Neurónová sieť a fuzzy logika. Matematické metódy a modely umelej inteligencie: fuzzy logika, genetické algoritmy, neurónové siete, atď. Riadenie znalostí. Fuzzy logika v PID regulátoroch

Ako je známe, aparát fuzzy množín a fuzzy logiky sa dlhodobo (viac ako 10 rokov) úspešne používa na riešenie problémov, pri ktorých sú počiatočné dáta nespoľahlivé a zle formalizované. Silné stránky tohto prístupu:
- opis podmienok a spôsobu riešenia problému v jazyku blízkom prirodzenému;
- univerzálnosť: podľa známej FAT (Fuzzy Approximation Theorem), ktorú dokázal B. Kosko v roku 1993, každý matematický systém môže byť aproximovaný systémom založeným na fuzzy logike;

Súčasne sa fuzzy expertné a riadiace systémy vyznačujú aj určitými nevýhodami:
1) počiatočný súbor postulovaných fuzzy pravidiel je formulovaný ľudským expertom a môže byť neúplný alebo nekonzistentný;
2) typ a parametre funkcií príslušnosti, ktoré popisujú vstupné a výstupné premenné systému, sú vyberané subjektívne a nemusia plne odrážať realitu.
Aby sa tieto nedostatky aspoň čiastočne eliminovali, viacerí autori navrhli urobiť fuzzy expertné a riadiace systémy adaptívne – upravovať tak, ako systém funguje, ako pravidlá, tak aj parametre funkcií členstva. Spomedzi viacerých možností takejto adaptácie je zrejme jednou z najúspešnejších metóda takzvaných hybridných neurónových sietí.
Hybridná neurónová sieť je svojou štruktúrou formálne identická s viacvrstvovou neurónovou sieťou s učením sa napríklad podľa algoritmu spätného šírenia chýb, ale skryté vrstvy v nej zodpovedajú štádiám fungovania fuzzy systému. Takže:
-1. vrstva neurónov plní funkciu zavádzania fuzziness na základe daných funkcií príslušnosti vstupov;
-2. vrstva zobrazuje súbor fuzzy pravidiel;
-3. vrstva plní funkciu privádzania do jasnosti.
Každá z týchto vrstiev je charakterizovaná súborom parametrov (parametre funkcií príslušnosti, fuzzy rozhodovacie pravidlá, aktívne
racionálne funkcie, váhy spojení), ktoré sú konfigurované v podstate rovnako ako pre bežné neurónové siete.
Kniha rozoberá teoretické aspekty komponentov takýchto sietí, konkrétne aparát fuzzy logiky, základy teórie umelých neurónových sietí a vlastných hybridných sietí vo vzťahu k problémom riadenia a rozhodovania v neistote.
Osobitná pozornosť sa venuje implementácia softvéru modely týchto prístupov nástrojov matematický systém MATLAB 5.2/5.3.

Predchádzajúce články:

Vyššie popísané PID regulátory majú slabé ukazovatele výkonu pri riadení nelineárnych a zložitých systémov, ako aj pri nedostatočných informáciách o riadiacom objekte. Charakteristiky regulátorov možno v niektorých prípadoch zlepšiť pomocou metód fuzzy logiky, neurónových sietí a genetických algoritmov. Uvedené metódy sa v zahraničí nazývajú „soft-computing“, pričom sa zdôrazňuje ich odlišnosť od „hard-computingu“, ktorá spočíva v schopnosti pracovať s neúplnými a nepresnými údajmi. V jednom regulátore možno použiť kombinácie vyššie uvedených metód (fuzzy-PID, neuro-PID, neuro-fuzzy-PID regulátory s genetickými algoritmami).

Hlavnou nevýhodou regulátorov fuzzy a neurónových sietí je zložitosť ich konfigurácie (vytvorenie bázy fuzzy pravidiel a trénovanie neurónovej siete).

5.7.1. Fuzzy logika v PID regulátoroch

Fuzzy inferencia sa uskutočňuje nasledovne. Predpokladajme, že oblasť zmeny chyby je rozdelená na množiny, oblasť zmeny riadiacej akcie - na sady, a že s pomocou odborníka bolo možné sformulovať nasledujúce pravidlá pre fungovanie ovládač [Astrom]:

Tieto pravidlá sú často napísané v kompaktnejšej tabuľkovej forme (obr. 5.91).

Pomocou pravidiel môžete získať hodnotu riadiacej premennej na výstupe fuzzy regulátora. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť funkciu príslušnosti premennej k množine vytvorenej ako výsledok vykonávania inferenčných operácií na množinách zahrnutých v systéme pravidiel (5.118).

Operácia „AND“ v pravidlách (5.118) zodpovedá priesečníku množín a výsledok aplikácie všetkých pravidiel zodpovedá operácii zjednotenia množín [Rutkovskaja]. Napríklad funkcia príslušnosti pre priesečník dvoch množín a (pozri pravidlo 1) sa nachádza ako [Rutkovskaya]

Členské funkcie získané prienikom alebo spojením množín možno definovať rôznymi spôsobmi v závislosti od významu riešeného problému. V tomto zmysle je aj samotná teória fuzzy množín fuzzy. [Rutkowska] uvádza 10 rôznych definícií funkcie príslušnosti pre prienik množín, ale nehovorí, ktorá z nich by sa mala zvoliť na riešenie konkrétneho problému. Používajú najmä zrozumiteľnejšiu operáciu na hľadanie funkcií príslušnosti v prípade prieniku a zjednotenia množín, ktorá má obdobu s pravidlami násobenia a sčítania pravdepodobností:

Avšak použitie prvých dvoch metód na nájdenie funkcie členstva je zvyčajne vhodnejšie, pretože pri zachovaní väčšiny pravidiel vyvinutých pre obyčajné množiny [Uskov].

Funkcie príslušnosti pre každú z množín obsiahnutých vo fuzzy premennej v pravidlách (5.118) sa získajú v tvare [Rutkovskaya]

Tu každá z 9 rovníc zodpovedá jednému z pravidiel (5.118). Výsledná členská funkcia kontrolnej akcie získaná po použití všetkých 9 pravidiel sa nachádza ako spojenie funkcií členstva všetkých pravidiel:

Teraz, keď bola získaná výsledná funkcia členstva riadiacej akcie, vyvstáva otázka, akú konkrétnu hodnotu riadiacej akcie zvoliť. Ak použijeme pravdepodobnostnú interpretáciu teórie fuzzy množín, potom je zrejmé, že takúto hodnotu možno získať analogicky s matematickým očakávaním riadiacej akcie v tvare:

Tento spôsob defuzzifikácie je najbežnejší, ale nie jediný.

Na zostavenie fuzzy regulátorov sa zvyčajne používajú regulačné zákony P, I, PI a PD PD+I, PI+D a PID [Mann]. Chybový signál, prírastok chyby, druhá mocnina chyby a integrál chyby [Mann ] sa používajú ako vstupné signály pre fuzzy inferenčný systém. Implementácia fuzzy PID regulátora spôsobuje problémy, pretože musí mať trojrozmernú tabuľku pravidiel podľa troch pojmov v rovnici PID regulátora, čo je mimoriadne ťažké vyplniť pomocou odborných odpovedí. Veľké množstvo štruktúr fuzzy regulátorov podobných PID možno nájsť v článku [Mann].

Konečné ladenie fuzzy regulátora alebo ladenie blízke optima je stále náročná úloha. Na tento účel sa používajú algoritmy učenia style="color:red"> a metódy genetického vyhľadávania, ktoré si vyžadujú veľké výpočtové zdroje a čas.

Použitie fuzzy logiky na úpravu zosilnenia PID

Nastavenie regulátora vykonávané metódami popísanými v častiach „Výpočet parametrov“ a „Automatické ladenie a prispôsobenie“ nie je optimálne a je možné ho vylepšiť ďalším ladením. Ladenie môže vykonávať operátor na základe pravidiel (pozri časť „Ručné ladenie na základe pravidiel“) alebo automaticky, pomocou bloku fuzzy logiky (obr. 5.92). Blok fuzzy logiky (fuzzy blok) využíva základ pravidiel úprav a metódy fuzzy inferencie. Fuzzy tuning znižuje prekmity, skracuje čas ustálenia a zlepšuje robustnosť PID regulátora [Yesil ].

Proces automatického ladenia regulátora pomocou bloku fuzzy logiky začína hľadaním počiatočných aproximácií koeficientov regulátora. Zvyčajne sa to robí metódou Ziegler-Nichols, ktorá je založená na perióde vlastných oscilácií v uzavretom systéme a zosilnení slučky. Ďalej je formulovaná funkcia kritéria, ktorá je potrebná na nájdenie optimálnych hodnôt parametrov ladenia pomocou optimalizačných metód.

V procese ladenia regulátora sa používa niekoľko krokov [Hsuan ]. Po prvé, rozsahy vstupných a výstupných signálov jednotky automatického ladenia, tvar funkcií príslušnosti k požadovaným parametrom, pravidlá fuzzy inferencie, mechanizmus inferencie, metóda defuzzifikácie a rozsahy škálových faktorov potrebných na konverziu ostrých premenných na sú vybrané neostré.

Vyhľadávanie parametrov regulátora sa vykonáva optimalizačnými metódami. Na tento účel sa cieľová funkcia zvolí ako integrál súčtu druhých mocnín chyby riadenia a času ustálenia. Rýchlosť prebehnutia výstupnej premennej objektu sa niekedy pridáva ku kritériu minimalizácie.

Ako požadované parametre (parametre, ktoré sa majú nájsť), sa zvolí poloha maxima funkcií príslušnosti (pozri obr. 5.90) ​​a mierkové faktory na vstupe a výstupe fuzzy bloku. K optimalizačnému problému sa pridávajú obmedzenia v rozsahu zmien na pozíciách členských funkcií. Optimalizáciu funkcie kritéria možno vykonať napríklad pomocou genetických algoritmov.

Je potrebné poznamenať, že v prípadoch, keď je dostatok informácií na získanie presného matematického modelu objektu, bude tradičný regulátor vždy lepší ako fuzzy regulátor, pretože počiatočné údaje sú uvedené približne pri syntéze fuzzy regulátora.

5.7.2. Umelé neurónové siete

Neurónové siete, podobne ako fuzzy logika, sa používajú v PID regulátoroch dvoma spôsobmi: na zostavenie samotného regulátora a na zostavenie bloku na ladenie jeho koeficientov. Neurónová sieť má schopnosť „učiť sa“, čo umožňuje využiť skúsenosti odborníka na trénovanie neurónovej siete v umení nastavovania koeficientov PID regulátora. Regulátor neurónovej siete je podobný ako tabuľkový ovládač (pozri "Tabuľkové ovládanie">), ale líši sa špeciálnymi metódami ladenia ("tréning") vyvinutými pre neurónové siete a metódami interpolácie údajov.

Na rozdiel od fuzzy regulátora, kde odborník musí formulovať pravidlá ladenia v lingvistických premenných, pri použití neurónovej siete odborník formulovať pravidlá nepotrebuje – stačí mu regulátor niekoľkokrát upraviť v procese „trénovania neurónovej siete“ ".

Neurónové siete navrhli v roku 1943 McCulloch a Pitts ako výsledok štúdia neurálnej aktivity a biologických neurónov. umelý neurón je funkčný blok s jedným výstupom a vstupmi, ktorý vo všeobecnom prípade implementuje nelineárnu transformáciu , kde - váhové koeficienty (parametre) pre vstupné premenné ; - konštantný posun; -" aktivačná funkcia„neurón, napríklad vo forme (sigmoidná funkcia), kde je nejaký parameter. Neurónová sieť (obr. 5.93) pozostáva z mnohých vzájomne prepojených neurónov, počet spojení môže byť tisíce. Vďaka nelineárnosti aktivačných funkcií a veľkému počtu nastaviteľných koeficientov (v práci [Kato ] bolo použitých 35 neurónov vo vstupnej vrstve a 25 vo výstupnej vrstve, pričom počet koeficientov bol 1850) dokáže neurónová sieť napr. vykonávať nelineárne mapovanie viacerých vstupných signálov na viaceré výstupné signály.

Typická štruktúra automatického riadiaceho systému s PID regulátorom a neurónovou sieťou ako auto-tuningovou jednotkou je na obr. 5,94 [Kawafuku, Kato]. Neurónová sieť v tejto štruktúre plní úlohu funkčného prevodníka, ktorý pre každú sadu signálov generuje koeficienty PID regulátora. Používajú sa aj iné metódy hľadania minima, vrátane genetických algoritmov, metóda simulácie žíhania, metóda najmenších štvorcov.

Proces trénovania neurónovej siete je nasledovný (obr. 5.95). Odborník dostane možnosť upraviť parametre regulátora v uzavretom automatickom riadiacom systéme s rôznymi vstupmi. Predpokladá sa, že odborník to dokáže dostatočne kvalitne pre prax. Časové diagramy (oscilogramy) premenných získané v systéme upravenom odborníkom sa zaznamenávajú do archívu a následne sa privádzajú do neurónovej siete pripojenej k PID regulátoru (obr. 5.95

Ryža. 5,95. Schéma tréningu neurónovej siete v bloku automatického ladenia

Trvanie procesu učenia je hlavnou prekážkou rozšíreného používania metód neurónových sietí v PID regulátoroch [Uskov]. Ďalšími nevýhodami neurónových sietí je nemožnosť predpovedania chyby riadenia pre vstupné akcie, ktoré neboli zahrnuté v množine trénovacích signálov; absencia kritérií na výber počtu neurónov v sieti, trvania tréningu, rozsahu a počtu tréningových vplyvov. Žiadna z publikácií neskúmala robustnosť alebo rozpätie stability regulátora.

5.7.3. Genetické algoritmy

1. Výber počiatočnej populácie chromozómov veľkosti N.

2. Hodnotenie zdatnosti chromozómov v populácii.

3. Kontrola stavu zastavenia algoritmu.

4. Výber chromozómov.

5. Aplikácia genetických operátorov.

6. Formovanie novej populácie.

7. Prejdite na krok 2.

Aby algoritmus fungoval, je potrebné nastaviť dolnú a hornú hranicu zmeny požadovaných parametrov, pravdepodobnosť kríženia, pravdepodobnosť mutácie, veľkosť populácie a maximálny počet generácií.

Počiatočná populácia chromozómov sa generuje náhodne. Vhodnosť chromozómov sa hodnotí pomocou objektívnej funkcie v kódovanej forme. Ďalej sú chromozómy s najlepšou kondíciou zostavené do skupiny, v rámci ktorej sa vykonávajú operácie genetického kríženia alebo mutácie. Kríženie umožňuje získať nádejného potomka od dvoch rodičov. Operátor mutácie robí zmeny v chromozómoch. V prípade binárneho kódovania mutácia spočíva v zmene náhodného bitu v binárnom slove.

Ryža. 5.97), potom dochádza k výmene genetickej informácie umiestnenej napravo od zvolenej pozície [Fleming].

Po vykonaní genetického algoritmu sa binárna reprezentácia dekóduje na inžinierske veličiny.

Hodnotenie spôsobilosti chromozómov v populácii na odhad koeficientov PID regulátora je možné zvoliť napr.

,

kde je aktuálna hodnota chyby riadenia, je čas.

Výber chromozómov sa uskutočňuje ruletovou metódou. Na rulete sú sektory a šírka sektora je úmerná fitness funkcii. Preto čím väčšia je hodnota tejto funkcie, tým je pravdepodobnejší výber chromozómu, ktorý jej zodpovedá.

Matematická teória fuzzy množín a fuzzy logika sú zovšeobecneniami klasickej teórie množín a klasickej formálnej logiky. Tieto koncepty prvýkrát navrhol americký vedec Lotfi Zadeh v roku 1965. Hlavným dôvodom vzniku novej teórie bola prítomnosť fuzzy a približného uvažovania pri opise procesov, systémov, objektov osobou.

Predtým, ako bol fuzzy prístup k modelovaniu zložitých systémov uznaný na celom svete, uplynulo viac ako desať rokov od zrodu teórie fuzzy množín. A na tejto ceste vývoja fuzzy systémov je zvykom rozlišovať tri obdobia.

Prvé obdobie (koniec 60. rokov - začiatok 70. rokov) je charakteristické rozvojom teoretického aparátu fuzzy množín (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). V druhom období (70 – 80. roky) sa objavujú prvé praktické výsledky v oblasti fuzzy riadenia komplexu technické systémy(parný generátor s fuzzy ovládaním). Zároveň sa začala venovať pozornosť problematike budovania expertných systémov na báze fuzzy logiky, vývoju fuzzy regulátorov. Fuzzy expertné systémy na podporu rozhodovania sú široko používané v medicíne a ekonómii. Napokon v treťom období, ktoré trvá od konca 80. rokov a pokračuje aj v súčasnosti, sa objavujú softvérové ​​balíky na budovanie fuzzy expertných systémov a výrazne sa rozširujú oblasti aplikácie fuzzy logiky. Uplatňuje sa v automobilovom, leteckom a dopravnom priemysle, v oblasti produktov domáce prístroje, v oblasti financií, analýz a manažérskeho rozhodovania a mnohých ďalších.

Triumfálny pochod fuzzy logiky po celom svete sa začal po tom, čo Bartolomej Kosko koncom 80. rokov dokázal slávnu vetu FAT (Fuzzy Approximation Theorem). V obchode a financiách získala fuzzy logika uznanie v roku 1988 expertný systém na základe fuzzy pravidiel predikcie finančných ukazovateľov jediný predpovedal krach akciového trhu. A počet úspešných fuzzy aplikácií je teraz v tisíckach.

Matematický aparát

Charakteristickým znakom fuzzy množiny je Membership Function. Označme MF c (x) stupeň príslušnosti k fuzzy množine C, ktorá je zovšeobecnením pojmu charakteristická funkcia obyčajnej množiny. Potom je fuzzy množina C množinou usporiadaných dvojíc v tvare C=(MF c (x)/x), MF c (x) . Hodnota MF c (x)=0 znamená žiadne členstvo v množine, 1 – plné členstvo.

Ilustrujme si to na jednoduchom príklade. Formalizujeme nepresnú definíciu „horúci čaj“. Ako x (oblast zdôvodnenia) bude teplotná stupnica v stupňoch Celzia. Je zrejmé, že sa zmení z 0 na 100 stupňov. Fuzzy set pre pojem „horúci čaj“ môže vyzerať takto:

C=(0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100).

Čaj s teplotou 60 C teda patrí do súpravy „Hot“ so stupňom členstva 0,80. Pre jednu osobu môže byť čaj s teplotou 60 C horúci, pre iného nie príliš horúci. Práve v tom sa prejavuje neostrosť priradenia zodpovedajúcej množiny.

Pre fuzzy množiny, ako aj pre obyčajné, sú definované hlavné logické operácie. Najzákladnejšie potrebné na výpočty sú prienik a spojenie.

Priesečník dvoch fuzzy množín (fuzzy "AND"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Zjednotenie dvoch fuzzy množín (fuzzy "ALEBO"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).

V teórii fuzzy množín bol vyvinutý všeobecný prístup k vykonávaniu operátorov prieniku, zjednotenia a sčítania, implementovaný v takzvaných trojuholníkových normách a konormách. Vyššie uvedené implementácie operácií prieniku a spojenia sú najbežnejšími prípadmi t-normy a t-konormy.

Na popis fuzzy množín sú zavedené pojmy fuzzy a lingvistické premenné.

Fuzzy premenná je opísaná množinou (N,X,A), kde N je názov premennej, X je univerzálna množina (oblasť uvažovania), A je fuzzy množina na X.
Hodnoty lingvistickej premennej môžu byť fuzzy premenné, t.j. lingvistická premenná je na vyššej úrovni ako fuzzy premenná. Každá lingvistická premenná pozostáva z:

• tituly;
• množina jeho hodnôt, ktorá sa nazýva aj základná množina termínov T. Prvky základnej množiny termínov sú názvy fuzzy premenných;
• univerzálna sada X;
• syntaktické pravidlo G, podľa ktorého sa nové termíny generujú pomocou slov prirodzeného alebo formálneho jazyka;
• sémantické pravidlo P, ktoré spája každú hodnotu lingvistickej premennej s fuzzy podmnožinou množiny X.

Zvážte taký nejasný koncept ako "akciová cena". Toto je názov jazykovej premennej. Vytvorme si pre ňu základnú množinu termínov, ktorá sa bude skladať z troch fuzzy premenných: „Nízka“, „Striedma“, „Vysoká“ a nastavíme oblasť uvažovania v tvare X= (jednotky). Posledná vec, ktorú treba urobiť, je zostaviť funkcie členstva pre každý lingvistický výraz zo základného súboru výrazov T.

Existuje viac ako tucet typických tvarov kriviek na definovanie funkcií členstva. Najrozšírenejšie sú: trojuholníkové, lichobežníkové a Gaussove funkcie príslušnosti.

Trojuholníková funkcia príslušnosti je definovaná trojicou čísel (a,b,c) a jej hodnota v bode x sa vypočíta podľa výrazu:

$$MF\,(x) = \,\začiatok(prípady) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\nie \in\,(a;\,c)\ \end(cases)$$

S (b-a)=(c-b) máme prípad symetrickej trojuholníkovej funkcie príslušnosti, ktorá môže byť jednoznačne špecifikovaná dvoma parametrami z trojice (a,b,c).

Podobne na nastavenie funkcie lichobežníkového členstva sú potrebné štyri čísla (a, b, c, d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin(cases) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\nie \in\,(a;\,d) \ \end(cases)$$

Pri (b-a)=(d-c) nadobúda lichobežníková funkcia príslušnosti symetrický tvar.

Funkcia príslušnosti Gaussovho typu je opísaná vzorcom

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$

a funguje na dvoch parametroch. Parameter c označuje stred fuzzy množiny a parameter je zodpovedný za strmosť funkcie.

Množina funkcií príslušnosti pre každý pojem zo základnej množiny pojmov T je zvyčajne znázornená spoločne na jednom grafe. Obrázok 3 ukazuje príklad jazykovej premennej „Cena akcie“ opísanú vyššie, obrázok 4 ukazuje formalizáciu nepresného pojmu „Vek osoby“. Takže pre osobu vo veku 48 rokov je stupeň príslušnosti k súboru "Mladý" 0, "Priemer" - 0,47, "Nadpriemerný" - 0,20.

Počet výrazov v lingvistickej premennej zriedka presahuje 7.

Fuzzy inferencia

Základom pre uskutočnenie operácie fuzzy inferencie je báza pravidiel obsahujúca fuzzy príkazy vo forme „ak-potom“ a funkcie príslušnosti pre zodpovedajúce lingvistické termíny. V tomto prípade musia byť splnené nasledujúce podmienky:

1. Pre každý lingvistický výraz výstupnej premennej existuje aspoň jedno pravidlo.
2. Pre každý člen vstupnej premennej existuje aspoň jedno pravidlo, v ktorom je tento člen použitý ako podmienka (ľavá strana pravidla).

V opačnom prípade existuje neúplná základňa fuzzy pravidiel.

Nech má základ pravidiel m pravidiel vo forme:
R 1: AK x 1 je A 11 ... A ... x n je A 1 n, POTOM y je B 1
…
R i: AK x 1 je A i1 ... A ... x n je A v POTOM y je B i
…
R m: AK x 1 je A i1 ... A ... x n je A mn, POTOM y je B m ,
kde x k , k=1..n – vstupné premenné; y je výstupná premenná; A ik sú dané fuzzy množiny s funkciami príslušnosti.

Výsledkom fuzzy inferencie je jasná hodnota premennej y * na základe daných jasných hodnôt x k , k=1..n.

Vo všeobecnosti inferenčný mechanizmus zahŕňa štyri fázy: zavedenie fuzzy (fuzzifikácia), fuzzy inferencie, zloženie a redukcia na jasnosť alebo defuzzifikácia (pozri obrázok 5).

Algoritmy fuzzy inferencie sa líšia najmä typom použitých pravidiel, logickými operáciami a typom metódy defuzzifikácie. Boli vyvinuté modely fuzzy inferencie Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto.

Pozrime sa podrobnejšie na fuzzy odvodenie pomocou Mamdaniho mechanizmu ako príkladu. Toto je najbežnejšia metóda logickej inferencie vo fuzzy systémoch. Používa minimaxové zloženie fuzzy množín. Tento mechanizmus zahŕňa nasledujúcu postupnosť akcií.

1. Postup fuzzifikácie: určujú sa stupne pravdivosti, t.j. hodnoty funkcií členstva pre ľavé časti každého pravidla (predpoklady). Pre bázu pravidiel s m pravidlami označujeme stupne pravdivosti ako A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Rozmazaný záver. Najprv sa určia „medzné“ úrovne pre ľavú stranu každého z pravidiel:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Zloženie alebo spojenie získaných skrátených funkcií, na ktoré sa používa maximálne zloženie fuzzy množín:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

kde MF(y) je funkcia príslušnosti výslednej fuzzy množiny.

Defuzzifikácia alebo redukcia na jasnosť. Existuje niekoľko metód defuzzifikácie. Napríklad metóda stredného stredu alebo metóda ťažiska:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Geometrický význam tejto hodnoty je ťažisko pre krivku MF(y). Obrázok 6 graficky znázorňuje Mamdaniho fuzzy inferenčný proces pre dve vstupné premenné a dve fuzzy pravidlá R1 a R2.

Integrácia s inteligentnými paradigmami

Hybridizácia metód intelektuálneho spracovania informácií je motto, pod ktorým západní a americkí výskumníci prešli 90. roky. Výsledkom je kombinácia niekoľkých technológií umela inteligencia objavil sa špeciálny pojem – „soft computing“ (soft computing), ktorý v roku 1994 zaviedol L. Zadeh. V súčasnosti soft computing kombinuje také oblasti ako: fuzzy logika, umelé neurónové siete, pravdepodobnostné uvažovanie a evolučné algoritmy. Navzájom sa dopĺňajú a v rôznych kombináciách sa používajú na vytváranie hybridných inteligentných systémov.

Vplyv fuzzy logiky sa ukázal byť azda najrozsiahlejší. Rovnako ako fuzzy množiny rozšírili rozsah klasickej matematickej teórie množín, fuzzy logika „napadla“ takmer väčšinu metód dolovania údajov a vybavila ich novou funkcionalitou. Nižšie sú uvedené najviac zaujímavé príklady takéto združenia.

Fuzzy neurónové siete

Fuzzy neurónové siete (fuzzy-neurálne siete) vykonávajú závery na základe aparátu fuzzy logiky, avšak parametre funkcií príslušnosti sú ladené pomocou NN algoritmov učenia. Preto na výber parametrov takýchto sietí používame metódu spätného šírenia, ktorá bola pôvodne navrhnutá na trénovanie viacvrstvového perceptrónu. Na tento účel je modul fuzzy riadenia prezentovaný vo forme viacvrstvovej siete. Fuzzy neurónová sieť sa zvyčajne skladá zo štyroch vrstiev: fuzzifikačná vrstva pre vstupné premenné, vrstva na agregáciu hodnôt aktivácie podmienok, vrstva na agregáciu fuzzy pravidiel a výstupná vrstva.

V súčasnosti sú najpoužívanejšie architektúry fuzzy neurónových sietí typu ANFIS a TSK. Je dokázané, že takéto siete sú univerzálnymi aproximátormi.

Algoritmy rýchleho učenia a interpretovateľnosť nahromadených vedomostí – tieto faktory urobili zo súčasných fuzzy neurónových sietí jeden z najsľubnejších a najefektívnejších nástrojov soft computingu.

Adaptívne fuzzy systémy

Klasické fuzzy systémy majú nevýhodu v tom, že na formulovanie pravidiel a funkcií členstva je potrebné zapojiť odborníkov v konkrétnej tematickej oblasti, čo nie je vždy možné zabezpečiť. Tento problém riešia adaptívne fuzzy systémy. V takýchto systémoch sa parametre fuzzy systému vyberajú v procese učenia sa na experimentálnych údajoch. Algoritmy na učenie adaptívnych fuzzy systémov sú relatívne časovo náročné a zložité v porovnaní s algoritmami učenia pre neurónové siete a spravidla pozostávajú z dvoch fáz: 1. Generovanie lingvistických pravidiel; 2. Oprava členských funkcií. Prvý problém súvisí s problémom typu enumerácie, druhý problém súvisí s optimalizáciou v spojitých priestoroch. V tomto prípade vzniká určitý rozpor: funkcie príslušnosti sú potrebné na generovanie fuzzy pravidiel a pravidlá sú potrebné na vykonávanie fuzzy inferencií. Pri automatickom generovaní fuzzy pravidiel je navyše potrebné zabezpečiť ich úplnosť a konzistentnosť.

Významná časť metód trénovania fuzzy systémov využíva genetické algoritmy. V anglickej literatúre tomu zodpovedá špeciálny termín – Genetic Fuzzy Systems.

Skupina španielskych výskumníkov pod vedením F. Herreru významne prispela k rozvoju teórie a praxe fuzzy systémov s evolučným prispôsobením.

Fuzzy Queries

Fuzzy dotazy do databáz (fuzzy dotazy) - sľubný smer v moderné systémy spracovávanie informácií. Tento nástroj umožňuje formulovať otázky v prirodzenom jazyku, napr.: „Zobraziť zoznam ponúk nízkonákladových bývania v blízkosti centra mesta“, čo nie je možné pri použití štandardný mechanizmusžiadosti. Na tento účel bola vyvinutá fuzzy relačná algebra a špeciálne rozšírenia Jazyky SQL pre fuzzy dotazy. Väčšina výskumov v tejto oblasti patrí západoeurópskym vedcom D. Duboisovi a G. Pradeovi.

Pravidlá fuzzy asociácie

Fuzzy asociatívne pravidlá sú nástrojom na extrahovanie vzorov z databáz, ktoré sú formulované ako lingvistické výroky. Tu sú predstavené špeciálne koncepty fuzzy transakcie, podpora a spoľahlivosť fuzzy asociačného pravidla.

Fuzzy kognitívne mapy

Fuzzy kognitívne mapy navrhol B. Kosko v roku 1986 a používajú sa na modelovanie kauzálnych vzťahov identifikovaných medzi konceptmi určitej oblasti. Na rozdiel od jednoduchých kognitívnych máp sú fuzzy kognitívne mapy fuzzy orientovaný graf, ktorého uzly sú fuzzy množiny. Smerované okraje grafu odrážajú nielen vzťahy príčin a následkov medzi pojmami, ale určujú aj mieru vplyvu (váhu) súvisiacich pojmov. Aktívne používanie fuzzy kognitívnych máp ako nástroja na modelovanie systému je spôsobené možnosťou vizuálnej reprezentácie analyzovaného systému a jednoduchosťou interpretácie vzťahov príčin a následkov medzi konceptmi. Hlavné problémy súvisia s procesom vytvárania kognitívnej mapy, ktorý nie je prístupný formalizácii. Okrem toho je potrebné dokázať, že zostrojená kognitívna mapa je adekvátna reálnemu simulovanému systému. Na vyriešenie týchto problémov boli vyvinuté algoritmy na automatickú konštrukciu kognitívnych máp na základe vzorky údajov.

Fuzzy zhlukovanie

Metódy fuzzy zhlukovania, na rozdiel od presných metód (napríklad Kohonenove neurónové siete), umožňujú, aby ten istý objekt patril do niekoľkých zhlukov súčasne, ale v rôznej miere. Fuzzy zhlukovanie je v mnohých situáciách viac „prirodzené“ ako jasné, napríklad pre objekty nachádzajúce sa na hranici zhlukov. Najbežnejšie sú: c-znamená fuzzy samoorganizačný algoritmus a jeho zovšeobecnenie vo forme Gustafsonovho-Kesselovho algoritmu.

Literatúra

• Zadeh L. Koncept jazykovej premennej a jej aplikácia na prijímanie približných rozhodnutí. – M.: Mir, 1976.
• Kruglov V.V., Dli M.I. intelektuál Informačné systémy: počítačová podpora pre fuzzy logiku a fuzzy inferenčné systémy. – M.: Fizmatlit, 2002.
• Leolenkov A.V. Fuzzy modelovanie v MATLAB a fuzzyTECH. - Petrohrad, 2003.
• Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neurónové siete, genetické algoritmy a fuzzy systémy. - M., 2004.
• Masalovich A. Fuzzy logika v obchode a financiách. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systémy ako univerzálne aproximátory // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, č. 11, november 1994. - S. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., Všeobecná štúdia o genetických fuzzy systémoch // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. - S. 33-57.

Fuzzy logika a neurónové siete

Úvod

Fuzzy logika- odvetvie matematiky, ktoré je zovšeobecnením klasickej logiky a teórie množín, založené na koncepte fuzzy množiny, ktorý prvýkrát predstavil Lotfi Zadeh v roku 1965 ako objekt s funkciou príslušnosti prvku k množine, ktorá nadobúda ľubovoľné hodnoty. v intervale , a nielen 0 alebo 1. Na základe tohto konceptu sa zavádzajú rôzne logické operácie s fuzzy množinami a formuluje sa koncept lingvistickej premennej, ktorej hodnoty sú fuzzy množiny.

Predmetom fuzzy logiky je náuka o uvažovaní v podmienkach neostrosti, neostrosti, podobne ako uvažovanie v bežnom zmysle, a ich aplikácia vo výpočtových systémoch.

Smery výskumu fuzzy logiky

V súčasnosti existujú minimálne dve hlavné oblasti výskumu v oblasti fuzzy logiky:

Fuzzy logika v širšom zmysle (teória približných výpočtov);

Fuzzy logika v užšom zmysle (symbolická fuzzy logika).

Symbolická fuzzy logika

Symbolická fuzzy logika je založená na koncepte t-normy. Po výbere určitej t-normy (a môže ju zaviesť niekoľko rôzne cesty) je možné definovať základné operácie s výrokovými premennými: konjunkcia, disjunkcia, implikácia, negácia a iné.

Je ľahké dokázať teorém, že distributivita prítomná v klasickej logike je splnená iba v prípade, ak je za t-normu zvolená Gödelova t-norma.

Navyše z určitých dôvodov sa ako implikácia najčastejšie volí operácia nazývaná rezídium (všeobecne povedané, záleží aj na voľbe t-normy).

Definícia základných operácií uvedených vyššie vedie k formálnej definícii základnej fuzzy logiky, ktorá má veľa spoločného s klasickou booleovskou hodnotovou logikou (presnejšie s výrokovým kalkulom).

Existujú tri hlavné základné fuzzy logiky: Lukasiewiczova logika, Gödelova logika a produktová logika. Je zaujímavé, že spojenie akýchkoľvek dvoch z troch vyššie uvedených logík vedie ku klasickej booleovskej logike.

charakteristickú funkciu

Pre priestor na zdôvodnenie a danú členskú funkciu fuzzy množina je definovaná ako

Funkcia príslušnosti kvantitatívne stupňuje príslušnosť prvkov fundamentálnej množiny uvažovacieho priestoru k fuzzy množine. Hodnota znamená, že prvok nie je zahrnutý v fuzzy množine, popisuje plne zahrnutý prvok. Hodnoty medzi a charakterizujú fuzzy zahrnuté prvky.

Fuzzy set a klasický, ostrý ( chrumkavé) veľa

Príklady fuzzy množín

1. Nechajte E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Fuzzy množina "Niekoľko" môže byť definovaná takto:

"Niekoľko" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; jeho vlastnosti: výška = 1, dopravca = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, prechodové body - {3, 8}.

2. Nechajte E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Fuzzy množina "Malá" môže byť definovaná:

3. Nechajte E= (1, 2, 3, . . ., 100) a zodpovedá pojmu „Vek“, potom možno fuzzy množinu „Mladý“ definovať pomocou

Fuzzy set "Young" na univerzálnom sete E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) je daný členskou funkciou μ Mladý ( X) na E =(1, 2, 3, ..., 100) (vek), nazývané v súvislosti s E" funkcia kompatibility, pričom:

kde X- SIDOROV vek.

4. Nechajte E\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) je súbor značiek automobilov a E"= - univerzálna sada "Cost", potom ďalej E" môžeme definovať fuzzy množiny ako:

Ryža. 1.1. Príklady členskej funkcie

„Pre chudobných“, „Pre strednú triedu“, „Prestížny“, s členskými funkciami ako Obr. 1.1.

Mať tieto funkcie a poznať cenu áut z E v danom časovom bode tým určíme na E" fuzzy množiny s rovnakými názvami.

Takže napríklad fuzzy množina „Pre chudobných“, uvedená na univerzálnej množine E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), vyzerá ako na obr. 1.2.

Ryža. 1.2. Príklad určenia fuzzy množiny

Podobne môžete definovať fuzzy množinu „Vysoká rýchlosť“, „Stredná“, „Nízka rýchlosť“ atď.

5. Nechajte E- množina celých čísel:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Potom možno definovať fuzzy podmnožinu čísel blízkych nule v absolútnej hodnote, napríklad takto:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Booleovské operácie

Inklúzia. Nechaj ALE a AT- fuzzy množiny na univerzálnej množine E. To hovoria ALE obsiahnuté v AT, ak

Označenie: ALE⊂ AT.

Termín sa niekedy používa nadvláda, tie. v prípade, keď ALE⊂ AT, hovoria to AT dominuje ALE.

Rovnosť. A a B sú rovnaké, ak

Označenie: A = B.

Doplnenie. Nechaj M = , ALE a AT sú fuzzy množiny definované na E. A a AT dopĺňajú sa ak

Označenie:

To je zrejmé (dodatok definovaný pre M= , ale je zrejmé, že ho možno definovať pre ľubovoľnú objednávku M).

križovatka. ALE⋂ AT je najväčšia fuzzy podmnožina súčasne obsiahnutá v ALE a AT:

Združenie.A∪AT je najmenšia fuzzy podmnožina vrátane oboch ALE, tak AT, s členskou funkciou:

Rozdiel. s členskou funkciou:

Disjunktný súčet

ALE ⊕ AT = (A-B) ∪ (B-A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ (̅A ⋂ B)

s členskou funkciou:

Príklady. Nechaj

Tu:

1) A ⊂ AT, t.j. A je obsiahnutá v B alebo B dominuje ALE OD neporovnateľne ani s A, ani s AT, tie. páry ( A, C) a ( A, C) sú dvojice nedominovaných fuzzy množín.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 1/X 3 + 0/X 4 ; ̅B = 0,3/X 1 + 0,1/X 2 + 0,9/X 3 +0/X 4 .

4) ALE⋂ B = 0,4/X 1 + 0,2/X 2 + 0/X 3 + 1 /X 4 .

5) A∪ AT= 0,7/x1+ 0,9/X 2 + 0,1/X 3 + 1/X 4 .

6) A – B= ALE⋂̅B = 0,3/X 1 + 0,l/ X 2 + 0/X 3 + 0/X 4 ;

AT- A = ̅A⋂ AT= 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,l/ X 3 + 0/X 4 .

7) ALE⊕ B = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,1/X 3 + 0/X 4 .

Vizuálna reprezentácia logických operácií na fuzzy množinách. Pre fuzzy množiny môžete vytvoriť vizuálnu reprezentáciu. Zvážte pravouhlý súradnicový systém, na ktorého osi y sú vynesené hodnoty μ ALE(X), prvky sú usporiadané v náhodnom poradí na osi x E(takúto reprezentáciu sme už použili v príkladoch fuzzy množín). Ak E je usporiadaný od prírody, je žiaduce zachovať toto poradie v usporiadaní prvkov na osi x. Takáto reprezentácia robí jednoduché logické operácie na fuzzy množinách vizuálnymi (pozri obr. 1.3).

Ryža. 1.3. Grafická interpretácia logických operácií:
α - fuzzy množina ALE; b- fuzzy množina ̅A, v - ALE⋂ALE; G-A∪ ALE

Na obr. 1.3α tieňovaná časť zodpovedá fuzzy množine ALE a, aby som bol presný, zobrazuje rozsah ALE a všetky fuzzy množiny obsiahnuté v ALE. Na obr. 1.3 b, c, g sú dané A, A ⋂ ̅A,A U ALE.

Vlastnosti prevádzky ∪ a ⋂

Nechaj A, B, C sú fuzzy množiny, potom platia nasledujúce vlastnosti:

Na rozdiel od ostrých množín pre fuzzy množiny všeobecne

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A∪ ̅A ≠ E

(čo je konkrétne znázornené vyššie na príklade vizuálnej reprezentácie fuzzy množín).

Komentujte . Vyššie uvedené operácie na fuzzy množinách sú založené na použití operácií max a min. V teórii fuzzy množín sa rozvíjajú otázky konštrukcie zovšeobecnených, parametrizovaných operátorov prieniku, zjednotenia a sčítania, ktoré umožňujú zohľadniť rôzne sémantické odtiene zodpovedajúcich spojív „a“, „alebo“, „nie“.

Trojuholníkové normy a konormy

Jedným z prístupov ku križovatke a operátorom odborov je ich definovanie trieda trojuholníkových noriem a konormov.

Trojuholníková norma (t-norma) sa nazýva binárna operácia (dvojitá reálna funkcia)

1. Obmedzené: .

2. Monotónnosť: .

3. Komutatívnosť: .

4. Asociativita: .

Príklady trojuholníkových noriem

min( µ A,μ B)

práca µ Aμ B

max(0, μA+μ B - 1).

trojuholníkový konorm(skrátene konormou) je dvojmiestny reál funkciu

spĺňajúce nasledujúce podmienky:

1. Obmedzené: .

2. Monotónnosť: .

3. Komutatívnosť: .

4. Asociativita: .

Trojuholníkový konorm je archimedovský ak je nepretržitý
a pre akékoľvek fuzzy množina vykonané nerovnosť .

Hovorí sa tomu prísne ak funkciu prísne klesajúci v oboch argumentoch.

Príklady t-konorm

max( µ A,μ B)

μA+ μ B - µ A μ B

min(1, μA+μ B).

Príklady trojuholníkových konormov sú nasledujúce operátorov:

Trojuholníková norma T a trojuholníkový konorm S sa nazývajú komplementárne binárne operácie, ak

T( a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1

Najpopulárnejšie v Zadehovej teórii sú tri páry ďalších trojuholníkových noriem a konormov.

1) Priesečník a spojenie podľa Zade:

T Z(a,b) = min( a,b}, S Z(a,b) = max( a,b}.

2) Priesečník a spojenie podľa Lukasiewicza:

3) Pravdepodobný prienik a spojenie:

Operátori doplnkov

Teoreticky fuzzy množiny Doplnkový operátor nie je jedinečný.

Okrem známych

existuje celý súbor operátorov doplnkov fuzzy množina.

Nechajte niektorých displej

.

to displej sa v teórii bude nazývať operátor negácie fuzzy množiny ak sú splnené tieto podmienky:

Ak sú navyše splnené tieto podmienky:

(3) - prísne klesá funkciu

(4) - nepretržité funkciu

potom sa to volá prísna negácia.

Funkcia volal silné popretie alebo involúcia ak spolu s podmienkami (1) a (2) preň platí toto:

(5) .

Tu sú príklady negačnej funkcie:

Klasická negácia: .

Kvadratická negácia: .

Sugenovo popretie: .

Pridanie typu prahu: .

Zavoláme každému význam, pre ktoré , rovnovážny bod. Pre každú súvislú negáciu existuje jedinečný rovnovážny bod.

fuzzy čísla

fuzzy čísla- fuzzy premenné definované na číselnej osi, t.j. fuzzy číslo je definované ako fuzzy množina ALE na množine reálnych čísel ℝ s členskou funkciou μ A(X) ϵ , kde X je reálne číslo, t.j. X ϵ ℝ.

fuzzy číslo A je to v poriadku ak max μ A(X) = 1; konvexné ak pre nejaké X ≤ pri ≤ z vykonané

μ A (x) ≥ μ A(pri) ˄ µ A(z).

Veľa α - úroveň fuzzy čísel ALE definovaný ako

Aα = {X/μ α (X) ≥ α } .

Podmnožina S A⊂ ℝ sa nazýva nositeľ fuzzy čísla ALE, ak

SA = { x/μ A (x)> 0 }.

fuzzy číslo A unimodálne ak podmienka μ A(X) = 1 platí len pre jeden bod reálnej osi.

konvexné fuzzy číslo ALE volal fuzzy nula, ak

μ A (0) = sup ( µ A(X)).

fuzzy číslo A to pozitívne ak ∀ Xϵ SA, x> 0 a negatívne ak ∀ X ϵ SA, x< 0.

Fuzzy Numbers (L-R) typu

Fuzzy čísla typu (L-R) sú akési fuzzy čísla špeciálneho druhu, t.j. nastaviť podľa určitých pravidiel, aby sa znížilo množstvo výpočtov počas operácií na nich.

Príslušné funkcie fuzzy čísel typu (L-R) sú špecifikované pomocou funkcií reálnej premennej L( X) a R( X) spĺňajúce vlastnosti:

a) L(- X) = L( X), R(- X) = R( X);

b) L(0) = R(0).

Je zrejmé, že trieda (L-R)-funkcií zahŕňa funkcie, ktorých grafy majú tvar znázornený na obr. 1.7.

Ryža. 1.7. Možná forma (L-R)-funkcií

Príklady analytickej špecifikácie (L-R)-funkcií môžu byť

Nechajte L( pri) a R( pri)-funkcie typu (L-R) (betón). Unimodálne fuzzy číslo ALE s móda a(t.j. μ A(a) = 1) pomocou L( pri) a R( pri) sa uvádza takto:

kde a je režim; α > 0, β > 0 - ľavý a pravý koeficient fuzziness.

Teda pre dané L( pri) a R( pri) fuzzy číslo (unimodálne) je dané trojkou ALE = (a, α, β ).

Tolerantné fuzzy číslo je dané štyrmi parametrami ALE = (a 1 , a 2 , α, β ), kde a 1 a a 2 - hranice tolerancie, t.j. v medziobdobí [ a 1 , a 2 ] hodnota funkcie členstva sa rovná 1.

Príklady grafov funkcií príslušnosti typu fuzzy čísla (L-R) sú na obr. 1.8.

Ryža. 1.8. Príklady grafov funkcií príslušnosti typu fuzzy čísel (L-R).

Všimnite si, že v konkrétne situácie funkcie L (y), R (y), ako aj parametre a, β fuzzy čísla (a, α, β ) a ( a 1 , a 2 , α, β ) musí byť zvolený tak, aby výsledok operácie (sčítanie, odčítanie, delenie atď.) bol presne alebo približne rovný fuzzy číslu s rovnakým L (y) a R (y), a parametre α" a β" výsledku neprekročili obmedzenia týchto parametrov pre pôvodné fuzzy čísla, najmä ak sa výsledok neskôr zúčastní operácií.

Komentujte. Riešenie problémov matematického modelovania zložitých systémov pomocou aparátu fuzzy množín si vyžaduje vykonávanie veľkého množstva operácií s rôznymi druhmi lingvistických a iných fuzzy premenných. Pre pohodlie vykonávania operácií, ako aj pre vstup-výstup a ukladanie údajov je žiaduce pracovať s členskými funkciami štandardného formulára.

Fuzzy množiny, s ktorými sa musí pracovať vo väčšine problémov, sú spravidla unimodálne a normálne. Jednou z možných metód aproximácie unimodálnych fuzzy množín je aproximácia pomocou funkcií typu (L-R).

Príklady (L-R)-reprezentácií niektorých lingvistických premenných sú uvedené v tabuľke. 1.2.

Tabuľka 1.2. Možné (L-R)-reprezentácia niektorých jazykových premenných

Fuzzy vzťahy

Fuzzy vzťahy hrajú zásadnú úlohu v teórii fuzzy systémov. Prístroj na teóriu nejasné vzťahy používa sa pri konštrukcii teórie fuzzy automatov, pri modelovaní štruktúry zložitých systémov, pri analýze rozhodovacích procesov.

Základné definície

teória nejasné vzťahy nájde tiež Dodatok v problémoch, v ktorých sa tradične uplatňuje teória obyčajných (jasných) vzťahov. Spravidla sa pri kvalitatívnej analýze vzťahov medzi objektmi skúmaného systému používa aparát teórie jasných vzťahov, keď sú vzťahy dichotomickej povahy a možno ich interpretovať v zmysle „ spojenie prítomný", " spojenie chýba“, alebo keď sú metódy kvantitatívnej analýzy vzťahov z nejakého dôvodu nepoužiteľné a vzťahy sú umelo redukované do dichotomickej podoby. spojenie na požadovaný vzhľad. Avšak, takýto prístup, ktorý umožňuje kvalitatívne analýza systémov vedie k strate informácií o sile spojov medzi objektmi alebo si vyžaduje výpočty pri rôznych prahoch pevnosti spojov. Tento nedostatok je zbavený metód analýzy údajov založených na teórii nejasné vzťahy, ktoré umožňujú vysokú kvalitu analýza systémov, berúc do úvahy rozdiel v sile väzieb medzi objektmi systému.

Normálne rozmazané - ary vzťah definovaný ako podmnožina Kartézsky súčin množín

Ako fuzzy množina, fuzzy vzťah možno špecifikovať pomocou funkcie členstva

kde vo všeobecnom prípade budeme predpokladať, že ide o úplnú distribučnú mriežku. Ide teda o čiastočne usporiadaný súbor, v ktorom nie je žiadny prázdny podmnožina má najväčšiu spodnú a najmenšiu hornú časť fazety a križovatkové operácie a odbory spĺňajú zákony distributivity. Všetky operácií vyššie nejasné vzťahy sú definované pomocou týchto operácií z . Napríklad, ak vezmeme ako ohraničenú množinu reálne čísla, potom operácie priesečníka a zjednotenia v budú, resp. operácií a , a tieto operácií určí a operácií vyššie nejasné vzťahy.

Ak súpravy a konečná fuzzy vzťah medzi a môžu byť reprezentované pomocou neho relačné matice, ktorého prvému riadku a prvému stĺpcu sú priradené prvky množín a a prvok je umiestnený na priesečníku riadka a stĺpca (pozri tabuľku 2.1).

V prípade, keď súpravy a zápas, fuzzy vzťah volal fuzzy vzťah na množine X.

V prípade konečných alebo spočítateľných univerzálne súpravy zrejmé interpretácia fuzzy vzťahu ako vážený graf, v ktorom každá dvojica vrcholov z je spojená hranou s váhou .

Príklad. Nechaj a , potom fuzzy graf znázornené na obr. 2.1 špecifikuje niektoré fuzzy vzťah .

Ryža. 2.1.

Vlastnosti fuzzy vzťahov

odlišné typy nejasné vzťahy sú definované pomocou vlastností podobných vlastnostiam bežných vzťahov a pre nejasné vzťahy môžete špecifikovať rôznymi spôsobmi zovšeobecnenia týchto vlastností.

1. reflexívnosť:

2. Slabá reflexivita:

3. Silná reflexivita:

4. Antireflexivita:

5. Slabá antireflexivita:

6. Silná antireflexia:

7. Symetria:

8. Antisymetria:

9. asymetria:

10. Silná linearita:

11. Slabá linearita:

12. Prechodnosť:

Projekcie fuzzy vzťahov

Dôležitú úlohu v teórii fuzzy množín zohráva koncept fuzzy projekcie vzťahov. Dajme si definícia projekcie binárneho fuzzy vzťahu.

Nechajte - fuzzy vzťah príslušnosť funkcie v . projekcie a vzťahy na a - je súpravy v as členskou funkciou formulára

Podmienená projekcia fuzzy vzťahu na , za ľubovoľný pevný , je množina s členskou funkciou formulára .

Podmienečné projekcia na dané:

Od túto definíciu Je vidieť, že projekcie a nemajú vplyv na podmienené projekcie a , resp. Dajme ďalej definícia ktorá zohľadňuje ich vzťah.

Zatiaľ čo fuzzy logiku možno explicitne použiť na reprezentáciu odborných znalostí s pravidlami pre jazykové premenné, zvyčajne trvá veľmi dlho, kým sa skonštruujú a vyladia funkcie príslušnosti, ktoré kvantifikujú tieto premenné. Metódy trénovania neurónových sietí automatizujú tento proces a výrazne znižujú čas a náklady na vývoj a zároveň zlepšujú systémové parametre. Systémy, ktoré využívajú neurónové siete na určenie parametrov fuzzy modelov, sa nazývajú neurónové fuzzy systémy. Najdôležitejšou vlastnosťou týchto systémov je ich interpretovateľnosť v zmysle fuzzy pravidiel ak-potom.

Takéto systémy sa tiež nazývajú kooperatívne neurónové fuzzy systémy a sú protikladom ku konkurenčným neurónovým fuzzy systémom, v ktorých neurónové siete a fuzzy systémy spolupracujú pri riešení rovnakého problému bez vzájomnej interakcie. V tomto prípade sa neurónová sieť zvyčajne používa na predspracovanie vstupov alebo na následné spracovanie výstupov fuzzy systému.

Okrem nich existujú aj fuzzy neurónové systémy. Toto je názov neurónových sietí, ktoré využívajú fuzzy metódy na urýchlenie učenia a zlepšenie ich výkonu. Dá sa to dosiahnuť napríklad použitím fuzzy pravidiel na zmenu rýchlosti učenia alebo zohľadnením neurónových sietí s fuzzy vstupnými hodnotami.

Existujú dva hlavné prístupy k riadeniu rýchlosti učenia perceptrónu metóda spätného šírenia. V prvom prípade sa táto rýchlosť súčasne a rovnomerne znižuje pre všetky neuróny siete v závislosti od jedného globálneho kritéria - dosiahnutej strednej hodnoty chyby na výstupnej vrstve. Zároveň sa sieť rýchlo učí v počiatočnej fáze tréningu a vyhýba sa chybovým osciláciám v neskoršej fáze. V druhom prípade sa hodnotia zmeny v jednotlivých medzineurónových spojeniach. Ak v nasledujúcich dvoch krokoch učenia majú prírastky pripojení opačné znamienko, potom je rozumné znížiť zodpovedajúcu miestnu rýchlosť, inak by sa mala zvýšiť. Použitie fuzzy pravidiel môže poskytnúť presnejšiu kontrolu nad lokálnou rýchlosťou modifikácie odkazu. Dá sa to dosiahnuť najmä vtedy, ak sa ako vstupné parametre do týchto pravidiel použijú po sebe nasledujúce hodnoty gradientov chýb. Tabuľka zodpovedajúcich pravidiel môže vyzerať takto:

Lingvistické premenné Learning Rate a Gradient nadobúdajú nasledujúce hodnoty vo fuzzy adaptačnom pravidle znázornenom v tabuľke: NB - veľký zápor; NS - malý negatívny; Z - blízko nule; PS - malý pozitívny; PB - veľké pozitívum.

Nakoniec, v moderných hybridných neurónových fuzzy systémoch sú neurónové siete a fuzzy modely kombinované do jedinej homogénnej architektúry. Takéto systémy možno interpretovať buď ako neurónové siete s fuzzy parametrami alebo ako paralelne distribuované fuzzy systémy.

Prvky fuzzy logiky

Ústredným pojmom fuzzy logiky je koncept jazyková premenná. Podľa Lotfi Zade je lingvistická premenná premenná, ktorej hodnotami sú slová alebo vety prirodzeného alebo umelého jazyka. Príkladom jazykovej premennej je napríklad pokles produkcie, ak nadobudne jazykové hodnoty, akými sú napríklad zanedbateľné, nápadné, významné a katastrofálne. Je zrejmé, že jazykové významy nie sú jasne charakterizujúce existujúcu situáciu. Napríklad pokles výroby o 3 % možno považovať za trochu nevýznamný a trochu viditeľný. Je intuitívne jasné, že miera toho, že daný pád je katastrofálny, musí byť dosť malá.