Upprepning av teorin och lösningen av typiska problem om vinkelrätheten hos en rät linje och ett plan (forts.). Vinkelrät linje och plan, tecken och villkor för vinkelräthet för en linje och ett plan Lektion: Upprepning av teorin och lösa typiska problem på

I den här lektionen kommer vi att upprepa teorin vi har täckt och fortsätta att lösa typiska problem om vinkelrätheten hos en linje och ett plan.
Först upprepar vi teoremattributet för vinkelräthet för en linje och ett plan. Och sedan kommer vi att lösa problem med den här funktionen.

Ämne: Linjers och plans vinkelräthet

Lektion: Upprepning av teorin och lösa typiska problem på

vinkelräthet för en linje och ett plan (fortsättning)

I den här lektionen kommer vi att upprepa teorin vi har täckt och fortsätta lösning av typiska problem på vinkelrätheten hos en rät linje och ett plan.

Om en linje är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i ett plan, så är den vinkelrät mot det planet.

Låt oss ges ett plan α. Det finns två raka linjer i detta plan. sid och q, skär varandra vid en punkt O(Figur 1). Hetero a vinkelrätt mot linjen sid och direkt q. Enligt skylten, rak aär vinkelrät mot planet α, det vill säga vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger i detta plan.

3. Matematiklärarwebbplats()

1. Formulera ett tecken på vinkelräthet för en rät linje och ett plan.

2. Givet en cirkel centrerad i en punkt O. Hetero MO vinkelrätt mot cirkelns plan. Bevisa att linjen MO vinkelrät mot valfri radie i cirkeln.

3. I en triangel ABC hållen höjd CH. Hetero MA vinkelrätt mot planet ABC. Är linjen vinkelrät? CH plan AMV?

4. Direkt MA vinkelrätt mot kvadratens plan ABCD. Hitta längden på segmenten FRÖKEN,MB, MD om sidan av torget är a, AM = b.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisning bilderna är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela omfattningen av presentationen. Om du är intresserad detta jobb ladda ner den fullständiga versionen.

Klass: 10.

Grundläggande handledning: Geometri 10-11: grund- och profilnivåer / L.S. Atanasyan och andra - M .: Education, 2009.

Lektionen åtföljs av en presentation, ett prov gjort in Microsoft excel för datortestning av elevers kunskaper ( Bilaga 1), en utbildningsmodul för Federal Center for Information and Educational Resources ( Bilaga 2), bestående av 5 uppgifter med olika svårighetsnivåer. Alla uppgifter i denna modul är parametriserade, vilket gör att du kan skapa individuella uppgifter. Uppgifterna är utformade för att utveckla färdigheterna att lösa problem med hjälp av tecknet på vinkelräthet av en rät linje och ett plan. För att arbeta med inlärningsmodulen måste du installera specialprogram, hon är inne Bilaga 3. I presentationen för lektionen finns ett självständigt arbete kring ämnet som studeras. Således är mängden av det föreslagna materialet överflödig, vilket gör att det kan doseras, variera beroende på beredskapsnivån i klassen.

Lektionstyp: en lektion i kreativ tillämpning av kunskap.

Uppförandeformulär: workshop för att lösa nyckelproblem.

Tidsåtgång: 45 minuter.

Plats för lektionen i avsnittet: 4 lektioner.

Mål:

Handledningar:

• "öppna" begreppen vinkelrät och lutande mot planet;
• bygga färdigheter:
  se konfigurationer som uppfyller de angivna villkoren;
  tillämpa definitionen av en rät linje vinkelrät mot ett plan, tecknet på vinkelrät linje för en rät linje och ett plan på bevisproblem;
• utveckla färdigheter i att lösa grundläggande problem på rät linjes och ett plans vinkelräthet.

Utvecklande:

• utveckla rumslig fantasi, logiskt tänkande;
• att utveckla elevernas oberoende och en kreativ inställning till genomförandet av uppgifter;
• organisera förståelsen av resultaten av studien av ämnet och sätt att uppnå dem.

Pedagogisk:

• ta upp:
  vilja och uthållighet att uppnå slutresultat när du löser problem;
  informationskultur och kommunikationskultur.

Metoder: delvis utforskande, forskning.

Former för organisation av verksamhet: frontalt, grupp, individuellt, självständigt arbete.

Utrustning: datorklass, multimediaprojektor, skärm, datorpresentation på ämnet, prov (bilaga 1), kort för individuellt arbete (bild 9), kort med teorifrågor, EOR med en praktisk parametrerad uppgift (bilaga 2).

Under lektionerna

Organisatoriskt ögonblick - kontrollera klassens beredskap för lektionen.

I. Motiverande och orienterande del.

1. Aktualisering av kunskap.

– I dag fortsätter vi att arbeta med ämnet "Vinrätthet mellan en linje och ett plan". I de tidigare lektionerna "upptäckte" vi definitionen av en rät linje vinkelrät mot ett plan, ett tecken på vinkelräthet för en rät linje och ett plan, och analyserade de enklaste uppgifterna. Som läxa fick var och en av er ett ark med teorifrågor, ni ombads förbereda svar på dessa frågor.

Låt oss kolla hur du klarade den här uppgiften.

Det finns en undersökning ansikte mot ansikte. (bilder 6-8).

Resultaten av det muntliga arbetet summeras, elevernas svar utvärderas.

2. Redogörelse för inlärningsuppgiften.

Idag kommer vi att fortsätta att forma förmågan att tillämpa kända påståenden i bevisproblem och i att lösa typiska problem.

1. Nästa arbetsmoment - två elever kallas till tavlan för individuellt arbete med kort, frontarbete utförs med resten av eleverna enligt färdiga ritningar. Kort för individuellt arbete:

Uppgifter för muntligt arbete på färdiga ritningar:

– Killar, i uppgifter 4-6 pratar vi om lutande mot planet. Vad tror du menas?

Finns det en analogi här med begreppen vinkelrät och snett mot en rät linje, studerade i planimetri?

Eleverna uppmanas att studera bild 10 i presentationen och lösa dessa problem.

2. Arbeta i par - uppgifter löses enligt färdiga ritningar.

Lösningar diskuteras. Individuella elevsvar utvärderas.

Nästa steg i lektionen är implementeringen praktisk uppgift på datorn, arbeta med EOR.

III. Reflekterande-utvärderande del.

1. Resultatet av arbetet i lektionen är ett prov i form av ett prov.

Resultatet av lektionen summeras, betyg ges.

2. Läxor: Nr 130, 131, 145, 148. (Indikation: använd tecknet för vinkelräthet för linjen och planet).

Geometri. Uppgifter och övningar på färdiga ritningar. 10-11 årskurser. Rabinovich E.M.

M.: 2014. - 80 sid.

Manualen är sammanställd i form av tabeller och innehåller mer än 350 uppgifter. Uppgifterna för varje tabell motsvarar ett specifikt ämne i skolans geometrikurs för årskurs 10-11 och är placerade inuti tabellen i ökande komplexitetsordning.

En matematiklärare som arbetar på gymnasiet vet väl hur svårt det är att lära elever att göra visuella och korrekta ritningar för stereometriska problem.

På grund av bristen på rumslig fantasi blir den stereometriska uppgiften, för vilken du själv måste göra en ritning, ofta överväldigande för studenten.

Det är därför användningen av färdiga ritningar för stereometriska uppgifter avsevärt ökar mängden material som beaktas i lektionen, ökar dess effektivitet.

Den föreslagna manualen är en extra samling problem i geometri för elever i årskurserna 10-11 i en allmän skola och är inriktad på läroboken av A.V. Pogorelov "Geometri 7-11". Det är en fortsättning på en liknande manual för elever i årskurs 7-9.

Formatera: pdf(2014, 80-talet.)

Storleken: 1,2 MB

Titta, ladda ner:drive.google ; Rghost

Formatera: djvu(2006, 80-talet.)

Storleken: 1,3 MB

Ladda ner: drive.google

Innehållsförteckning
Förord ​​3
Upprepning av planimetriförloppet 5
Tabell 1. Lösning av trianglar 5
Tabell 2. Area av triangel 6
Tabell 3. Area av fyrhörning 7
Tabell 4. Area av fyrhörning 8
Stereometri. 10 årskurs 9
Tabell 10.1. Stereometrins axiom och deras enklaste konsekvenser... 9
Tabell 10.2. Stereometrins axiom och deras enklaste konsekvenser. tio
Tabell 10.3. Parallellism av linjer i rymden. Korsade linjer 11
Tabell 10.4. Parallellism av linjer och plan 12
Tabell 10.5. Tecken på parallella plan 13
Tabell 10.6. Egenskaper för parallella plan 14
Tabell 10.7. Bild av rumsliga figurer på ett plan 15
Tabell 10.8. Bild av rumsliga figurer på ett plan 16
Tabell 10.9. Linje och plan vinkelrätt 17
Tabell 10.10. Linje och plan vinkelrätt 18
Tabell 10.11. Vinkelrät och snett 19
Tabell 10.12. Vinkelrät och snett 20
Tabell 10.13. Tre perpendikulära sats 21
Tabell 10.14. Tre perpendikulära sats 22
Tabell 10.15. Tre perpendikulära sats 23
Tabell 10.16. Planvinkelrätt 24
Tabell 10.17. Planvinkelrätt 25
Tabell 10.18. Avstånd mellan korsande linjer 26
Tabell 10.19. Kartesiska koordinater i rymden 27
Tabell 10.20. Vinkel mellan sneda linjer 28
Tabell 10.21. Vinkel mellan linje och plan 29
Tabell 10.22. Vinkel mellan plan 30
Tabell 10.23. Arean av den ortogonala projektionen av polygonen 31
Tabell 10.24. Vektorer i rymden 32
Stereometri. 11 klass 33
Tabell 11.1. Dihedral vinkel. Trihedral vinkel 33
Tabell 11.2. Rak prisma 34
Tabell 11.3. Rätt prisma 35
Tabell 11.4. Rätt prisma 36
Tabell 11.5. Lutande prisma 37
Tabell 11.6. Parallelpiped 38
Tabell 11.7. Konstruktion av sektioner av ett prisma 39
Tabell 11.8. Rätt pyramid 40
Tabell 11.9. Pyramid 41
Tabell 11.10. Pyramid 42
Tabell 11.11. Pyramid. Trunkerad pyramid 43
Tabell 11.12. Dela en pyramid 44
Tabell 11.13. Cylinder 45
Tabell 11.14. Kotten 46
Tabell 11.15. Kon. Trunkerad kon 47
Tabell 11.16. Bolla 48
Tabell 11.17. Inskriven och omskriven sfär 49
Tabell 11.18. Volymen på parallellepipeden är 50
Tabell 11.19. Prisma volym 51
Tabell 11.20. Pyramid Volym 52
Tabell 11.21. Pyramid Volym 53
Tabell 11.22. pyramidens volym. Volymen av den stympade pyramiden 54
Tabell 11.23. Volymen och arean av cylinderns sidoyta..55
Tabell 11.24. Volym och area av konens sidoyta 56
Tabell 11.25. Konvolym. Volymen av en stympad kon. Arean av konens laterala yta. Arean av den laterala ytan av den stympade konen 57
Tabell 11.26. Bollens volym. Kulans yta 58
Svar, instruktioner, lösningar 59

I den här artikeln kommer vi att prata om vinkelrätheten hos en linje och ett plan. Först ges en definition av en rät linje vinkelrät mot ett plan, en grafisk illustration och ett exempel ges, och beteckningen för en vinkelrät linje och ett plan visas. Därefter formuleras ett tecken på vinkelräthet av en rak linje och ett plan. Vidare erhålls villkor som gör det möjligt att bevisa en linjes och ett plans vinkelräthet, när linjen och planet ges av några ekvationer i ett rektangulärt koordinatsystem i tredimensionellt rymd. Avslutningsvis visas detaljerade lösningar på typiska exempel och problem.

Sidnavigering.

Vinkelrät linje och plan - grundläggande information.

Vi rekommenderar att du först upprepar definitionen av vinkelräta linjer, eftersom definitionen av en linje vinkelrät mot ett plan ges genom vinkelräta linjer.

Definition.

Det säger de rät linje vinkelrät mot planet, om den är vinkelrät mot någon linje som ligger i detta plan.

Man kan också säga att planet är vinkelrät mot linjen, eller att linjen och planet är vinkelräta.

För att indikera vinkelräthet, använd ikonen för formen "". Det vill säga om linjen c är vinkelrät mot planet , då kan vi kort skriva .

Som ett exempel på en rät linje vinkelrät mot ett plan kan man nämna en rät linje längs vilken två intilliggande väggar i ett rum skär varandra. Denna linje är vinkelrät mot planet och mot takets plan. Repet i gymmet kan också ses som en rak linje vinkelrätt mot golvplanet.

Som avslutning av detta stycke i artikeln noterar vi att om linjen är vinkelrät mot planet, anses vinkeln mellan linjen och planet vara nittio grader.

Vinkelräthet av en rak linje och ett plan - ett tecken och villkor för vinkelräthet.

I praktiken uppstår ofta frågan: "Är den givna linjen och planet vinkelräta?" För att svara på det, det finns tillräckligt villkor för vinkelräthet hos en linje och ett plan, det vill säga ett sådant villkor, vars uppfyllande garanterar linjens och planets vinkelräthet. Detta tillräckliga tillstånd kallas tecknet på vinkelräthet för en linje och ett plan. Vi formulerar det i form av ett teorem.

Sats.

För att en given linje och ett plan ska vara vinkelräta räcker det att linjen är vinkelrät mot två skärande linjer som ligger i detta plan.

Du kan se beviset på tecknet på vinkelräthet för en rät linje och ett plan i geometriläroboken för årskurs 10-11.

När man löser problem med att fastställa vinkelräthet för en linje och ett plan, används också ofta följande sats.

Sats.

Om en av två parallella linjer är vinkelrät mot planet, är den andra linjen också vinkelrät mot planet.

Skolan överväger många problem, för vars lösning används tecknet på vinkelräthet för en rät linje och ett plan, såväl som den sista satsen. Här ska vi inte uppehålla oss vid dem. I det här avsnittet av artikeln kommer vi att fokusera på tillämpningen av följande nödvändiga och tillräckliga villkor för vinkelrätheten hos en linje och ett plan.

Detta villkor kan skrivas om i följande form.

Låta är riktningsvektorn för den räta linjen a , och är planets normalvektor . För vinkelrätheten av linjen a och planet är det nödvändigt och tillräckligt att och : , där t är ett reellt tal.

Beviset för detta nödvändiga och tillräckliga villkor för att en linje och ett plan ska vara vinkelräta baseras på definitionerna av linjens riktningsvektor och planets normalvektor.

Uppenbarligen är detta villkor bekvämt att använda för att bevisa vinkelrätheten för en linje och ett plan, när koordinaterna för linjens riktningsvektor och koordinaterna för planets normalvektor i ett fixerat tredimensionellt utrymme lätt kan hittas . Detta gäller för fall där koordinaterna för de punkter genom vilka planet och den räta linjen passerar anges, såväl som för fall där den räta linjen bestäms av några ekvationer av den räta linjen i rymden, och planet ges av en ekvation av ett plan av något slag.

Låt oss ta en titt på några exempel.

Exempel.

Bevisa att en linje är vinkelrät och flygplan.

Lösning.

Vi vet att siffrorna i nämnarna för de kanoniska ekvationerna för en rät linje i rymden är motsvarande koordinater för den riktande vektorn för denna räta linje. På det här sättet, - riktningsvektor rak .

Koefficienterna vid variablerna x, y och z i den allmänna ekvationen för planet är koordinaterna för det planets normalvektor, dvs. är planets normalvektor .

Låt oss kontrollera uppfyllandet av det nödvändiga och tillräckliga villkoret för vinkelrätheten hos en linje och ett plan.

Därför att , sedan är vektorerna och relaterade av relationen , det vill säga de är kolinjära. Därför en rak linje vinkelrätt mot planet.

Exempel.

Är linjerna vinkelräta? och flygplan.

Lösning.

Låt oss hitta riktningsvektorn för den givna linjen och normalvektorn för planet för att kontrollera uppfyllandet av det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att linjen och planet ska vara vinkelräta.

Riktning vektor rak är