefficienter lika med 1 och -1 skrivs vanligtvis inte.
Om det inte finns någon numerisk faktor i monomialen i standardformen, antas det att koefficienten för monomialen är 1:
x 3 = 1 x 3
Om det inte finns någon numerisk faktor i standardformens monomial och det finns ett minustecken framför den, antas det att koefficienten för monomialen är -1:
-x 3 = -1 x 3
Reduktion av en monomial till standardform
För att få monomialen till standardform måste du:
- Multiplicera numeriska faktorer, om det finns flera. Höj en numerisk faktor till en potens om den har en exponent. Sätt talmultiplikatorn på första plats.
- Multiplicera alla identiska variabler så att varje variabel endast förekommer en gång i monomialen.
- Ordna variabler efter den numeriska faktorn i alfabetisk ordning.
Exempel. Uttryck monomialen i standardform:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 före Kristus 0,5 ab 3
Lösning:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 före Kristus 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Grad av monom
Grad av monomär summan av exponenterna för alla bokstäverna i den.
Om ett monomial är ett tal, det vill säga att det inte innehåller variabler, anses dess grad vara lika med noll. Till exempel:
5, -7, 21 - noll graders monomer.
Därför, för att hitta graden av en monomial, måste du bestämma exponenten för var och en av bokstäverna som ingår i den och lägga till dessa exponenter. Om exponenten för bokstaven inte anges är den lika med en.
Exempel:
Så hur mår du x exponenten är inte specificerad, vilket betyder att den är lika med 1. Monomialen innehåller inga andra variabler, vilket betyder att dess grad är lika med 1.
Monomialet innehåller bara en variabel i den andra graden, så graden av denna monomial är 2.
3) ab 3 c 2 d
Index aär lika med 1, indikatorn b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Graden av denna monomial är lika med summan av dessa indikatorer.
Monomial är produkter av tal, variabler och deras potenser. Tal, variabler och deras grader betraktas också som monomer. Till exempel: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monomialet 5aa2b2b kan reduceras till formen 20a^2b^2. Denna form kallas standardformen för monomialen. Det vill säga, standardformen för monomialen är produkten av koefficienten (som kommer först) och potenserna av variablerna. Koefficienterna 1 och -1 skrivs inte, men de har ett minus från -1. Monomial och dess standardform
Uttrycken 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x är produkter av tal, variabler och deras potenser. Sådana uttryck kallas monomialer. Monomal betraktas också som tal, variabler och deras styrkor.
Till exempel är uttrycken - 8, 35, y och y2 monomer.
Standardformen av en monomial är en monomial i form av en produkt av en numerisk faktor i första hand och styrkorna hos olika variabler. Varje monomial kan bringas till standardform genom att multiplicera alla variabler och tal som ingår i den. Här är ett exempel på hur man tar en monomial till standardformen:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Den numeriska faktorn för en monomial skriven i standardform kallas koefficienten för en monomial. Till exempel är koefficienten för monomialen -7x2y2 -7. Koefficienterna för monomialerna x3 och -xy anses vara lika med 1 och -1, eftersom x3 = 1x3 och -xy = -1xy
Graden av en monomial är summan av exponenterna för alla variabler som ingår i den. Om monomialen inte innehåller variabler, det vill säga det är ett tal, anses dess grad vara lika med noll.
Till exempel är graden av 8x3yz2-monomial 6, 6x-monomial är 1 och -10-monomial är 0.
Multiplikation av monomialer. Att höja monomialerna till en makt
När man multiplicerar monomialer och höjer monomialer till en potens, används regeln för att multiplicera potenser med samma bas och regeln för att höja en potens till en potens. I detta fall erhålls en monomial, som vanligtvis representeras i standardform.
Till exempel
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6